高一数学期末卷（人教B版2019，测试范围：必修第三册+必修第四册）-学易金卷：2023-2024学年高中下学期期末模拟考试

2023-2024学年高一数学下学期期末试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：（必修第三册+必修第四册）（人教B版2019） 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为， 所以该复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故选：D 2．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线上，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】因为角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线上，可得，所以，故选：A 3．已知向量，满足，，则（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】由向量，可得， 因为，所以，故选：D. 4．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由直观图知原几何图形是直角梯形，如图， 由斜二测法则知，， 所以，故选：C． 5．在中，内角的对边分别为若满足，则该三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】B 【解析】在中，已知 由正弦定理得， 所以即 又，则，则， 所以所以该三角形为等腰三角形. 故选：B. 6．设是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与异面 D．若，则 【答案】D 【解析】对A，若，则a与b相交、平行或异面都有可能，故A错误； 对B，若，则或a与b异面，故B错误； 对C，若，则a与b相交、平行或异面都有可能，故C错误； 对D，若，设与的交线为m，与的交线为n， 在平面内取，在平面内取，与a不重合， 由面面垂直的性质可得，所以， 又，所以，由线面平行的性质定理得， 所以有，故D正确.    故选：D. 7．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，即， 则. 故选：A. 8．秦九韶（1208年~1268年），字道古，祖籍鲁郡（今河南省范县），出生于普州（今四川安岳县）．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家.1247年秦九韶完成了著作《数书九章》，其中的大衍求一术（一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献．设的三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，秦九韶提出的“三斜求积术”公式为，若，，则由“三斜求积术”公式可得的面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为，由正弦定理得，所以， 又因为，由余弦定理得， 可得， 所以. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若z是非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】对于A，由，得，则A错误. 对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确. 对于C，设（，且）， 则，所以，则C正确. 对于D，由，得. 设（，且），则， ，从而，则D正确. 故选：BCD 10．已知函数，如图，图象经过点，，则（    ） A． B． C．是函数的一条对称轴 D．函数在区间上单调递增 【答案】AD 【解析】由及过，得，即， 所以，又，解得，故A正确； 又点代入，得， 所以，又，于是，故B不正确； 由，则，故C不正确； 由，得 于是的单调递增区间为，令可知D正确. 故选：AD. 11．《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，如图所示，该几何体是上、下底面均为扇环的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．图中的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧AD的长度是弧BC长度的3倍，，则下列说法正确的是（    ）． A．弧AD长度为 B．曲池的体积为 C．曲池的表面积为 D．三棱锥的体积为5 【答案】AD 【解析】设弧所在圆的半径为，弧所在圆的半径为， 因为弧的长度是弧长度的3倍，底面扇环所对的圆心角为， 所以，解得，所以，可得， 所以弧的的长度为，所以A正确； 该曲池的体积为，所以B不正确； 曲池的表面积为 ，所以C不正确； 三棱锥的体积为，所以D正确. 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若向量在上的投影向量为，且与不共线，请写出一个符合条件的向量的坐标 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】由向量，可得向量， 因为向量在上的投影向量为，可得，可得， 设，可得，取， 此时向量与向量不共线，故. 13．如图，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东的方向，灯塔在观察站的南偏东的方向，则灯塔与灯塔间的距离为 （）． 【答案】 【解析】由题意可得，， 在中，由余弦定理可得 ，即， 解得， 14．如图，已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱的长为2，E、F分别为和AC中点，则直线EF与平面所成角的余弦值为 ，异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 / 【解析】取中点，连接， 由题意可知，平面，所以为直线EF与平面所成角， 在中，， 所以； 取中点，连接， 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 在中，，， ， 由余弦定理可得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）如图，在斜坐标系中，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题： (1)若，求； (2)若，求（用表示）； (3)若，求向量的夹角的大小. 【解】（1）根据题意，得到， 所以 （2） （3） ，又因为 16．（本小题满分15分）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角； (2)射线绕点旋转交线段于点，且，求的面积的最小值. 【解】（1）， 由正弦定理得， 则， 即 则， 且， ，； （2）由和，可知， 因为， 所以， 又因为， 所以，即， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 所以的面积的最小值为. 17．（本小题满分15分）已知函数． (1)若，的最小值为，求的对称中心； (2)已知，函数图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在（且）上恰好有12个零点，求的最小值． 【解】（1）的最小正周期为， 又，的最小值为， 的最小正周期是， 故，解得， 当时，， 由， 的对称中心为； 当时，， 由， 的对称中心为， 综上所述，的对称中心为或． （2）函数图象向右平移个单位，得到函数的图象， ，最小正周期， 令，则， 即或， 解得或． 若函数在（且）上恰好有12个零点， 则， 要使最小，须，恰好为的零点， 故． 可得的最小值为． 18．（本小题满分17分）如图所示，在长方形中，，为的中点，以为折痕，把折起到的位置，且平面平面. (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)在棱上是否存在一点P，使得平面，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【解】（1）根据题意可知，在长方形中，和为等腰直角三角形， ∴， ∴，即. ∵平面平面， 且平面平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴. （2）如图所示，取的中点，连接，则，且. ∵平面平面，且平面平面，平面， ∴平面， ∴. （3）连接交于点，假设在上存在点P，使得平面，连接. ∵平面，平面平面， ∴，∴在中，. ∵，∴， ∴，即， ∴在棱上存在一点P，且， 使得平面. 19．（本小题满分17分）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见也可以表示成的三次多项式． (1)利用上述结论，求的值； (2)化简；并利用此结果求的值； (3)已知方程在上有三个根，记为，求证：. 【解】（1），所以， 因为， 因为，， 即， 因为，解得（舍）. （2） ， 故 ； （3）证明：因为，故可令， 故由可得：． 由题意得：，因，故， 故，或，或， 即方程（*）的三个根分别为，，， 又，故， 于是， . ( 13 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学下学期期末试卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D A D C B D A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD AD AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 13．（答案不唯一） 14． 15． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）根据题意，得到， 所以 （2） （3） ，又因为 16．（本小题满分15分） 【解】（1）， 由正弦定理得， 则， 即 则， 且， ，； （2）由和，可知， 因为， 所以， 又因为， 所以，即， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 所以的面积的最小值为. 17．（本小题满分15分） 【解】（1）的最小正周期为， 又，的最小值为， 的最小正周期是， 故，解得， 当时，， 由， 的对称中心为； 当时，， 由， 的对称中心为， 综上所述，的对称中心为或． （2）函数图象向右平移个单位，得到函数的图象， ，最小正周期， 令，则， 即或， 解得或． 若函数在（且）上恰好有12个零点， 则， 要使最小，须，恰好为的零点， 故． 可得的最小值为． 18．（本小题满分17分） 【解】（1）根据题意可知，在长方形中，和为等腰直角三角形， ∴， ∴，即. ∵平面平面， 且平面平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴. （2）如图所示，取的中点，连接，则，且. ∵平面平面，且平面平面，平面， ∴平面， ∴. （3）连接交于点，假设在上存在点P，使得平面，连接. ∵平面，平面平面， ∴，∴在中，. ∵，∴， ∴，即， ∴在棱上存在一点P，且， 使得平面. 19．（本小题满分17分） 【解】（1），所以， 因为， 因为，， 即， 因为，解得（舍）. （2） ， 故 ； （3）证明：因为，故可令， 故由可得：． 由题意得：，因，故， 故，或，或， 即方程（*）的三个根分别为，，， 又，故， 于是， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2023-2024学年高一数学下学期期末试卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17． （15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2023-2024 学年高一数学下学期期末试卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○………… …… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2023-2024学年高一数学下学期期末试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：（必修第三册+必修第四册）（人教B版2019） 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线上，则（    ） A． B． C． D．2 3．已知向量，满足，，则（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A． B． C． D． 5．在中，内角的对边分别为若满足，则该三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定 6．设是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与异面 D．若，则 7．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．秦九韶（1208年~1268年），字道古，祖籍鲁郡（今河南省范县），出生于普州（今四川安岳县）．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家.1247年秦九韶完成了著作《数书九章》，其中的大衍求一术（一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献．设的三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，秦九韶提出的“三斜求积术”公式为，若，，则由“三斜求积术”公式可得的面积为（    ） A． B． C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若z是非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知函数，如图，图象经过点，，则（    ） A． B． C．是函数的一条对称轴 D．函数在区间上单调递增 11．《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，如图所示，该几何体是上、下底面均为扇环的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．图中的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧AD的长度是弧BC长度的3倍，，则下列说法正确的是（    ）． A．弧AD长度为 B．曲池的体积为 C．曲池的表面积为 D．三棱锥的体积为5 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若向量在上的投影向量为，且与不共线，请写出一个符合条件的向量的坐标 . 13．如图，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东的方向，灯塔在观察站的南偏东的方向，则灯塔与灯塔间的距离为 （）． 14．如图，已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱的长为2，E、F分别为和AC中点，则直线EF与平面所成角的余弦值为 ，异面直线与所成角的余弦值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）如图，在斜坐标系中，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题： (1)若，求； (2)若，求（用表示）； (3)若，求向量的夹角的大小. 16．（本小题满分15分）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角； (2)射线绕点旋转交线段于点，且，求的面积的最小值. 17．（本小题满分15分）已知函数． (1)若，的最小值为，求的对称中心； (2)已知，函数图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在（且）上恰好有12个零点，求的最小值． 18．（本小题满分17分）如图所示，在长方形中，，为的中点，以为折痕，把折起到的位置，且平面平面. (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)在棱上是否存在一点P，使得平面，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 19．（本小题满分17分）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见也可以表示成的三次多项式． (1)利用上述结论，求的值； (2)化简；并利用此结果求的值； (3)已知方程在上有三个根，记为，求证：. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学下学期期末试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：（必修第三册+必修第四册）（人教B版2019） 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线上，则（    ） A． B． C． D．2 3．已知向量，满足，，则（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A． B． C． D． 5．在中，内角的对边分别为若满足，则该三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定 6．设是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与异面 D．若，则 7．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．秦九韶（1208年~1268年），字道古，祖籍鲁郡（今河南省范县），出生于普州（今四川安岳县）．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家.1247年秦九韶完成了著作《数书九章》，其中的大衍求一术（一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献．设的三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，秦九韶提出的“三斜求积术”公式为，若，，则由“三斜求积术”公式可得的面积为（    ） A． B． C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若z是非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知函数，如图，图象经过点，，则（    ） A． B． C．是函数的一条对称轴 D．函数在区间上单调递增 11．《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，如图所示，该几何体是上、下底面均为扇环的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．图中的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧AD的长度是弧BC长度的3倍，，则下列说法正确的是（    ）． A．弧AD长度为 B．曲池的体积为 C．曲池的表面积为 D．三棱锥的体积为5 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若向量在上的投影向量为，且与不共线，请写出一个符合条件的向量的坐标 . 13．如图，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东的方向，灯塔在观察站的南偏东的方向，则灯塔与灯塔间的距离为 （）． 14．如图，已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱的长为2，E、F分别为和AC中点，则直线EF与平面所成角的余弦值为 ，异面直线与所成角的余弦值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）如图，在斜坐标系中，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题： (1)若，求； (2)若，求（用表示）； (3)若，求向量的夹角的大小. 16．（本小题满分15分）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角； (2)射线绕点旋转交线段于点，且，求的面积的最小值. 17．（本小题满分15分）已知函数． (1)若，的最小值为，求的对称中心； (2)已知，函数图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在（且）上恰好有12个零点，求的最小值． 18．（本小题满分17分）如图所示，在长方形中，，为的中点，以为折痕，把折起到的位置，且平面平面. (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)在棱上是否存在一点P，使得平面，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 19．（本小题满分17分）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见也可以表示成的三次多项式． (1)利用上述结论，求的值； (2)化简；并利用此结果求的值； (3)已知方程在上有三个根，记为，求证：. ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$