第二章　第4课时　专题强化：动态平衡和临界、极值问题-2025年物理大一轮复习讲义

第二章 相互作用 第4课时　专题强化：动态平衡和临界、极值问题 学习目标 1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题。 2.会分析平衡中的临界与极值问题。 考点01　动态平衡问题 分析动态平衡问题的流程 动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。 受力分析画不同状态下的受力平衡图构造矢量三角形 [典例1·对图解法的考查](多选)一盏电灯重力为G，悬于天花板上的B点，在电线O处系一细线OA，使电线OB与竖直方向的夹角为β＝30°，OA与水平方向成α角，如图所示．现保持O点位置不变，使α角由0°缓慢增加到90°，在此过程中(　　) A．电线OB上的拉力逐渐减小 B．细线OA上的拉力先减小后增大 C．细线OA上拉力的最小值为G D．细线OA上拉力的最小值为G [拓展训练]如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有一光滑挡板A，在挡板和斜面之间夹一质量为m的重球B，开始板A处于竖直位置，现使其下端绕O沿逆时针方向缓缓转至水平位置，重球B对斜面和对挡板压力的变化情况是(　　) A．对斜面的压力逐渐减小，对挡板的压力也逐渐减小 B．对斜面的压力逐渐增大，对挡板的压力则逐渐减小 C．对斜面的压力逐渐减小，对挡板的压力先减小后增大 D．对斜面的压力逐渐减小，对挡板的压力先增大后减小 [典例2·对解析法的考查](多选)(2023·湖南岳阳市十四中高三检测)如图所示，水平面和竖直面构成的垂直墙角处有一个截面为半圆的光滑柱体，用细线拉住的小球静止靠在半圆柱体的P点(P点靠近底端)．通过细线将小球从P点缓慢向上拉至半圆柱体的最高点，细线方向始终保持与半圆相切．此过程中(　　) A．细线对小球的拉力逐渐减小 B．圆柱体对小球的支持力逐渐减小 C．水平地面对圆柱体的支持力逐渐减小 D．圆柱体对竖直墙面的压力先增大后减小 [拓展训练]如图所示，一光滑小球静止放置在固定的光滑半球面底端，用竖直放置的光滑挡板水平向右缓慢推动小球，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面)，挡板对小球的推力F1、半球面对小球的支持力F2的变化情况正确的是(　　) A．F1增大，F2增大 B．F1减小，F2减小 C．F1增大，F2减小 D．F1减小，F2增大 [典例3·对相似三角形法的考查]如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上．开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°(不计一切阻力)．在此过程中，杆BC所产生的弹力(　　) A．大小不变 B．逐渐增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大 [拓展训练]如图所示，轻杆A端用铰链固定在竖直墙上，B端吊一重物．通过轻绳跨过定滑轮O用拉力F将B端缓慢上拉，滑轮O在A点正上方(滑轮大小及摩擦均不计)，且OA＞AB，在轻杆达到竖直位置前(　　) A．拉力F增大 B．拉力F大小不变 C．轻杆的弹力增大 D．轻杆的弹力大小不变 [典例4·对正弦定理法的考查](2024·河北·测试)如图，轻杆的一端紧固一光滑球体，杆的另一端O为自由转动轴，而球又搁置在光滑斜面上，若杆与墙面的夹角为β，下面倾角为α，开始时轻杆与竖直方向的夹角β＜α，且α+β＜90°，则为使斜面能在光滑地面上向右做匀速直线运动，在球体离开斜面之前，作用于斜面上的水平外力F的大小及轻杆受力T的大小变化情况是(　　) A．F逐渐增大，T逐渐减小 B．F逐渐减小，T逐渐增大 C．F逐渐增大，T先减小后增大 D．F逐渐减小，T先减小后增大 [拓展训练](2023·四川德阳·二模)新疆是我国最大的产棉区，自动采棉机能够在采摘棉花的同时将棉花打包成圆柱形棉包，通过采棉机后侧可以旋转的支架平稳将其放下。放下棉包的过程可以简化为如图所示模型，质量为m的棉包放在“V”型挡板上，两板间夹角为120°固定不变，“V”型挡板可绕P轴在竖直面内转动，在使BP板由水平位置逆时针缓慢转动60°的过程中，忽略"V"型挡板对棉包的摩擦力，已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．当BP板转过30°时，棉包对AP板的作用力大小为 B．当BP板转过30°时，棉包对AP板的作用力大小为mg C．当BP板转过60°时，棉包受到三个力的作用 D．棉包对AP板的压力先增大后减小 [典例5·对辅助圆法的考查](多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　) A．MN上的张力逐渐增大 B．MN上的张力先增大后减小 C．OM上的张力逐渐增大 D．OM上的张力先增大后减小 [拓展训练](多选)(2023·安徽安庆市三模)如图所示，把倾角为30°的粗糙斜面体C置于粗糙水平地面上，质量为2m的物块A通过跨过光滑轻定滑轮的轻绳与质量为m的小球B连接，O点为轻绳与定滑轮的接触点，初始时，小球B在水平向右的拉力F作用下，使轻绳OB段与水平拉力F的夹角为θ＝120°，A、B均保持静止状态。现改变拉力F，并保持夹角θ大小不变，将小球B向右上方缓慢拉起至OB水平，物块A始终保持静止状态。g为重力加速度，下列关于该过程的说法正确的是(　　) A．拉力F一直变大 B．拉力F最小为mg C．斜面体C所受地面摩擦力一直变小 D．斜面体C所受地面摩擦力先变小后变大 考点02　平衡中的临界、极值问题 一、临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等．临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力． (2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0. (3)刚好离开接触面，支持力FN＝0. 二、极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题． 三、解题方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小． (2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)． (3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值． [典例6·对平衡中的临界、极值问题的考查](2023·河南洛阳市期末)如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角θ＝60°，光滑球体的质量为m，支架的质量为2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为(　　) A. B. C. D. [拓展训练](2020·山东卷·8)如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行．A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为(　　) A. B. C. D. 课时作业练 基础对点练 1.如图所示，用轻绳将重球挂在竖直墙上，不考虑墙的摩擦，如果把绳的长度增加一些，则球对绳的拉力F1和球对墙的压力F2的变化情况是(　　) A．F1增大，F2减小 B．F1减小，F2增大 C．F1和F2都减小 D．F1和F2都增大 2.(2023·湖南长沙·期末)如图所示，可视为质点的小球拴接了轻质弹簧和细线，并在它们的作用下保持静止．轻质弹簧与竖直方向有一定夹角，细线处于水平状态．现保持弹簧与竖直方向夹角不变，将轻质细线由水平状态缓慢转至竖直状态，则(　　) A．弹簧的长度逐渐变长 B．弹簧的长度逐渐变短 C．细线上的拉力逐渐增大 D．细线上的拉力逐渐减小 3.如图所示是给墙壁粉刷涂料用的涂料滚的示意图，使用时，用撑杆推着粘有涂料的涂料滚沿墙上下缓慢滚动，把涂料均匀地粉刷到墙上，撑杆的重力和墙壁的摩擦均不计，且撑杆足够长，粉刷工人站在离墙壁一定距离处缓缓向上推涂料滚，设该过程中撑杆对涂料滚的推力为F1，涂料滚对墙壁的压力为F2，则(　　) A．F1增大，F2减小 B．F1增大，F2增大 C．F1减小，F2减小 D．F1减小，F2增大 4.(多选)如图所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B球用长为L的细绳悬挂于O点，A球固定在O点正下方，当小球B平衡时，细绳所受的拉力为FT1，弹簧的弹力为F1；现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2(k2＞k1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时细绳所受的拉力为FT2，弹簧的弹力为F2.则下列关于FT1与FT2、F1与F2大小的比较，正确的是(　　) A．FT1＞FT2 B．FT1＝FT2 C．F1＜F2 D．F1＝F2 5.如图所示，在水平放置的木棒上的M、N两点，系着一根不可伸长的柔软轻绳，绳上套有一光滑小金属环．现将木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度，则关于轻绳对M、N两点的拉力F1、F2的变化情况，下列判断正确的是(　　) A．F1和F2都变大 B．F1变大，F2变小 C．F1和F2都变小 D．F1变小，F2变大 6.(2024·重庆市渝中区期中)如图甲所示，用瓦片做屋顶是我国建筑的特色之一。铺设瓦片时，屋顶结构可简化为图乙所示，建筑工人将瓦片轻放在两根相互平行的檩条正中间，若瓦片能始终静止在檩条上。已知檩条与水平面夹角均为θ，瓦片质量为m，檩条间距离为d，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．瓦片共受到4个力的作用 B．檩条对瓦片作用力方向垂直檩条向上 C．缓慢减小檩条的倾斜角度θ时，瓦片与檩条间的摩擦力变大 D．缓慢增大檩条间的距离d时，两根檩条对瓦片的弹力都增大 7.(多选)如图所示，某工厂将圆柱形工件a放在倾角为θ的斜面上，为防止工件滚动，在其下方垫一段半径与a相同的半圆柱体b.若逐渐减小斜面倾角，a、b始终处于静止状态，不计a与接触面的摩擦，b的质量很小．则(　　) A．斜面对a的弹力变大 B．斜面对a的弹力先变大后变小 C．b对a的弹力逐渐变小 D．b对a的弹力不变 8.(2024·重庆市七校开学考)小李发现小区的消防通道被一质量为m的石墩挡住了，为了移开石墩小李找来一根结实的绳子，将绳的一端系在石墩上，双手紧握绳的另一端用力斜向上拖拽石墩。设绳子与水平方向的夹角为θ，小李对绳施加的最大拉力为0.6mg，g为重力加速度，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是(　　) A．无论θ取何值，小李都不可能拖动石墩 B．小李能拖动石墩，且当θ＝时最省力 C．小李能拖动石墩，且当θ＝时最省力 D．小李能拖动石墩，且当θ＝时最省力 9.(多选)如图，倾角为30°的斜面体放置于粗糙水平地面上，物块A通过跨过光滑定滑轮的柔软轻绳与小球B连接，O点为轻绳与定滑轮的接触点．初始时，小球B在水平向右的拉力F作用下，使轻绳OB段与水平拉力F的夹角θ＝120°，整个系统处于静止状态．现将小球向右上方缓慢拉起，并保持夹角θ不变，从初始到轻绳OB段水平的过程中，斜面体与物块A均保持静止不动，则在此过程中(　　) A．拉力F逐渐增大 B．轻绳上的张力先增大后减小 C．地面对斜面体的支持力逐渐增大 D．地面对斜面体的摩擦力先增大后减小 10.(2021·湖南卷·5)质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点．凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为m的小滑块．用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是(　　) A．推力F先增大后减小 B．凹槽对滑块的支持力先减小后增大 C．墙面对凹槽的压力先增大后减小 D．水平地面对凹槽的支持力先减小后增大 能力提升练 11.如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一重物G.现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近(C点与A点等高)．则在此过程中绳中拉力大小(　　) A．先变大后不变 B．先变大后变小 C．先变小后不变 D．先变小后变大 12.质量为M的木楔在水平面上保持静止，斜面倾角为θ，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，木块正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块匀速上升，如图所示(已知木楔在整个过程中始终静止，重力加速度为g)。求： (1)当α变化时，拉力F的最小值； (2)F取最小值时，木楔对水平面的摩擦力大小。 尖子选拔练 13.(多选)如图，表面粗糙的楔形物块A静置在水平地面上，斜面上有小物块B，用平行于斜面的力F拉B，使之沿斜面匀速上滑．现逆时针缓慢旋转该力至图中虚线位置，并保证在旋转该力过程中物块B一直处于匀速上滑状态，且在B运动的过程中，楔形物块A始终保持静止．则在力F旋转的过程中，下列关于各力变化的说法正确的是(　　) A．F可能一直减小 B．物块B受到的摩擦力可能不变 C．物块对斜面的作用力一定减小 D．地面受到的摩擦力大小可能不变 ( 1 ) $$ 第二章 相互作用 第4课时　专题强化：动态平衡和临界、极值问题 学习目标 1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题。 2.会分析平衡中的临界与极值问题。 考点01　动态平衡问题 分析动态平衡问题的流程 动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。 受力分析画不同状态下的受力平衡图构造矢量三角形 [典例1·对图解法的考查](多选)一盏电灯重力为G，悬于天花板上的B点，在电线O处系一细线OA，使电线OB与竖直方向的夹角为β＝30°，OA与水平方向成α角，如图所示．现保持O点位置不变，使α角由0°缓慢增加到90°，在此过程中(　　) A．电线OB上的拉力逐渐减小 B．细线OA上的拉力先减小后增大 C．细线OA上拉力的最小值为G D．细线OA上拉力的最小值为G 答案　ABC 解析　对结点O受力分析，由平衡条件可知，细线OA和电线OB的拉力的合力F′一定竖直向上，与FT平衡．当α角由0°缓慢增加到90°的过程中，画出动态分析图如图所示．由图可看出，细线OA上的拉力先减小后增大，且当α＝30°时，FA最小，最小值为，而电线OB上的拉力逐渐减小，故A、B、C正确，D错误． [拓展训练]如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有一光滑挡板A，在挡板和斜面之间夹一质量为m的重球B，开始板A处于竖直位置，现使其下端绕O沿逆时针方向缓缓转至水平位置，重球B对斜面和对挡板压力的变化情况是(　　) A．对斜面的压力逐渐减小，对挡板的压力也逐渐减小 B．对斜面的压力逐渐增大，对挡板的压力则逐渐减小 C．对斜面的压力逐渐减小，对挡板的压力先减小后增大 D．对斜面的压力逐渐减小，对挡板的压力先增大后减小 答案　C 解析　分析球的受力，受到重力mg、挡板对球的弹力FA及斜面对球的支持力FB，如图所示，球处于静止状态，弹力FA与FB的合力F的大小等于重力大小，方向竖直向上．当挡板下端绕O沿逆时针方向缓慢转至水平位置的过程中，可以看出表示弹力FA的边的长度先变小后变大，即弹力FA先减小后增大；表示支持力FB的边的长度一直变小，说明FB一直减小．由牛顿第三定律可知，球对挡板的压力先减小后增大，对斜面的压力逐渐减小．选项C正确． [典例2·对解析法的考查](多选)(2023·湖南岳阳市十四中高三检测)如图所示，水平面和竖直面构成的垂直墙角处有一个截面为半圆的光滑柱体，用细线拉住的小球静止靠在半圆柱体的P点(P点靠近底端)．通过细线将小球从P点缓慢向上拉至半圆柱体的最高点，细线方向始终保持与半圆相切．此过程中(　　) A．细线对小球的拉力逐渐减小 B．圆柱体对小球的支持力逐渐减小 C．水平地面对圆柱体的支持力逐渐减小 D．圆柱体对竖直墙面的压力先增大后减小 答案　AD 解析　对小球进行受力分析，如图所示 根据平衡条件有FN1＝mgcos θ，FT＝mgsin θ，当细线将小球从P点缓慢向上拉至半圆柱体的最高点过程中，θ逐渐减小，则细线对小球的拉力FT逐渐减小，圆柱体对小球的支持力FN1逐渐增大，A正确，B错误；对圆柱体与小球整体分析，如图所示，根据平衡条件有FN3＝FTcos θ＝mgsin 2θ，FTsin θ＋FN2＝(M＋m)g，当细线将小球从P点缓慢向上拉至半圆柱体的最高点过程中，θ在0～范围内变化，θ逐渐减小，故FN2逐渐增大，FN3先增大后减小，C错误、D正确． [拓展训练]如图所示，一光滑小球静止放置在固定的光滑半球面底端，用竖直放置的光滑挡板水平向右缓慢推动小球，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面)，挡板对小球的推力F1、半球面对小球的支持力F2的变化情况正确的是(　　) A．F1增大，F2增大 B．F1减小，F2减小 C．F1增大，F2减小 D．F1减小，F2增大 答案　A 解析　对小球进行受力分析，如图所示，根据平衡条件得，F1＝mgtan θ，F2＝，由于θ不断增大，故F1增大，F2增大，A正确． [典例3·对相似三角形法的考查]如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上．开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°(不计一切阻力)．在此过程中，杆BC所产生的弹力(　　) A．大小不变 B．逐渐增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大 答案　A 解析　以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，F、FN的合力F合与G大小相等、方向相反． 根据三角形相似得＝＝，又F合＝G，得F＝ G，FN＝ G,∠BCA缓慢变小的过程中，AB变小，而AC、BC不变，则F变小，FN不变，故杆BC所产生的弹力大小不变，故选A. [拓展训练]如图所示，轻杆A端用铰链固定在竖直墙上，B端吊一重物．通过轻绳跨过定滑轮O用拉力F将B端缓慢上拉，滑轮O在A点正上方(滑轮大小及摩擦均不计)，且OA＞AB，在轻杆达到竖直位置前(　　) A．拉力F增大 B．拉力F大小不变 C．轻杆的弹力增大 D．轻杆的弹力大小不变 答案　D 解析　以B端为研究对象，受力分析：受重物的拉力FT(等于重物所受的重力G)、轻杆的弹力FN和轻绳的拉力F，作出受力分析图如图所示．由平衡条件知，FN和F的合力与FT大小相等，方向相反，根据三角形相似可得＝＝，又FT′＝FT＝G，解得FN＝G，F＝G；拉力F将B端缓慢上拉，∠BAO缓慢减小，AB、AO保持不变，BO减小，则轻杆弹力大小保持不变，拉力F减小，故D正确，A、B、C错误． [典例4·对正弦定理法的考查](2024·河北·测试)如图，轻杆的一端紧固一光滑球体，杆的另一端O为自由转动轴，而球又搁置在光滑斜面上，若杆与墙面的夹角为β，下面倾角为α，开始时轻杆与竖直方向的夹角β＜α，且α+β＜90°，则为使斜面能在光滑地面上向右做匀速直线运动，在球体离开斜面之前，作用于斜面上的水平外力F的大小及轻杆受力T的大小变化情况是(　　) A．F逐渐增大，T逐渐减小 B．F逐渐减小，T逐渐增大 C．F逐渐增大，T先减小后增大 D．F逐渐减小，T先减小后增大 答案　C 解析　对小球受力分析，受到重力mg、支持力N和干的支持力T，如图 根据共点力平衡条件，有 得, 对斜面体受力分析，受到推力F、重力Mg、支持力FN和压力N，如图 根据共点力平衡条件，有, 解得,故随着β 的增大，α+β 逐渐增大，先小于90°后大于90°，故T先减小后增加，F逐渐增大，ABD错误，C正确.故选C. [拓展训练](2023·四川德阳·二模)新疆是我国最大的产棉区，自动采棉机能够在采摘棉花的同时将棉花打包成圆柱形棉包，通过采棉机后侧可以旋转的支架平稳将其放下。放下棉包的过程可以简化为如图所示模型，质量为m的棉包放在“V”型挡板上，两板间夹角为120°固定不变，“V”型挡板可绕P轴在竖直面内转动，在使BP板由水平位置逆时针缓慢转动60°的过程中，忽略"V"型挡板对棉包的摩擦力，已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．当BP板转过30°时，棉包对AP板的作用力大小为 B．当BP板转过30°时，棉包对AP板的作用力大小为mg C．当BP板转过60°时，棉包受到三个力的作用 D．棉包对AP板的压力先增大后减小 答案　A 解析　AB．BP转过一个角度时的棉包受力如图所示 设BP给棉包的支持力为FB，AP给棉包的支持力为FA，合力为F，根据平衡条件知F=mg 当BP板转过30°时，∠2=30°，∠3=120°，根据正弦定理可得 根据牛顿第三定律知，棉包对AP板的作用力为，故A正确，B错误； C．当BP板转过60°时，AP板处于水平位置，不计摩擦，棉包只受到重力和AP板的支持力，BP板虽然与之接触，但没有弹力，所以受两个力的作用，故C错误；D．由已知条件知，所以，根据正弦定理得又因为 所以比值是一个常数。，在这个过程中，∠2从0°增大到60°，所以FA逐渐增加，根据牛顿第三定律知棉包对AP的压力逐渐增大，故D错误.故选A. [典例5·对辅助圆法的考查](多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　) A．MN上的张力逐渐增大 B．MN上的张力先增大后减小 C．OM上的张力逐渐增大 D．OM上的张力先增大后减小 答案　AD 解析　法一：以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以A、D正确，B、C错误。 法二：正弦定理 根据正弦定理＝＝，mg与sin θ3保持不变，sin θ1变大，F1变大，sin θ2先增大后减小，F2先增大后减小，故选A、D。 [拓展训练](多选)(2023·安徽安庆市三模)如图所示，把倾角为30°的粗糙斜面体C置于粗糙水平地面上，质量为2m的物块A通过跨过光滑轻定滑轮的轻绳与质量为m的小球B连接，O点为轻绳与定滑轮的接触点，初始时，小球B在水平向右的拉力F作用下，使轻绳OB段与水平拉力F的夹角为θ＝120°，A、B均保持静止状态。现改变拉力F，并保持夹角θ大小不变，将小球B向右上方缓慢拉起至OB水平，物块A始终保持静止状态。g为重力加速度，下列关于该过程的说法正确的是(　　) A．拉力F一直变大 B．拉力F最小为mg C．斜面体C所受地面摩擦力一直变小 D．斜面体C所受地面摩擦力先变小后变大 答案　AB 解析　对小球B受力分析，将FT、F、mg组成矢量三角形，由于FT和F的夹角始终不变，作辅助圆如图所示 拉力F一直变大，初始状态时最小，为mg，A、B正确；拉力F的水平分力先变大后变小，对A、B、C整体进行受力分析知斜面体C所受地面摩擦力大小等于拉力F的水平分力大小，也是先变大后变小，故C、D错误。 考点02　平衡中的临界、极值问题 一、临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等．临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力． (2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0. (3)刚好离开接触面，支持力FN＝0. 二、极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题． 三、解题方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小． (2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)． (3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值． [典例6·对平衡中的临界、极值问题的考查](2023·河南洛阳市期末)如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角θ＝60°，光滑球体的质量为m，支架的质量为2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　对光滑球体受力分析如图所示，根据平衡条件可得FN2cos θ＝mg，对支架受力分析如图所示 根据牛顿第三定律可知FN3＝FN2，对支架由平衡条件可得FN4＝2mg＋FN3cos θ，Ff＝FN3sin θ， 又达到最大静摩擦力时Ff＝μFN4，联立以上各式解得μ＝，可知支架和地面间的动摩擦因数至少为，故选D。 [拓展训练](2020·山东卷·8)如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行．A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　A、B刚要滑动时受力平衡，受力如图所示．对A：FT＝mgsin 45°＋μmgcos 45°，对B：2mgsin 45°＝FT＋3μmgcos 45°＋μmgcos 45°，整理得，μ＝，选项C正确． 课时作业练 基础对点练 1.如图所示，用轻绳将重球挂在竖直墙上，不考虑墙的摩擦，如果把绳的长度增加一些，则球对绳的拉力F1和球对墙的压力F2的变化情况是(　　) A．F1增大，F2减小 B．F1减小，F2增大 C．F1和F2都减小 D．F1和F2都增大 答案　C 解析　对球受力分析，如图所示，由图解法可知F1′减小，墙对球的支持力F2′减小，故由牛顿第三定律可知F1减小，F2也减小，故选C. 2.(2023·湖南长沙·期末)如图所示，可视为质点的小球拴接了轻质弹簧和细线，并在它们的作用下保持静止．轻质弹簧与竖直方向有一定夹角，细线处于水平状态．现保持弹簧与竖直方向夹角不变，将轻质细线由水平状态缓慢转至竖直状态，则(　　) A．弹簧的长度逐渐变长 B．弹簧的长度逐渐变短 C．细线上的拉力逐渐增大 D．细线上的拉力逐渐减小 答案　B 解析　小球受力情况如图所示，重力G大小和方向都不变，保持弹簧与竖直方向夹角θ不变，则弹簧弹力F弹方向不变，弹簧弹力与细线拉力FT的合力和小球受到的重力等大反向，保持不变，由图可以看出，将轻质细线由水平状态缓慢转至竖直状态的过程中，细线上的拉力先减小后增大，弹簧的弹力一直减小，由胡克定律可知，弹簧的长度逐渐变短，A、C、D错误，B正确． 3.如图所示是给墙壁粉刷涂料用的涂料滚的示意图，使用时，用撑杆推着粘有涂料的涂料滚沿墙上下缓慢滚动，把涂料均匀地粉刷到墙上，撑杆的重力和墙壁的摩擦均不计，且撑杆足够长，粉刷工人站在离墙壁一定距离处缓缓向上推涂料滚，设该过程中撑杆对涂料滚的推力为F1，涂料滚对墙壁的压力为F2，则(　　) A．F1增大，F2减小 B．F1增大，F2增大 C．F1减小，F2减小 D．F1减小，F2增大 答案　C 解析　涂料滚沿墙壁缓慢向上滚动的过程中，处于动态平衡，合力为零，分析涂料滚受力，如图所示，由牛顿第三定律知F2′＝F2，涂料滚向上滚动的过程中，θ角变小，则F1和F2′均变小，F2也变小，C正确． 4.(多选)如图所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B球用长为L的细绳悬挂于O点，A球固定在O点正下方，当小球B平衡时，细绳所受的拉力为FT1，弹簧的弹力为F1；现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2(k2＞k1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时细绳所受的拉力为FT2，弹簧的弹力为F2.则下列关于FT1与FT2、F1与F2大小的比较，正确的是(　　) A．FT1＞FT2 B．FT1＝FT2 C．F1＜F2 D．F1＝F2 答案　BC 解析　以B为研究对象，分析受力情况，如图所示．由平衡条件可知，弹簧的弹力F和细绳的拉力FT的合力F合与其重力mg大小相等、方向相反，即F合＝mg，由力的三角形和几何三角形相似得＝＝.当弹簧劲度系数变大时，弹簧的压缩量减小，故AB的长度增加，而OB、OA的长度不变，故FT1＝FT2，F2>F1，故A、D错误，B、C正确． 5.如图所示，在水平放置的木棒上的M、N两点，系着一根不可伸长的柔软轻绳，绳上套有一光滑小金属环．现将木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度，则关于轻绳对M、N两点的拉力F1、F2的变化情况，下列判断正确的是(　　) A．F1和F2都变大 B．F1变大，F2变小 C．F1和F2都变小 D．F1变小，F2变大 答案　C 解析　由于是一根不可伸长的柔软轻绳，所以绳子的拉力相等．木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度后，绳子之间的夹角变小，绳对小金属环的合力等于小金属环的重力，保持不变，所以绳子上的拉力变小，选项C正确，A、B、D错误． 6.(2024·重庆市渝中区期中)如图甲所示，用瓦片做屋顶是我国建筑的特色之一。铺设瓦片时，屋顶结构可简化为图乙所示，建筑工人将瓦片轻放在两根相互平行的檩条正中间，若瓦片能始终静止在檩条上。已知檩条与水平面夹角均为θ，瓦片质量为m，檩条间距离为d，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．瓦片共受到4个力的作用 B．檩条对瓦片作用力方向垂直檩条向上 C．缓慢减小檩条的倾斜角度θ时，瓦片与檩条间的摩擦力变大 D．缓慢增大檩条间的距离d时，两根檩条对瓦片的弹力都增大 答案　D 解析　瓦片受重力、两根檩条的支持力和摩擦力，共5个力，A错误；檩条对瓦片作用力应为支持力与摩擦力的合力，方向竖直向上，B错误；摩擦力等于mgsin θ，减小檩条的倾斜角度θ时，摩擦力减小，C错误；檩条对瓦片的两个弹力等大，合力等于mgcos θ，当增大檩条间的距离 d时，两弹力与竖直方向的夹角增大，则两弹力增大，D正确. 7.(多选)如图所示，某工厂将圆柱形工件a放在倾角为θ的斜面上，为防止工件滚动，在其下方垫一段半径与a相同的半圆柱体b.若逐渐减小斜面倾角，a、b始终处于静止状态，不计a与接触面的摩擦，b的质量很小．则(　　) A．斜面对a的弹力变大 B．斜面对a的弹力先变大后变小 C．b对a的弹力逐渐变小 D．b对a的弹力不变 答案　AC 解析　对a进行受力分析，如图甲所示 　 根据平衡，斜面对a的弹力F1、b对a弹力F2的合力与a的重力等大反向，则在斜面倾角逐渐减小过程中，斜面对a的弹力F1 和b对a的弹力F2 的变化过程如乙图所示分析可得，斜面对a的弹力F1变大，b对a的弹力F2逐渐变小．故选A、C. 8.(2024·重庆市七校开学考)小李发现小区的消防通道被一质量为m的石墩挡住了，为了移开石墩小李找来一根结实的绳子，将绳的一端系在石墩上，双手紧握绳的另一端用力斜向上拖拽石墩。设绳子与水平方向的夹角为θ，小李对绳施加的最大拉力为0.6mg，g为重力加速度，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是(　　) A．无论θ取何值，小李都不可能拖动石墩 B．小李能拖动石墩，且当θ＝时最省力 C．小李能拖动石墩，且当θ＝时最省力 D．小李能拖动石墩，且当θ＝时最省力 答案　C 解析　对石墩进行受力分析如图所示 Fcos θ＝μFN，FN＋Fsin θ＝mg，解得2F(cos θ＋sin θ)＝mg，即F＝，可解得，当θ＝时，F最小为0.5mg，故小李能拖动石墩，且当θ＝时最省力，故选C。 9.(多选)如图，倾角为30°的斜面体放置于粗糙水平地面上，物块A通过跨过光滑定滑轮的柔软轻绳与小球B连接，O点为轻绳与定滑轮的接触点．初始时，小球B在水平向右的拉力F作用下，使轻绳OB段与水平拉力F的夹角θ＝120°，整个系统处于静止状态．现将小球向右上方缓慢拉起，并保持夹角θ不变，从初始到轻绳OB段水平的过程中，斜面体与物块A均保持静止不动，则在此过程中(　　) A．拉力F逐渐增大 B．轻绳上的张力先增大后减小 C．地面对斜面体的支持力逐渐增大 D．地面对斜面体的摩擦力先增大后减小 答案　AD 解析　小球B受重力mg、轻绳OB的拉力FT和拉力F，由题意可知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，在FT转至水平的过程中，轻绳OB的拉力FT逐渐减小，拉力F逐渐增大，故选项A正确，B错误；整体(含斜面体，物块A和小球B)受向下的重力、向上的支持力、向左的摩擦力以及拉力四个力的作用，根据对小球的受力分析可知，拉力F的竖直方向分力逐渐增大，水平方向分力先增大后减小，所以地面对斜面体的支持力逐渐减小，地面对斜面体的摩擦力先增大后减小，故选项C错误，D正确． 10.(2021·湖南卷·5)质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点．凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为m的小滑块．用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是(　　) A．推力F先增大后减小 B．凹槽对滑块的支持力先减小后增大 C．墙面对凹槽的压力先增大后减小 D．水平地面对凹槽的支持力先减小后增大 答案　C 解析　对滑块受力分析，由平衡条件有F＝mgsin θ，FN＝mgcos θ，θ为F与水平方向的夹角， 滑块从A缓慢移动到B点时，θ越来越大，则推力F越来越大，支持力FN越来越小，所以A、B错误；对凹槽与滑块整体受力分析，墙面对凹槽的压力为FN′＝Fcos θ＝mgsin θcos θ＝mgsin 2θ，则θ越来越大时，墙面对凹槽的压力先增大后减小，所以C正确；水平地面对凹槽的支持力为FN地＝(M＋m)g－Fsin θ＝(M＋m)g－mgsin2θ，则θ越来越大时，水平地面对凹槽的支持力越来越小，所以D错误． 能力提升练 11.如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一重物G.现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近(C点与A点等高)．则在此过程中绳中拉力大小(　　) A．先变大后不变 B．先变大后变小 C．先变小后不变 D．先变小后变大 答案　A 解析　对滑轮受力分析如图甲所示，由于跨过滑轮的绳子拉力一定相等，即F1＝F2，由几何关系易知绳子拉力方向与竖直方向夹角相等，设为θ，可知： F1＝F2＝，如图乙所示，设绳长为L，由几何关系，即sin θ＝，其中d为两端点间的水平距离，由B点向C点移动过程中，d先变大后不变，因此θ先变大后不变，由①式可知绳中拉力先变大后不变，故A正确． 12.质量为M的木楔在水平面上保持静止，斜面倾角为θ，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，木块正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块匀速上升，如图所示(已知木楔在整个过程中始终静止，重力加速度为g)。求： (1)当α变化时，拉力F的最小值； (2)F取最小值时，木楔对水平面的摩擦力大小。 答案　(1)mgsin 2θ　(2)mgsin 4θ 解析　(1) 方法一　木块在木楔斜面上匀速向下运动时，根据平衡条件有mgsin θ＝μmgcos θ 解得μ＝tan θ，因木块在力F作用下沿斜面向上做匀速运动，根据正交分解法有 Fcos α＝mgsin θ＋Ff，Fsin α＋FN＝mgcos θ，且Ff＝μFN，联立解得F＝ ＝＝，则当α＝θ时，F有最小值，即Fmin＝mgsin 2θ。 方法二　木块所受的力构成矢量三角形如图甲所示，支持力与摩擦力用其合力F合代替，变为“三个力”， 如图乙所示，支持力与摩擦力的合力F合与FN之间的夹角β满足tan β＝，故β＝θ，则F合与竖直方向夹角为2θ。由几何关系可得拉力F的最小值Fmin＝mgsin 2θ。 (2)由(1)可知，当F取最小值时，α＝θ，因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到的地面的摩擦力等于F的水平分力，即FfM＝Fcos (α＋θ)，当F取最小值mgsin 2θ时，则有 FfM＝Fmin·cos 2θ＝mgsin 2θcos 2θ＝mgsin 4θ. 尖子选拔练 13.(多选)如图，表面粗糙的楔形物块A静置在水平地面上，斜面上有小物块B，用平行于斜面的力F拉B，使之沿斜面匀速上滑．现逆时针缓慢旋转该力至图中虚线位置，并保证在旋转该力过程中物块B一直处于匀速上滑状态，且在B运动的过程中，楔形物块A始终保持静止．则在力F旋转的过程中，下列关于各力变化的说法正确的是(　　) A．F可能一直减小 B．物块B受到的摩擦力可能不变 C．物块对斜面的作用力一定减小 D．地面受到的摩擦力大小可能不变 答案　AC 解析　拉力F平行斜面向上时，先对物块B受力分析如图： ，根据平衡条件，平行斜面方向F＝Ff＋mgsin θ，垂直斜面方向 FN＝mgcos θ，其中Ff＝μFN，解得F＝mg(sin θ＋μcos θ)，Ff＝μmgcos θ，拉力改变方向后，设其与斜面夹角为α，根据平衡条件，平行斜面方向F′cos α＝Ff′＋mgsin θ，垂直斜面方向FN′＋F′sin α＝mgcos θ，其中Ff′＝μFN′解得F′＝，Ff′＝μ(mgcos θ－F′sin α)，比较两式得到滑动摩擦力减小，拉力F可能变大，也可能减小，故A正确，B错误；对A受力分析，受重力、支持力、B对A的压力、B对A的滑动摩擦力、地面对A的静摩擦力，如图； 由牛顿第三定律知Ff″＝Ff，FN″＝FN，根据平衡条件，水平方向有Ff静＝FN″sin θ＋Ff″cos θ，结合前面A、B选项分析可知，当拉力改变方向后，FN″和Ff″都减小，故Ff″和FN″的合力一定减小．因B对A的力就是Ff″和FN″的合力，即物块对斜面的作用力一定减小；地面受到的静摩擦力也一定减小，故D错误，C正确． ( 1 ) $$