期末学科核心素养03·空间观念与空间想象能力-2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

1 / 5 2023-2024 学年五年级数学下册典型例题系列 期末学科核心素养 03·空间观念与空间想象能力 一、填空题。 1．一个长方体（如图），如果高增加 4cm，就变成了棱长是 12cm的正方体。 表面积增加了( )cm2，体积增加了( )cm3。 2．把下面这个展开图折成一个长方体。 (1)如果 B面在上面，那么( )面在底面。 (2)如果 C面在前面，从右面看是 A面，( )面在上面。 3．从三个方向看一个空心零件，三种视图如图所示。算一算，这个空心零件的 体积是( )cm3，表面积是( ) 2cm 。（单位：cm） 4．一根长方体木料，长 2m，宽 0.5m，厚 2dm，把它锯成 4段，表面积最少增 加( )dm2。 5．用一个长是 6厘米、宽是 5厘米、高是 3厘米的长方体的表面涂上红色，随 后切成若干个棱长是 1厘米的小正方体。这些小正方体中，一面涂色的小正方体 有( )个，没有涂色的小正方体有( )个。 6．一个长方体如图所示，沿横截面切开两次变成了三个相同的正方体，这时表 面积增加了 100平方厘米，这个长方体的体积是( )。 7．一个棱长都是整厘米数的长方体的表面积是 110平方厘米，已知它的六个面 2 / 5 中有两个面的面积是大于 1平方厘米的正方形，它的体积是( )立方厘米。 8．用 18个棱长 1cm的小正方体拼成一个体积为 18cm3的长方体，表面上涂漆， 然后分开，则 3个面涂色的小正方体最多有( )个，最少有( )个。 二、解答题。 9．连翘，又名空壳，俗称黄花条，具有药用价值。卢氏连翘久负盛名，近年来 卢氏县将连翘作为重点产业发展，开发了连翘绿茶和红茶。 （1）连翘绿茶礼盒是长 32厘米、宽 32厘米、高 8.5厘米的长方体，这样一个 礼盒的体积是多少？这种礼盒的四周还贴了一圈与它等高的商标纸（上、下面不 贴），这圈商标纸至少是多少平方厘米？ （2）连翘红茶是包装在一个棱长 6厘米的小正方体铁盒中，张叔叔购买了 12 小盒。售货员拿出一张长 36厘米，宽 30厘米的长方形硬纸板，制作成了一个无 盖的礼盒，刚好装下这 12小盒连翘红茶。 你知道她是怎样设计制作的吗？先思考怎样才能装下，然后把下面长方形分成 5 份。画出裁剪示意图，注意保留作图痕迹（铁盒壁和粘贴处忽略不计，且不浪费 材料）。 通过计算说明制作成的礼盒长、宽、高分别是多少？ 3 / 5 10．如图，这个有盖长方体铁皮水箱的容积是 40升，底面面积是 10平方分米， 箱侧面出现了漏洞，漏洞下边沿距箱口 0.8分米，现在这个水箱平放在地面上， 最多能装水多少升？（铁皮厚度不计） 11．如下图，一个长、宽、高分别为 30厘米、16厘米、21厘米的长方体容器中 水位高度是 10厘米，如果将另一个长方体（长、宽、高分别为 16厘米、10厘 米、36厘米的铁块竖直）放入左边的容器中（贴底面齐平），那么这个容器中 的水会溢出吗？如果不溢出，那么容器中水位将上升至多少高度？如果溢出，那 会溢出多少立方厘米的水量？ 12．小强要用家里的一块长方形纸板做一个物品收纳盒。这块纸板长 20厘米， 宽 16厘米，四个角减去相同的小正方形（如图所示），就能围成无盖的长方体 收纳盒。 4 / 5 （1）如果减去的小正方形的边长是 5厘米，围成的长方体收纳盒的容积是多少？ （2）减去的小正方形的边长还可以是多少厘米（长度取整厘米数）？这时围成 的长方体收纳盒的表面积是多少？ （3）如果用 a厘米表示要减去的小正方形的边长，请你用字母公式表示出这个 无盖长方体收纳盒的容积或表面积。 13．下图是由棱长 1分米的正方体拼摆而成的，这个拼摆而成的几何体的表面积 是多少平方分米？体积是多少立方分米？至少要再摆上多少个这样的正方体就 可以拼摆成一个棱长为 4分米的大正方体？ 14．如图：一个长方体水槽宽 40厘米，高 10厘米，水槽正中间有一块高 6厘米 的隔板，将水槽下面分成了相等的 2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边 注水速度为每分钟 2升。注水 3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过 1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平。 （1）水槽的容积是多少？ （2）注满水槽共需几分钟？ 5 / 5 15．壮壮需要一个盒子来装他的积木，他准备用下图长 50厘米、宽 40厘米的长 方形做一个高 10厘米的最大的无盖纸盒。 （1）在下图中动手画一画，显示壮壮是怎样剪的。 （2）你能求出这个纸盒的体积吗？ 16．小丁有一块长方体橡皮泥，长 8厘米，横截面是一个边长为 0.6厘米的正方 形，如果要捏一个棱长为 1.2厘米的小正方体，需要把这个长方体橡皮泥削去多 少厘米？ 17．一个长方体如下图所示，如果高增加 3厘米，就变成了正方体，且表面积比 原来增加 120平方厘米，那么原来长方体的体积是多少？ 18．一块正方体木料，棱长是 6厘米，在 6个面的中央各挖走一个棱长是 2厘米 的正方体洞孔。这时它的表面积、体积各是多少？ 1 / 18 2023-2024 学年五年级数学下册典型例题系列 期末学科核心素养 03·空间观念与空间想象能力 一、填空题。 1．一个长方体（如图），如果高增加 4cm，就变成了棱长是 12cm的正方体。 表面积增加了( )cm2，体积增加了( )cm3。 【答案】 192 576 【分析】根据题意，长方体的高增加 4cm，就变成了棱长是 12cm的正方体，那 么原来长方体的长、宽都是 12cm； 增加的表面积是高为 4cm的小长方体的 4个侧面积之和，每个面是长为 12cm、 宽为 4cm的长方形，求出一个面的面积，再乘 4，即可求出增加的表面积； 增加的体积是高为 4cm的小长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，即 可求出增加的体积。 【详解】12×4×4 ＝48×4 ＝192（cm2） 12×12×4 ＝144×4 ＝576（cm3） 表面积增加了 192cm2，体积增加了 576cm3。 【点睛】本题考查长方体表面积、体积公式的运用，关键是根据正方体的特征得 出长方体的长、宽，分析出增加的表面积是哪些面的面积是解题的关键。 2．把下面这个展开图折成一个长方体。 (1)如果 B面在上面，那么( )面在底面。 2 / 18 (2)如果 C面在前面，从右面看是 A面，( )面在上面。 【答案】(1)F (2)B或 F 【分析】在长方体的展开图 中，F和 B相对，C和 E相对，A和 D相 对。据此可知：（1）如果 B面在上面，那么 F面在底面。（2）如果 C面在前 面，则 E面在后面；如果 A面在右面，则 D面在左面。由此可推导出：B面在 上面，则 F面在下面；或者 F面在上面，则 B面在下面。把这个长方体的展开 图折成一个长方体，有两种折法。第一种写字母的面在长方体里面，此时 F面在 上面；第二种写字母的面在长方体表面，此时 B面在上面。 【详解】（1）因为 F和 B相对，所以如果 B面在上面，那么 F面在底面。 （2）因为 C和 E相对，A和 D相对，如果 C面在前面，从右面看是 A面，那 么 B或 F面在上面。 【点睛】解决此题时应注意把长方体的展开图折成长方体的方法有两种。 3．从三个方向看一个空心零件，三种视图如图所示。算一算，这个空心零件的 体积是( )cm3，表面积是( ) 2cm 。（单位：cm） 【答案】 22000 5800 【分析】通过观察三种视图可知：这个空心零件是从一个长 40cm，宽 30cm，高 20cm的长方体里挖去了一个长 10cm，宽 10cm，高 20cm的长方体（如下图）。 根据“长方体的体积＝长×宽×高”分别求出外面大长方体的体积及里面小长方体 3 / 18 的体积，再相减即可求出这个空心零件的体积。 先求出外面大长方体的表面积，再求出边长 10cm的正方形的面积，再求出里面 小长方体的 4个侧面的面积和，最后用大长方体的表面积－2个边长 10cm的正 方形的面积＋里面小长方体的 4个侧面的面积和，即可求出这个零件的表面积。 【详解】40×30×20－10×10×20 ＝24000－2000 ＝22000（cm3） （40×30＋40×20＋30×20）×2－10×10×2＋10×20×4 ＝（1200＋800＋600）×2－200＋800 ＝2600×2－200＋800 ＝5200－200＋800 ＝5000＋800 ＝5800（cm2） 所以这个空心零件的体积是 22000cm3，表面积是 5800cm2。 【点睛】解决此题关键是根据三视图确定几何体的形状。 4．一根长方体木料，长 2m，宽 0.5m，厚 2dm，把它锯成 4段，表面积最少增 加( )dm2。 【答案】60 【分析】根据题意，把一根长方体木料锯成 4段，要锯 4－1＝3次；每锯一次增 加 2个截面，锯 3次增加 6个截面； 要使表面积增加的最少，也就是平行与长方体的最小面锯开，根据长方形的面积 公式 S＝ab，求出一个最小截面的面积，再乘 6即可。注意单位的换算：1m＝10dm。 【详解】2m＝20dm 0.5m＝5dm 5×2＜20×2＜20×5 （4－1）×2 ＝3×2 ＝6（个） 5×2×6＝60（dm2） 4 / 18 表面积最少增加 60dm2。 【点睛】掌握长方体切割的特点，明白要使表面积增加最少，要平行于长方体的 最小面锯开。 5．用一个长是 6厘米、宽是 5厘米、高是 3厘米的长方体的表面涂上红色，随 后切成若干个棱长是 1厘米的小正方体。这些小正方体中，一面涂色的小正方体 有( )个，没有涂色的小正方体有( )个。 【答案】 38 12 【分析】根据题意可知，长方体长、宽、高上分别切割成 6个、5个、3个小正 方体。一面涂色的小正方体位于大长方体的面上，分别用长、宽、高减去两端的 小正方体，就是处于中间面上一面涂色的小正方体在大长方体的长、宽、高上的 个数，即（长－2）个、（宽－2）个、（高－2）个；根据长方体的表面积＝（长 ×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算出一面涂色的小正方体的个数； 没有涂色的小正方体在长方体的内部，它在大长方体的长、宽、高上的个数也是 （长－2）个、（宽－2）个、（高－2）个；根据长方体的体积＝长×宽×高，计 算出没有涂色的小正方体的个数。 【详解】每条棱分别切割成小正方体的个数： 长：6÷1＝6（个） 宽：5÷1＝5（个） 高：3÷1＝3（个） 一面涂色或没有涂色的小正方体： 长：6－2＝4（个） 宽：5－2＝3（个） 高：3－2＝1（个） 一面涂色的小正方体有： （4×3＋4×1＋3×1）×2 ＝（12＋4＋3）×2 ＝19×2 ＝38（个） 没有涂色的小正方体有：4×3×1＝12（个） 5 / 18 这些小正方体中，一面涂色的小正方体有 38个，没有涂色的小正方体有 12个。 【点睛】本题考查长方体表面积、体积公式的运用，结合长方体表面涂色的特点， 明确三个面涂色的小正方体位于长方体的 8个顶点处；两面涂色的小正方体位于 长方体的棱上（不包括 8个顶点处的小正方体）；一面涂色的小正方体位于面上 （不包括两端的小正方体）；没有涂色的小正方体在长方体的内部。 6．一个长方体如图所示，沿横截面切开两次变成了三个相同的正方体，这时表 面积增加了 100平方厘米，这个长方体的体积是( )。 【答案】375立方厘米/375cm2 【分析】根据题意，一个长方体沿横截面切开两次变成了三个相同的正方体，那 么表面积增加了 4个正方形截面的面积，用增加的表面积除以 4，求出一个正方 形截面的面积是 100÷4＝25平方厘米；根据正方形的面积公式可知，25＝5×5， 所以长方体的宽、高都是 5厘米，长方体的长是 5×3＝15厘米，然后根据长方体 的体积公式 V＝Sh，代入数据计算即可求出这个长方体的体积。 【详解】一个截面的面积：100÷4＝25（平方厘米） 因为 25＝5×5，所以长方体的宽、高都是 5厘米； 长：5×3＝15（厘米） 体积：15×25＝375（立方厘米） 这个长方体的体积是 375立方厘米。 【点睛】掌握长方体切割的特点，明确长方体切割成三个正方体，表面积增加 4 个正方形截面的面积，以此为突破口，求出一个截面的面积，进而求出长、宽、 高，再利用长方体体积计算公式解答。 7．一个棱长都是整厘米数的长方体的表面积是 110平方厘米，已知它的六个面 中有两个面的面积是大于 1平方厘米的正方形，它的体积是( )立方厘米。 【答案】75 【分析】由于长方体中有两个面为正方形，则长、宽、高中有两条相等的棱，可 设长为 b，宽和高为 a（a＞1），根据长方体表面积公式得： 2( ) 2 110ab ab a    ， 化简整理并分解因式得：（2b＋a）a＝55，由于 a、b均为整数，且 b＞1，则 2b ＋a和 a都是 55的因数，2b＋a＝11，a＝5符合题意；再解方程组可得 b＝3，最 6 / 18 后根据长方体体积＝长×宽×高，将数据代入即可。 【详解】解：设长为 b厘米，宽和高为 a厘米（b＞1）。 2( ) 2 110ab ab a    2( ) 2 2 110 2ab ab a      22 55ab a  （2b＋a）a＝55 （2b＋a）a＝5×11 当 a＝5时，2b＋a＝11 2b＋5＝11 2b＋5－5＝11－5 2b＝6 2b÷2＝6÷2 b＝3 长方体体积：3×5×5＝75（立方厘米） 【点睛】本题的关键是分解因数，得到长方体各边的长。 8．用 18个棱长 1cm的小正方体拼成一个体积为 18cm3的长方体，表面上涂漆， 然后分开，则 3个面涂色的小正方体最多有( )个，最少有( )个。 【答案】 14 0 【分析】根据长方体的体积公式，将长方体的各种长宽高情况一一分析，再解题 即可。 【详解】当拼成 18×1×1的长方体时，3个面涂色的小正方体 0个； 当拼成 9×2×1的长方体时，3个面涂色的小正方体有 14个； 当拼成 6×3×1的长方体时，3个面涂色的小正方体有 10个； 当拼成 3×3×2的长方体时，3个面涂色的小正方体有 8个； 当拼成 2×3×3的长方体时，3个面涂色的小正方体有 8个。 所以，3个面涂色的小正方体最多有 14个，最少有 0个。 【点睛】解答此题的关键是弄清小正方体是怎么拼成长方体的，从而确定小正方 体涂漆的面数。 7 / 18 二、解答题。 9．连翘，又名空壳，俗称黄花条，具有药用价值。卢氏连翘久负盛名，近年来 卢氏县将连翘作为重点产业发展，开发了连翘绿茶和红茶。 （1）连翘绿茶礼盒是长 32厘米、宽 32厘米、高 8.5厘米的长方体，这样一个 礼盒的体积是多少？这种礼盒的四周还贴了一圈与它等高的商标纸（上、下面不 贴），这圈商标纸至少是多少平方厘米？ （2）连翘红茶是包装在一个棱长 6厘米的小正方体铁盒中，张叔叔购买了 12 小盒。售货员拿出一张长 36厘米，宽 30厘米的长方形硬纸板，制作成了一个无 盖的礼盒，刚好装下这 12小盒连翘红茶。 你知道她是怎样设计制作的吗？先思考怎样才能装下，然后把下面长方形分成 5 份。画出裁剪示意图，注意保留作图痕迹（铁盒壁和粘贴处忽略不计，且不浪费 材料）。 通过计算说明制作成的礼盒长、宽、高分别是多少？ 【答案】（1）8704立方厘米；1088平方厘米 （2）见详解；长 24厘米；宽 18厘米；高 6厘米 【分析】（1）已知长方体礼盒的长、宽、高，根据长方体的体积公式 V＝abh， 代入数据计算求出这个礼盒的体积。 要在礼盒的四周贴一圈与它等高的商标纸（上、下面不贴），求这圈商标纸的面 积，就是求长方体的侧面积，长方体的侧面是 4个长 36厘米、宽 8.5厘米的长 方形，根据长方形的面积公式 S＝ab，求出一个面的面积，再乘 4即可。 （2）已知连翘红茶是包装在一个棱长 6厘米的小正方体铁盒中，那么长方体礼 盒的长、宽、高是 6的倍数。在长方形纸板的四个角上分别剪去边长是 6厘米、 12厘米、18厘米的正方形，然后把四边折起来即可做成一个无盖长方体礼盒， 此时长方体的长＝长方形的长－2条边长，长方体的宽＝长方形的宽－2条边长， 8 / 18 长方体的高＝正方形的边长；据此分情况讨论，求出哪种礼盒正好能装下 12小 盒连翘红茶，即可确定无盖长方体的长、宽、高，并画出裁剪示意图。 【详解】（1）32×32×8.5 ＝1024×8.5 ＝8704（立方厘米） 32×8.5×4 ＝272×4 ＝1088（平方厘米） 答：这样一个礼盒的体积是 8704立方厘米，这圈商标纸至少是 1088平方厘米。 （2）长方体礼盒的长、宽、高是 6的倍数； ①假设高是 6厘米，那么： 长：36－6－6＝24（厘米） 宽：30－6－6＝18（厘米） 长可以装：24÷6＝4（盒） 宽可以装：18÷6＝3（盒） 高可以装：6÷6＝1（盒） 一共可以装：4×3×1＝12（盒） 刚好装下这 12小盒连翘红茶，符合题意。 ②假设高是 12厘米，那么： 长：36－12－12＝12（厘米） 宽：30－12－12＝6（厘米） 长可以装：12÷6＝2（盒） 宽可以装：6÷6＝1（盒） 高可以装：12÷6＝2（盒） 一共可以装：2×1×2＝4（盒） 4＜12 不能装下这 12小盒连翘红茶，不符合题意。 ③假设高是 18厘米，那么： 长：36－18－18＝0（厘米） 9 / 18 不符合题意。 裁剪示意图如下： 答：制作成的礼盒长是 24厘米，宽是 18厘米，高是 6厘米。 【点睛】（1）掌握长方体的体积、表面积公式的运用，关键是分析出商标纸的 面积是长方体哪些面的面积之和。 （2）掌握用长方形硬纸板做无盖长方体的方法，找出长方体的长、宽、高是解 题的关键。 10．如图，这个有盖长方体铁皮水箱的容积是 40升，底面面积是 10平方分米， 箱侧面出现了漏洞，漏洞下边沿距箱口 0.8分米，现在这个水箱平放在地面上， 最多能装水多少升？（铁皮厚度不计） 【答案】32升 【分析】根据长方体的容积（体积）公式：V＝Sh，那么 h＝V÷S，据此可以求 出长方体水箱的高，然后用水箱的高减去 0.8分米求出可以装水的高，再用底面 积乘高即可求出能装水的体积。 【详解】40升＝40立方分米 40÷10－0.8 ＝4－0.8 ＝3.2（分米） 10 / 18 3.2×10＝32（立方分米） 32立方分米＝32升 答：最多能装水 32升。 【点睛】此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式， 注意：容积单位与体积单位之间的换算。 11．如下图，一个长、宽、高分别为 30厘米、16厘米、21厘米的长方体容器中 水位高度是 10厘米，如果将另一个长方体（长、宽、高分别为 16厘米、10厘 米、36厘米的铁块竖直）放入左边的容器中（贴底面齐平），那么这个容器中 的水会溢出吗？如果不溢出，那么容器中水位将上升至多少高度？如果溢出，那 会溢出多少立方厘米的水量？ 【答案】不会溢出；15厘米 【分析】根据题意可知，长方体容器中水是一个长 30厘米、宽 16厘米、高 10 厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积； 放入铁块后，水面会上升，底面积由（30×16）平方厘米变成了（30×16－16×10） 平方厘米，水的体积不变，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时容器内水 的高度； 用此时容器内水的高度与长方体容器的高度进行比较，如果小于或等于容器的高 度，则水不会溢出；反之，水的高度大于容器的高度，水会溢出，进而求出溢出 水的体积。 【详解】容器内水的体积： 30×16×10 ＝480×10 ＝4800（立方厘米） 放入铁块后水深： 11 / 18 4800÷（30×16－16×10） ＝4800÷（480－160） ＝4800÷320 ＝15（厘米） 15＜21 答：这个容器中的水不会溢出，容器中水位将上升至 15厘米。 【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活运用，抓住水的体积不变是解题的关键， 掌握放入的物体没有完全浸没时，水上升高度的求法。 12．小强要用家里的一块长方形纸板做一个物品收纳盒。这块纸板长 20厘米， 宽 16厘米，四个角减去相同的小正方形（如图所示），就能围成无盖的长方体 收纳盒。 （1）如果减去的小正方形的边长是 5厘米，围成的长方体收纳盒的容积是多少？ （2）减去的小正方形的边长还可以是多少厘米（长度取整厘米数）？这时围成 的长方体收纳盒的表面积是多少？ （3）如果用 a厘米表示要减去的小正方形的边长，请你用字母公式表示出这个 无盖长方体收纳盒的容积或表面积。 【答案】（1）300立方厘米 （2）2厘米；304平方厘米 （3）长方体收纳盒表面积：20×16－4a2，或长方体收纳盒容积：（20－2a）×（16 －2a）×a 【分析】（1）如果减去的小正方形的边长是 5厘米，那么这个收纳盒的长为（20 －2×5）厘米，宽为（16－2×5）厘米，高为 5厘米；再根据收纳盒的容积＝长× 宽×高，计算出结果即可； （2）根据题意，减去的小正方形的边长必须要小于 16厘米的一半，并且长度取 整厘米，答案不唯一，取值符合实际；收纳盒的表面积＝长方形的面积－4个小 12 / 18 正方形的面积，代入数据正确计算即可； （3）如果用 a厘米表示要减去的小正方形的边长，那么这个收纳盒的长为（20 －2a）厘米，宽为（16－2a）厘米，高为 a厘米；再根据收纳盒的容积＝长×宽× 高，收纳盒的表面积＝长方形的面积－4个小正方形的面积，列出算式化简即可。 【详解】（1）20－5×2 ＝20－10 ＝10（厘米） 16－5×2 ＝16－10 ＝6（厘米） 10×6×5 ＝60×5 ＝300（立方厘米） 答：围成的长方体收纳盒的容积是 300立方厘米。 （2）16÷2＝8（厘米） 减去的小正方形的边长还可以是 1cm、2cm、3cm、4cm、6cm或 7cm。 例如，减去的小正方形的边长是 2厘米。 20－2×2 ＝20－4 ＝16（厘米） 16－2×2 ＝16－4 ＝12（厘米） 20×16－2×2×4 ＝320－16 ＝304（平方厘米） 答：减去的小正方形的边长还可以是 2厘米（长度取整厘米数），这时围成的长 方体收纳盒的表面积是 304平方厘米。 （3）长方体收纳盒容积：（20－2a）×（16－2a）×a 13 / 18 或长方体收纳盒表面积：20×16－4a2（写出一个即可） 【点睛】此题考查了长方体的体积、表面积以及展开图的知识，关键能够正确找 出长、宽、高再解答。（写出一个即可） 13．下图是由棱长 1分米的正方体拼摆而成的，这个拼摆而成的几何体的表面积 是多少平方分米？体积是多少立方分米？至少要再摆上多少个这样的正方体就 可以拼摆成一个棱长为 4分米的大正方体？ 【答案】54平方分米；18立方分米；46个 【分析】（1）边长 1分米的正方形面积是 1平方分米，相对的面小正方形的个 数相等，观察正面、上面和右面小正方形的个数，将正面、上面和右面小正方形 的个数相加并乘 2，是这个几何体表面小正方形总个数，即表面积； （2）棱长 1分米的正方体体积是 1立方分米，共有 4层，确定每层小正方体个 数并相加，是小正方体总个数，即体积； （3）根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出棱长 4分米大正方体中小正方体 的个数，减去现有小正方体的个数即可。 【详解】（10＋7＋10）×2×（1×1） ＝27×2×1 ＝54（平方分米） （1＋2＋5＋10）×（1×1×1） ＝18×1 ＝18（立方分米） 4×4×4－18 ＝64－18 ＝46（个） 答：这个拼摆而成的几何体的表而积是 54平方分米，体积是 18立方分米，至少 要再摆上 46个这样的正方体就可以拼摆成一个棱长为 4分米的大正方体。 14 / 18 【点睛】关键是掌握并灵活运用正方体体积公式，具有一定的空间想象能力。 14．如图：一个长方体水槽宽 40厘米，高 10厘米，水槽正中间有一块高 6厘米 的隔板，将水槽下面分成了相等的 2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边 注水速度为每分钟 2升。注水 3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过 1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平。 （1）水槽的容积是多少？ （2）注满水槽共需几分钟？ 【答案】（1）60升 （2）7.5分钟 【分析】（1）设右边每分钟注水 x升，根据有隔板的左右两部分体积相等，当 3分钟之后，右边的水会流到左边，那么 3分钟之后经过的 1.5分钟左边的水的 注入量是右边和左边一起注入的，据此列方程解出右边每分钟注水多少。再根据 长方体的体积公式变形 a＝V÷b÷h，求出水槽左边（或右边）的长，进而求出整 个水槽的长，然后把数据代入体积公式解答。 （2）用整个水槽的容积除以左右两个水管每分钟共注水的体积即可解答。 【详解】（1）解：设右边每分钟注水 x升。 3×2＋1.5×（2＋x）＝3x 6＋1.5×2＋1.5x＝3x 6＋3＋1.5x＝3x 9＝3x－1.5x 1.5x＝9 x＝9÷1.5 x＝6 3×6＝18（升） 18升＝18000立方厘米 15 / 18 18000÷6÷40 ＝3000÷40 ＝75（厘米） 75×2＝150（厘米） 150×40×10 ＝6000×10 ＝60000（立方厘米） 60000立方厘米＝60升 答：水槽的容积是 60升。 （2）60÷（2＋6） ＝60÷8 ＝7.5（分钟） 答：注满水槽共需 7.5分钟。 【点睛】此题考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用及列方程解决问题的方 法。 15．壮壮需要一个盒子来装他的积木，他准备用下图长 50厘米、宽 40厘米的长 方形做一个高 10厘米的最大的无盖纸盒。 （1）在下图中动手画一画，显示壮壮是怎样剪的。 （2）你能求出这个纸盒的体积吗？ 【答案】（1）见详解 （2）6000立方厘米 【分析】（1）在长方形的四个角上分别剪去边长 10厘米的正方形，然后把四边 折起来即可做成高 10厘米的无盖纸盒。 （2）这个无盖长方体纸盒的长是（50－10×2）厘米，宽是（40－10×2）厘米， 高是 10厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求出这个纸盒 16 / 18 的体积。 【详解】（1）如图： （2）（50－10×2）×（40－10×2）×10 ＝（50－20）×（40－20）×10 ＝30×20×10 ＝6000（立方厘米） 答：这个纸盒的体积是 6000立方厘米。 【点睛】本题考查长方体的体积公式的运用，掌握用长方形做成无盖长方体的方 法，找出长方体的长、宽、高是计算长方体体积的关键。 16．小丁有一块长方体橡皮泥，长 8厘米，横截面是一个边长为 0.6厘米的正方 形，如果要捏一个棱长为 1.2厘米的小正方体，需要把这个长方体橡皮泥削去多 少厘米？ 【答案】3.2厘米 【分析】根据题意，要捏一个棱长为 1.2厘米的小正方体，根据正方体的体积公 式 V＝a3，即可求出小正方体的体积，也就是要捏成小正方体所需橡皮泥的体积； 而这个正方体是原来长方体橡皮泥截下一段后捏成的，所以正方体的体积等于截 取一段长度后的长方体的体积； 又已知长方体橡皮泥的横截面是一个边长为 0.6厘米的正方形，根据正方形的面 积公式 S＝a2求出横截面的面积，再根据 h＝V÷S求出长方体橡皮泥的长度，再 用原来的长度减去这个长度，即是要削去的长度。 【详解】小正方体的体积： 1.2×1.2×1.2 ＝1.44×1.2 17 / 18 ＝1.728（立方厘米） 长方体橡皮泥所需的长度： 1.728÷（0.6×0.6） ＝1.728÷0.36 ＝4.8（厘米） 应削去：8－4.8＝3.2（厘米） 答：需要把这个长方体橡皮泥削去 3.2厘米。 【点睛】本题考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，明确正方体的体积和截 取一段长度后长方体的体积相等是解题的关键。 17．一个长方体如下图所示，如果高增加 3厘米，就变成了正方体，且表面积比 原来增加 120平方厘米，那么原来长方体的体积是多少？ 【答案】700立方厘米 【分析】增加的是 4个小长方形的面积和。因为高增加 3厘米后变成了正方体， 所以原长方体的长和宽相等，得出增加的 4个面的面积相等。表面积增加了 120 平方厘米，用 120÷4先求出增加的 1个面的面积；再用增加的 1个面的面积÷3 求出小长方形的长、宽，即求长（或宽）列式为 120÷4÷3，再根据原来的高比长 少 3厘米求出原来的高，最后运用长方体的体积计算公式求出原长方体的体积。 【详解】长（或宽）：120÷4÷3 ＝30÷3 ＝10（厘米） 高：10－3＝7（厘米） 体积：10×10×7 ＝100×7 ＝700（立方厘米） 答：原来长方体的体积是 700立方厘米。 【点睛】一个长方体高增加一段，表面积增加的部分是增加的那部分前、后、左、 18 / 18 右 4个侧面的面积和。 18．一块正方体木料，棱长是 6厘米，在 6个面的中央各挖走一个棱长是 2厘米 的正方体洞孔。这时它的表面积、体积各是多少？ 【答案】312平方厘米；168立方厘米 【分析】 观察图形可知，在正方体木料的6个面中央各挖走一个棱长2厘米的正方体洞孔， 则每个面都减少了 1个（2×2）的面，同时又露出了 5 个（2×2）的面，所以每 个面比原来增加了 4 个（2×2）的面，那么表面积比原来增加了 6 个（2×2×4） 的面积；先根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出棱长为 6厘米的正方体木 料的表面积，再加上 6个（2×2×4）的面积，即是此时立体图形的表面积。 此时立体图形的体积＝正方体木料的体积－6个小正方体洞孔的体积，根据正方 体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求解。 【详解】表面积： 6×6×6＋2×2×4×6 ＝216＋96 ＝312（平方厘米） 体积： 6×6×6－2×2×2×6 ＝216－48 ＝168（立方厘米） 答：这时它的表面积是 312平方厘米，体积是 168立方厘米。 【点睛】本题考查正方体的表面积、体积公式的运用，在求有缺口的立体图形的 表面积时，要注意缺口的位置，原来这个位置有几个面，挖掉后露出了几个面， 与原来的面相比较，是否一样，还是多了或少了，进而根据公式列式计算。 2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列 期末学科核心素养03·空间观念与空间想象能力 一、填空题。 1．一个长方体（如图），如果高增加4cm，就变成了棱长是12cm的正方体。表面积增加了( )cm2，体积增加了( )cm3。    2．把下面这个展开图折成一个长方体。 (1)如果B面在上面，那么( )面在底面。 (2)如果C面在前面，从右面看是A面，( )面在上面。 3．从三个方向看一个空心零件，三种视图如图所示。算一算，这个空心零件的体积是( )cm3，表面积是( )。（单位：cm）    4．一根长方体木料，长2m，宽0.5m，厚2dm，把它锯成4段，表面积最少增加( )dm2。 5．用一个长是6厘米、宽是5厘米、高是3厘米的长方体的表面涂上红色，随后切成若干个棱长是1厘米的小正方体。这些小正方体中，一面涂色的小正方体有( )个，没有涂色的小正方体有( )个。 6．一个长方体如图所示，沿横截面切开两次变成了三个相同的正方体，这时表面积增加了100平方厘米，这个长方体的体积是( )。 7．一个棱长都是整厘米数的长方体的表面积是110平方厘米，已知它的六个面中有两个面的面积是大于1平方厘米的正方形，它的体积是( )立方厘米。 8．用18个棱长1cm的小正方体拼成一个体积为18cm3的长方体，表面上涂漆，然后分开，则3个面涂色的小正方体最多有( )个，最少有( )个。 二、解答题。 9．连翘，又名空壳，俗称黄花条，具有药用价值。卢氏连翘久负盛名，近年来卢氏县将连翘作为重点产业发展，开发了连翘绿茶和红茶。 （1）连翘绿茶礼盒是长32厘米、宽32厘米、高8.5厘米的长方体，这样一个礼盒的体积是多少？这种礼盒的四周还贴了一圈与它等高的商标纸（上、下面不贴），这圈商标纸至少是多少平方厘米？ （2）连翘红茶是包装在一个棱长6厘米的小正方体铁盒中，张叔叔购买了12小盒。售货员拿出一张长36厘米，宽30厘米的长方形硬纸板，制作成了一个无盖的礼盒，刚好装下这12小盒连翘红茶。 你知道她是怎样设计制作的吗？先思考怎样才能装下，然后把下面长方形分成5份。画出裁剪示意图，注意保留作图痕迹（铁盒壁和粘贴处忽略不计，且不浪费材料）。 通过计算说明制作成的礼盒长、宽、高分别是多少？ 10．如图，这个有盖长方体铁皮水箱的容积是40升，底面面积是10平方分米，箱侧面出现了漏洞，漏洞下边沿距箱口0.8分米，现在这个水箱平放在地面上，最多能装水多少升？（铁皮厚度不计） 11．如下图，一个长、宽、高分别为30厘米、16厘米、21厘米的长方体容器中水位高度是10厘米，如果将另一个长方体（长、宽、高分别为16厘米、10厘米、36厘米的铁块竖直）放入左边的容器中（贴底面齐平），那么这个容器中的水会溢出吗？如果不溢出，那么容器中水位将上升至多少高度？如果溢出，那会溢出多少立方厘米的水量？ 12．小强要用家里的一块长方形纸板做一个物品收纳盒。这块纸板长20厘米，宽16厘米，四个角减去相同的小正方形（如图所示），就能围成无盖的长方体收纳盒。 （1）如果减去的小正方形的边长是5厘米，围成的长方体收纳盒的容积是多少？ （2）减去的小正方形的边长还可以是多少厘米（长度取整厘米数）？这时围成的长方体收纳盒的表面积是多少？ （3）如果用a厘米表示要减去的小正方形的边长，请你用字母公式表示出这个无盖长方体收纳盒的容积或表面积。 13．下图是由棱长1分米的正方体拼摆而成的，这个拼摆而成的几何体的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？至少要再摆上多少个这样的正方体就可以拼摆成一个棱长为4分米的大正方体？ 14．如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面分成了相等的2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升。注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平。 （1）水槽的容积是多少？ （2）注满水槽共需几分钟？ 15．壮壮需要一个盒子来装他的积木，他准备用下图长50厘米、宽40厘米的长方形做一个高10厘米的最大的无盖纸盒。 （1）在下图中动手画一画，显示壮壮是怎样剪的。 （2）你能求出这个纸盒的体积吗？ 16．小丁有一块长方体橡皮泥，长8厘米，横截面是一个边长为0.6厘米的正方形，如果要捏一个棱长为1.2厘米的小正方体，需要把这个长方体橡皮泥削去多少厘米？ 17．一个长方体如下图所示，如果高增加3厘米，就变成了正方体，且表面积比原来增加120平方厘米，那么原来长方体的体积是多少？    18．一块正方体木料，棱长是6厘米，在6个面的中央各挖走一个棱长是2厘米的正方体洞孔。这时它的表面积、体积各是多少？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列 期末学科核心素养03·空间观念与空间想象能力 一、填空题。 1．一个长方体（如图），如果高增加4cm，就变成了棱长是12cm的正方体。表面积增加了( )cm2，体积增加了( )cm3。    【答案】 192 576 【分析】根据题意，长方体的高增加4cm，就变成了棱长是12cm的正方体，那么原来长方体的长、宽都是12cm； 增加的表面积是高为4cm的小长方体的4个侧面积之和，每个面是长为12cm、宽为4cm的长方形，求出一个面的面积，再乘4，即可求出增加的表面积； 增加的体积是高为4cm的小长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，即可求出增加的体积。 【详解】12×4×4 ＝48×4 ＝192（cm2） 12×12×4 ＝144×4 ＝576（cm3） 表面积增加了192cm2，体积增加了576cm3。 【点睛】本题考查长方体表面积、体积公式的运用，关键是根据正方体的特征得出长方体的长、宽，分析出增加的表面积是哪些面的面积是解题的关键。 2．把下面这个展开图折成一个长方体。 (1)如果B面在上面，那么( )面在底面。 (2)如果C面在前面，从右面看是A面，( )面在上面。 【答案】(1)F (2)B或F 【分析】在长方体的展开图中，F和B相对，C和E相对，A和D相对。据此可知：（1）如果B面在上面，那么F面在底面。（2）如果C面在前面，则E面在后面；如果A面在右面，则D面在左面。由此可推导出：B面在上面，则F面在下面；或者F面在上面，则B面在下面。把这个长方体的展开图折成一个长方体，有两种折法。第一种写字母的面在长方体里面，此时F面在上面；第二种写字母的面在长方体表面，此时B面在上面。 【详解】（1）因为F和B相对，所以如果B面在上面，那么F面在底面。 （2）因为C和E相对，A和D相对，如果C面在前面，从右面看是A面，那么B或F面在上面。 【点睛】解决此题时应注意把长方体的展开图折成长方体的方法有两种。 3．从三个方向看一个空心零件，三种视图如图所示。算一算，这个空心零件的体积是( )cm3，表面积是( )。（单位：cm）    【答案】 22000 5800 【分析】通过观察三种视图可知：这个空心零件是从一个长40cm，宽30cm，高20cm的长方体里挖去了一个长10cm，宽10cm，高20cm的长方体（如下图）。    根据“长方体的体积＝长×宽×高”分别求出外面大长方体的体积及里面小长方体的体积，再相减即可求出这个空心零件的体积。 先求出外面大长方体的表面积，再求出边长10cm的正方形的面积，再求出里面小长方体的4个侧面的面积和，最后用大长方体的表面积－2个边长10cm的正方形的面积＋里面小长方体的4个侧面的面积和，即可求出这个零件的表面积。 【详解】40×30×20－10×10×20 ＝24000－2000 ＝22000（cm3） （40×30＋40×20＋30×20）×2－10×10×2＋10×20×4 ＝（1200＋800＋600）×2－200＋800 ＝2600×2－200＋800 ＝5200－200＋800 ＝5000＋800 ＝5800（cm2） 所以这个空心零件的体积是22000cm3，表面积是5800cm2。 【点睛】解决此题关键是根据三视图确定几何体的形状。 4．一根长方体木料，长2m，宽0.5m，厚2dm，把它锯成4段，表面积最少增加( )dm2。 【答案】60 【分析】根据题意，把一根长方体木料锯成4段，要锯4－1＝3次；每锯一次增加2个截面，锯3次增加6个截面； 要使表面积增加的最少，也就是平行与长方体的最小面锯开，根据长方形的面积公式S＝ab，求出一个最小截面的面积，再乘6即可。注意单位的换算：1m＝10dm。 【详解】2m＝20dm 0.5m＝5dm 5×2＜20×2＜20×5 （4－1）×2 ＝3×2 ＝6（个） 5×2×6＝60（dm2） 表面积最少增加60dm2。 【点睛】掌握长方体切割的特点，明白要使表面积增加最少，要平行于长方体的最小面锯开。 5．用一个长是6厘米、宽是5厘米、高是3厘米的长方体的表面涂上红色，随后切成若干个棱长是1厘米的小正方体。这些小正方体中，一面涂色的小正方体有( )个，没有涂色的小正方体有( )个。 【答案】 38 12 【分析】根据题意可知，长方体长、宽、高上分别切割成6个、5个、3个小正方体。一面涂色的小正方体位于大长方体的面上，分别用长、宽、高减去两端的小正方体，就是处于中间面上一面涂色的小正方体在大长方体的长、宽、高上的个数，即（长－2）个、（宽－2）个、（高－2）个；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算出一面涂色的小正方体的个数； 没有涂色的小正方体在长方体的内部，它在大长方体的长、宽、高上的个数也是（长－2）个、（宽－2）个、（高－2）个；根据长方体的体积＝长×宽×高，计算出没有涂色的小正方体的个数。 【详解】每条棱分别切割成小正方体的个数： 长：6÷1＝6（个） 宽：5÷1＝5（个） 高：3÷1＝3（个） 一面涂色或没有涂色的小正方体： 长：6－2＝4（个） 宽：5－2＝3（个） 高：3－2＝1（个） 一面涂色的小正方体有： （4×3＋4×1＋3×1）×2 ＝（12＋4＋3）×2 ＝19×2 ＝38（个） 没有涂色的小正方体有：4×3×1＝12（个） 这些小正方体中，一面涂色的小正方体有38个，没有涂色的小正方体有12个。 【点睛】本题考查长方体表面积、体积公式的运用，结合长方体表面涂色的特点，明确三个面涂色的小正方体位于长方体的8个顶点处；两面涂色的小正方体位于长方体的棱上（不包括8个顶点处的小正方体）；一面涂色的小正方体位于面上（不包括两端的小正方体）；没有涂色的小正方体在长方体的内部。 6．一个长方体如图所示，沿横截面切开两次变成了三个相同的正方体，这时表面积增加了100平方厘米，这个长方体的体积是( )。 【答案】375立方厘米/375cm2 【分析】根据题意，一个长方体沿横截面切开两次变成了三个相同的正方体，那么表面积增加了4个正方形截面的面积，用增加的表面积除以4，求出一个正方形截面的面积是100÷4＝25平方厘米；根据正方形的面积公式可知，25＝5×5，所以长方体的宽、高都是5厘米，长方体的长是5×3＝15厘米，然后根据长方体的体积公式V＝Sh，代入数据计算即可求出这个长方体的体积。 【详解】一个截面的面积：100÷4＝25（平方厘米） 因为25＝5×5，所以长方体的宽、高都是5厘米； 长：5×3＝15（厘米） 体积：15×25＝375（立方厘米） 这个长方体的体积是375立方厘米。 【点睛】掌握长方体切割的特点，明确长方体切割成三个正方体，表面积增加4个正方形截面的面积，以此为突破口，求出一个截面的面积，进而求出长、宽、高，再利用长方体体积计算公式解答。 7．一个棱长都是整厘米数的长方体的表面积是110平方厘米，已知它的六个面中有两个面的面积是大于1平方厘米的正方形，它的体积是( )立方厘米。 【答案】75 【分析】由于长方体中有两个面为正方形，则长、宽、高中有两条相等的棱，可设长为b，宽和高为a（a＞1），根据长方体表面积公式得：，化简整理并分解因式得：（2b＋a）a＝55，由于a、b均为整数，且b＞1，则2b＋a和a都是55的因数，2b＋a＝11，a＝5符合题意；再解方程组可得b＝3，最后根据长方体体积＝长×宽×高，将数据代入即可。 【详解】解：设长为b厘米，宽和高为a厘米（b＞1）。 （2b＋a）a＝55 （2b＋a）a＝5×11 当a＝5时，2b＋a＝11 2b＋5＝11 2b＋5－5＝11－5 2b＝6 2b÷2＝6÷2 b＝3 长方体体积：3×5×5＝75（立方厘米） 【点睛】本题的关键是分解因数，得到长方体各边的长。 8．用18个棱长1cm的小正方体拼成一个体积为18cm3的长方体，表面上涂漆，然后分开，则3个面涂色的小正方体最多有( )个，最少有( )个。 【答案】 14 0 【分析】根据长方体的体积公式，将长方体的各种长宽高情况一一分析，再解题即可。 【详解】当拼成18×1×1的长方体时，3个面涂色的小正方体0个； 当拼成9×2×1的长方体时，3个面涂色的小正方体有14个； 当拼成6×3×1的长方体时，3个面涂色的小正方体有10个； 当拼成3×3×2的长方体时，3个面涂色的小正方体有8个； 当拼成2×3×3的长方体时，3个面涂色的小正方体有8个。 所以，3个面涂色的小正方体最多有14个，最少有0个。 【点睛】解答此题的关键是弄清小正方体是怎么拼成长方体的，从而确定小正方体涂漆的面数。 二、解答题。 9．连翘，又名空壳，俗称黄花条，具有药用价值。卢氏连翘久负盛名，近年来卢氏县将连翘作为重点产业发展，开发了连翘绿茶和红茶。 （1）连翘绿茶礼盒是长32厘米、宽32厘米、高8.5厘米的长方体，这样一个礼盒的体积是多少？这种礼盒的四周还贴了一圈与它等高的商标纸（上、下面不贴），这圈商标纸至少是多少平方厘米？ （2）连翘红茶是包装在一个棱长6厘米的小正方体铁盒中，张叔叔购买了12小盒。售货员拿出一张长36厘米，宽30厘米的长方形硬纸板，制作成了一个无盖的礼盒，刚好装下这12小盒连翘红茶。 你知道她是怎样设计制作的吗？先思考怎样才能装下，然后把下面长方形分成5份。画出裁剪示意图，注意保留作图痕迹（铁盒壁和粘贴处忽略不计，且不浪费材料）。 通过计算说明制作成的礼盒长、宽、高分别是多少？ 【答案】（1）8704立方厘米；1088平方厘米 （2）见详解；长24厘米；宽18厘米；高6厘米 【分析】（1）已知长方体礼盒的长、宽、高，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求出这个礼盒的体积。 要在礼盒的四周贴一圈与它等高的商标纸（上、下面不贴），求这圈商标纸的面积，就是求长方体的侧面积，长方体的侧面是4个长36厘米、宽8.5厘米的长方形，根据长方形的面积公式S＝ab，求出一个面的面积，再乘4即可。 （2）已知连翘红茶是包装在一个棱长6厘米的小正方体铁盒中，那么长方体礼盒的长、宽、高是6的倍数。在长方形纸板的四个角上分别剪去边长是6厘米、12厘米、18厘米的正方形，然后把四边折起来即可做成一个无盖长方体礼盒，此时长方体的长＝长方形的长－2条边长，长方体的宽＝长方形的宽－2条边长，长方体的高＝正方形的边长；据此分情况讨论，求出哪种礼盒正好能装下12小盒连翘红茶，即可确定无盖长方体的长、宽、高，并画出裁剪示意图。 【详解】（1）32×32×8.5 ＝1024×8.5 ＝8704（立方厘米） 32×8.5×4 ＝272×4 ＝1088（平方厘米） 答：这样一个礼盒的体积是8704立方厘米，这圈商标纸至少是1088平方厘米。 （2）长方体礼盒的长、宽、高是6的倍数； ①假设高是6厘米，那么： 长：36－6－6＝24（厘米） 宽：30－6－6＝18（厘米） 长可以装：24÷6＝4（盒） 宽可以装：18÷6＝3（盒） 高可以装：6÷6＝1（盒） 一共可以装：4×3×1＝12（盒） 刚好装下这12小盒连翘红茶，符合题意。 ②假设高是12厘米，那么： 长：36－12－12＝12（厘米） 宽：30－12－12＝6（厘米） 长可以装：12÷6＝2（盒） 宽可以装：6÷6＝1（盒） 高可以装：12÷6＝2（盒） 一共可以装：2×1×2＝4（盒） 4＜12 不能装下这12小盒连翘红茶，不符合题意。 ③假设高是18厘米，那么： 长：36－18－18＝0（厘米） 不符合题意。 裁剪示意图如下：        答：制作成的礼盒长是24厘米，宽是18厘米，高是6厘米。 【点睛】（1）掌握长方体的体积、表面积公式的运用，关键是分析出商标纸的面积是长方体哪些面的面积之和。 （2）掌握用长方形硬纸板做无盖长方体的方法，找出长方体的长、宽、高是解题的关键。 10．如图，这个有盖长方体铁皮水箱的容积是40升，底面面积是10平方分米，箱侧面出现了漏洞，漏洞下边沿距箱口0.8分米，现在这个水箱平放在地面上，最多能装水多少升？（铁皮厚度不计） 【答案】32升 【分析】根据长方体的容积（体积）公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，据此可以求出长方体水箱的高，然后用水箱的高减去0.8分米求出可以装水的高，再用底面积乘高即可求出能装水的体积。 【详解】40升＝40立方分米 40÷10－0.8 ＝4－0.8 ＝3.2（分米） 3.2×10＝32（立方分米） 32立方分米＝32升 答：最多能装水32升。 【点睛】此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：容积单位与体积单位之间的换算。 11．如下图，一个长、宽、高分别为30厘米、16厘米、21厘米的长方体容器中水位高度是10厘米，如果将另一个长方体（长、宽、高分别为16厘米、10厘米、36厘米的铁块竖直）放入左边的容器中（贴底面齐平），那么这个容器中的水会溢出吗？如果不溢出，那么容器中水位将上升至多少高度？如果溢出，那会溢出多少立方厘米的水量？ 【答案】不会溢出；15厘米 【分析】根据题意可知，长方体容器中水是一个长30厘米、宽16厘米、高10厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积； 放入铁块后，水面会上升，底面积由（30×16）平方厘米变成了（30×16－16×10）平方厘米，水的体积不变，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时容器内水的高度； 用此时容器内水的高度与长方体容器的高度进行比较，如果小于或等于容器的高度，则水不会溢出；反之，水的高度大于容器的高度，水会溢出，进而求出溢出水的体积。 【详解】容器内水的体积： 30×16×10 ＝480×10 ＝4800（立方厘米） 放入铁块后水深： 4800÷（30×16－16×10） ＝4800÷（480－160） ＝4800÷320 ＝15（厘米） 15＜21 答：这个容器中的水不会溢出，容器中水位将上升至15厘米。 【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活运用，抓住水的体积不变是解题的关键，掌握放入的物体没有完全浸没时，水上升高度的求法。 12．小强要用家里的一块长方形纸板做一个物品收纳盒。这块纸板长20厘米，宽16厘米，四个角减去相同的小正方形（如图所示），就能围成无盖的长方体收纳盒。 （1）如果减去的小正方形的边长是5厘米，围成的长方体收纳盒的容积是多少？ （2）减去的小正方形的边长还可以是多少厘米（长度取整厘米数）？这时围成的长方体收纳盒的表面积是多少？ （3）如果用a厘米表示要减去的小正方形的边长，请你用字母公式表示出这个无盖长方体收纳盒的容积或表面积。 【答案】（1）300立方厘米 （2）2厘米；304平方厘米 （3）长方体收纳盒表面积：20×16－4a2，或长方体收纳盒容积：（20－2a）×（16－2a）×a 【分析】（1）如果减去的小正方形的边长是5厘米，那么这个收纳盒的长为（20－2×5）厘米，宽为（16－2×5）厘米，高为5厘米；再根据收纳盒的容积＝长×宽×高，计算出结果即可； （2）根据题意，减去的小正方形的边长必须要小于16厘米的一半，并且长度取整厘米，答案不唯一，取值符合实际；收纳盒的表面积＝长方形的面积－4个小正方形的面积，代入数据正确计算即可； （3）如果用a厘米表示要减去的小正方形的边长，那么这个收纳盒的长为（20－2a）厘米，宽为（16－2a）厘米，高为a厘米；再根据收纳盒的容积＝长×宽×高，收纳盒的表面积＝长方形的面积－4个小正方形的面积，列出算式化简即可。 【详解】（1）20－5×2 ＝20－10 ＝10（厘米） 16－5×2 ＝16－10 ＝6（厘米） 10×6×5 ＝60×5 ＝300（立方厘米） 答：围成的长方体收纳盒的容积是300立方厘米。 （2）16÷2＝8（厘米） 减去的小正方形的边长还可以是1cm、2cm、3cm、4cm、6cm或7cm。 例如，减去的小正方形的边长是2厘米。 20－2×2 ＝20－4 ＝16（厘米） 16－2×2 ＝16－4 ＝12（厘米） 20×16－2×2×4 ＝320－16 ＝304（平方厘米） 答：减去的小正方形的边长还可以是2厘米（长度取整厘米数），这时围成的长方体收纳盒的表面积是304平方厘米。 （3）长方体收纳盒容积：（20－2a）×（16－2a）×a 或长方体收纳盒表面积：20×16－4a2（写出一个即可） 【点睛】此题考查了长方体的体积、表面积以及展开图的知识，关键能够正确找出长、宽、高再解答。（写出一个即可） 13．下图是由棱长1分米的正方体拼摆而成的，这个拼摆而成的几何体的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？至少要再摆上多少个这样的正方体就可以拼摆成一个棱长为4分米的大正方体？ 【答案】54平方分米；18立方分米；46个 【分析】（1）边长1分米的正方形面积是1平方分米，相对的面小正方形的个数相等，观察正面、上面和右面小正方形的个数，将正面、上面和右面小正方形的个数相加并乘2，是这个几何体表面小正方形总个数，即表面积； （2）棱长1分米的正方体体积是1立方分米，共有4层，确定每层小正方体个数并相加，是小正方体总个数，即体积； （3）根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出棱长4分米大正方体中小正方体的个数，减去现有小正方体的个数即可。 【详解】（10＋7＋10）×2×（1×1） ＝27×2×1 ＝54（平方分米） （1＋2＋5＋10）×（1×1×1） ＝18×1 ＝18（立方分米） 4×4×4－18 ＝64－18 ＝46（个） 答：这个拼摆而成的几何体的表而积是54平方分米，体积是18立方分米，至少要再摆上46个这样的正方体就可以拼摆成一个棱长为4分米的大正方体。 【点睛】关键是掌握并灵活运用正方体体积公式，具有一定的空间想象能力。 14．如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面分成了相等的2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升。注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平。 （1）水槽的容积是多少？ （2）注满水槽共需几分钟？ 【答案】（1）60升 （2）7.5分钟 【分析】（1）设右边每分钟注水x升，根据有隔板的左右两部分体积相等，当3分钟之后，右边的水会流到左边，那么3分钟之后经过的1.5分钟左边的水的注入量是右边和左边一起注入的，据此列方程解出右边每分钟注水多少。再根据长方体的体积公式变形a＝V÷b÷h，求出水槽左边（或右边）的长，进而求出整个水槽的长，然后把数据代入体积公式解答。 （2）用整个水槽的容积除以左右两个水管每分钟共注水的体积即可解答。 【详解】（1）解：设右边每分钟注水x升。 3×2＋1.5×（2＋x）＝3x 6＋1.5×2＋1.5x＝3x 6＋3＋1.5x＝3x 9＝3x－1.5x 1.5x＝9 x＝9÷1.5 x＝6 3×6＝18（升） 18升＝18000立方厘米 18000÷6÷40 ＝3000÷40 ＝75（厘米） 75×2＝150（厘米） 150×40×10 ＝6000×10 ＝60000（立方厘米） 60000立方厘米＝60升 答：水槽的容积是60升。 （2）60÷（2＋6） ＝60÷8 ＝7.5（分钟） 答：注满水槽共需7.5分钟。 【点睛】此题考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用及列方程解决问题的方法。 15．壮壮需要一个盒子来装他的积木，他准备用下图长50厘米、宽40厘米的长方形做一个高10厘米的最大的无盖纸盒。 （1）在下图中动手画一画，显示壮壮是怎样剪的。 （2）你能求出这个纸盒的体积吗？ 【答案】（1）见详解 （2）6000立方厘米 【分析】（1）在长方形的四个角上分别剪去边长10厘米的正方形，然后把四边折起来即可做成高10厘米的无盖纸盒。 （2）这个无盖长方体纸盒的长是（50－10×2）厘米，宽是（40－10×2）厘米，高是10厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求出这个纸盒的体积。 【详解】（1）如图： （2）（50－10×2）×（40－10×2）×10 ＝（50－20）×（40－20）×10 ＝30×20×10 ＝6000（立方厘米） 答：这个纸盒的体积是6000立方厘米。 【点睛】本题考查长方体的体积公式的运用，掌握用长方形做成无盖长方体的方法，找出长方体的长、宽、高是计算长方体体积的关键。 16．小丁有一块长方体橡皮泥，长8厘米，横截面是一个边长为0.6厘米的正方形，如果要捏一个棱长为1.2厘米的小正方体，需要把这个长方体橡皮泥削去多少厘米？ 【答案】3.2厘米 【分析】根据题意，要捏一个棱长为1.2厘米的小正方体，根据正方体的体积公式V＝a3，即可求出小正方体的体积，也就是要捏成小正方体所需橡皮泥的体积；而这个正方体是原来长方体橡皮泥截下一段后捏成的，所以正方体的体积等于截取一段长度后的长方体的体积； 又已知长方体橡皮泥的横截面是一个边长为0.6厘米的正方形，根据正方形的面积公式S＝a2求出横截面的面积，再根据h＝V÷S求出长方体橡皮泥的长度，再用原来的长度减去这个长度，即是要削去的长度。 【详解】小正方体的体积： 1.2×1.2×1.2 ＝1.44×1.2 ＝1.728（立方厘米） 长方体橡皮泥所需的长度： 1.728÷（0.6×0.6） ＝1.728÷0.36 ＝4.8（厘米） 应削去：8－4.8＝3.2（厘米） 答：需要把这个长方体橡皮泥削去3.2厘米。 【点睛】本题考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，明确正方体的体积和截取一段长度后长方体的体积相等是解题的关键。 17．一个长方体如下图所示，如果高增加3厘米，就变成了正方体，且表面积比原来增加120平方厘米，那么原来长方体的体积是多少？    【答案】700立方厘米 【分析】增加的是4个小长方形的面积和。因为高增加3厘米后变成了正方体，所以原长方体的长和宽相等，得出增加的4个面的面积相等。表面积增加了120平方厘米，用120÷4先求出增加的1个面的面积；再用增加的1个面的面积÷3求出小长方形的长、宽，即求长（或宽）列式为120÷4÷3，再根据原来的高比长少3厘米求出原来的高，最后运用长方体的体积计算公式求出原长方体的体积。 【详解】长（或宽）：120÷4÷3 ＝30÷3 ＝10（厘米） 高：10－3＝7（厘米） 体积：10×10×7 ＝100×7 ＝700（立方厘米） 答：原来长方体的体积是700立方厘米。 【点睛】一个长方体高增加一段，表面积增加的部分是增加的那部分前、后、左、右4个侧面的面积和。 18．一块正方体木料，棱长是6厘米，在6个面的中央各挖走一个棱长是2厘米的正方体洞孔。这时它的表面积、体积各是多少？ 【答案】312平方厘米；168立方厘米 【分析】 观察图形可知，在正方体木料的6个面中央各挖走一个棱长2厘米的正方体洞孔，则每个面都减少了1个（2×2）的面，同时又露出了5个（2×2）的面，所以每个面比原来增加了4个（2×2）的面，那么表面积比原来增加了6个（2×2×4）的面积；先根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出棱长为6厘米的正方体木料的表面积，再加上6个（2×2×4）的面积，即是此时立体图形的表面积。 此时立体图形的体积＝正方体木料的体积－6个小正方体洞孔的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求解。 【详解】表面积： 6×6×6＋2×2×4×6 ＝216＋96 ＝312（平方厘米） 体积： 6×6×6－2×2×2×6 ＝216－48 ＝168（立方厘米） 答：这时它的表面积是312平方厘米，体积是168立方厘米。 【点睛】本题考查正方体的表面积、体积公式的运用，在求有缺口的立体图形的表面积时，要注意缺口的位置，原来这个位置有几个面，挖掉后露出了几个面，与原来的面相比较，是否一样，还是多了或少了，进而根据公式列式计算。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$