高一数学期末卷02（人教A版2019，测试范围：必修第二册-学易金卷：2023-2024学年高中下学期期末模拟考试

2023-2024学年高一数学下学期期末试卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：（必修第二册）人教A版2019 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复平面内复数所对应的点为，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【解析】 因为复数所对应的点为，所以， 所以，故选：B. 2．已知向量，，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【解析】 因为，，， 所以，则.故选：B 3．《2023年五一出游数据报告》显示，济南凭借超强周边吸引力，荣登“五一”最强周边游“吸金力”前十名榜单．其中，济南天下第一泉风景区接待游客100万人次，济南动物园接待游客30万人次，千佛山景区接待游客20万人次．现采用按比例分层抽样的方法对三个景区的游客共抽取1500人进行济南旅游满意度的调研，则济南天下第一泉风景区抽取游客（    ） A．1000人 B．300人 C．200人 D．100人 【答案】A 【解析】 依题意济南天下第一泉风景区应抽取游客（人）. 故选：A 4．如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 因为为平行四边形对角线上一点，交于点， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，故选：C 5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【解析】 对于A选项，若，，则或异面，故A选项错误； 对于B选项，若，，则，故B选项正确； 对于C选项，若，，则或或相交，故C选项错误； 对于D选项，若，，则或，故D选项错误； 故选：B 6．如图，某圆柱侧面展开图的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B v由斜二测画法得，在原图矩形ABCD中，，所以该圆柱的高为，底面半径为，故该圆柱的体积为．故选：B 7．如图，一架高空侦察飞机以的速度在海拔的高空沿水平方向飞行，在点处测得某山顶的俯角为，经过后在点处测得该山顶的俯角为，若点A，B，M在同一个铅垂平面内，则该山顶的海拔高度约为（    ）（，）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 依题意得，， 在中，米，， 由正弦定理得，得米， 又 所以该山顶的海拔高度为米. 故选：B 8．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，事件“第一次向上一面的数字是2”，事件“第二次向上一面的数字是3”，事件“两次向上一面的数字之和是7”，事件 “两次向上一面的数字之和是8”，则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】D 【解析】 投掷这枚骰子两次，共有个基本事件， 共个基本事件，则， 共个基本事件，则， 共个基本事件，则， 共个基本事件，则， 事件为不可能事件，则， 所以与不相互独立，故A错误； 事件共个基本事件，则， 所以与不相互独立，故B错误； 事件共个基本事件，则， 所以与不相互独立，故C错误； 事件共个基本事件，则， 所以与相互独立，故D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.7，10.0，10.0，10.0，10.3，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（    ） A．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数 B．甲种的样本方差大于乙种的样本方差 C．甲种样本的分位数小于乙种样本的分位数 D．甲乙两种水稻近五年的总方差为 【答案】ACD 【解析】 对于A，，，正确； 对于B，因为甲、乙平均值都为，所以， ， 显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，错误； 对于C，，故甲种样本的分位数为， 乙种样本的分位数为，所以甲种样本的分位数小于乙种样本的分位数，正确； 对于D，甲乙两种水稻近五年的总方差为0.072， 故甲乙两种水稻近五年的总方差为 ， 正确. 故选：ACD 10．在中，角的对边分别为，为的外心，则（    ） A．若有两个解，则 B．的取值范围为 C．的最大值为9 D．若为平面上的定点，则A点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 对于A，由正弦定理，得， 有两解的情形为，且，则，故A正确； 对于B，由正弦定理，得外接圆半径， 由正弦定理知A点在以为圆心半径为的优弧上运动，， 于是，故B正确； 对于C，法一：用投影向量求解：当在上的投影向量的模最大，且与同向时，取得的最大值，此时， 设为的中点，则， 在上的投影向量的模为，最大值为，故C错误；    法二：转化到圆心：，故C错误； 对于D，如下图，由正弦定理知A点在以为圆心半径为的优弧上运动，由两段优弧拼接成，每段优弧所对圆心角为， 所以A点的轨迹长度为，故D正确．    故选：ABD. 11．如图1，在等腰梯形中，，，，，，将四边形沿进行折叠，使到达位置，且平面平面，连接，，如图2，则（    ）    A． B．平面平面 C．多面体为三棱台 D．直线与平面所成的角为 【答案】ABD 【解析】 对于A，因为平面平面， 平面平面，，平面， 所以平面，所以，A正确. 对于B，因为，平面，平面， 则平面， 又，平面，平面， 则平面， 又，平面，所以平面平面，B正确. 对于C，因为，，则， 所以多面体不是三棱台，C错误. 对于D，延长，相交于点G， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，则为直线与平面所成的角. 因为，所以， 解得，，， 则，D正确.    故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为 ． 【答案】 【解析】 ，同理， ，， 由向量夹角的范围为，所以向量与的夹角为. 13．九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件”，则的值为 . 5 【答案】/ 【解析】 由题意九宫格的中间位置填，位置填偶数，位置填奇数， 因为每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于， 所以、位置填或， 先从中任意选出一个数填入位置，则有个结果， 若填， 则填，填，填，填，填，填，填； 或填，填，填，填，填，填，填； 共包含个结果； 所以总的结果个数为个 其中符合的情况有，，，，，共个， 所以. 14．已知正方体的棱长均为2．以中点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 ． 【答案】 【解析】  取中点，中点，中点，中点， 由题意可得，，， 在平面内取一点，使得，则， 且，所以以中点为球心，为半径的球面与侧面的交线 是以为圆心，为半径的圆弧，且，则，则圆弧的长为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组（满分150分）：，，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求第七组的频率； (2)用样本数据估计该地的500名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)现从500名学生中利用分层抽样的方法从的两组中抽取5个人进一步做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率． 【解】（1）由频率分布直方图得第七组的频率为： ； （2）用样本数据估计该地500名学生这次考试成绩的平均分为： （分）； （3）由频率分步直方图可知的频数为的频数为，所以两组人数比值为， 按照分层抽样抽取5人，则在分别抽取3人和2人， 记这组三人的编号为这组两人的编号为， 故从5人随机抽取2名，共10种情况，为： 设事件“从5个人中随机抽取两人，抽取到的两人不在同一组” 则，共6种情况． 故， 即从这5个人中随机抽取两人，则抽取到的两人不在同一组的概率为． 16．（本小题满分15分）在锐角中，内角的对边分别为，向量，，且． (1)求； (2)若为中点，，的面积为，求的长． 【解】（1）因为向量，，且， 所以，由正弦定理可得，因为， 所以，又，所以. （2）因为的面积为，所以， 又，，所以， 所以，在中 ， 所以. 17．（本小题满分15分）甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立． (1)求第三局结束时甲获胜的概率； (2)求乙最终以分获胜的概率． 【解】（1）设事件为“第三局结束甲获胜”， 由题意知，甲每局获胜的概率为，不获胜的概率为．            若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．   故. （2）由题知，每局比赛中，乙获胜的概率为，平的概率为，负的概率为， 设事件为“乙最终以分获胜”． 若第二局结束乙获胜，则乙两局连胜，此时的概率．    若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．     此时的概率．             若第四局结束乙以分获胜，则乙第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况： （胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜）， （胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．            此时的概率           故. 18．（本小题满分17分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的动点（包括端点）．，若平面与棱交于点．    (1)请补全平面与棱柱的截面，并指出点的位置； (2)求证：平面； (3)当点运动时，试判断三棱锥的体积是否为定值?若是，求出该定值及点到平面的距离；若不是，说明理由． 【解】（1）如图，点为的中点，连接，    由为中点，则，又， 所以，所以四点共面， 故平面与棱柱的截面为． （2）证明：因为在与中，， 所以，又， 所以， 所以， ，且平面， 所以平面， 即平面； （3）由（2）知平面，又平面， 所以，又， 所以， 又，且平面， 所以平面， 又，所以到平面的距离等于到平面的距离， 所以 ， 所以三棱锥的体积为定值． 中，， 所以， 由， 可得， 所以点到平面的距离为． 19．（本小题满分17分）平面向量是数学中一个非常重要的概念，它具有广泛的工具性，平面向量的引入与运用，大大拓展了数学分析和几何学的领域，使得许多问题的求解和理解更加简单和直观，在实际应用中，平面向量在工程、物理学、计算机图形等各个领域都有广泛的应用，平面向量可以方便地描述几何问题，进行代数运算，描述几何变换，表述物体的运动和速度等，因此熟练掌握平面向量的性质与运用，对于提高数学和物理学的理解和能力，具有非常重要的意义，平面向量的大小可以由模来刻画，其方向可以由以轴的非负半轴为始边，所在射线为终边的角来刻画.设，则.另外，将向量绕点按逆时针方向旋转角后得到向量.如果将的坐标写成（其中，那么.根据以上材料，回答下面问题: (1)若，求向量的坐标; (2)用向量法证明余弦定理; (3)如图，点和分别为等腰直角和等腰直角的直角顶点，连接DE，求DE的中点坐标. 【解】（1），则， . （2）设，， ， 所以， 同理可得， （3）设，又，则， 由， ， ， 得， 所以DE的中点坐标为. ( 13 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学下学期第三次月考卷02 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B A C B B B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 13． 14． 15． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）由频率分布直方图得第七组的频率为： ； （2）用样本数据估计该地500名学生这次考试成绩的平均分为： （分）； （3）由频率分步直方图可知的频数为的频数为，所以两组人数比值为， 按照分层抽样抽取5人，则在分别抽取3人和2人， 记这组三人的编号为这组两人的编号为， 故从5人随机抽取2名，共10种情况，为： 设事件“从5个人中随机抽取两人，抽取到的两人不在同一组” 则，共6种情况． 故， 即从这5个人中随机抽取两人，则抽取到的两人不在同一组的概率为． 16．（本小题满分15分） 【解】（1）因为向量，，且， 所以，由正弦定理可得，因为， 所以，又，所以. （2）因为的面积为，所以， 又，，所以， 所以，在中 ， 所以. 17．（本小题满分15分） 【解】（1）设事件为“第三局结束甲获胜”， 由题意知，甲每局获胜的概率为，不获胜的概率为．            若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．   故. （2）由题知，每局比赛中，乙获胜的概率为，平的概率为，负的概率为， 设事件为“乙最终以分获胜”． 若第二局结束乙获胜，则乙两局连胜，此时的概率．    若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．     此时的概率．             若第四局结束乙以分获胜，则乙第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况： （胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜）， （胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．            此时的概率           故. 18．（本小题满分17分） 【解】（1）如图，点为的中点，连接，    由为中点，则，又， 所以，所以四点共面， 故平面与棱柱的截面为． （2）证明：因为在与中，， 所以，又， 所以， 所以， ，且平面， 所以平面， 即平面； （3）由（2）知平面，又平面， 所以，又， 所以， 又，且平面， 所以平面， 又，所以到平面的距离等于到平面的距离， 所以 ， 所以三棱锥的体积为定值． 中，， 所以， 由， 可得， 所以点到平面的距离为． 19．（本小题满分17分） 【解】（1），则， . （2）设，， ， 所以， 同理可得， （3）设，又，则， 由， ， ， 得， 所以DE的中点坐标为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2023-2024学年高一数学下学期第三次月考卷02 答题卡 准考证号： 姓 名：_ ________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2023-2024 学年高一数学下学期第三次月考卷 02 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_ ________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○…… ………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2023-2024学年高一数学下学期期末试卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：（必修第二册）人教A版2019 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复平面内复数所对应的点为，则（    ） A． B．2 C． D．1 2．已知向量，，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 3．《2023年五一出游数据报告》显示，济南凭借超强周边吸引力，荣登“五一”最强周边游“吸金力”前十名榜单．其中，济南天下第一泉风景区接待游客100万人次，济南动物园接待游客30万人次，千佛山景区接待游客20万人次．现采用按比例分层抽样的方法对三个景区的游客共抽取1500人进行济南旅游满意度的调研，则济南天下第一泉风景区抽取游客（    ） A．1000人 B．300人 C．200人 D．100人 4．如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．如图，某圆柱侧面展开图的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，一架高空侦察飞机以的速度在海拔的高空沿水平方向飞行，在点处测得某山顶的俯角为，经过后在点处测得该山顶的俯角为，若点A，B，M在同一个铅垂平面内，则该山顶的海拔高度约为（    ）（，） A． B． C． D． 8．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，事件“第一次向上一面的数字是2”，事件“第二次向上一面的数字是3”，事件“两次向上一面的数字之和是7”，事件 “两次向上一面的数字之和是8”，则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.7，10.0，10.0，10.0，10.3，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（    ） A．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数 B．甲种的样本方差大于乙种的样本方差 C．甲种样本的分位数小于乙种样本的分位数 D．甲乙两种水稻近五年的总方差为 10．在中，角的对边分别为，为的外心，则（    ） A．若有两个解，则 B．的取值范围为 C．的最大值为9 D．若为平面上的定点，则A点的轨迹长度为 11．如图1，在等腰梯形中，，，，，，将四边形沿进行折叠，使到达位置，且平面平面，连接，，如图2，则（    ） A． B．平面平面 C．多面体为三棱台 D．直线与平面所成的角为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为 ． 13．九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件”，则的值为 . 5 14．已知正方体的棱长均为2．以中点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组（满分150分）：，，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求第七组的频率； (2)用样本数据估计该地的500名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)现从500名学生中利用分层抽样的方法从的两组中抽取5个人进一步做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率． 16．（本小题满分15分）在锐角中，内角的对边分别为，向量，，且． (1)求； (2)若为中点，，的面积为，求的长． 17．（本小题满分15分）甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立． (1)求第三局结束时甲获胜的概率； (2)求乙最终以分获胜的概率． 18．（本小题满分17分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的动点（包括端点）．，若平面与棱交于点． (1)请补全平面与棱柱的截面，并指出点的位置； (2)求证：平面； (3)当点运动时，试判断三棱锥的体积是否为定值?若是，求出该定值及点到平面的距离；若不是，说明理由． 19．（本小题满分17分）平面向量是数学中一个非常重要的概念，它具有广泛的工具性，平面向量的引入与运用，大大拓展了数学分析和几何学的领域，使得许多问题的求解和理解更加简单和直观，在实际应用中，平面向量在工程、物理学、计算机图形等各个领域都有广泛的应用，平面向量可以方便地描述几何问题，进行代数运算，描述几何变换，表述物体的运动和速度等，因此熟练掌握平面向量的性质与运用，对于提高数学和物理学的理解和能力，具有非常重要的意义，平面向量的大小可以由模来刻画，其方向可以由以轴的非负半轴为始边，所在射线为终边的角来刻画.设，则.另外，将向量绕点按逆时针方向旋转角后得到向量.如果将的坐标写成（其中，那么.根据以上材料，回答下面问题: (1)若，求向量的坐标; (2)用向量法证明余弦定理; (3)如图，点和分别为等腰直角和等腰直角的直角顶点，连接DE，求DE的中点坐标. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学下学期期末试卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：（必修第二册）人教A版2019 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复平面内复数所对应的点为，则（    ） A． B．2 C． D．1 2．已知向量，，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 3．《2023年五一出游数据报告》显示，济南凭借超强周边吸引力，荣登“五一”最强周边游“吸金力”前十名榜单．其中，济南天下第一泉风景区接待游客100万人次，济南动物园接待游客30万人次，千佛山景区接待游客20万人次．现采用按比例分层抽样的方法对三个景区的游客共抽取1500人进行济南旅游满意度的调研，则济南天下第一泉风景区抽取游客（    ） A．1000人 B．300人 C．200人 D．100人 4．如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．如图，某圆柱侧面展开图的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，一架高空侦察飞机以的速度在海拔的高空沿水平方向飞行，在点处测得某山顶的俯角为，经过后在点处测得该山顶的俯角为，若点A，B，M在同一个铅垂平面内，则该山顶的海拔高度约为（    ）（，） A． B． C． D． 8．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，事件“第一次向上一面的数字是2”，事件“第二次向上一面的数字是3”，事件“两次向上一面的数字之和是7”，事件 “两次向上一面的数字之和是8”，则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.7，10.0，10.0，10.0，10.3，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（    ） A．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数 B．甲种的样本方差大于乙种的样本方差 C．甲种样本的分位数小于乙种样本的分位数 D．甲乙两种水稻近五年的总方差为 10．在中，角的对边分别为，为的外心，则（    ） A．若有两个解，则 B．的取值范围为 C．的最大值为9 D．若为平面上的定点，则A点的轨迹长度为 11．如图1，在等腰梯形中，，，，，，将四边形沿进行折叠，使到达位置，且平面平面，连接，，如图2，则（    ） A． B．平面平面 C．多面体为三棱台 D．直线与平面所成的角为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为 ． 13．九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件”，则的值为 . 5 14．已知正方体的棱长均为2．以中点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组（满分150分）：，，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求第七组的频率； (2)用样本数据估计该地的500名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)现从500名学生中利用分层抽样的方法从的两组中抽取5个人进一步做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率． 16．（本小题满分15分）在锐角中，内角的对边分别为，向量，，且． (1)求； (2)若为中点，，的面积为，求的长． 17．（本小题满分15分）甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立． (1)求第三局结束时甲获胜的概率； (2)求乙最终以分获胜的概率． 18．（本小题满分17分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的动点（包括端点）．，若平面与棱交于点． (1)请补全平面与棱柱的截面，并指出点的位置； (2)求证：平面； (3)当点运动时，试判断三棱锥的体积是否为定值?若是，求出该定值及点到平面的距离；若不是，说明理由． 19．（本小题满分17分）平面向量是数学中一个非常重要的概念，它具有广泛的工具性，平面向量的引入与运用，大大拓展了数学分析和几何学的领域，使得许多问题的求解和理解更加简单和直观，在实际应用中，平面向量在工程、物理学、计算机图形等各个领域都有广泛的应用，平面向量可以方便地描述几何问题，进行代数运算，描述几何变换，表述物体的运动和速度等，因此熟练掌握平面向量的性质与运用，对于提高数学和物理学的理解和能力，具有非常重要的意义，平面向量的大小可以由模来刻画，其方向可以由以轴的非负半轴为始边，所在射线为终边的角来刻画.设，则.另外，将向量绕点按逆时针方向旋转角后得到向量.如果将的坐标写成（其中，那么.根据以上材料，回答下面问题: (1)若，求向量的坐标; (2)用向量法证明余弦定理; (3)如图，点和分别为等腰直角和等腰直角的直角顶点，连接DE，求DE的中点坐标. 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