6.1.2 平行四边形的性质定理3-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(青岛版)

第 2 课时　 平行四边形的性质定理 3 【边学边练】 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点一　 平行四边形的性质定理 3 1. 如图,已知▱ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,AC = 24 cm,BD = 38 cm,AD = 14 cm,那么△OBC 的周长为　 　 　 　 cm。 2. (必考题)如图,▱ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,且 OE=OF。 求证:(1)△BOE≌△DOF; (2)BE∥DF。 知识点二　 过平行四边形对角线交点的直线的性质 3. 如图,▱ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O,过点 O 的直线分别交 AD 和 BC 于点 F,E,若设该平行四边形的面积为 2,则图中阴影部分的面积为 (　 　 ) A. 4 B. 1 C. 1 2 D. 无法确定 【随堂小测】 1. (易混题)如图,▱ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,若 AC = 6,BD = 10,则 CD 的长 不可能为 (　 　 ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. 如图,▱ABCD 的对角线交于点 O,且 AB= 7,△OCD 的周长为 19,则▱ABCD 的两条 对角线的和为 (　 　 ) A. 12 B. 13 C. 26 D. 24 3 3. 如图,在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,OE⊥AC 交 CD 于点 E,连接 AE,若 ▱ABCD 的周长为 28,则△ADE 的周长为 (　 　 ) A. 28 B. 24 C. 21 D. 14 第 3 题图 　 　 第 4 题图 　 　 第 5 题图 　 　 第 6 题图 4. 如图,EF 过▱ABCD 对角线的交点 O,交 AD 于点 E,交 BC 于点 F,已知 AB= 4,BC= 6,OE= 3,那么四边形 EFCD 的周长是 (　 　 ) A. 16 B. 13 C. 11 D. 10 5. (易错题)如图,▱ABCD 的面积为 20,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,E,F 分别是 AB,CD 上的点,且 AE=DF,则图中阴影部分的面积为 (　 　 ) A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 6. 如图,在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,△BOC 的周长比△BOA 的周长大 2,若 BC= 10,则 AB 的长为 。 7. (核心素养·推理能力)如图,在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,过点 A 作 AE⊥BD,垂足为 E,过点 C 作 CF⊥BD,垂足为 F。 (1)求证:AE=CF; (2)若∠AOE= 74°,∠EAD= 3∠CAE,直接写出∠BCA 的度数。 8. (原创题)如图,在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,∠AOB = 60°,AB = 2, AC= 4。 (1)求证:△AOB 是正三角形; (2)判断 AB 与 BC 的位置关系,并说明理由。 4 参考答案及解析 (部分答案不唯一) 第 6 章　 平行四边形 6. 1　 平行四边形及其性质 第 1 课时　 平行四边形的定义及性质定理 1,2 【边学边练】 1. D　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥ CD,AD∥BC。 ∵ EF∥AD,GH∥CD,∴ AB∥GH∥CD, AD∥EF∥BC。 ∴ 平行四边 形 有 ▱ABCD, ▱ABHG, ▱CDGH,▱BCFE,▱ADFE,▱AGOE,▱BEOH,▱OFCH, ▱OGDF,共 9 个。 故选 D。 2. AB∥DC(答案不唯一) 3. B　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AE∥ BC,AD=BC= 5。 ∴ ∠AEB= ∠EBC。 ∵ ∠ABC 的平分 线 BE 交 AD 于点 E,∴ ∠ABE = ∠EBC。 ∴ ∠ABE = ∠AEB,即 AE= AB = 3。 ∴ DE = AD-AE = 5- 3 = 2。 故 选 B。 4. 4　 【解析】∵ 18÷2-5 = 4,∴ 其邻边长为 4。 5. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ ∠A = ∠C。 又∵ ∠A+∠C= 200°,∴ ∠A= 100°。 故选 B。 6. B　 【解析】根据平行四边形的两组对角分别相等,可 知 B 正确。 故选 B。 【随堂小测】 1. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥ BC,∠A = ∠C。 ∴ ∠A+ ∠B = 180°。 ∵ ∠B = 2 ∠A, ∴ 3∠A= 180°。 ∴ ∠C= ∠A= 60°。 故选 A。 2. B　 【解析】可设两边分别为 x cm,y cm。 由题意可得 2(x+y)= 24, x-y= 2。{ 解得 x= 7, y= 5。{ ∴ 平行四边形的各边长为 5 cm,5 cm,7 cm,7 cm。 故选 B。 3. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥ BC,∠B= ∠D = 58°。 ∴ ∠DAE = ∠BEA。 ∵ AE 平分 ∠BAD 且交 BC 于点 E,∴ ∠DAE = ∠BAE。 ∴ ∠BEA = ∠BAE= 1 2 ×(180° - 58°) = 61°。 ∴ ∠AEC = 180° - ∠BEA= 180°-61° = 119°。 故选 D。 4. (4,2)　 【解析】如图,延长 BC 交 y 轴于点 D。 ∵ 四边形 ABCO 是平行四边形,∴ BC = OA,BC∥OA。 ∵ OA⊥y 轴,∴ BC⊥y 轴。 ∵ 点 A(3,0),C(1,2), ∴ BC=OA= 3,CD= 1,OD = 2。 ∴ BD =CD+BC = 1+3 = 4。 ∴ 顶点 B(4,2)。 5. 26 cm 或 28 cm　 【解析】如图, ∵ BE 是∠ABC 的平分线,∴ ∠ABE = ∠CBE。 ∵ 四边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形, ∴ AD∥BC。 ∴ ∠CBE = ∠AEB。 ∴ ∠ABE = ∠AEB。 ∴ AB = AE。 ① 当 AE = 5 cm 时,▱ABCD 的周长为(5 + 5 + 4) × 2 = 28(cm); ②当 AE= 4 cm 时,▱ABCD 的周长为 (4 + 4 + 5) × 2 = 26(cm)。 6.证明:∵ MN 是 AC 的垂直平分线, ∴ AO=CO,∠AOM= ∠CON= 90°。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD,AB=CD。 ∴ ∠M= ∠N。 ∴ △AOM≌△CON(AAS)。 ∴ AM=CN。 ∵ AB=CD,∴ BM=DN。 7. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,AD=BC。 ∴ ∠ADE= ∠CED。 又∵ ED 平分∠AEC, ∴ ∠AED= ∠CED。 ∴ ∠AED= ∠ADE。 ∴ AE=AD。 ∴ AE=BC。 (2)解:△ABF 是等腰直角三角形。 证明如下, ∵ CF⊥DE, ∴ ∠CFE= 90°。 ∵ AE⊥BC,ED 平分∠AEC, ∴ ∠AEF= ∠CEF= 45°。 ∴ ∠ECF= 45°。 ∴ ∠AEF= ∠ECF。 ∴ EF=CF。 ∵ AE=BC,∴ △AEF≌△BCF(SAS)。 ∴ AF=BF,∠AFE= ∠BFC。 ∴ ∠AFE-∠BFE=∠BFC-∠BFE,即∠AFB=∠CFE=90°。 ∴ △ABF 是等腰直角三角形。 第 2 课时　 平行四边形的性质定理 3 【边学边练】 1. 45　 【解析】在▱ABCD 中,对角线 AC 和 BD 交于点 O,AC = 24 cm,BD = 38 cm,AD = 14 cm,∴ AO = CO= 12 cm,BO = DO = 19 cm,AD = BC = 14 cm。 ∴ △OBC 的周长是 BO+CO+BC= 19+12+14 = 45(cm)。 2.证明:(1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ OB=OD。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 311 在△BOE 和△DOF 中, OE=OF, ∠BOE= ∠DOF, OB=OD, { ∴ △BOE≌△DOF(SAS)。 (2)由(1)知△BOE≌△DOF, ∴ ∠BEO= ∠DFO。 ∴ BE∥DF。 3. B　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB = CD, OA = OC, OB = OD。 在 △AOB 和 △COD 中, AB=CD, OA=OC, OB=OD, { ∴ △AOB ≌ △COD ( SSS )。 ∴ S△AOB = S△COD。 同理可证△AFO≌△CEO,△BOE≌△DOF。 ∴ S△AFO = S△CEO,S△BOE = S△DOF。 ∴ S阴影 = S四边形ABEF = 1 2 S▱ABCD = 1。 故选 B。 【随堂小测】 1. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,AC= 6,BD = 10,∴ OC = OA = 1 2 AC = 3,OD = OB = 1 2 BD = 5。 ∵ OD-OC<CD<OD+OC,∴ 5-3<CD<5+3。 ∴ 2<CD<8。 ∴ CD 的长不可能是 8。 故选 D。 2. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,AB = 7, ∴ AB=CD= 7,BD= 2OD,AC = 2OC。 ∵ △OCD 的周长 为 19,∴ OD+OC= 19-7 = 12。 ∴ ▱ABCD 的两条对角 线的和为 BD+AC= 2(OD+OC)= 24。 故选 D。 3. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB = CD,AD=BC,OA =OC。 ∵ ▱ABCD 的周长为 28,∴ AD+ DC= 14。 ∵ OE⊥AC,∴ OE 是线段 AC 的垂直平分线。 ∴ AE= EC。 ∴ △ADE 的周长为 AD +DE +AE = AD + DE+EC=AD+DC= 14。 故选 D。 4. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,∴ OB = OD,AD∥BC, AB = CD = 4。 ∴ ∠OBF = ∠ODE。 在 △BOF 和 △DOE 中, ∠OBF= ∠ODE, OB=OD, ∠BOF= ∠DOE, { ∴ △BOF ≌ △DOE(ASA)。 ∴ BF=DE,OF = OE = 3。 ∴ CF+DE= CF+BF= BC = 6。 ∴ DE+EF+CF+CD = BC+OE+OF+ CD= 6+3+3+4 = 16。 故选 A。 5. B　 【解析】如图,过点 O 作 OG⊥AB 于点 G,作 OH⊥ CD 于点 H。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ OA =OC,OB = OD, AB∥CD。 ∴ ∠GAO = ∠HCO。 在△AOG 和△COH 中, ∠AOG= ∠COH, AO=CO, ∠GAO= ∠HCO, { ∴ △AOG≌△COH(ASA)。 ∴ OG = OH。 ∵ AE=DF,∴ S△AOE = S△DOF。 ∴ S阴影部分 = S△AOB = 1 4 S四边形ABCD = 5。 故选 B。 6. 8　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ OA = OC。 ∵ △BOC 的周长比△BOA 的周长大 2,∴ (OB+ OC+BC)-(OB+OA+AB)= 2。 ∵ BC = 10,∴ OB+OC+ BC-OB-OA-AB=BC-AB= 10-AB= 2。 ∴ AB= 8。 7. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ OA=OC。 ∵ AE⊥BD,CF⊥BD, ∴ ∠AEO= ∠CFO= 90°。 ∵ ∠AOE= ∠COF, ∴ △AEO≌△CFO(AAS)。 ∴ AE=CF。 (2)解:∵ ∠AEO= 90°,∠AOE= 74°, ∴ ∠EAO= 90°-∠AOE= 16°。 ∵ ∠EAD= 3∠CAE, ∴ ∠EAD= 3×16° = 48°。 ∴ ∠DAC=∠EAD-∠EAO= 48°-16° = 32°。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC。 ∴ ∠BCA= ∠DAC= 32°。 8. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ OA=OC= 1 2 AC= 2,OB=OD。 ∴ AB=OA。 又∵ ∠AOB= 60°,∴ △AOB 是正三角形。 (2)解:AB⊥BC。 理由如下, ∵ △AOB 是正三角形, ∴ OB=OA=AB=OC= 2,∠ABO= ∠AOB= 60°。 ∴ ∠BOC= 120°。 ∴ ∠CBO= ∠BCO= 180° -120° 2 = 30°。 ∴ ∠ABC= ∠ABO+∠CBO= 60°+30° = 90°。 ∴ AB⊥BC。 6. 2　 平行四边形的判定 第 1 课时　 平行四边形的判定定理 1,2 【边学边练】 1. AB∥CD 2.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD,AB=CD。 ∴ AF∥CE。 ∵ DE=BF, ∴ CE=AF。 ∵ AF∥CE, ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形。 3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 4.证明:∵ △ADE≌△CBF, ∴ AD=CB,AE=CF。 ∵ E,F 分别为边 AB,CD 的中点, ∴ AB= 2AE,CD= 2CF。 ∴ AB=CD。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 411