专题06浙江省各地市七下期末试卷简答题中等题考点分类练习30题【好题汇编】-备战2023-2024学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（浙教版）

专题06 浙江省各地市七下期末试卷简答题中档题考点分类练习30题 一．实数的运算（共1小题） 1．（2023春•嘉兴期末）关于任意实数a，b存在一种新运算“*”，a*b有如下结果： 3*1＝9+1＝10； 3*（﹣2）＝9﹣2＝7； （﹣4）*2＝16+2＝18； （﹣5）*（﹣2）＝25﹣2＝23． 按你发现的规律探索： （1）a*b＝　 　.（用a，b的代数式表示）． （2）当a*b＝b*a（a≠b）成立时，求a，b满足的关系式． 二．代数式求值（共1小题） 2．（2023春•西湖区期末）甲、乙两商场对某商品进行促销，已知甲商场原售价为a元，乙商场原售价为b元． （1）甲商场将该商品降价20%后销售，乙商场将该商品降价2元，若在甲商场花60元能买到的件数，在乙商场需花费70元才能买到，请用含a的代数式表示b； （2）在（1）的条件下，若甲商场降价后的售价为12元，求b的值； （3）若a＝b，甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次降价，降价的百分比如下表所示，其中x≠y． 商场 第一次降价百分比 第二次降价百分比 甲 x y 乙 如果你是消费者，你会选择去哪家商场更划算？请说明理由． 三．完全平方公式的几何背景（共2小题） 3．（2021春•奉化区校级期末）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形． （1）若用不同的方法计算这个边长为（a+b+c）的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 　 　（只要写出一个即可）； （2）请利用（1）中的等式解答下列问题： ①若三个实数a，b，c满足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； ②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z＝，x2+4y2+9z2＝44，求2xy﹣3xz﹣6yz的值． 4．（2023春•金华期末）如图①，长方形ABCD的边长分别为a、b，请认真观察图形，解答下列问题： （1）若用四个完全相同的长方形ABCD拼成如图②的正方形，请写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2， ab之间的一个等量关系式： （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：若．x+y＝7，xy＝6，求x﹣y的值． （3）若将长方形ABCD的各边向外作正方形（如图③），若四个正方形周长之和为32，四个正方形面积之和为20，求出长方形ABCD的面积． 四．平方差公式的几何背景（共1小题） 5．（2023春•拱墅区期末）在一次研究性学习中，同学们对乘法公式进行了研究． （1）如图，大正方形的边长为（a+b），直接写出下列结果． ①中间小正方形的边长； ②用含a，b的等式表示：大正方形面积与小正方形面积的差等于图中一个长方形面积的4倍． （2）当x+y＝6，x﹣y＝﹣4．求x•y的值． （3）若当x﹣2y＝P，xy＝Q时，（x+2y）2的值唯一确定，用含P、Q的代数式表示． 五．整式的混合运算—化简求值（共1小题） 6．（2023春•萧山区期末）（1）化简：（2x+3）2﹣2（2x﹣3）（2x+3）； （2）先化简，再求值：（）÷，其中x的值从，0，2中选取一个． 六．因式分解-分组分解法（共1小题） 7．（2018春•揭阳期末）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），求a+b的值． 七．因式分解的应用（共2小题） 8．（2023春•拱墅区期末）已知多项式①x2﹣2xy，②x2﹣4y2，③x2﹣4xy+4y2． （1）把这三个多项式因式分解； （2）老师问：“三个等式①+②＝③；①+③＝②；②+③＝①能否同时成立？”圆圆同学说：“只有当x＝y＝0 时，三个等式能同时成立，其他x，y的值都不能使之成立．”你认为圆圆同学的说法正确吗？为什么？ 9．（2023春•镇海区校级期末）定义：任意两个数a，b，按规则c＝（a+1）（b+1）运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”． （1）若a＝4，b＝﹣2，求a，b的“和积数”c； （2）若，a2+b2＝8，求a，b的“和积数”c； （3）已知a＝x+1，且a，b的“和积数”c＝x3+4x2+5x+2，求b（用含x的式子表示）并计算a+b的最小值． 八．分式的加减法（共1小题） 10．（2023春•宁波期末）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求知等．请利用整体思想解答下列问题： （1）因式分解：（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1＝　 　； （2）计算：（1﹣2﹣3﹣…﹣2023）×（2+3+…+2024）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2024）×（2+3+…+2023）＝　 　； （3）已知． ①若，求m的值； ②计算：a6+8a﹣2＝　 　． 九．分式的混合运算（共1小题） 11．（2023春•柯桥区期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，M﹣N＝MN，则称分式N是分式M的“互联分式”．如与，因为﹣＝，×＝，所以是的“互联分式”． （1）判断分式与分式是否是“互联分式”，请说明理由； （2）小红在求分式的“互联分式”时，用了以下方法：设的“互联分式”为N，， ∴N＝ ∴， 请你仿照小红的方法求分式的“互联分式”． （3）解决问题：仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数a，b的值，使是的“互联分式”． 一十．分式的化简求值（共1小题） 12．（2023春•杭州期末）（1）先化简，再求值：÷﹣，其中a＝﹣2． （2）已知分式，请在分式①；②中选择一个，并选择一种运算，使它们的运算结果为整式． Ⅰ．我选择 　 　（填序号）； Ⅱ．列式并计算． 一十一．等式的性质（共1小题） 13．（2023春•滨江区期末）已知t＝（a，b是常数，x≠﹣a）．① （1）若a＝﹣2，b＝，求t； （2）试将等式①变形成“Ax＝B”形式，其中A，B表示关于a，b，t的整式； （3）若t的取值与x无关，请说明ab＝﹣1． 一十二．二元一次方程组的应用（共3小题） 14．（2023春•东阳市期末）回力运动鞋专卖店出售A，B，C三种版型的运动鞋，该店某天的销售量（单位：双）记录如下： A B C 合计 上午的销售量 　 　 y 　 　 20 下午的销售量 x 2y 4x 5x+2y 合计 10 3y 　 　 　 　 （1）根据表格信息，补全表格中的划线部分（用含x，y的代数式表示）； （2）已知A型鞋上午销售量是B型鞋上午销售量的两倍，且这一天C型鞋的总销售量比A，B型鞋总销售量少6双． ①求x，y的值； ②已知A型鞋的单价是B型鞋单价的2倍，如果A，B，C三种版型的鞋的上午的总销售额为3000元，那么A型鞋的单价可能为 　 　元．（三种鞋的单价均超过100元，不到115元，单价为整数） 15．（2023春•滨江区期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒． （1）若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？ （2）若仓库里有a张长方形纸板和b张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则a+b应满足什么条件，请说明理由． 16．（2023春•海曙区期末）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．已知如下购买情况： 免洗手消毒液 84消毒液 总花费 第一次购买 40瓶 90瓶 1320 第二次购买 60瓶 120瓶 1860 （1）求每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？ （2）若商场有两种促销方案： 方案一：所有购买商品均打九折； 方案二：每购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液； 学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更省钱？省多少钱？ 一十三．解分式方程（共3小题） 17．（2023春•宁波期末）解方程： （1）， （2）． 18．（2023春•慈溪市期末）解方程（组）： （1）； （2）． 19．（2023春•浦江县期末）对于，同学们展开了探究：当时，该等式成立；当a＝2，b＝1时，该等式成立． （1）当a＝100时，b等于多少时，该等式成立？ （2）要满足该等式，a，b之间有什么永恒关系？请计算说明； （3）拓展应用：如果一分式方程满足，且解是．我们称之为友好方程．请解方程：． 一十四．分式方程的应用（共1小题） 20．（2023春•镇海区校级期末）临近期末，班级想给优秀的学生准备奖品，奖品分为甲套餐与乙套餐，已知购买1个甲套餐比购买1个乙套装少用40元，用450元购买甲套餐和用810元购买乙套餐的个数相同． （1）求这两种套餐的单价分别为多少元； （2）班级计划用1800元经费购进甲套餐与乙套餐两种奖品，要求每种套餐至少购进1种且刚好用完经费，请你设计进货方案． 一十五．平行线的性质（共2小题） 21．（2023春•东阳市期末）如图，点E在BC的延长线上，连结DE，作∠CED的角平分线分别交线段AD， DC于点F，点G，已知AB∥CD，AD∥BC． （1）试说明∠BED＝2∠DFE； （2）若∠B＝105°，∠DFE＝28°，求∠CDE的度数． 22．（2023春•滨江区期末）如图，AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，连结EC，AF．已知∠EAF＝∠ECF． （1）若∠1＝40°，求∠2的度数； （2）判断AF与EC的位置关系，并说明理由； （3）若FA平分∠EFD，试说明EC平分∠BEF． 一十六．平移的性质（共1小题） 23．（2022春•汝阳县期末）如图1，直线CB∥OA，∠A＝∠B＝120°，E，F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF． （1）求∠AOB及∠EOC的度数； （2）如图2，若平行移动AC，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值； 一十七．作图-平移变换（共2小题） 24．（2023春•余姚市期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中． （1）把△ABC进行平移，得到△A′B′C′，使点A与A′对应，请在网格中画出△A′B′C′； （2）线段AA′与线段CC′的关系是　 　． 25．（2023春•金华期末）如图，在10×8的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点，格点△ABC与点D的位置如图所示． （1）平移格点△ABC，画出平移后的格点△DEF（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F）； （2）连接AD，CF，则线段AD与线段CF的关系是 　 　； （3）四边形ADFC的面积为 　 　． 一十八．利用平移设计图案（共1小题） 26．（2023春•金东区期末）如图是正在进行的俄罗斯方块游戏（网格由边长为1个单位长度的小正方形组成），现出现一“T”形方块向下运动． （1）若该“T”形方块向下平移了5个单位长度，请在图中画出平移后的图形（并画上阴影）． （2）为了使所有图案消除，在（1）的平移基础上还需进行怎样的平移？（俄罗斯方块游戏规则：①当方块排列成完整的一行，该行便可消除；②方块在下落过程中，若碰到下方已有的方块便不可移动．） 一十九．频数（率）分布直方图（共3小题） 27．（2023春•镇海区校级期末）为了更好地宣传垃圾分类，某市组织开展垃圾分类知识竞赛．已知竞赛的分数都是整数，现随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作了不完整的统计表和统计图，请根据图表中提供的信息解答问题： 组别 成绩分组 频数 频率 1 47.5～59.5 2 0.05 2 59.5～71.5 4 0.10 3 71.5～83.5 a 0.20 4 83.5～95.5 10 0.25 5 95.5～107.5 b c 6 107.5～120 6 0.15 合计 40 1.00 （1）表格中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）补充完整频数分布直方图； （3）若全市七年级共有120个班（平均每班40人），用这份试卷检测，规定72分及以上都视为及格，及格的百分比为 　 　，108分及以上为优秀，预计全市优秀人数为 　 　． 28．（2023春•仙居县期末）七年级准备从200名同学中挑选身高相差不多的80名同学参加学校举行的广播操表演．为此通过随机抽样的方法收集部分同学的身高数据（单位：cm）如下表所示． 151 154 158 158 159 161 162 168 151 156 158 158 159 161 163 168 153 157 158 159 160 162 163 169 153 157 158 159 160 162 163 170 154 157 158 159 160 162 167 170 （1）本次抽样调查中样本容量为 　 　，样本数据的极差是 　 　． （2）请补全不完整的频数分布直方图（每一组数据包括左端值不包括右端值）． （3）请结合直方图，通过样本估计总体，说明应该挑选身高在什么范围的同学参加广播操表演． 29．（2023春•黄岩区期末）随着科技的发展，诈骗形式越来越多样化．近期，我市出现多起人工智能诈骗案件，且涉案金额颇大．为加强学生的安全反诈骗意识，全市组织了学生参加安全知识竞赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题． 组别 成绩x分 频数 A组 60≤x＜70 a B组 70≤x＜80 8 C组 80≤x＜90 12 D组 90≤x＜100 14 （1）一共抽取了 　 　个参赛学生的成绩，表中a＝　 　； （2）补全频数分布直方图； （3）计算扇形统计图中“B”对应的圆心角度数； （4）若成绩在80分以上的为“优秀”，请估计我市120万学生在本次竞赛中获得“优秀”的人数． 二十．条形统计图（共1小题） 30．（2023秋•盐城期末）某中学七年级数学社团随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查，设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正，答案选项为：A：很少，B：有时，C：常常，D：总是．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如下： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次被抽查的学生有 　 　名； （2）“很少”所占的百分比a＝　 　，“常常”对应扇形的圆心角为 　 　； （3）请你补全条形统计图： （4）若该校有3000名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共有多少名？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 浙江省各地市七下期末试卷简答题中档题考点分类练习30题 一．实数的运算（共1小题） 1．（2023春•嘉兴期末）关于任意实数a，b存在一种新运算“*”，a*b有如下结果： 3*1＝9+1＝10； 3*（﹣2）＝9﹣2＝7； （﹣4）*2＝16+2＝18； （﹣5）*（﹣2）＝25﹣2＝23． 按你发现的规律探索： （1）a*b＝　a2+b　.（用a，b的代数式表示）． （2）当a*b＝b*a（a≠b）成立时，求a，b满足的关系式． 【分析】（1）观察题中所给的等式可得等式右边是等式左边第一个数的平方与第二个数的和，由此可得新定义的结果； （2）根据（1）中的新定义结果，列出关于a，b的关系式进行化简即可． 【解答】解：（1）根据题中的新定义的计算可得：a※b＝a2+b， 故答案为：a*b＝a2+b； （2）根据新定义得： a*b＝b*a， a2+b＝b2+a， a2﹣b2＝a﹣b， （a+b）（a﹣b）＝a﹣b， a+b＝1， ∴a与b的关系式为：a+b＝1． 二．代数式求值（共1小题） 2．（2023春•西湖区期末）甲、乙两商场对某商品进行促销，已知甲商场原售价为a元，乙商场原售价为b元． （1）甲商场将该商品降价20%后销售，乙商场将该商品降价2元，若在甲商场花60元能买到的件数，在乙商场需花费70元才能买到，请用含a的代数式表示b； （2）在（1）的条件下，若甲商场降价后的售价为12元，求b的值； （3）若a＝b，甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次降价，降价的百分比如下表所示，其中x≠y． 商场 第一次降价百分比 第二次降价百分比 甲 x y 乙 如果你是消费者，你会选择去哪家商场更划算？请说明理由． 【分析】（1）根据甲商场花60元能买到的件数，在乙商场需花费70元才能买到，列出式子，即可求解； （2）先求出a的值，代入即可求出b的值； （3）表示出甲、乙商场按原价进行了两次降价后的价格，然后比较大小，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：在甲商场购买的件数为：， 在乙商场购买的件数为：， 整理得：＝， 56a﹣60b＝﹣120， b＝a+2； （2）由题意得：（1﹣20%）a＝12， 解得：a＝15， ∴56a﹣60b＝﹣120， 56×15﹣60b＝﹣120， 解得：b＝16； （3）由题意得：甲商场按原价进行了两次降价后的价格为：a（1﹣x）•（1﹣y）， 乙商场按原价进行了两次降价后的价格为：b（1﹣y）•（1﹣）， b（1﹣）•（1﹣）﹣a（1﹣x）•（1﹣y）， ∵a＝b， ∴原式＝a（1﹣）•（1﹣）﹣a（1﹣x）•（1﹣y） ＝a[1﹣（x+y）+（）2]﹣a（1﹣x﹣y+xy） ＝a[1﹣x﹣y+（）2]﹣a（1﹣x﹣y+xy） ＝a（1﹣x﹣y）+a（）2﹣a（1﹣x﹣y）﹣axy ＝a[（）2﹣xy] ＝a• ＝a•＞0， ∴选择去甲商场更划算． 三．完全平方公式的几何背景（共2小题） 3．（2021春•奉化区校级期末）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形． （1）若用不同的方法计算这个边长为（a+b+c）的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　（只要写出一个即可）； （2）请利用（1）中的等式解答下列问题： ①若三个实数a，b，c满足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； ②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z＝，x2+4y2+9z2＝44，求2xy﹣3xz﹣6yz的值． 【分析】（1）根据图形得出等式即可； （2）①先根据公式进行变形，再代入求出即可； ②先求出x+2y﹣3z＝﹣2，再根据（x+2y﹣3z）2＝x2+4y2+9z2+2（2xy﹣3xz﹣6yz）求出即可． 【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）①∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38， ∴a2+b2+c2 ＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc） ＝112﹣2×38 ＝45； ②∵2x×4y÷8z＝， ∴2x×22y÷23z＝， ∴2x+2y﹣3z＝2﹣2， ∴x+2y﹣3z＝﹣2， ∵（x+2y﹣3z）2＝x2+4y2+9z2+2（2xy﹣3xz﹣6yz），x2+4y2+9z2＝44， ∴（﹣2）2＝44+2（2xy﹣3xz﹣6yz）， ∴2xy﹣3xz﹣6yz＝﹣20． 4．（2023春•金华期末）如图①，长方形ABCD的边长分别为a、b，请认真观察图形，解答下列问题： （1）若用四个完全相同的长方形ABCD拼成如图②的正方形，请写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2， ab之间的一个等量关系式： （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：若．x+y＝7，xy＝6，求x﹣y的值． （3）若将长方形ABCD的各边向外作正方形（如图③），若四个正方形周长之和为32，四个正方形面积之和为20，求出长方形ABCD的面积． 【分析】（1）根据图②中各个部分面积与总面积之间的关系可得答案； （2）利用（1）的结论，进行计算即可； （3）设长方形ABCD的长AB＝m，宽BC＝n，利用四个正方形周长之和为32，四个正方形面积之和为20得，m+n＝4，m2+n2＝10，根据（m+n）2＝m2+n2+2mn求出mn的值即可． 【解答】解：（1）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； 图②中，大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，阴影部分是边长为a﹣b的正方形，因此面积为（a﹣b）2，周围4个长方形的面积和为4ab， 所以有（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （2）∵x+y＝7，xy＝6， ∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝49﹣24＝25， ∴x﹣y＝±5； （3）设长方形ABCD的长AB＝m，宽BC＝n， 由四个正方形周长之和为32，四个正方形面积之和为20得， 4m×2+4n×2＝32，2m2+2n2＝20， 即m+n＝4，m2+n2＝10， 由（m+n）2＝m2+n2+2mn得， mn＝ ＝ ＝3， 即长方形ABCD的面积为3． 四．平方差公式的几何背景（共1小题） 5．（2023春•拱墅区期末）在一次研究性学习中，同学们对乘法公式进行了研究． （1）如图，大正方形的边长为（a+b），直接写出下列结果． ①中间小正方形的边长； ②用含a，b的等式表示：大正方形面积与小正方形面积的差等于图中一个长方形面积的4倍． （2）当x+y＝6，x﹣y＝﹣4．求x•y的值． （3）若当x﹣2y＝P，xy＝Q时，（x+2y）2的值唯一确定，用含P、Q的代数式表示． 【分析】（1）①由拼图可直接得出答案； ②用图形中面积之间的关系可得出结论； （2）利用（1）中的结论可得（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，代入计算即可； （3）用（x+2y）2﹣（x﹣2y）2＝8xy，代入即可得出结论． 【解答】解：（1）①由拼图可知，中间小正方形的边长为a﹣b； ②大正方形的面积为（a+b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，每个小长方形的长为a，宽为b，因此面积为ab， 所以（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， 即大正方形面积与小正方形面积的差等于图中一个长方形面积的4倍； （2）当x+y＝6，x﹣y＝﹣4时， ∵（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy， 即36﹣16＝4xy， ∴xy＝5； （3）由（1）可知，（x+2y）2﹣（x﹣2y）2＝8xy， ∴（x+2y）2﹣P2＝8Q， 即（x+2y）2＝P2+8Q． 五．整式的混合运算—化简求值（共1小题） 6．（2023春•萧山区期末）（1）化简：（2x+3）2﹣2（2x﹣3）（2x+3）； （2）先化简，再求值：（）÷，其中x的值从，0，2中选取一个． 【分析】（1）先展开，再去括号，合并同类项； （2）先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将x＝﹣代入计算即可． 【解答】解：（1）原式＝4x2+12x+9﹣2（4x2﹣9） ＝4x2+12x+9﹣8x2+18 ＝﹣4x2+12x+27； （2）原式＝• ＝ ＝ ＝2x+8； ∵x≠±2，x≠0， ∴当x＝﹣时， 原式＝2×（﹣）+8 ＝﹣3+8 ＝5． 六．因式分解-分组分解法（共1小题） 7．（2018春•揭阳期末）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），求a+b的值． 【分析】直接利用多项式乘法进而得出a，b的值，即可得出答案． 【解答】解：∵甲看错了b，所以a正确， ∵（x+2）（x+4）＝x2+6x+8， ∴a＝6， ∵因为乙看错了a，所以b正确 ∵（x+1）（x+9）＝x2+10x+9， ∴b＝9， ∴a+b＝6+9＝15． 七．因式分解的应用（共2小题） 8．（2023春•拱墅区期末）已知多项式①x2﹣2xy，②x2﹣4y2，③x2﹣4xy+4y2． （1）把这三个多项式因式分解； （2）老师问：“三个等式①+②＝③；①+③＝②；②+③＝①能否同时成立？”圆圆同学说：“只有当x＝y＝0 时，三个等式能同时成立，其他x，y的值都不能使之成立．”你认为圆圆同学的说法正确吗？为什么？ 【分析】（1）利用提公因式法，完全平方公式，平方差公式进行分解即可； （2）由题意列得对应的等式，然后变形后进行因式分解，再结合三个等式同时成立分情况讨论后进行判断即可． 【解答】解：（1）①x2﹣2xy＝x（x﹣2y）， ②x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）， ③x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2； （2）不正确，理由如下： ∵①+③＝②， ∴x（x﹣2y）+（x﹣2y）2＝（x+2y）（x﹣2y）， 即x（x﹣2y）+（x﹣2y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）＝0， 因式分解得：（x﹣2y）（x﹣4y）＝0， ∵①+②＝③， ∴x（x﹣2y）+（x+2y）（x﹣2y）＝（x﹣2y）2， 即x（x﹣2y）+（x+2y）（x﹣2y）﹣（x﹣2y）2＝0， 因式分解得：（x﹣2y）（x+4y）＝0， ∵②+③＝①， ∴（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣2y）2＝x（x﹣2y）， 即（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣2y）2﹣x（x﹣2y）＝0， 因式分解得：x（x﹣2y）＝0， ∵上述三个式子同时成立， ∴x﹣2y＝0或x+4y＝x﹣4y＝x， 则x＝2y或x＝y＝0， 故圆圆同学说法不正确． 9．（2023春•镇海区校级期末）定义：任意两个数a，b，按规则c＝（a+1）（b+1）运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”． （1）若a＝4，b＝﹣2，求a，b的“和积数”c； （2）若，a2+b2＝8，求a，b的“和积数”c； （3）已知a＝x+1，且a，b的“和积数”c＝x3+4x2+5x+2，求b（用含x的式子表示）并计算a+b的最小值． 【分析】（1）依据题意，根据“和积数”的定义，代入数据可以得解； （2）依据题意，根据“和积数”的定义，c＝（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1，又由题意求出a+b＝±3．进而代入数据可以得解； （3）依据题意，根据“和积数”的定义，结合c＝x3+4x2+5x+2＝x3+2x2+2x2+5x+2＝x2（x+2）+（2x+1）（x+2）＝（x+2）（x2+2x+1），再进行分类讨论可以得解． 【解答】解：（1）由题意得，c＝（4+1）（﹣2+1）＝﹣5． 即所求a，b的“和积数”c为﹣5． （2）由题意，c＝（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1． ∵，a2+b2＝8， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝8+1＝9． ∴a+b＝±3． ∴c＝+3+1＝或c＝﹣3+1＝﹣． ∴c＝或c＝﹣． （3）由题意，c＝（a+1）（b+1）， ∵a＝x+1，c＝x3+4x2+5x+2＝x3+2x2+2x2+5x+2＝x2（x+2）+（2x+1）（x+2）＝（x+2）（x2+2x+1）， ∴（x+2）（b+1）＝（x+2）（x2+2x+1）． ①若x＝﹣2，式子（x+2）（b+1）＝（x+2）（x2+2x+1）变为0•（b+1）＝0． ∴b为任何数，a+b不存在最小值． ②若x≠﹣2，又（x+2）（b+1）＝（x+2）（x2+2x+1）， ∴b+1＝x2+2x+1． ∴b＝x2+2x． ∴a+b＝x2+2x+x+2＝x2+2x+x+2＝x2+3x+2＝x2+3x+﹣＝（x+）2﹣． ∴当x＝﹣时，a+b有最小值为﹣． 八．分式的加减法（共1小题） 10．（2023春•宁波期末）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求知等．请利用整体思想解答下列问题： （1）因式分解：（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1＝　（x﹣1）4　； （2）计算：（1﹣2﹣3﹣…﹣2023）×（2+3+…+2024）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2024）×（2+3+…+2023）＝　2024　； （3）已知． ①若，求m的值； ②计算：a6+8a﹣2＝　21　． 【分析】（1）将（x2﹣2x）看成一个整体，令（x2﹣2x）＝y，代入计算即可； （2）将（1﹣2﹣3﹣⋯﹣2021）看成一个整体，令（1﹣2﹣3﹣⋯﹣2021）＝x，将（2+3+⋯+2022）看成一个整体，令（2+3+⋯+2022）＝y，代入计算即可； （3）由已知推出，，①分子分母同除以a2，再化简求解即可；②将原式整理，将代入得到，再整理再代入得到，进一步计算即可求解． 【解答】解：（1）将（x2﹣2x）看成一个整体，令（x2﹣2x）＝y， 则（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1 ＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2 ＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4； 故答案为：（x﹣1）4； （2）将（1﹣2﹣3﹣⋯﹣2023）看成一个整体，令（1﹣2﹣3﹣⋯﹣2023）＝x，将（2+3+⋯+2024）看成一个整体，令（2+3+⋯+2024）＝y， 则（1﹣2﹣3﹣⋅⋅⋅﹣2023）×（2+3+⋅⋅⋅+2024）﹣（1﹣2﹣3﹣⋅⋅⋅﹣2024）×（2+3+⋅⋅⋅+2023） ＝xy﹣（x﹣2024）（y﹣2024）＝2024（x+y﹣2024） ＝2024（1﹣2﹣3﹣⋯﹣2023+2+3+⋯+2024﹣2024） ＝2024； 故答案为：2024； （3）∵， ∴，即， ∴，， ①∵，a2≠0， ∴，即， ∴， ∴m＝﹣15， 经检验，m＝﹣15是方程的解； ② ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝21． 九．分式的混合运算（共1小题） 11．（2023春•柯桥区期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，M﹣N＝MN，则称分式N是分式M的“互联分式”．如与，因为﹣＝，×＝，所以是的“互联分式”． （1）判断分式与分式是否是“互联分式”，请说明理由； （2）小红在求分式的“互联分式”时，用了以下方法：设的“互联分式”为N，， ∴N＝ ∴， 请你仿照小红的方法求分式的“互联分式”． （3）解决问题：仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数a，b的值，使是的“互联分式”． 【分析】（1）计算两个式子的差与两个式子的乘积，然后进行判断； （2）仿照例子进行计算； （3）仔细观察可以发现两个“互联分式”的分子分母之间的关系，根据关系列出二元一次方程组． 【解答】解：（1）与是“互联分式”，理由如下： ∵ ＝ ＝， ， ∴， ∴与是“互联分式”． （2）设的“互联分式”为N， ， ∴， ∴N＝． 的“互联分式”为：． （3）根据题意可得：， 解得：． ∴a＝，b＝． 一十．分式的化简求值（共1小题） 12．（2023春•杭州期末）（1）先化简，再求值：÷﹣，其中a＝﹣2． （2）已知分式，请在分式①；②中选择一个，并选择一种运算，使它们的运算结果为整式． Ⅰ．我选择 　①　（填序号）； Ⅱ．列式并计算． 【分析】（1）根据分式的混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可； （2））Ⅰ．根据题意选择； Ⅱ．根据分式的除法法则计算． 【解答】解：（1）原式＝•﹣ ＝﹣ ＝﹣ ＝， 当a＝﹣2时，原式＝＝； （2）Ⅰ．我选择①， 故答案为：①； Ⅱ.÷ ＝• ＝1﹣x． 一十一．等式的性质（共1小题） 13．（2023春•滨江区期末）已知t＝（a，b是常数，x≠﹣a）．① （1）若a＝﹣2，b＝，求t； （2）试将等式①变形成“Ax＝B”形式，其中A，B表示关于a，b，t的整式； （3）若t的取值与x无关，请说明ab＝﹣1． 【分析】（1）将a＝﹣2，b＝，代入t＝进行计算即可； （2）根据等式的性质，依次进行去分母、去括号、移项、合并同类项即可； （3）由t的取值与x无关可得b＝t，进而得到ta+1＝0，即ab+1＝0，得出结论． 【解答】解：（1）当a＝﹣2，b＝时， t＝＝＝； （2）将t＝两边都乘以（x+a）得， t（x+a）＝bx﹣1， 去括号得，tx+ta＝bx﹣1， 移项得，tx﹣bx＝﹣1﹣ta， 两边都乘以﹣1得，bx﹣tx＝ta+1， 即（b﹣t）x＝ta+1， ∴A＝b﹣t，B＝ta+1； （3）∵t的取值与x无关， ∴b﹣t＝0，即b＝t， ∴ta+1＝0，即ab+1＝0， ∴ab＝﹣1． 一十二．二元一次方程组的应用（共3小题） 14．（2023春•东阳市期末）回力运动鞋专卖店出售A，B，C三种版型的运动鞋，该店某天的销售量（单位：双）记录如下： A B C 合计 上午的销售量 　（10﹣x）　 y 　（10+x﹣y）　 20 下午的销售量 x 2y 4x 5x+2y 合计 10 3y 　（10+5x﹣y）　 　（20+5x+2y）　 （1）根据表格信息，补全表格中的划线部分（用含x，y的代数式表示）； （2）已知A型鞋上午销售量是B型鞋上午销售量的两倍，且这一天C型鞋的总销售量比A，B型鞋总销售量少6双． ①求x，y的值； ②已知A型鞋的单价是B型鞋单价的2倍，如果A，B，C三种版型的鞋的上午的总销售额为3000元，那么A型鞋的单价可能为 　112或101　元．（三种鞋的单价均超过100元，不到115元，单价为整数） 【分析】（1）根据题意，补全表格中的划线部分即可求解； （2）①根据等量关系：A型鞋上午的销售量＝B型鞋下午的销售量；C型鞋的总销售量＝A，B型鞋总销售量﹣6双；依此列出方程组计算即可求解； ②可设B型鞋单价为a元，C型鞋单价为b元，则A型鞋单价为2a元，根据A，B，C三种版型的鞋的上午的总销售额为3000元，列出方程，再根据三种鞋的单价均超过100元，不到250元，单价为整数进行分析即可求解． 【解答】解：（1）填表如下： A B C 合计 上午的销售量 （8﹣x） y （12+x﹣y） 20 下午的销售量 x 2y 4x 5x+2y 合计 8 3y （12+5x﹣y） （20+5x+2y） 故答案为：（10﹣x），（10+x﹣y），（10+5x﹣y），（20+5x﹣2y）； （2）①依题意有：， 解得， ②设B型鞋单价为a元，C型鞋单价为b元，则A型鞋单价为2a元，依题意有： 8×2a+4a+8b＝3000，即5a+2b＝750， 则a＝150﹣b， ∵三种鞋的单价均超过100元，不到115元， ∴b＝105，a＝108； b＝110，a＝106 故B型鞋的单价可能为108或106元． 故答案为：108或106元． 15．（2023春•滨江区期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒． （1）若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？ （2）若仓库里有a张长方形纸板和b张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则a+b应满足什么条件，请说明理由． 【分析】（1）设横式纸盒做x个，竖式纸盒做y个，根据制作的两种纸盒恰好用完300张长方形纸板和100张正方形纸板，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）a+b是5的整数倍，设横式纸盒做m个，竖式纸盒做n个，根据制作的两种纸盒恰好用完a张长方形纸板和b张正方形纸板，可列出关于a，b的二元一次方程组，两方程相加，可得出a+b＝5（m+n），结合m，n均为正整数，即可得出a+b是5的整数倍． 【解答】解：（1）设横式纸盒做x个，竖式纸盒做y个， 根据题意得：， 解得：． 答：横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个； （2）a+b是5的整数倍，理由如下： 设横式纸盒做m个，竖式纸盒做n个， 根据题意得：， ∴a+b＝5（m+n）， 又∵m，n均为正整数， ∴a+b是5的整数倍． 16．（2023春•海曙区期末）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．已知如下购买情况： 免洗手消毒液 84消毒液 总花费 第一次购买 40瓶 90瓶 1320 第二次购买 60瓶 120瓶 1860 （1）求每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？ （2）若商场有两种促销方案： 方案一：所有购买商品均打九折； 方案二：每购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液； 学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更省钱？省多少钱？ 【分析】（1）设每瓶免洗手消毒液的价格是x元，每瓶84消毒液的价格是y元，根据总价＝单价×数量，结合两次购买的数量及总花费，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总价＝单价×数量，结合两种促销方案的优惠政策，即可分别求出选择两个方案所需费用，比较并做差后即可得出结论． 【解答】解：（1）设每瓶免洗手消毒液的价格是x元，每瓶84消毒液的价格是y元， 依题意得：， 解得：． 答：每瓶免洗手消毒液的价格是15元，每瓶84消毒液的价格是8元． （2）选择方案一所需费用为（15×100+8×60）×0.9＝1782（元）， 选择方案二所需费用为15×100+8×（60﹣×2）＝1660（元）． ∵1782＞1660， ∴选择方案二更省钱， 1782﹣1660＝122（元）． 答：学校选用方案二更省钱，省122元钱． 一十三．解分式方程（共3小题） 17．（2023春•宁波期末）解方程： （1）， （2）． 【分析】（1）利用加减消元法进行计算，即可解答； （2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）， ②﹣①得：3y＝3， 解得：y＝1， 把y＝1代入①得：x﹣1＝2， 解得：x＝3， ∴原方程组的解为：； （2）， ﹣4＝2y+y﹣1， 解得：y＝﹣1， 检验：当y＝﹣1时，y﹣1≠0， ∴y＝﹣1是原方程的根． 18．（2023春•慈溪市期末）解方程（组）： （1）； （2）． 【分析】（1）整理后①×2﹣②得出﹣5y＝﹣5，求出y，再把y＝1代入②求出x即可； （2）方程两边都乘2﹣x得出3＝2﹣x﹣（2x﹣3），求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：（1）整理得：， ①×2﹣②，得﹣5y＝﹣5， 解得：y＝1， 把y＝1代入②，得2x﹣3＝1， 解得：x＝2， 所以方程组的解是； （2）， 方程两边都乘2﹣x，得3＝2﹣x﹣（2x﹣3）， 解得 ， 检验：当 时，2﹣x≠0， 所以分式方程的根为． 19．（2023春•浦江县期末）对于，同学们展开了探究：当时，该等式成立；当a＝2，b＝1时，该等式成立． （1）当a＝100时，b等于多少时，该等式成立？ （2）要满足该等式，a，b之间有什么永恒关系？请计算说明； （3）拓展应用：如果一分式方程满足，且解是．我们称之为友好方程．请解方程：． 【分析】（1）把a＝100代入求解即可． （2）直接计算求出a，b的关系式即可． （3）因式分解化简求值即可． 【解答】解：（1）把a＝100代入得 ， 解得． （2）， a2﹣ab＝b， a2＝b（a+1）， ； （3）， ， ， ， 令x﹣3＝y， 上式为：， ， 解得， ∴． 一十四．分式方程的应用（共1小题） 20．（2023春•镇海区校级期末）临近期末，班级想给优秀的学生准备奖品，奖品分为甲套餐与乙套餐，已知购买1个甲套餐比购买1个乙套装少用40元，用450元购买甲套餐和用810元购买乙套餐的个数相同． （1）求这两种套餐的单价分别为多少元； （2）班级计划用1800元经费购进甲套餐与乙套餐两种奖品，要求每种套餐至少购进1种且刚好用完经费，请你设计进货方案． 【分析】（1）设甲种套餐的单价为x元，根据用450元购买甲套餐和用810元购买乙套餐的个数相同得：＝，解方程并检验可得答案； （2）设甲种套餐购进m套，乙种套餐购进n套，可得50m+90n＝1800，求出方程的正整数解即可． 【解答】解：（1）设甲种套餐的单价为x元，则乙种套餐的单价为（x+40）元， 根据题意得：＝， 解得x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解， ∴x+40＝50+40＝90， ∴甲种套餐的单价为50元，乙种套餐的单价为90元； （2）设甲种套餐购进m套，乙种套餐购进n套， 根据题意得50m+90n＝1800， ∴m＝36﹣n， ∵m，n为正整数， ∴或或， ∴有三种进货方案：甲种套餐购进27套，乙种套餐购进5套或甲种套餐购进18套，乙种套餐购进10套或甲种套餐购进9套，乙种套餐购进15套． 一十五．平行线的性质（共2小题） 21．（2023春•东阳市期末）如图，点E在BC的延长线上，连结DE，作∠CED的角平分线分别交线段AD， DC于点F，点G，已知AB∥CD，AD∥BC． （1）试说明∠BED＝2∠DFE； （2）若∠B＝105°，∠DFE＝28°，求∠CDE的度数． 【分析】（1）由角平分线定义得到∠BED＝2∠BEF，由AD∥BC，推出∠DFE＝∠BEF，即可得到∠BED＝2∠DFE； （2）由平行线的性质求出∠DCB＝75°，由三角形外角的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）∵EF平分∠CED， ∴∠BED＝2∠BEF， ∵AD∥BC， ∴∠DFE＝∠BEF， ∴∠BED＝2∠DFE． （2）由（1）知∠BED＝2∠DFE， ∵∠DFE＝28°， ∴∠BED＝56°， ∵AB∥DC， ∴∠B+∠BCD＝180°， ∵∠B＝105°， ∴∠DCB＝75°， ∵∠DCB＝∠BED+∠CDE， ∴∠CDE＝19°． 22．（2023春•滨江区期末）如图，AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，连结EC，AF．已知∠EAF＝∠ECF． （1）若∠1＝40°，求∠2的度数； （2）判断AF与EC的位置关系，并说明理由； （3）若FA平分∠EFD，试说明EC平分∠BEF． 【分析】（1）根据平行线的性质求出关系角的度数，再根据对顶角的性质求出答案； （2）根据平行线的性质和已知条件求出内错角相等两直线平行； （3）根据题2得出的结论求出关系角，推出结论． 【解答】解：（1）∵∠1＝40°， ∴∠AEF＝∠1＝40°， ∵AB∥CD， ∴∠EFC＝∠AEF＝40°， ∴∠2＝∠EFC＝40°． 故答案为：∠2＝40°． （2）AF∥EC， ∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFC， ∵∠EAF＝∠ECF， 在△AEF和△CFE中， ∠AFE＝∠CEF ∴AF∥EC． （3）∵AB∥CD， ∴∠BEF＝∠EFD， ∵FA平分∠EFD， ∴∠AFE＝∠AFD＝∠EFD， ∵AF∥EC， ∴∠AFE＝∠CEF＝∠EFD＝∠BEF， ∴EC平分∠BEF． 一十六．平移的性质（共1小题） 23．（2022春•汝阳县期末）如图1，直线CB∥OA，∠A＝∠B＝120°，E，F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF． （1）求∠AOB及∠EOC的度数； （2）如图2，若平行移动AC，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值； 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BOA＝60°，再利用角平分线的定义得到∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝（∠BOF+∠FOA）＝30°； （2）利用平行线的性质得到∠OCB＝∠COA，∠OFB＝∠FOA，然后利用∠FOC＝∠AOC得到∠COA＝∠FOA，从而得到∠OCB：∠OFB的值． 【解答】解：（1）∵CB∥OA ∴∠BOA+∠B＝180°， ∴∠BOA＝180°﹣120°＝60°， ∵∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF ∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC ＝∠BOF+∠FOA ＝（∠BOF+∠FOA） ＝×60° ＝30°； （2）不变． ∵CB∥OA ∴∠OCB＝∠COA，∠OFB＝∠FOA， ∵∠FOC＝∠AOC ∴∠COA＝∠FOA， 即∠OCB：∠OFB＝1：2． 一十七．作图-平移变换（共2小题） 24．（2023春•余姚市期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中． （1）把△ABC进行平移，得到△A′B′C′，使点A与A′对应，请在网格中画出△A′B′C′； （2）线段AA′与线段CC′的关系是　平行且相等　． 【分析】（1）利用点A和点A′的位置关系确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出B、C的对应点B′、C′即可； （2）根据平移的性质判断． 【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作； （2）线段AA′与线段CC′平行且相等． 故答案为平行且相等． 25．（2023春•金华期末）如图，在10×8的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点，格点△ABC与点D的位置如图所示． （1）平移格点△ABC，画出平移后的格点△DEF（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F）； （2）连接AD，CF，则线段AD与线段CF的关系是 　平行且相等　； （3）四边形ADFC的面积为 　7　． 【分析】（1）点A向右平移4个单位，再向下平移一个单位得到点D，据此平移方式即可作答； （2）根据平移的性质直接作答即可； （3）采用割补法即可求解． 【解答】解：（1）作图如下： △DEF即为所求； （2）如图， 根据平移的性质可知：AD∥FC，AD＝FC， 故答案为：平行且相等； （3）， 故四边形ADFC的面积为7． 故答案为：7． 一十八．利用平移设计图案（共1小题） 26．（2023春•金东区期末）如图是正在进行的俄罗斯方块游戏（网格由边长为1个单位长度的小正方形组成），现出现一“T”形方块向下运动． （1）若该“T”形方块向下平移了5个单位长度，请在图中画出平移后的图形（并画上阴影）． （2）为了使所有图案消除，在（1）的平移基础上还需进行怎样的平移？（俄罗斯方块游戏规则：①当方块排列成完整的一行，该行便可消除；②方块在下落过程中，若碰到下方已有的方块便不可移动．） 【分析】（1）根据平移的性质即可完成作图； （2）根据题意，在（1）的平移基础上还需向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度即可． 【解答】解：（1）如图所示：即为平移后的图形； （2）为了使所有图案消除，在（1）的平移基础上还需向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度． 一十九．频数（率）分布直方图（共3小题） 27．（2023春•镇海区校级期末）为了更好地宣传垃圾分类，某市组织开展垃圾分类知识竞赛．已知竞赛的分数都是整数，现随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作了不完整的统计表和统计图，请根据图表中提供的信息解答问题： 组别 成绩分组 频数 频率 1 47.5～59.5 2 0.05 2 59.5～71.5 4 0.10 3 71.5～83.5 a 0.20 4 83.5～95.5 10 0.25 5 95.5～107.5 b c 6 107.5～120 6 0.15 合计 40 1.00 （1）表格中a＝　8　，b＝　10　，c＝　0.25　； （2）补充完整频数分布直方图； （3）若全市七年级共有120个班（平均每班40人），用这份试卷检测，规定72分及以上都视为及格，及格的百分比为 　85%　，108分及以上为优秀，预计全市优秀人数为 　720人　． 【分析】（1）将40乘以0.2即可求出a；将40减去其他5组频数即可求出b；将1减去其他5组的频率即可求出c； （2）根据频数分布表补全频数分布直方图即可； （3）将72分及以上各组频率相加化成百分数即可求出及格的百分比；将108分及以上的频率乘以总人数即可估计全市优秀人数． 【解答】解：（1）a＝40×0.2＝8， b＝40﹣（2+4+8+10+6）＝10， c＝1﹣（0.05+0.1+0.2+0.25+0.15）＝0.25， 故答案为：8，10，0.25； （2）补全频数分布直方图如下： （3）及格率为：0.2+0.25+0.25+0.15＝0.85＝85%，优秀人数为：0.15×120×40＝720（人）， 故答案为：85%，720人． 28．（2023春•仙居县期末）七年级准备从200名同学中挑选身高相差不多的80名同学参加学校举行的广播操表演．为此通过随机抽样的方法收集部分同学的身高数据（单位：cm）如下表所示． 151 154 158 158 159 161 162 168 151 156 158 158 159 161 163 168 153 157 158 159 160 162 163 169 153 157 158 159 160 162 163 170 154 157 158 159 160 162 167 170 （1）本次抽样调查中样本容量为 　40　，样本数据的极差是 　19　． （2）请补全不完整的频数分布直方图（每一组数据包括左端值不包括右端值）． （3）请结合直方图，通过样本估计总体，说明应该挑选身高在什么范围的同学参加广播操表演． 【分析】（1）根据统计表数据可得样本容量，再根据极差的定义解答即可； （2）用样本容量减去其他三组的频数即可求出“156～161”的频数，进而补全不完整的频数分布直方图； （3）根据统计图数据解答即可． 【解答】解：（1）本次抽样调查中样本容量为40， 样本数据的极差是：170﹣151＝19． 故答案为：40，19； （2）出“156～161”的频数为：40﹣6﹣9﹣6＝19， 补全频数分布直方图如下： （3）由频数分布直方图可知，大部分同学的身高集中在“156～161cm”，所以应该挑选身高“156～161cm”的同学参加广播操表演． 29．（2023春•黄岩区期末）随着科技的发展，诈骗形式越来越多样化．近期，我市出现多起人工智能诈骗案件，且涉案金额颇大．为加强学生的安全反诈骗意识，全市组织了学生参加安全知识竞赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题． 组别 成绩x分 频数 A组 60≤x＜70 a B组 70≤x＜80 8 C组 80≤x＜90 12 D组 90≤x＜100 14 （1）一共抽取了 　40　个参赛学生的成绩，表中a＝　6　； （2）补全频数分布直方图； （3）计算扇形统计图中“B”对应的圆心角度数； （4）若成绩在80分以上的为“优秀”，请估计我市120万学生在本次竞赛中获得“优秀”的人数． 【分析】（1）根据D组的频数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可得a的值； （2）根据（1）中a的值和频数分布表，可以将频数分布直方图补充完整； （3）根据频数分布表中B组的频数和（1）中的结果，可以计算出扇形统计图中“B”对应的圆心角度数； （4）根据频数分布表中的数据，可以计算出该市学生中能获得“优秀”的有多少人． 【解答】解：（1）本次抽取的学生有：14÷35%＝40（名）， a＝40﹣8﹣12﹣14＝6， 故答案为：40，6； （2）由（1）知，a＝6， 补全的频数分布直方图如图所示； （3）360°×＝72°， 即扇形统计图中“B”对应的圆心角度数是72°； （4）120×＝78（万人）， 即该市学生中能获得“优秀”的有78万人． 二十．条形统计图（共1小题） 30．（2023秋•盐城期末）某中学七年级数学社团随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查，设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正，答案选项为：A：很少，B：有时，C：常常，D：总是．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如下： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次被抽查的学生有 　200　名； （2）“很少”所占的百分比a＝　12%　，“常常”对应扇形的圆心角为 　108°　； （3）请你补全条形统计图： （4）若该校有3000名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共有多少名？ 【分析】（1）首先用“有时”对错题进行整理、分析、改正的学生的人数除以22%，求出该调查的样本容量为多少； （2）根据“常常”对应的人数的百分比是30%，求出“常常”对应扇形的圆心角为多少即可； （3）求出常常“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数，补全条形统计图即可； （4）用该校学生的人数乘“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生占的百分率即可． 【解答】解：（1）本次被抽查的学生有：44÷22%＝200（名）， 故答案为：200； （2）很少”所占的百分比a＝×100%＝12%； “常常”对应扇形的圆心角为：360°×30%＝108°． 故答案为：12%；108°； （3）200×30%＝60（名）， 补全条形统计图如下： （3）∵3000×＝1080（名）， ∴“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有1080名． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！32 学科网（北京）股份有限公司 $$