专题05浙江省各地市七下期末试卷选择、填空压轴题考点分类练习60题【好题汇编】-备战2023-2024学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（浙教版）

专题05 浙江省各地市七下期末试卷选择、填空压轴题考点分类练习60题 一．有理数的加法（共1小题） 1．（2023春•嵊州市期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，每一行的三个数，每列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则yx的值为（　　） A．9 B． C．36 D． 二．列代数式（共1小题） 2．（2023春•开化县期末）如图，大长方形中放5张长为a，宽为b的相同的小长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙），若阴影部分面积为74，大长方形的周长为42，则小长方形的面积为 　 　． 三．规律型：数字的变化类（共1小题） 3．（2023春•开化县期末）如图所示的运算程序中，如果开始输入的x的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次轴出的结果为2，…，则第2023次输出的结果为（　　） A． B．2 C． D． 四．规律型：图形的变化类（共1小题） 4．（2023春•柯桥区期末）如图所示：将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3解图中“▱”的个数为a3，…，则的值为 　 　；以此类推，若…，n为正整数，则n的值为 　 　． 五．整式的加减（共4小题） 5．（2023春•嘉兴期末）已知矩形ABCD，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1与图2中阴影部分的周长差为l，若要知道l的值，只需测量（　　） A．a B．b C．BC D．AB 6．（2023春•上虞区期末）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足 　 　． 7．（2023春•金华期末）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B（A≥B），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“快乐分解”．例如，因为528＝22×24，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数”． （1）最小的“如意数”是 　 　； （2）把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即M＝A×B，A与B的和记为P（M），A与B的差记为Q（M），若能被7整除，则M的值为 　 　． 8．（2023春•嵊州市期末）如图1，周长为20的长方形纸片剪成①，②，③，④号正方形和⑤号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为40的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 　 　． 六．同底数幂的乘法（共1小题） 9．（2023春•浦江县期末）规定：若实数x，y，z满足xz＝y，则记作（x，z）＝y． （1）根据题意，（5，w）＝125，则w＝　 　． （2）若记（5，a）＝6，（5，b）＝10，（5，c）＝600．则a，b，c三者之间的关系式是 　 　． 七．幂的乘方与积的乘方（共1小题） 10．（2023春•德清县期末）下列结论中： ①定义运算“⊕”，规定a⊕b＝a（1﹣b），则2⊕（﹣2）＝6； ②若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，则这个分式的值也扩大到原来的3倍； ③若（1﹣x）x+1＝1，则可能x＝﹣1； ④若4x＝a，8y＝b，则22x﹣3y＝． 其中答案正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 八．同底数幂的除法（共1小题） 11．（2023春•金华期末）已知2a＝8b+1，则3a÷27b＝　 　． 九．单项式乘多项式（共1小题） 12．（2023春•海曙区校级期末）已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2023，且a、b、c互不相等，则c2（a+b）﹣2024＝　 　． 一十．多项式乘多项式（共1小题） 13．（2023春•柯桥区期末）若（x+2m）（x﹣3）去括号后不含x的一次项，则m的值为 　 　． 一十一．完全平方公式的几何背景（共2小题） 14．（2023春•苍南县校级期末）如图两个正方形的边长分别为a和b，若a﹣b＝3，ab＝26，那么阴影部分的面积是 　 　． 15．（2019春•鄞州区期末）已知长方形的长、宽分别为x，y，周长为12，面积为4，则x2+y2的值是 　 　． 一十二．整式的混合运算（共2小题） 16．（2023春•苍南县校级期末）如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为11，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则c：b的值为（　　） A． B． C． D． 17．（2022•义乌市模拟）如图是由4张纸片拼成的一个长方形，相邻纸片之间互相不重叠也无缝隙，其中①②是两个面积相等的梯形、③④是正方形，若想求出长方形的面积，则只需知道下列哪个条件（　　） A．①与②的周长之差 B．③的面积 C．①与③的面积之差 D．长方形周长 一十三．因式分解的应用（共4小题） 18．（2023春•金华期末）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：22+32+2×2×3＝25，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有（　　） A．14个 B．15个 C．26个 D．60个 19．（2023春•镇海区校级期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　） A．255054 B．255064 C．250554 D．255024 20．（2023春•吴兴区校级期末）我们在学习代数公式时，可以用几何图形来推理论证．受此启发，在学习因式分解之后，小明同学将图1一张边长的a的正方形纸片剪去2个长为a，宽为b的长方形以及3个边长为b的正方形之后，拼成了如图2所示的长方形．观察图1和图2的阴影部分，请从因式分解的角度，用一个含有a、b等式表示从图1到图2的变化过程 　 　． 21．（2023春•上城区期末）生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等．为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式x3﹣9x分解结果为x（x+3）（x﹣3）．当x＝20时，x+3＝23，x﹣3＝17，此时可得到数字密码202317．将多项式x3+mx2+nx因式分解后，利用题目中所示的方法，当x＝12时可以得到密码121415，则mn＝　 　． 一十四．分式的值（共1小题） 22．（2023春•海曙区校级期末）为整数，符合条件的整数x的个数是（　　） A．1 B．2 C．4 D．5 一十五．分式的加减法（共4小题） 23．（2023春•吴兴区校级期末）新定义：若两个分式A与B的差为n（n为正整数），则称A是B的“n分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（　　） A．是的“3分式” B．若a的值为﹣3，则是的“2分式” C．若是的“1分式”，则a2＝3b2 D．若a与b互为倒数，则是的“5分式” 24．（2023春•金华期末）若p＝++++，则使p最接近的正整数n是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 25．（2023春•柯桥区期末）对于任意的x值都有＝+，则M，N值为（　　） A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4 26．（2023•衡水模拟）已知a＞1，，，，则P、Q、R的大小关系是（　　） A．R＞P＞Q B．P＞Q＞R C．R＞Q＞P D．P＞R＞Q 一十六．负整数指数幂（共1小题） 27．（2020春•江北区期末）已知x＝1+7n，y＝1+7﹣n，则用x表示y的结果正确的是（　　） A． B． C． D．7﹣x 一十七．一元一次方程的应用（共1小题） 28．（2023春•德清县期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图2的方格中填写了一些代数式，若能构成一个广义的三阶幻方，则a+b＝　 　． 一十八．二元一次方程的应用（共1小题） 29．（2023春•嘉兴期末）现有A，B两袋糖果，其中A袋中水果糖的重量占a%，其余都为奶糖，B袋中奶糖的重量占b%，其余都为水果糖．将两袋糖果混合在一起，发现水果糖的重量占总重量的20%． （1）当a＝b＝10时，原来A袋的重量占混合后糖果总重量的百分比为 　 　． （2）当b＝4a（0＜a＜20）时，原来A袋的重量占混合后糖果总重量的百分比为 　 　． 一十九．二元一次方程组的解（共3小题） 30．（2023春•仙居县期末）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m、n的二元一次方程组的解是 　 　． 31．（2023春•杭州期末）已知关于x，y的方程组，下列结论：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；④若用x表示y，则；其中正确的有 　 　．（请填上你认为正确的结论序号） 32．（2023春•江北区校级期末）已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为 　 　． 二十．解二元一次方程组（共1小题） 33．（2023春•镇海区校级期末）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4，若T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8，则下列结论正确的有 　 　． ①a＝1，b＝2； ②若T（m，n）＝0（n≠﹣2），则； ③若T（m，n）＝0，则m、n有且仅有3组整数解； ④若无论k取何值时，T（kx，y）的值均不变，则y＝﹣2； ⑤若T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k＝0． 二十一．由实际问题抽象出二元一次方程组（共2小题） 34．（2023•三台县校级一模）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道“牛马问题”：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何．”其大意为：现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元，则符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 35．（2023春•新昌县期末）我国古代数学著作《算法统宗》里有一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住：如果每一间客房住9人，那么就空出一间房，问共有多少人？多少间客房？设共有x人，y间房，可列方程组为 　 　． 二十二．二元一次方程组的应用（共1小题） 36．（2021春•江干区期末）如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为5小块，除阴影D，E外，其余3块都是正方形，若阴影E周长为8，下列说法中正确的是（　　） ①x的值为4；②若阴影D的周长为6，则正方形A的面积为1；③若大长方形的面积为24，则三个正方形周长的和为24． A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 二十三．解三元一次方程组（共1小题） 37．（2023春•黄岩区期末）已知a，b，c是非负整数，且同时满足a+b+2c＝50，a﹣b﹣c＝10，则a+b﹣4c＝　 　． 二十四．三元一次方程组的应用（共1小题） 38．（2023春•西湖区期末）实验室需要购买A，B，C三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示： 盒子型号 A B C 盒子容量（单位：升） 2 3 4 盒子单价（单位：元） 5 6 9 其中A型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元，现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个． （1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为1，6，2，则购买总费用为 　 　元； （2）若一次性购买所需盒子且购买总费用为58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的总数为 　 　个． 二十五．解分式方程（共3小题） 39．（2021秋•栾城区期末）小颖在解分式方程+2时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小颖猜测一下△处的数应是　 　． 40．（2023春•嵊州市期末）对于实数x，y定义一种新运算“※”：x※，例如：1※2＝＝﹣2，则分式方程﹣1※ 无解时，m的值是 　 　． 41．（2022•义安区模拟）在吉他弹奏中，不同的琴弦长度和绷紧力度会决定不同的音色，比如在相同的力度情况下，运用长度比15：12：10的琴弦时，进行敲击，会发出do、mi、so这三个调和的乐音．从数学角度看，会发现这样一个规律，我们把12、15、10称之为一组调和数，若以下有一组调和数：x、5、3（x＞5），那么x＝　 　． 二十六．解分式方程（共1小题） 42．（2023春•西湖区期末）对于实数x，y（x≠y），定义运算，如：，则方程F（x，1）＝2的解为 　 　． 二十七．分式方程的应用（共1小题） 43．（2023春•诸暨市期末）现有甲，乙，丙三种糖混合而成的什锦糖50千克，其中各种糖的千克数和单价如下表． 甲种糖 乙种糖 丙种糖 千克数 20 10 20 单价（元/千克） 15 20 25 商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，则需再加入丙种糖 　 　千克． 二十八．平行线的判定（共1小题） 44．（2023春•诸暨市期末）如图，下列选项中：①∠1＝∠2；②∠1＝∠3；③∠1＝∠4；④∠2＝∠3；⑤∠2＝∠4；⑥∠3＝∠4，单个选项条件可以说明EF∥GH的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二十九．平行线的性质（共11小题） 45．（2023春•浦江县期末）如图，将对边平行的纸条两次对折．已知∠DEF＝20°，则图3中的∠CFE的度数是（　　） A．140° B．120° C．100° D．160° 46．（2023•昌乐县模拟）某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠（如图）．折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，且，则∠1为（　　） A．106° B．108° C．109° D．110° 47．（2023春•上虞区期末）如图，已知AB∥CD，点E为AB上方一点，FB、HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，若∠E+2∠G＝135°，则∠EFG的度数为（　　） A．85° B．90° C．95° D．100° 48．（2023春•黄岩区期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放．其中含30°角的三角尺ABC固定不动，将含45°角的三角尺DBE绕顶点B顺时针转动（转动角度小于180°）．当DE与三角尺ABC的其中一条边所在的直线互相平行时，∠ABE的度数是（　　） A．15°或45°或60° B．45°或60°或75° C．15°或45°或105° D．60°或75°或105° 49．（2023春•嵊州市期末）如图，AB∥CD，AE平分∠BAN，AE的反向延长线交∠CDN的平分线于点M，则∠M与∠N的数量关系是（　　） A．∠M＝2∠N B．∠M＝3∠N C．∠M+∠N＝180° D．2∠M+∠N＝180° 50．（2023春•西湖区期末）如图，已知 AB∥CD，P为CD下方一点，G，H分别为AB，CD上的点，∠PGB＝α，∠PHD＝β，（α＞β，且α，β均为锐角），∠PGB与∠PHD的角平分线交于点F，GE平分∠PGA，交直线HF于点E，下列结论： ①∠P＝α﹣β； ②2∠E+α＝180°+β； ③若∠CHP﹣∠AGP＝∠E，则∠E＝60°； 其中正确的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 51．（2023春•浦江县期末）已知一对角的两边分别平行．一只角为x°，另一只角是2x°﹣30°．满足题意的x的值是 　 　． 52．（2023春•苍南县校级期末）图1是某折叠式靠背椅的实物图，支撑杆AD，BC可绕连结点O转动，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，GFB段在转动过程中形状保持不变．图2是椅子合拢状态的侧面示意图，椅面CE和靠背FG平行，测得∠BCE＝150°，∠ABO＝70°，则靠背GF与水平地面AB的夹角α＝　 　°．如图3，打开时椅面CE与地面AB平行，延长GF交AB于点I，FI平分∠AFB，若∠FCE+∠FAB＝β+105°，则β＝　 　°． 53．（2023春•金华期末）我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射光线与法线的夹角（反射角）等于入射光线与法线的夹角（入射角）．如图①，EF为一镜面，AO为入射光线，入射点为点O，ON为法线（过入射点O且垂直于镜面EF的直线），OB为反射光线，此时反射角∠BON等于入射角∠AON．现有一激光反光装置，AE、BF是两块可以分别绕A、B两点转动的镜面，O点是激光发射装置．由O点发出的激光照射在点A和点B处，AG、BH是两束反射光线．A、B处于同一水平高度，已知入射光线OA和OB与水平线MN的夹角分别是15°和30°，镜面AE与立杆的夹角∠EAC＝45°，则反射光线AG与水平面夹角∠GAN＝　 　°；通过调节BF的角度，当∠FBD＝　 　°时，反射光线AG和BH平行． 54．（2023春•吴兴区校级期末）如图，一条较长的长方形纸带ABCD，∠BFE＝x°，纸带上有E、F、G、H四个点，将纸带沿EF折叠成图2，沿GH折成图3，交FH于点O，再沿HO折成图4．在图4中，若BF∥DO，则∠GHF＝　 　°．（请用含x的代数式表示） 55．（2023春•新昌县期末）长方形纸带ABCD，沿折痕EF折叠并压平成如图1，再将其左侧图形沿CE折叠并压平成如图2．图2中∠BEF＝18°，则图1中∠AFE的度数是 　 　． 三十．三角形内角和定理（共1小题） 56．（2023春•镇海区期末）如图，直线PQ∥MN，点A在PQ上，△BEF的一条边BE在MN上，且∠FBE＝90°，∠BEF＝30°．现将△BEF绕点B以每秒2°的速度按逆时针方向旋转（E，F的对应点分别是E′，F′），同时，射线AQ绕点A以每秒4°的速度按顺时针方向旋转（Q的对应点是Q′）．设旋转时间为t秒（0≤t≤45°）． （1）∠MBF'＝　 　．（用含t的代数式表示） （2）在旋转的过程中，若射线AQ′与边E′F′平行时，则t的值为 　 　秒． 三十一．矩形的性质（共2小题） 57．（2023春•江北区校级期末）如图①，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝90°，点E、F分别在边AD、BC上，∠1＝20°，如图②，将纸带先沿直线EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿FS折叠一次，使点H落在线段EF上点M的位置，那么∠2的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 58．（2023春•新昌县期末）如图，小明将长方形纸片①剪去两个部分，得到数字“6”（图②），小明将剪去的部分拼成长方形③，图②中数字“6”按图④分割的6个全等的长方形拼成长方形⑤，经过测量和计算，小明发现长方形③与长方形⑤的周长等，则长方形⑤中长与宽的比值是（　　） A．4：1 B．1：4 C．3：2 D．2：3 三十二．轴对称的性质（共1小题） 59．（2023春•金华期末）小明想玩一个折纸游戏，分以下三步进行：第一步，将长方形纸条ABCD向上翻折，记点C、D的对应点分别为C′、D′，折痕为EF，且C′E交AD于点G（如图1）；第二步，将四边形GFD'C′沿GF向下翻折，记C′、D′的对应点分别为C″、D″（如图2）；第三步，将长方形ABCD向下翻折，记A、B的对应点分别为A'、B′，折痕为HM（如图3）． （1）若∠CEF＝20°，则∠EFD″＝　 　度； （2）若∠CFF＝17°，则当A′H∥C″G时，∠EMB′＝　 　度． 三十三．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 60．（2023春•杭州期末）只用圆规来验证纸片的两边是否平行的探究活动中，小明的方法是：在纸片的一边上取线段AB，用圆规在另一边上截取CD，使CD＝AB，如图1．用圆规比较AC和BD的长度，若相同则AB平行CD．小刚的方法是：折叠纸条，使AE和DE重合，交BC于点F，折痕为EG和EH，如图2．用圆规比较EF，GF，FH的长度，若EF＝GF＝FH，则AD平行BC．则正确的是（　　） A．小明的方法正确，小刚的方法错误 B．小明和小刚的方法都正确 C．小明的方法错误，小刚的方法正确 D．小明和小刚的方法都错误 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 浙江省各地市七下期末试卷选择、填空压轴题考点分类练习60题 一．有理数的加法（共1小题） 1．（2023春•嵊州市期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，每一行的三个数，每列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则yx的值为（　　） A．9 B． C．36 D． 【分析】根据题意和表格中的数据，每一行的三个数、每列的三个数的三个数之和都相等列出方程，即可解决问题． 【解答】解：由题意可得， ∴， ∴yx＝（﹣6）﹣2＝． 故选：D． 二．列代数式（共1小题） 2．（2023春•开化县期末）如图，大长方形中放5张长为a，宽为b的相同的小长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙），若阴影部分面积为74，大长方形的周长为42，则小长方形的面积为 　6　． 【分析】根据阴影部分面积为74，可得a2+b2＝37，大长方形的周长为42，可得a+b＝7，然后根据完全平方公式求出2ab，进而可得ab的值，问题得解． 【解答】解：由图可知：大长方形的长为2a+b，宽为a+2b， 阴影部分面积为74，大长方形的周长为42， ∴（2a+b）（a+2b）﹣5ab＝74， 2（2a+b+a+2b）＝42 ∴a2+b2＝37，a+b＝7， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49， ∴2ab＝49﹣（a2+b2）＝12， ∴ab＝6， 即小长方形的面积为6， 故答案为：6 三．规律型：数字的变化类（共1小题） 3．（2023春•开化县期末）如图所示的运算程序中，如果开始输入的x的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次轴出的结果为2，…，则第2023次输出的结果为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】根据题中所给的运算程序输出每次输入和输出的数，观察并找出规律，依此规律进行解答． 【解答】解：由题意可知：第1次输入的x为，输出的结果为； 第2次输入的x为，输出的结果为； 第3次输入的x为2+1＝3，输出的结果为； 第4次输入的x为，输出的结果为； ..． 从第1次输入开始，每3次一个循环， 2023÷3＝674......1，余数为1， ∴第2023次输出的结果为， 故选：C． 四．规律型：图形的变化类（共1小题） 4．（2023春•柯桥区期末）如图所示：将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3解图中“▱”的个数为a3，…，则的值为 　　；以此类推，若…，n为正整数，则n的值为 　4044　． 【分析】先根据已知图形得出an＝n（n+1），代入到方程中，再将左边利用所得规律化简即可． 【解答】解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4， ∴＝++＝2×（1﹣+﹣+﹣）＝2×＝． ∴…可转化为： +++…+＝， 2×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝， 2×＝， n＝4044． 故答案为：，4044． 五．整式的加减（共4小题） 5．（2023春•嘉兴期末）已知矩形ABCD，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1与图2中阴影部分的周长差为l，若要知道l的值，只需测量（　　） A．a B．b C．BC D．AB 【分析】根据周长的定义，列出图1、图2中阴影部分的周长，列出算式l＝（4AB+2BC﹣2b）﹣（2BC+2AB﹣2b）再去括号，合并同类项即可求解． 【解答】图1中阴影部分的周长为：4AB+2（BC﹣b）＝4AB+2BC﹣2b， 图2中阴影部分的周长为：2BC+2（AB﹣b）＝2BC+2AB﹣2b， ∴l＝（4AB+2BC﹣2b）﹣（2BC+2AB﹣2b） ＝4AB+2BC﹣2b﹣2BC﹣2AB+2b ＝2AB， 故若要知道l的值，只要测量图中线段AB的长． 故选：D． 6．（2023春•上虞区期末）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足 　a＝3b　． 【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式． 【解答】解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a， ∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝4b+PC， ∴AE+a＝4b+PC，即AE﹣PC＝4b﹣a， ∴阴影部分面积之差S＝AE•AF﹣PC•CG＝3bAE﹣aPC＝3b（PC+4b﹣a）﹣aPC＝（3b﹣a）PC+12b2﹣3ab， 则3b﹣a＝0，即a＝3b． 故答案为：a＝3b． 7．（2023春•金华期末）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B（A≥B），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“快乐分解”．例如，因为528＝22×24，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数”． （1）最小的“如意数”是 　165　； （2）把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即M＝A×B，A与B的和记为P（M），A与B的差记为Q（M），若能被7整除，则M的值为 　3968　． 【分析】（1）根据“如意数”的定义进行判断即可得； （2）设两位数A和B的十位数字均为m，A的个位数字为n，则B的个位数字为6﹣n，且m为1至9的自然数，从而可得A＝10m+n，B＝10m+6﹣n，再求出，根据A≥B，自然数M的个位数字不为0，以及 Q（M）＝A﹣B＝2n﹣6≠0，可得n为5或者4，然后根据能被7整除分别求出m、n的值，由此即可得． 【解答】解：（1）∵自然数M的个位数字不为0， ∴根据“如意数”的定义可得最小的“如意数”为：M＝11×15＝165， 故答案为：165； （2）由题意，设两位数A和B的十位数字均为m，A的个位数字为n，则B的个位数字为6﹣n，且m为1至9的自然数， ∴A＝10m+n，B＝10m+6﹣n， ∴P（M）＝A+B＝20m+6，Q（M）＝A﹣B＝2n﹣6， ∵A≥B，自然数M的个位数字不为0， ∴n为5、4或者3， ∵Q（M）＝A﹣B＝2n﹣6≠0， ∴n为5或者4， ∴，即的分子时奇数， 当n＝5时，，分子是奇数，分母时偶数，则该数不是整数， 不符合题意，舍去； 当n＝4时，， ∵能被7整除，且m为1至9的自然数， ∴满足条件的整数m只有6， ∴A＝64，B＝62， 即M＝64×62＝3968， 故答案为：3968． 8．（2023春•嵊州市期末）如图1，周长为20的长方形纸片剪成①，②，③，④号正方形和⑤号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为40的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 　35　． 【分析】在图1中，设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y，则③号正方形的边长为x+y，④号正方形的边长为2x+y，根据图1的周长可得x+y＝2.5，在根据图2的周长求得AB+BC＝17.5，进而可求得没有覆盖的阴影部分的周长为2（AB+BC），可得答案． 【解答】解：设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y，则③号正方形的边长为x+y，④号正方形的边长为2x+y． ∵图1长方形的周长为20， ∴y+（x+y）+（x+y）+（2x+y）＝10， 化简得：x+y＝2.5． 如图， 图2中长方形的周长可表示为：（x+y）+AB+BC＝20， ∴AB+BC＝20﹣（x+y）＝20﹣2.5＝17.5． 由图2可知，没有覆盖的部分的周长可表示为：2（AB+BC）＝2×17.5＝35． 故答案为：35． 六．同底数幂的乘法（共1小题） 9．（2023春•浦江县期末）规定：若实数x，y，z满足xz＝y，则记作（x，z）＝y． （1）根据题意，（5，w）＝125，则w＝　3　． （2）若记（5，a）＝6，（5，b）＝10，（5，c）＝600．则a，b，c三者之间的关系式是 　a+2b＝c　． 【分析】（1）根据定义可得5w＝125，由53＝125即可得出w＝3； （2）由600＝6×10×10得5a×5b×5b＝5c，再用同底数幂的乘法公式可求得三者之间满足的关系式． 【解答】解：（1）由定义可知（5，w）＝125即5w＝125， ∵53＝125， ∴w＝3； （2）由定义可知：5a＝6，5b＝10，5c＝600， ∵600＝6×10×10， ∴5a×5b×5b＝5c， ∴5a+2b＝5c， ∴a+2b＝c． 故答案为：3；a+2b＝c． 七．幂的乘方与积的乘方（共1小题） 10．（2023春•德清县期末）下列结论中： ①定义运算“⊕”，规定a⊕b＝a（1﹣b），则2⊕（﹣2）＝6； ②若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，则这个分式的值也扩大到原来的3倍； ③若（1﹣x）x+1＝1，则可能x＝﹣1； ④若4x＝a，8y＝b，则22x﹣3y＝． 其中答案正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【分析】根据有理数的混合运算的法则，分式的基本性质，零指数幂，幂的乘方的法则对各结论进行分析即可． 【解答】解：①2⊕（﹣2）＝2×[1﹣（﹣2）]＝2×3＝6，故①结论正确； ②若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，则这个分式的值不变，故②结论错误； ③∵（1﹣x）x+1＝1， ∴x+1＝0，1﹣x≠0，1﹣x＝1， 解得：x＝﹣1，x≠1，x＝0， 故③结论正确； ④∵4x＝a，8y＝b， ∴22x＝a，23y＝b， ∴22x﹣3y ＝22x÷23y ＝a÷b ＝，故④结论正确． 综上所述，正确的有①③④． 故选：B． 八．同底数幂的除法（共1小题） 11．（2023春•金华期末）已知2a＝8b+1，则3a÷27b＝　27　． 【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则计算，进而得出答案． 【解答】解：∵2a＝8b+1， ∴2a＝23b+3， ∴a＝3b+3， 则a﹣3b＝3， 故3a÷27b＝3a÷33b＝3a﹣3b＝33＝27． 故答案为：27． 九．单项式乘多项式（共1小题） 12．（2023春•海曙区校级期末）已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2023，且a、b、c互不相等，则c2（a+b）﹣2024＝　﹣1　． 【分析】通过已知条件，找到a、b、c的关系：ab+ac＝﹣bc，ac+bc＝﹣ab，abc＝﹣2023，即可获得答案． 【解答】解：∵a2（b+c）＝b2（a+c）， ∴a2b+a2c﹣ab2﹣b2c＝0， ∴ab（a﹣b）+c（a+b）（a﹣b）＝0， ∴（a﹣b）（ab+ac+bc）＝0， ∵a≠b， ∴a﹣b≠0， ∴ab+ac+bc＝0，即ab+ac＝﹣bc，ac+bc＝﹣ab， ∵a2（b+c）＝a（ab+ac）＝2023， ∴a（﹣bc）＝2023， ∴﹣abc＝2023， ∴abc＝﹣2023， ∴c2（a+b）﹣2024＝c（ac+bc）﹣2024＝c（﹣ab）﹣2024＝﹣abc﹣2024＝﹣1． 故答案为：﹣1． 一十．多项式乘多项式（共1小题） 13．（2023春•柯桥区期末）若（x+2m）（x﹣3）去括号后不含x的一次项，则m的值为 　　． 【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含一次项求出m的值即可． 【解答】解：原式＝x2+（2m﹣3）x﹣6m， 由结果不含一次项，得到： 2m﹣3＝0， 解得：m＝． 故答案为：． 一十一．完全平方公式的几何背景（共2小题） 14．（2023春•苍南县校级期末）如图两个正方形的边长分别为a和b，若a﹣b＝3，ab＝26，那么阴影部分的面积是 　35　． 【分析】按照三角形的面积公式表示出阴影面积后，将结果配成完全平方式的形式，再代入已知值即可． 【解答】解：有图得，整个图形面积为：2a•a＝2a2， 上面两个阴影图形面积相等，面积之和为：2•a（a﹣b）＝a2﹣ab， 下面两个阴影图形面积相等，面积之和为：2•b2＝b2， ∴阴影面积：a2﹣ab+b2 ＝（a﹣b）2+ab， ∵a﹣b＝3，ab＝26， ∴原式＝32+26 ＝9+26 ＝35． 故答案为：35． 15．（2019春•鄞州区期末）已知长方形的长、宽分别为x，y，周长为12，面积为4，则x2+y2的值是 　28　． 【分析】根据一个长方形的长、宽分别为x、y，周长为12，面积为4，可以得到x+y的值和xy的值，从而可以得到x2+y2的值． 【解答】解：∵一个长方形的长、宽分别为x，y，周长为12，面积为4， ∴2（x+y）＝12，xy＝4， ∴x+y＝6，xy＝4， ∴x2+y2 ＝（x+y）2﹣2xy ＝62﹣2×4 ＝36﹣8， ＝28 故答案为：28． 一十二．整式的混合运算（共2小题） 16．（2023春•苍南县校级期末）如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为11，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则c：b的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题目中的数据，设大长方形的宽短边长为d，表示出S2，S1，l1，l2，再代入，即可求解． 【解答】解：设大长方形的宽为d， ∴由图2知，d＝b﹣c+a， ∴l1＝2（a+b+c）+（d﹣a）+（d﹣c）+（a﹣b）+（b﹣c）＝2a+2b+2d， S1＝d（a+b+c）﹣a2﹣b2﹣c2， l2＝a+b+c+d+a+c+（a﹣b）+（b﹣c）＝3a+b+c+d， S2＝d（a+b+c）﹣a2﹣b2+bc， ∴S2﹣S1＝bc+c2， l1﹣l2＝b﹣c﹣a+d， ∴bc+c2＝（）2， ∴bc+c2＝（b﹣c）2， ∴3bc＝b2， ∴b＝3c， ∴c：b的值为． 故选：B． 17．（2022•义乌市模拟）如图是由4张纸片拼成的一个长方形，相邻纸片之间互相不重叠也无缝隙，其中①②是两个面积相等的梯形、③④是正方形，若想求出长方形的面积，则只需知道下列哪个条件（　　） A．①与②的周长之差 B．③的面积 C．①与③的面积之差 D．长方形周长 【分析】设正方形边长为a，长方形的宽为a+x，长为2a+y，分别表示出长方形的面积，图形①与②的周长之差，图形③的面积，图形①与③的面积之差，长方形的周长，逐一进行比较即可求得答案． 【解答】解：设正方形边长为a，长方形的宽为a+x，长为2a+y， 则：长方形的面积为（2a+y）（a+x）＝2a2+2ax+ay+xy， ∵①、②是两个面积相等的梯形， ∴（a+x+a）y＝（2a+y+2a）x， ∴xy+2ay＝4ax+xy， ∴y＝2x， ∴长方形的面积为：2a2+2ax+ay+xy＝2a2+2ax+2ax+2x2＝2（a+x）2， 图形①与图形②的周长之差为a+a+x+y﹣（2a+2a+y+x）＝﹣2a， ∴A选项条件不能求出长方形的面积； 图③的面积是a2， ∴B选项条件，不能求出长方形的面积； 图形①与图形③的面积之差为：（a+a+x）y﹣a2＝ay+xy﹣a2＝2ax+x2﹣a2， ∴C选项条件，不能求出长方形的面积； 长方形的周长为：2[（2a+y）+（a+x）]＝6a+6x＝6（a+x）， ∴D选项条件，能求出长方形的面积， 故选：D． 一十三．因式分解的应用（共4小题） 18．（2023春•金华期末）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：22+32+2×2×3＝25，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有（　　） A．14个 B．15个 C．26个 D．60个 【分析】设任取的两个自然数为a，b，根据题意可得“完全数”为（a+b）2，再根据“完全数”小于200且a+b为非负整数即可求出共有15个． 【解答】解：设任取的两个自然数为a，b， 则可得到的“完全数”为：a2+b2+2ab＝（a+b）2， ∵（a+b）2＜200，且a+b为非负整数， ∴a+b可取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14． ∴任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有15个． 故选：B． 19．（2023春•镇海区校级期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　） A．255054 B．255064 C．250554 D．255024 【分析】根据题意，不超过2023的正整数中，“和谐数”有8（32﹣12），16（52﹣32），24（72﹣52），32（92﹣72），40（112﹣92），......，再把它们相加，求出在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数”之和即可． 【解答】解：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，32＝92﹣72，40＝112﹣92，......， ∵8＝8×1，16＝8×2，24＝8×3，32＝8×4，40＝8×5，......， ∴和谐数”都是8的倍数， ∵2023÷8＝252......7， ∴不超过2023的正整数中，最大的“和谐数”是2016（8×252）， ∴在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数”有8，16，24，32，40，......，2008，2016，一共有252个， （8+2016）×252÷2 ＝2024×252÷2 ＝510048÷2 ＝255024． 故选：D． 20．（2023春•吴兴区校级期末）我们在学习代数公式时，可以用几何图形来推理论证．受此启发，在学习因式分解之后，小明同学将图1一张边长的a的正方形纸片剪去2个长为a，宽为b的长方形以及3个边长为b的正方形之后，拼成了如图2所示的长方形．观察图1和图2的阴影部分，请从因式分解的角度，用一个含有a、b等式表示从图1到图2的变化过程 　a2﹣2ab﹣3b2＝（a+b）（a﹣3b）　． 【分析】利用代数式分别表示图1，图2阴影部分面积即可解答． 【解答】解：由题可知，图1阴影部分面积为a2﹣2ab﹣3b2， 图2是长为a+b，宽为a﹣3b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣3b）， ∵两个图形阴影部分面积相等， ∴a2﹣2ab﹣3b2＝（a+b）（a﹣3b）， 故答案为：a2﹣2ab﹣3b2＝（a+b）（a﹣3b）． 21．（2023春•上城区期末）生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等．为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式x3﹣9x分解结果为x（x+3）（x﹣3）．当x＝20时，x+3＝23，x﹣3＝17，此时可得到数字密码202317．将多项式x3+mx2+nx因式分解后，利用题目中所示的方法，当x＝12时可以得到密码121415，则mn＝　30　． 【分析】将x3+mx2+nx分解，根据密码得，分解结果应为x（x+2）（x+3），即x（x2+5x+6），得到对应项m＝5，n＝6，即可解答． 【解答】解：x3+mx2+nx ＝x（x2+mx+n）， ∵当x＝12时得到密码121415， ∴分解结果应为x（x+2）（x+3），即x（x2+5x+6）， ∴m＝5，n＝6， ∴mn＝30． 故答案为：30． 一十四．分式的值（共1小题） 22．（2023春•海曙区校级期末）为整数，符合条件的整数x的个数是（　　） A．1 B．2 C．4 D．5 【分析】当x≥0时，去掉绝对值后利用分离常数法得到，再根据题意可得为整数，由此可得x＝0或x＝4；同理当x＜0时，可得为整数，求出x＝0（舍去）；由此即可得到答案． 【解答】解：当x≥0时， ， ∵为整数， ∴为整数， ∴x+1＝1或x+1＝5， ∴x＝0或x＝4； 当x＜0时， ， ∵为整数， ∴为整数， ∴﹣x+1＝1，﹣x+1＝﹣1 ∴x＝0（舍去）；x＝2（舍去）， 综上所述，x＝0或x＝4； 故选：B． 一十五．分式的加减法（共4小题） 23．（2023春•吴兴区校级期末）新定义：若两个分式A与B的差为n（n为正整数），则称A是B的“n分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（　　） A．是的“3分式” B．若a的值为﹣3，则是的“2分式” C．若是的“1分式”，则a2＝3b2 D．若a与b互为倒数，则是的“5分式” 【分析】根据新定义运算逐个验证正确与否即可． 【解答】解：A、，A说法正确； B、，B说法正确； C、由已知条件得：，化简得：a2＝2b2，C说法错误； D、由已知得：ab＝1，，D说法正确． 故选：C． 24．（2023春•金华期末）若p＝++++，则使p最接近的正整数n是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】先利用“裂项法“对已知分式变形化简，再分别将n取4，5，6和7代入计算，即可得出答案． 【解答】解：∵p＝++++ ＝（﹣+﹣+﹣+﹣+﹣） ＝（﹣） ＝× ＝． ∴当n＝4时，p＝＝； 当n＝5时，p＝＝； 当n＝6时，p＝＝； 当n＝7时，p＝＝． 显然，＜＜＜＜． 故选：A． 25．（2023春•柯桥区期末）对于任意的x值都有＝+，则M，N值为（　　） A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4 【分析】先计算+＝，根据＝+得，解之可得． 【解答】解：+＝＝， ∴， 解得：， 故选：B． 26．（2023•衡水模拟）已知a＞1，，，，则P、Q、R的大小关系是（　　） A．R＞P＞Q B．P＞Q＞R C．R＞Q＞P D．P＞R＞Q 【分析】利用分式的减法的法则进行求解即可． 【解答】解：由题意得：P＞1，Q＜1，R＜1， ∵Q﹣R ＝ ＝ ＝＜0， ∴Q﹣R＜0， ∴Q＜R， ∴P＞R＞Q． 故选：D． 一十六．负整数指数幂（共1小题） 27．（2020春•江北区期末）已知x＝1+7n，y＝1+7﹣n，则用x表示y的结果正确的是（　　） A． B． C． D．7﹣x 【分析】根据x＝1+7n得7n＝x﹣1，根据负整数指数幂的计算法则求出y的表达式即可． 【解答】解：∵x＝1+7n， ∴7n＝x﹣1， ∴y＝1+ ＝1+ ＝， 故选：C． 一十七．一元一次方程的应用（共1小题） 28．（2023春•德清县期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图2的方格中填写了一些代数式，若能构成一个广义的三阶幻方，则a+b＝　﹣6　． 【分析】根据“三阶幻方”的定义列出方程，并解答即可． 【解答】解：根据题意，得a+3＝2﹣2， 解得a＝﹣3； 根据题意，得3﹣2+b﹣4＝2+b﹣4+， 解得b＝﹣3． 经检验b＝﹣3是所列方程的根，且符合题意． 所以a+b＝﹣3﹣3＝﹣6． 故答案为：﹣6． 一十八．二元一次方程的应用（共1小题） 29．（2023春•嘉兴期末）现有A，B两袋糖果，其中A袋中水果糖的重量占a%，其余都为奶糖，B袋中奶糖的重量占b%，其余都为水果糖．将两袋糖果混合在一起，发现水果糖的重量占总重量的20%． （1）当a＝b＝10时，原来A袋的重量占混合后糖果总重量的百分比为 　87.5%　． （2）当b＝4a（0＜a＜20）时，原来A袋的重量占混合后糖果总重量的百分比为 　80%　． 【分析】（1）先设出A和B的重量，然后根据题目中的数据，求出A和B重量的关系，然后即可求得原来A袋的重量占混合后糖果总重量的百分比； （2）先设出A和B的重量，然后根据题目中的数据，求出A和B重量的关系，然后即可求得原来A袋的重量占混合后糖果总重量的百分比． 【解答】解：（1）设A袋糖果的重量为m，B袋糖果的重量为n， 由题意可得：， 当a＝b＝10时，＝20%， 化简，得：m＝7n， ∴原来A袋的重量占混合后糖果总重量的百分比为：×100%＝×100%＝87.5%， 故答案为：87.5%； （2）设A袋糖果的重量为m，B袋糖果的重量为n， 由题意可得：， 当b＝4a（0＜a＜20）时，＝20%， 化简，得：m＝4n， ∴原来A袋的重量占混合后糖果总重量的百分比为：×100%＝×100%＝80%， 故答案为：80%． 一十九．二元一次方程组的解（共3小题） 30．（2023春•仙居县期末）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m、n的二元一次方程组的解是 　　． 【分析】由：∵关于x，y的二元一次方程组的解是，可得出关于（m+n），（m﹣n）的二元一次方程组的解是，解之即可得出结论． 【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是， ∴关于（m+n），（m﹣n）的二元一次方程组的解是， 解得：， ∴关于m、n的二元一次方程组的解是． 故答案为：． 31．（2023春•杭州期末）已知关于x，y的方程组，下列结论：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；④若用x表示y，则；其中正确的有 　①③④　．（请填上你认为正确的结论序号） 【分析】将两个二元一次方程相加可得x+y＝2+a，①令x+y＝0，即可求出a的值，验证即可；②由①得x+y＝0，而x+y＝4+2a，求出a的值，再与a＝1比较得出答案；③解方程组可求出方程组的解，再代入x+2y求值即可；④用含有x、y的代数式表示a，进而得出x、y的关系即可． 【解答】解：关于x，y的二元一次方程组， ①+②得，2x+2y＝4+2a，即x+y＝2+a， ①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时， ∴2+a＝0， ∴a＝﹣2，故①正确； ②原方程组的解满足x+y＝2+a，当a＝1时，x+y＝3，而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，因此②不正确； ③方程组， 解得， ∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3，因此③是正确的； ④方程组，由方程①得， a＝4﹣x﹣3y代入方程②得， x﹣y＝3（4﹣x﹣3y）， 即，因此④是正确的， 故答案为：①③④． 32．（2023春•江北区校级期末）已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为 　　． 【分析】把m+3，n﹣2，看作一个整体根据第一个方程组的解，得出5（m+3）＝5，﹣2（n﹣2）＝3，解出即可． 【解答】解：根据题意可知：5（m+3）＝5，﹣2（n﹣2）＝3， 解得m＝﹣2，n＝， 故答案为：． 二十．解二元一次方程组（共1小题） 33．（2023春•镇海区校级期末）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4，若T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8，则下列结论正确的有 　①②④⑤　． ①a＝1，b＝2； ②若T（m，n）＝0（n≠﹣2），则； ③若T（m，n）＝0，则m、n有且仅有3组整数解； ④若无论k取何值时，T（kx，y）的值均不变，则y＝﹣2； ⑤若T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k＝0． 【分析】①根据已知条件中的新定义列出方程组，解方程组进行判断； ②根据新定义列出关于m，n的等式，进行变形，从而进行判断； ③根据②中关于m，n的等式，找出使T（m，n）＝0的m，n的正整数解进行判断； ④先根据新定义把T（kx，y）写成等式的形式，由无论k取何值时，T（kx，y）的值均不变求出y值，再进行判断； ⑤先根据新定义把T（kx，y）＝T（ky，x）写成等式的形式，由（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，从而求出k值进行判断． 【解答】解：①∵T（x，y）＝axy+bx﹣4，T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8， ∴， 方程组化简为：， ②﹣①得：a＝1， 把a＝1代入①得：b＝2， ∴方程组的解为：， ∴①正确； ②∵T（x，y）＝axy+bx﹣4，T（m，n）＝0（n≠﹣2），a＝1，b＝2， ∴mn+2m﹣4＝0， mn+2m＝4， m（n+2）＝4， ， ∴②正确； ③由②得：， 当n＝2时，m＝1， 当n＝0时，m＝2， 当n＝﹣1时，m＝4， n＝﹣3时，m＝﹣4， 当n＝﹣4时，m＝﹣2， 当n＝﹣6时，m＝﹣1， ∴若T（m，n）＝0，则m、n有且仅有6组整数解， ∴③不正确； ④∵T（x，y）＝axy+bx﹣4，a＝1，b＝2， ∴T（kx，y）＝kxy+2kx﹣4， 若无论k取何值时，T（kx，y）的值均不变，则kxy+2kx＝0， ∴y＝﹣2， ∴④正确； ⑤若T（kx，y）＝T（ky，x），T（x，y）＝axy+bx﹣4，a＝1，b＝2， ∴kxy+2kx﹣4＝kxy+2ky﹣4， 2kx＝2ky， ∴若T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k＝0， ∴⑤正确， 故答案为：①②④⑤． 二十一．由实际问题抽象出二元一次方程组（共2小题） 34．（2023•三台县校级一模）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道“牛马问题”：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何．”其大意为：现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元，则符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，可以列出相应的方程组． 【解答】解：设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元， 由现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱，可得方程2x+y﹣10000＝x， 由一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，可得方程10000﹣（x+2y）＝y， 故可得方程组， 故选：B． 35．（2023春•新昌县期末）我国古代数学著作《算法统宗》里有一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住：如果每一间客房住9人，那么就空出一间房，问共有多少人？多少间客房？设共有x人，y间房，可列方程组为 　　． 【分析】根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可． 【解答】解：根据题意得：， 故答案为：． 二十二．二元一次方程组的应用（共1小题） 36．（2021春•江干区期末）如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为5小块，除阴影D，E外，其余3块都是正方形，若阴影E周长为8，下列说法中正确的是（　　） ①x的值为4；②若阴影D的周长为6，则正方形A的面积为1；③若大长方形的面积为24，则三个正方形周长的和为24． A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，则x＝a+b，y＝b+c，阴影E的长为c，宽为a+b﹣c，阴影D的长为a，宽为b﹣a，由阴影E的周长为8可求解x值判定①；由阴影D周长为6可求解b值，即可求a，进而判定②；由大长方形的面积为24，可求b+c＝6，假设三个正方形的周长为24，可求得a＝0，不成立，故可判定③． 【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c， ∴x＝a+b，y＝b+c， 阴影E的长为c，宽为a+b﹣c， 阴影D的长为a，宽为b﹣a， ∵阴影E的周长为8， ∴2（c+a+b﹣c）＝8， ∴a+b＝4， 即x＝4，故①正确； ∵阴影D周长为6， ∴2（a+b﹣a）＝6， 解得b＝3， ∵a+b＝4， ∴a＝1， 即正方形A的面积为1，故②正确； ∵大长方形的面积为24， ∴xy＝24， ∵x＝4， ∴y＝6， ∴b+c＝6， 假设三个正方形的周长为24， ∴4a+4b+4c＝24， ∴a+b+c＝6， ∴a＝0（不成立）， ∴若大长方形的面积为24，则三个正方形周长的和为24．故③错误， 故选：B． 二十三．解三元一次方程组（共1小题） 37．（2023春•黄岩区期末）已知a，b，c是非负整数，且同时满足a+b+2c＝50，a﹣b﹣c＝10，则a+b﹣4c＝　26或50　． 【分析】将式子整理为a﹣3b﹣3c＝30设为①，式子a+b+2c＝50为②，由②﹣①得4b+5c＝20，当b＝5﹣时，又a，b，c是非负整数，c＝4，b＝0，根据a+b+2c＝50得a＝42，计算得a+b﹣4c＝26，或当c＝4﹣时，b＝5，c＝0，计算得a＝45，则a+b﹣4c＝50． 【解答】解：由式子得：a﹣3b﹣3c＝30①， 设a+b+2c＝50为②， 由②﹣①得：4b+5c＝20， ∴b＝5﹣或c＝4﹣． ∵a，b，c是非负整数， ∴c＝4，b＝0或b＝5，c＝0． ∵a+b+2c＝50． ∴a＝42或a＝45． ∵a＝42，b＝0，c＝4或a＝45，b＝5，c＝0， ∴a+b﹣4c＝42+0﹣16＝26或a+b﹣4c＝45+5﹣0＝50． 故答案为：26或50． 二十四．三元一次方程组的应用（共1小题） 38．（2023春•西湖区期末）实验室需要购买A，B，C三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示： 盒子型号 A B C 盒子容量（单位：升） 2 3 4 盒子单价（单位：元） 5 6 9 其中A型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元，现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个． （1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为1，6，2，则购买总费用为 　59　元； （2）若一次性购买所需盒子且购买总费用为58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的总数为 　10　个． 【分析】（1）根据盒子的个数乘以盒子的单价即可得购买费用； （2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个，根据题意列出方程组，然后求正整数解即可． 【解答】解：（1）购买费用为：1×5+6×6+2×9＝59（元）， 故答案为：59； （2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个， 根据题意得：2x+3y+4z＝28， ①当0＜x＜3时，5x+6y+9z＝58， ∵x，y，z都为正整数， ∴方程组无解； ②当3≤x时，5x+6y+9z﹣4＝58， ∵x，y，z都为正整数， ∴x＝4时，y＝4，z＝2， 综合所述，购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别4，4，2， ∴4+4+2＝10， 故答案为：10． 二十五．解分式方程（共3小题） 39．（2021秋•栾城区期末）小颖在解分式方程+2时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小颖猜测一下△处的数应是　1　． 【分析】由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3，分式方程去分母转化为整式方程，把x＝3代入计算即可求出所求． 【解答】解：去分母得：x﹣2＝△+2（x﹣3）， 由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3， 把x＝3代入整式方程得：△＝1． 故答案为：1． 40．（2023春•嵊州市期末）对于实数x，y定义一种新运算“※”：x※，例如：1※2＝＝﹣2，则分式方程﹣1※ 无解时，m的值是 　0或﹣1　． 【分析】由题意列得分式方程，解方程后根据无解的情况确定m的值即可． 【解答】解：由题意列得方程为＝﹣1， 两边同乘（x﹣1），去分母得：﹣x＝mx﹣（x﹣1）， 去括号得：﹣x＝mx﹣x+1， 移项，合并同类项得：mx＝﹣1， ∵原方程无解， ∴m＝0或﹣﹣1＝0， 则m＝0或m＝﹣1， 综上，m的值为0或﹣1， 故答案为：0或﹣1． 41．（2022•义安区模拟）在吉他弹奏中，不同的琴弦长度和绷紧力度会决定不同的音色，比如在相同的力度情况下，运用长度比15：12：10的琴弦时，进行敲击，会发出do、mi、so这三个调和的乐音．从数学角度看，会发现这样一个规律，我们把12、15、10称之为一组调和数，若以下有一组调和数：x、5、3（x＞5），那么x＝　15　． 【分析】根据题中的新定义列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【解答】解：根据题意得：﹣＝﹣， 去分母得：3x﹣15＝5x﹣3x， 解得：x＝15， 检验：把x＝15代入得：15x≠0， ∴分式方程的解为x＝15． 故答案为：15． 二十六．解分式方程（共1小题） 42．（2023春•西湖区期末）对于实数x，y（x≠y），定义运算，如：，则方程F（x，1）＝2的解为 　无解　． 【分析】根据新定义，可知F（x，1）＝，可得＝2，解分式方程即可． 【解答】解：根据新定义，可知F（x，1）＝， ∴＝2， 解得x＝1， ∴方程F（x，1）＝2的解为x＝1， ∵x≠y， ∴方程无解． 故答案为：无解． 二十七．分式方程的应用（共1小题） 43．（2023春•诸暨市期末）现有甲，乙，丙三种糖混合而成的什锦糖50千克，其中各种糖的千克数和单价如下表． 甲种糖 乙种糖 丙种糖 千克数 20 10 20 单价（元/千克） 15 20 25 商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，则需再加入丙种糖 　12.5　千克． 【分析】设需再加入丙种糖x千克，根据要使什锦糖的单价每千克提高1元，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设需再加入丙种糖x千克， 根据题意得：＝+1， 解得：x＝12.5， 经检验，x＝12.5是所列方程的解，且符合题意， ∴需再加入丙种糖12.5千克． 故答案为：12.5． 二十八．平行线的判定（共1小题） 44．（2023春•诸暨市期末）如图，下列选项中：①∠1＝∠2；②∠1＝∠3；③∠1＝∠4；④∠2＝∠3；⑤∠2＝∠4；⑥∠3＝∠4，单个选项条件可以说明EF∥GH的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD， 故①不符合题意； 由∠1＝∠3，不能判定EF∥GH， 故②不符合题意； 由∠1＝∠4，不能判定EF∥GH， 故③不符合题意； ∵∠2＝∠3， ∴EF∥GH， 故④符合题意； ∵∠2＝∠4， ∴EF∥GH， 故⑤符合题意； 由∠3＝∠4，不能判定EF∥GH， 故⑥不符合题意； 故选：A． 二十九．平行线的性质（共11小题） 45．（2023春•浦江县期末）如图，将对边平行的纸条两次对折．已知∠DEF＝20°，则图3中的∠CFE的度数是（　　） A．140° B．120° C．100° D．160° 【分析】图1中，由题意知∠DEF＝∠EFB＝20°，求出图2中∠BFC＝140°，图3中根据∠CFE＝∠BFC﹣∠EFB求出度数． 【解答】解：图1中，∵长方形对边AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB＝20°， 在图2中，∠BFC＝180°﹣2∠EFG＝140°， 在图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠EFB＝120°． 故选：B． 46．（2023•昌乐县模拟）某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠（如图）．折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，且，则∠1为（　　） A．106° B．108° C．109° D．110° 【分析】根据平行线的性质得出∠EBC+∠BCD＝180°，再根据折叠得出2∠ABE+∠CBE＝180°，进而解答即可． 【解答】解：由折叠可知，2∠ABE+∠CBE＝180°， ∵，∠ABC＝∠ABE+∠CBE， ∴∠ABE＝2∠CBE， ∴4∠CBE+∠CBE＝180°， ∴∠CBE＝36°， ∵BE∥CD， ∴∠BCD＝180°﹣∠CBE＝144°， 由折叠可知，2∠DCE+∠1＝180°， ∵∠BCD＝∠1+∠DCE， ∴2（144°﹣∠1）+∠1＝180°， ∴∠1＝108°， 故选：B． 47．（2023春•上虞区期末）如图，已知AB∥CD，点E为AB上方一点，FB、HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，若∠E+2∠G＝135°，则∠EFG的度数为（　　） A．85° B．90° C．95° D．100° 【分析】如图，过G作GM∥AB，根据平行线的性质可推导出∠FGH＝∠2+∠4，∠ENB＝∠EHD，再根据角平分线的定义和三角形的外角性质推导出∠E+2∠2+∠2﹣∠E＝135°，则∠2＝45°，进而求解即可． 【解答】解：如图，过G作GM∥AB，则∠2＝∠5， ∵AB∥CD， ∴MG∥CD，∠ENB＝∠EHD， ∴∠6＝∠4， ∴∠FGH＝∠5+∠6＝∠2+∠4， ∵FB、HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线， ∴，， ∵∠E+2∠FGH＝135°， ∴∠E+2（∠2+∠4）＝∠E+2∠2+∠EHD＝135°， 即∠E+2∠2+∠ENB＝135°， ∵∠1＝∠ENB+∠E， ∴∠ENB＝∠1﹣∠E＝∠2﹣∠E， ∴∠E+2∠2+∠2﹣∠E＝135°，则∠2＝45°， ∴∠EFG＝2∠2＝90°， 故选：B． 48．（2023春•黄岩区期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放．其中含30°角的三角尺ABC固定不动，将含45°角的三角尺DBE绕顶点B顺时针转动（转动角度小于180°）．当DE与三角尺ABC的其中一条边所在的直线互相平行时，∠ABE的度数是（　　） A．15°或45°或60° B．45°或60°或75° C．15°或45°或105° D．60°或75°或105° 【分析】根据题意可知：在旋转的过程中（转动角度小于180°），DE与△ABC的一边平行，有以下三种情况：①当DE∥AC时，可得BC为∠EBD的平分线，进而可求出∠ABE的度数；②当DE∥AB时，由平行线的性质可得∠ABE的度数，③当DE∥BC时，由平行线的性质得∠CBE＝∠E＝45°，进而可求出∠ABE的度数． 【解答】解：∵△ABC是含有30°角的三角板， ∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∠C＝90°， ∵△DE是含有45°的三角板， ∴∠BED＝∠D＝45°，∠EBD＝90°， ∵在旋转的过程中（转动角度小于180°），DE与△ABC的一边平行， ∴有以下三种情况： ①当DE∥AC时，如图所示： ∵∠C＝90°， ∴AC⊥BC， 又DE∥AC， ∴BC⊥DE， ∵BE＝BD，∠EBD＝90° ∴BC为∠EBD的平分线，即∠EBC＝45°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°﹣45°＝15°； ②当DE∥AB时，如图所示： ∵DE∥AB， ∴∠ABE＝∠E＝45°， ③当DE∥BC时，如图所示： ∵DE∥BC， ∴∠CBE＝∠E＝45°， ∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝60°+45°＝105°． 故选：C． 49．（2023春•嵊州市期末）如图，AB∥CD，AE平分∠BAN，AE的反向延长线交∠CDN的平分线于点M，则∠M与∠N的数量关系是（　　） A．∠M＝2∠N B．∠M＝3∠N C．∠M+∠N＝180° D．2∠M+∠N＝180° 【分析】先利用角平分线的定义得到∠BAE＝∠BAN，∠CDM＝∠CDN，过M作MF∥AB，过N作NH∥AB，再利用平行线的判定与性质得到∠FME＝∠BAE＝∠BAN，∠BAN＝∠ANH，∠FMD＝∠CDM＝∠CDN，∠CDN+∠HND＝180°，经过角度之间的运算得到∠CDN﹣∠BAN＝180°﹣∠AND，∠DMA＝（180°﹣∠AND），即2∠DMA+∠AND＝180°可求解． 【解答】解：∵AE平分∠BAN，DM平分∠CDN， ∴∠BAE＝∠BAN，∠CDM＝∠CDN， 过M作MF∥AB，过N作NH∥AB，则∠FME＝∠BAE＝∠BAN，∠BAN＝∠ANH， ∵AB∥CD， ∴MF∥CD，NH∥CD， ∴∠FMD＝∠CDM＝∠CDN，∠CDN+∠HND＝180°， ∴∠AND＝∠ANH+∠HND＝∠BAN+180°﹣∠CDN， 即∠CDN﹣∠BAN＝180°﹣∠AND， 又∵∠DMA＝∠FMD﹣∠FME＝（∠CDN﹣∠BAN）＝（180°﹣∠AND）， ∴2∠DMA+∠AND＝180°， 即2∠M+∠N＝180°， 故选：D． 50．（2023春•西湖区期末）如图，已知 AB∥CD，P为CD下方一点，G，H分别为AB，CD上的点，∠PGB＝α，∠PHD＝β，（α＞β，且α，β均为锐角），∠PGB与∠PHD的角平分线交于点F，GE平分∠PGA，交直线HF于点E，下列结论： ①∠P＝α﹣β； ②2∠E+α＝180°+β； ③若∠CHP﹣∠AGP＝∠E，则∠E＝60°； 其中正确的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【分析】①设GP与CD相交于点T，GF与CD交于点K，由AB∥CD得∠PTD＝∠PGB＝α，再由三角形的外角定理得∠PTD＝∠P+∠PHD，由此出α＝∠P+β，据此可对结论①进行判断； ②由AB∥CD得，再由三角形的外角定理得，进而得∠F＝1/2（α﹣β），再证∠EGF＝90°，则∠E+∠F＝90°，据此可对结论②进行判断； ③先求出∠CHP﹣∠AGP＝α﹣β，，然后根据已知条件得，据此可求出α﹣β＝60°，进而可求出∠E的度数，于是可对结论③进行判断． 【解答】解：①设GP与CD相交于点T，GF与CD交于点K，如图所示： ∵∠PGB与∠PHD的角平分线交于点F，GE平分∠PGA，∠PGB＝α，∠PHD＝β， ∴，，， ∵AB∥CD， ∴∠PTD＝∠PGB＝α， ∵∠PTD＝∠P+∠PHD， ∴α＝∠P+β， ∴∠P＝α﹣β， ∴结论①正确； ②∵AB∥CD， ∴， 又∵， ∴， 即：， ∵∠AGP+∠PGB＝180°， ∴， 即：∠EGF＝90°， ∴∠E+∠F＝90°， ∴， 整理得：2∠E+α＝180°﹣β， ∴结论②正确； ③∵∠CHP＝180°﹣∠PHD＝180°﹣β，∠AGP＝180°﹣∠PGB＝180°﹣α， ∴∠CHP﹣∠AGP＝α﹣β， 由②可知：， ∴， 又∵∠CHP﹣∠AGP＝∠E， ∴， ∴α﹣β＝60°， ∴， ∴结论③正确． 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：D． 51．（2023春•浦江县期末）已知一对角的两边分别平行．一只角为x°，另一只角是2x°﹣30°．满足题意的x的值是 　30或70　． 【分析】根据“两个角的两边分别平行”得：两个角相等或互补，是解题的关键．根据等量关系，列出方程，即可求解． 【解答】解：∵两个角的两边分别平行， ∴两个角相等或互补， ∴x＝2x﹣30或x+2x﹣30＝180， 解得：x＝30或x＝70， 故答案为：30或70． 52．（2023春•苍南县校级期末）图1是某折叠式靠背椅的实物图，支撑杆AD，BC可绕连结点O转动，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，GFB段在转动过程中形状保持不变．图2是椅子合拢状态的侧面示意图，椅面CE和靠背FG平行，测得∠BCE＝150°，∠ABO＝70°，则靠背GF与水平地面AB的夹角α＝　80　°．如图3，打开时椅面CE与地面AB平行，延长GF交AB于点I，FI平分∠AFB，若∠FCE+∠FAB＝β+105°，则β＝　105　°． 【分析】（1）由平行线的性质得到∠GFC＝∠BCE＝150°，由三角形外角的性质，即可求解； （2）由三角形外角的性质得到∠FAB＝β﹣30°，由平行线的性质，三角形内角和定理，平角定义推出∠FCE＝30°+β，由∠FCE+∠FAB＝β+105°，即可求出β的度数． 【解答】解：如图2， ∵CE∥FG， ∴∠GFC＝∠BCE＝150°， ∵∠GFC＝α+∠ABO， ∴∠α＝∠GFC﹣∠ABO＝150°﹣70°＝80°； 如图3， ∵∠BFG＝150°， ∴∠BFI＝180°﹣∠BFG＝30°， ∵FI平分∠AFB， ∴∠AFI＝∠BFI＝30°， ∵β＝∠FAI+∠AFI， ∴∠FAB＝β﹣30°， ∵∠IFB+β+∠B＝180°， ∴∠B＝180°﹣β﹣30°＝150°﹣β， ∵CE∥AB， ∴∠ECB＝∠B， ∵∠FCE+∠ECB＝180°， ∴∠FCE＝180°﹣∠ECB＝180°﹣（150°﹣β）＝30°+β， ∵∠FCE+∠FAB＝β+105°， ∴30°+β+β﹣30°＝β+105°， ∴β＝105°， 故答案为：80，105． 53．（2023春•金华期末）我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射光线与法线的夹角（反射角）等于入射光线与法线的夹角（入射角）．如图①，EF为一镜面，AO为入射光线，入射点为点O，ON为法线（过入射点O且垂直于镜面EF的直线），OB为反射光线，此时反射角∠BON等于入射角∠AON．现有一激光反光装置，AE、BF是两块可以分别绕A、B两点转动的镜面，O点是激光发射装置．由O点发出的激光照射在点A和点B处，AG、BH是两束反射光线．A、B处于同一水平高度，已知入射光线OA和OB与水平线MN的夹角分别是15°和30°，镜面AE与立杆的夹角∠EAC＝45°，则反射光线AG与水平面夹角∠GAN＝　75　°；通过调节BF的角度，当∠FBD＝　52.5　°时，反射光线AG和BH平行． 【分析】过点A作AP⊥AE，过点B作BQ⊥BF，依题意得∠GAP＝∠OAP，∠HBQ＝∠OBQ，MN∥CD，AC⊥CD，BD⊥CD，则∠CAN＝∠DBN＝90°，再由∠EAC＝45°，得∠EAN＝45°，再根据AP⊥AE可得∠OAP＝30°，进而得∠GAO＝60°，据此可得∠GAN的度数；设∠FBD＝α，则∠FBN＝∠DBN﹣∠FBD＝90°﹣α，进而得∠OBQ＝a﹣30°，则∠HBN＝2α﹣30°，然后根据AG//BH得∠GAN＝∠HBN＝45°，则2α﹣30°＝75°，由此解出α即可得∠FBD的度数． 【解答】解：过点A作AP⊥AE，过点B作BQ⊥BF，如图所示： 根据反射角等于入射角得：∠GAP＝∠OAP，∠HBQ＝∠OBQ， 依题意得：MN∥CD，AC⊥CD，BD⊥CD， ∴AC⊥MN，BD⊥MN， ∴∠CAN＝∠DBN＝90°， ∵∠EAC＝45°， ∴∠EAN＝45°， ∵∠OAN＝15°，AP⊥AE， ∴∠OAP+∠OAN+∠EAN＝∠PAE＝90°， ∴∠OAP+15°+45°＝90°， ∴∠OAP＝30°， ∴∠GAP＝∠OAP＝30°， ∴∠GAO＝2∠OAP＝60°， ∴∠GAN＝∠GAO+∠OAN＝60°+15°＝75°； 设∠FBD＝α，则∠FBN＝∠DBN﹣∠FBD＝90°﹣α， ∵∠OBN＝30°，BQ⊥BF， ∴∠OBQ＝∠QBF﹣∠OBN﹣∠FBN＝90°﹣30°﹣（90°﹣α）＝a﹣30°， ∴∠HBO＝2∠OBQ＝2（α﹣30°）＝2α﹣60°， ∴∠HBN＝∠HBO+∠OBN＝2α﹣60°+30°＝2α﹣30°， 当AG//BH时，∠GAN＝∠HBN＝45°， ∴2α﹣30°＝75°， ∴α＝52.5°． 即∠FBD＝α＝52.5°． 故答案为：75°；52.5°． 54．（2023春•吴兴区校级期末）如图，一条较长的长方形纸带ABCD，∠BFE＝x°，纸带上有E、F、G、H四个点，将纸带沿EF折叠成图2，沿GH折成图3，交FH于点O，再沿HO折成图4．在图4中，若BF∥DO，则∠GHF＝　（90﹣x）　°．（请用含x的代数式表示） 【分析】根据折叠的性质以及平行线的性质列式计算即可求解． 【解答】解：∵∠BFE＝x°， 由折叠的性质得∠BFO＝180°﹣2x°，∠CHO＝180°﹣2∠GHF， ∵BF∥DO，CH∥DO， ∴BF∥CH， ∴∠BFO+∠CHO＝180°，即180°﹣2x°+180°﹣2∠GHF＝180°， ∴∠GHF＝（90﹣x）°， 故答案为：（90﹣x）․ 55．（2023春•新昌县期末）长方形纸带ABCD，沿折痕EF折叠并压平成如图1，再将其左侧图形沿CE折叠并压平成如图2．图2中∠BEF＝18°，则图1中∠AFE的度数是 　66°　． 【分析】先根据∠BEF＝18°得出∠CEF的度数，故可得出∠AEF的度数，由平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：如图2，∵∠BEF＝18°， ∴∠CEF＝＝48°， 如图1， ∴∠BEF＝48°×2+18°＝114°， ∵AF∥BE， ∴∠AFE＝180°﹣∠BEF＝180°﹣114°＝°． 故答案为：66°． 三十．三角形内角和定理（共1小题） 56．（2023春•镇海区期末）如图，直线PQ∥MN，点A在PQ上，△BEF的一条边BE在MN上，且∠FBE＝90°，∠BEF＝30°．现将△BEF绕点B以每秒2°的速度按逆时针方向旋转（E，F的对应点分别是E′，F′），同时，射线AQ绕点A以每秒4°的速度按顺时针方向旋转（Q的对应点是Q′）．设旋转时间为t秒（0≤t≤45°）． （1）∠MBF'＝　（90﹣2t）°　．（用含t的代数式表示） （2）在旋转的过程中，若射线AQ′与边E′F′平行时，则t的值为 　5秒或35秒　秒． 【分析】（1）直接根据速度和时间可得：∠FBF'＝2t°，所以根据余角的定义可得结论； （2）有两种情况：利用数形结合，画图后作辅助线，构建平行线的性质和外角的性质可得结论． 【解答】解：（1）如图1，由题意得：∠FBF'＝t°，∠FBM＝90°， ∴∠MBF'＝90°﹣2t°＝（90﹣2t）°， 故答案为：（90﹣2t）°； （2）①如图2，AQ'∥E'F'， 延长BE'交AQ'于C，则∠F'E'B＝∠ACB＝30°， 由题意得：∠EBE'＝2t°，∠QAQ'＝4t°， ∴2t+4t＝30， t＝5； ②如图3，AQ'∥E'F'， 延长BE'，交PQ于D，交直线AQ'于C，则∠F'E'B＝∠ACD＝30°， 由题意得：∠NBE'＝2t°，∠QAQ'＝4t°， ∴∠ADB＝∠NBE'＝2t°， ∵∠ADB＝∠ACD+∠DAC， ∴30+180﹣4t＝2t， t＝35， 综上，在旋转的过程中，若射线AQ′与边E′F′平行时，则t的值为5秒或35秒； 故答案为：5秒或35秒． 三十一．矩形的性质（共2小题） 57．（2023春•江北区校级期末）如图①，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝90°，点E、F分别在边AD、BC上，∠1＝20°，如图②，将纸带先沿直线EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿FS折叠一次，使点H落在线段EF上点M的位置，那么∠2的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【分析】由折叠性质和平行可得∠EFH＝160°，从而求得∠EFS＝∠EFH＝80，即可求解． 【解答】解：由折叠可得：∠GEF＝∠1＝25°， ∵AD∥BC， ∴FH∥EG． ∴∠GEF+∠EFH＝180°， ∴∠EFH＝160°， ∴∠EFS＝∠EFH＝80°， ∵AD∥BC， ∴∠EFB＝∠1＝20°， ∴∠2＝∠EFS﹣∠EFB＝60°， 故选：D． 58．（2023春•新昌县期末）如图，小明将长方形纸片①剪去两个部分，得到数字“6”（图②），小明将剪去的部分拼成长方形③，图②中数字“6”按图④分割的6个全等的长方形拼成长方形⑤，经过测量和计算，小明发现长方形③与长方形⑤的周长等，则长方形⑤中长与宽的比值是（　　） A．4：1 B．1：4 C．3：2 D．2：3 【分析】设最小的长方形的长为x，宽为y，由长方形③与长方形⑤的周长等，列出方程可求解． 【解答】解：设最小的长方形的长为x，宽为y， 由题意可得：2（6y+x）＝2（x﹣y+x+x﹣y）， 解得：x＝4y， ∴长方形⑤中长与宽的比值＝6y：4y＝3：2， 故选：C． 三十二．轴对称的性质（共1小题） 59．（2023春•金华期末）小明想玩一个折纸游戏，分以下三步进行：第一步，将长方形纸条ABCD向上翻折，记点C、D的对应点分别为C′、D′，折痕为EF，且C′E交AD于点G（如图1）；第二步，将四边形GFD'C′沿GF向下翻折，记C′、D′的对应点分别为C″、D″（如图2）；第三步，将长方形ABCD向下翻折，记A、B的对应点分别为A'、B′，折痕为HM（如图3）． （1）若∠CEF＝20°，则∠EFD″＝　120　度； （2）若∠CFF＝17°，则当A′H∥C″G时，∠EMB′＝　34　度． 【分析】（1）根据翻折前后的两个图形全等，再结合平行线，可求出∠GFD′的度数，即∠GFD′′的度数，最后减去∠GFE的度数即可． （2）同第（1）的方法，可求出∠GFD′′的度数，再由平行线可求得∠FGC′′，最后利用平行线求得∠EMB′的度数． 【解答】解：（1）由翻折可知， ∠C′EF＝∠CEF＝20°． 又D′F∥C′E， ∴∠C′EF+∠D′FE＝180°． ∴∠D′FE＝160°． 又AD∥BC， ∴∠AFE＝∠FEC＝20°， ∴∠GFD′＝160°﹣20°＝140°． 又由第二次翻折， 得∠GFD′′＝∠GFD′＝140°． ∴∠EFD′＝140°﹣20°＝120°． 故答案为：120． （2）过程同第（1）题，可求得∠GFD′＝146°． 又GC′∥FD′， ∴∠GFD′+∠C′GF＝180°． ∴∠C′GF＝34°． 又A′H∥C′′G，AG∥BE． ∴∠GHA′＝∠C′GF＝34°． 同理∠EMB′＝∠GHA′＝34°． 故答案为：34． 三十三．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 60．（2023春•杭州期末）只用圆规来验证纸片的两边是否平行的探究活动中，小明的方法是：在纸片的一边上取线段AB，用圆规在另一边上截取CD，使CD＝AB，如图1．用圆规比较AC和BD的长度，若相同则AB平行CD．小刚的方法是：折叠纸条，使AE和DE重合，交BC于点F，折痕为EG和EH，如图2．用圆规比较EF，GF，FH的长度，若EF＝GF＝FH，则AD平行BC．则正确的是（　　） A．小明的方法正确，小刚的方法错误 B．小明和小刚的方法都正确 C．小明的方法错误，小刚的方法正确 D．小明和小刚的方法都错误 【分析】在图1中，连结BC，可证明△ABC≌△DCB，得∠ABC＝∠DCB，所以AB∥CD，可知小明的方法正确；在图2中，由EF＝GF，得∠FGE＝∠FEG，由折叠得∠AEG＝∠FEG，则∠AEG＝∠FGE，所以AD∥BC，可知小刚的方法正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图1，连结BC， 在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SSS）， ∴∠ABC＝∠DCB， ∴AB∥CD， ∴小明的方法正确； 如图2，∵EF＝GF， ∴∠FGE＝∠FEG， 由折叠得∠AEG＝∠FEG， ∴∠AEG＝∠FGE， ∴AD∥BC， ∴小刚的方法正确， 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！45 学科网（北京）股份有限公司 $$