21.2 解一元二次方程（2）2023- 2024学年 人教版九年级数学上册同步讲练

              解一元二次方程（2） 21.2     目录 探究1 因式分解法 2 探究2 用合适的方法解一元二次方程 5 探究3 根与系数的关系 7 探究1 因式分解法 利用因式分解求解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 基本原理： 左边为整式的乘积的形式，右边等于0，则让左边的整式分别等于0即可求解． 即：，则0或0． 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）整理：移项，使方程的右边化为零； （2）分解：将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）转化：令每个因式分别为零； （4）求解：两个因式分别为零的解就都是原方程的解． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【例1】　（2024•汝阳县一模）方程的根是　　 A． B． C．， D．， 【答案】 【分析】先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：， ， ， 或， 所以，． 故选：． 【例2】　（2024春•鼓楼区校级期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【分析】（1）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， ， ，； （2）， ， 或， ，． 【例3】　（2024春•西湖区校级期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【分析】（1）提公因式分解因式解方程即可 （2）移项后，提公因式，利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）， ， 或， ，； （2）， ， ， 或， ， 1．因式分解的方法： ①提公因式法； ②公式法：包含平方差公式和完全平方公式； ③十字相乘法． 常用的因式分解法解方程的两种方法是提公因式法和十字相乘法． 2．可化为的方程，用因式分解法求解． 3．切记不能在方程两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 探究2 用合适的方法解一元二次方程 配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【例4】　（2023秋•桑植县期末）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【分析】（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）， ， ， ， 所以，； （2）， ， 或， 所以，． 【例5】　（2023秋•伊犁州期末）用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）利用配方法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【解答】解：（1）， ， 则，即， 解得， ，即，； （2）， ， 则或， 解得，． 【例6】　（2021秋•玄武区期末）解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【分析】（1）利用十字相乘法分解因式解方程即可； （2）直接利用平方差公式分解因式解方程即可得出答案． 【解答】解：（1） ，故或， 解得：，； （2）， ，则， 解得：，． 方程没有一次项时用直接开平方法较为简单． 二次项系数为1，一次项系数为偶数时，用配方法较为简单． 当各项系数均为整数，且较小时，首选公式法． 一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的形式时，用因式分解法较为简单． 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便．总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 探究3 根与系数的关系 若关于的一元二次方程 有两个根分别为，则．注意运用根与系数关系的前提条件是． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【例7】　（2024•湖北模拟）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，且，则的值是　　 A．或 B．或2 C．2 D． 【答案】 【分析】由一元二次方程的两个实数根分别为、，可得，，即可得，解得或，再检验根的判别式是否大于0即可得到答案． 【解答】解：一元二次方程的两个实数根分别为、， ，， ， ， ， 解得或， 当时，一元二次方程为，此时△，原方程无实数解，这种情况不存在，舍去； 当时，一元二次方程为，此时△，符合题意； 的值是； 故选：． 【例8】　（2024•玄武区一模）设，是方程的两个根，且，则　　． 【答案】1． 【分析】由根与系数的关系可得：，，再代入所给的条件运算即可． 【解答】解：由题意得：，， ， ， 解得：． 故答案为：1． 【例9】　（2024春•鼓楼区校级期中）关于的一元二次方程． （1）如果方程有实数根，求的取值范围； （2）如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用根的判别式进行求解即可； （2）由根与系数的关系可得，，再整理所求的式子，代入相应的值运算即可． 【解答】解：（1）方程有实数根， △， 解得：； （2），是这个方程的两个根， ，， ， ， ， 解得：． 已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有的式子，再运用根与系数的关系求解． 例如：，注意． 常见的公式变形： （1） （2） （3） （4） ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 牛刀小试 1．（2024•河北区二模）若，是方程的两根，则　　 A．4 B．5 C． D． 2．（2024•西青区二模）已知一元二次方程的两根分别为，，且，，则，的值分别是　　 A．， B．， C．， D．， 3．（2024•南充模拟）已知实数，满足，，且，则的值为　　 A． B． C． D． 4．（2024•张家口一模）已知一元二次方程的两根分别为，；则这个方程为　　 A． B． C． D． 5．（2024春•利辛县月考）解方程，选择相对合适的方法是　　 A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 6．（2024•龙湖区一模）解方程：　 　． 7．（2024•北京开学）一元二次方程的解是 　　． 8．（2024•金牛区模拟）设，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为 　　． 9．（2024•江阳区模拟）已知，是关于的方程的两个实数根，且，则的值等于 　　． 10．（2024春•慈溪市期中）已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是 　　． 11．（2022秋•威远县校级期中）解方程： （1）； （2）； （3）． 12．（2022秋•武冈市期中）用适当方法解方程． （1） （2） （3） （4） 13．（2024•江海区一模）已知关于的一元二次方程； （1）求证：不论取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为、且满足，求的值． 14．（2024春•西湖区校级期中）已知关于的方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）记该方程的两个实数根为，，求代数式的值； （3）若，，比较与的大小． 15．（2024春•鼓楼区校级期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值，该方程都有两个实数根． （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 参考答案 1．【答案】 【分析】根据根与系数的关系解决问题． 【解答】解：，是方程的两根， ， 故选：． 2．【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得出关于，的方程组即可解决问题． 【解答】解：因为一元二次方程的两根分别为，， 所以，． 又因为，， 所以，， 则，． 故选：． 3．【答案】 【分析】将变形为据此可知 为方程 的两个实数根，根据根与系数的关系得到，，代入所求代数式化简即可． 【解答】解：，易得，方程两侧同除得： ， 又，且， 为方程 的两个不相等的实数根， ， 整理得：，， ， 故选：． 4．【分析】由根与系数的关系求得方程，再把方程右边分解因式即可． 【解答】解：方程两根分别为，， ，， 方程为． 把方程的右边分解因式得：， 故选：． 5．【答案】 【分析】先移项变形，再提取公因式即可求解． 【解答】解：， ， ，即， 最合适的方法是因式分解法， 故选：． 6．【分析】首先移项进而提取公因式，进而分解因式求出即可． 【解答】解： ， ， 解得：，． 故答案为：，． 7．【答案】，． 【分析】观察已知方程，可发现将右边的移到左边后，可提取公因式，进而转化为两因式乘积形式，即可求解． 【解答】解：， 移项，得， 提取公因式，得， 整理，得， 解得：，． 故答案为：，． 8．【答案】． 【分析】利用根与系数关系，构建方程求解． 【解答】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ， ， 解得或． △， ， ， ， ． 故答案为：． 9．【答案】0． 【分析】先利用根与系数的关系得，，再利用得到，所以，然后解的方程即可． 【解答】解：根据根与系数的关系得，， ， ， 即， 解得． 故答案为：0． 10．【答案】15． 【分析】利用根与系数的关系得出与的值，代入代数式进行计算即可． 【解答】解：一元二次方程的两根分别为，， ，， ． 故答案为：15． 11．【答案】（1），；（2），；（3），． 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）整理为一般式，再利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）， ，． （2）原方程可化为， ，． （3）原方程可化为， ，，， ， ， ，． 12．【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用配方法解方程； （2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程； （3）利用配方法解方程； （4）先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）， ， ， ， 所以，； （2）， ， 或， 所以，； （3）， ， ， 所以，； （4）， ， 或， 所以，． 13．【答案】（1）见解答； （2）． 【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△即可． （2）因为，所以由根与系数的关系可得，解方程可得的值． 【解答】（1）证明：△， 不论取任何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由（1）知方程总有两个不相等的实数根、， ，， 而，即，解得， 时，， 是原分式方程的解， ． 14．【答案】（1）证明见解析； （2）0； （3）． 【分析】（1）求出△，可知△，故总有两个实数根； （2）先求出与的值，代入代数式进行计算即可； （3）利用作差法比较，的大小即可． 【解答】（1）证明：△ ， ， △， 总有两个实数根； （2）该方程的两个实数根为，， ，， ； （3）由（2）知，，， ，， ， ． 15．【答案】（1）见解答； （2），方程的另一根为1． 【分析】（1）根据根的判别式，即可得出△，由此可证出不论取何值，方程必有两个的实数根； （2）设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得到，解方程组即可． 【解答】（1）证明：△， 无论取何值，， 不论取何值，该方程都有两个相等的实数根； （2）解：设方程的另一个根为， 则， 解方程组得， 的值为2，方程的另一根为1． 方法二： （2）解：把代入方程可得， 解得， 则方程为， 解得，， 即方程的另一根为1． 学科网（北京）股份有限公司 $$