专题06 空间角、距离的计算（考点清单，7题型解读）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题06 空间角、距离的计算 【考点题型一】异面直线所成的角 （1）异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．若异面直线所成的角是直角，则称异面直线互相垂直，记作 ②范围：. 【规律方法】 1.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行． 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 2.提醒：求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 【例1】（23-24高一下·江苏连云港·期中）如图，在正方体中，是的中点，求与两条异面直线所成角的正弦值为    【变式1-1】（23-24高二下·青海海西·期末）在正方体中，异面直线与所成角的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】【多选题】（22-23高一下·陕西西安·期末）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是（    ） A．直线与直线相交； B．直线与直线平行； C．直线BM与直线是异面直线； D．直线与直线成角. 【变式1-3】（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在正方体中，分别为和的中点，则下列说法正确的序号有 . ①，，，四点共面；②平面；③与所成角为. 【考点题型二】直线与平面所成的角 1.定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 2.规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0°.因此，直线与平面所成的角的范围是 [0°，90°]. 【规律方法】 求线面角的方法： (1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． (2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等． 【例2】（23-24高一下·宁夏石嘴山·期中）如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与的所成角的余弦值． 【变式2-1】（2024届河南省名校联盟考前模拟大联考三模数学试题）在长方体中，与平面所成的角为与所成的角为，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（21-22高二上·陕西咸阳·期末）如图是一个无盖的正方体盒子展开图，A，B，C，D是展开图上的四点，BD则在正方体盒子中，AD与平面ABC所成角的正弦值为 . 【变式2-3】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在正四面体中，平面，D为AB中点，在CD上.    (1)求与平面的夹角正弦值； (2)求证：. 【考点题型三】二面角 （1）有关概念：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． （2）平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角. 如图，OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角. （3）范围：[0，π] （4）记法：棱为l，面分别为α，β的二面角记为α－l－β.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－l－Q （5）度量：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角 【规律方法】 1.求二面角大小的步骤： 简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择． 2．作二面角的平面角的方法： 方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线． 如右图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角． 方法二：(垂线法)过二面的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角． 如图所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角． 方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角． 如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角． 【例3】（2023·黑龙江佳木斯·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，，底面为等腰梯形，，且． (1)证明：平面平面； (2)若点A到平面PBC的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 【变式3-1】（2024高一下·江苏·专题练习）直角三角形的斜边在平面内，两条直角边分别与平面成和角，则这个直角三角形所在的平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 ． 【变式3-2】（23-24高一下·辽宁·期中）如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，，. (1)证明：. (2)求二面角的正切值. 【变式3-3】（23-24高一下·吉林·期中）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且． (1)证明：平面． (2)证明：平面平面． (3)若，求二面角的正切值． 【考点题型四】点到平面的距离 定义：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离. 【规律方法】定义法、等积法求点到平面的距离. 【例4】（2024·四川·三模）正方体的棱长为2，分别是的中点. (1)求证：面； (2)求点到平面的距离. 【变式4-1】（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）若平面截球所得截面圆的面积为，且球心到平面的距离为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在四棱锥中，为的中点，连接，且. (1)求证：平面平面； (2)若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 【变式4-3】（2024·四川南充·三模）已知如图，在矩形中，，，将沿折起，得到三棱锥，其中是折叠前的，过M作的垂线，垂足为H，. (1)求证：； (2)过H作的垂线，垂足为N，求点N到平面的距离. 【考点题型五】直线与平面间的距离 定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这这条直线和这个平面的距离. 【例5】（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，已知直角三角形ABC的斜边平面，A在平面上，AB，AC分别与平面成和的角，． (1)求BC到平面的距离； (2)求平面与平面的夹角． 【变式5-1】（23-24高一下·安徽铜陵·期中）榫卯结构是中国古建筑的一种结构方式，榫卯连接方式的发明体现了中国古代劳动人民的智慧．图（1）所示的木根是榫卯结构中常用的一种配件，某个木楔简化后的几何图形如图（2）所示．在几何体中，四边形为矩形，，，都与底面ABC垂直，，，，直线到平面的距离为，则几何体的体积为（    ）    A．8 B．11 C．14 D．18 【变式5-2】（23-24高一下·天津南开·期中）庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】【多选题】（2024·全国·模拟预测）在棱长为1的正方体中，是线段的中点，以下关于直线的结论正确的有（    ） A．与平面平行 B．与直线垂直 C．与直线所成角为 D．与平面的距离为 【考点题型六】平行平面间的距离 与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线.它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离. 【例6】（2024高一下·全国·专题练习）用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为 . 【变式6-1】（20-21高一·江苏·课后作业）上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（    ） A．4 B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二下·辽宁·开学考试）若球的两个平行截面的面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差为，则球的直径为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】【多选题】（2024·河北唐山·一模）在透明的密闭正三棱柱容器内灌进一些水，已知．如图，当竖直放置时，水面与地面距离为3．固定容器底面一边AC于地面上，再将容器按如图方向倾斜，至侧面与地面重合的过程中，设水面所在平面为α，则（   ）    A．水面形状的变化：三角形⇒梯形⇒矩形 B．当时，水面的面积为 C．当时，水面与地面的距离为 D．当侧面与地面重合时，水面的面积为12 【考点题型七】异面直线间的距离 与两异面直线垂直且相交的的直线，叫做异面直线的公垂线，夹在异面直线之间的线段，就是这两条异面直线间的距离 【规律方法】 定义法、转化法求异面直线间的距离． 【例7】（23-24高二上·辽宁·阶段练习）如图，已知棱长为4的正方体为的中点，为的中点，，且面. (1)求证：四点共面，并确定点位置； (2)求异面直线与之间的距离； (3)作出经过点的截面（不需说明理由，直接注明点的位置），并求出该截面的周长. 【变式7-1】（23-24高二上·上海黄浦·期中）已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是 . 【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2BC＝2，则异面直线B1D1与CD的距离为 ；异面直线BD1与CD的距离为 ． 【变式7-3】（2024高三·全国·专题练习）正六棱柱中，底面边长和高均为，求和两异面直线间的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 空间角、距离的计算 【考点题型一】异面直线所成的角 （1）异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．若异面直线所成的角是直角，则称异面直线互相垂直，记作 ②范围：. 【规律方法】 1.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行． 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 2.提醒：求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 【例1】（23-24高一下·江苏连云港·期中）如图，在正方体中，是的中点，求与两条异面直线所成角的正弦值为    【答案】 【分析】构造平行线，将异面直线转化为相交直线，在利用余弦定理求解夹角余弦值，最后求解正弦值即可. 【详解】    如图，作//，易知是的中点，连接，故即为所求角， 设正方体的棱长为，由勾股定理得，， 在中，由余弦定理得， 易知，故. 故答案为： 【变式1-1】（23-24高二下·青海海西·期末）在正方体中，异面直线与所成角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据异面直线定义得异直线与所成角即为与所成角，再由正方体性质可求解. 【详解】由正方体性质得异直线与所成角即为与所成角， 由正方体结构特征可知为等边三角形， 因此与所成角为. 故选：C. 【变式1-2】【多选题】（22-23高一下·陕西西安·期末）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是（    ） A．直线与直线相交； B．直线与直线平行； C．直线BM与直线是异面直线； D．直线与直线成角. 【答案】CD 【分析】将正方体的平面展开图，复原为正方体，根据异面直线的定义，可判定A、B不正确；C正确；再结合异面直线所成的角的定义与求解，可判定D正确. 【详解】如图所示，将正方体的平面展开图，复原为正方体， 对于A中，直线与不同在任何一个平面内，否则四点共面，（矛盾）， 所以直线与为异面直线，所以A不正确； 对于B中，直线与不同在任何一个平面内，否则四点共面，（矛盾）， 所以直线与为异面直线，所以B不正确； 对于C中，平面平面，平面，平面， 所以直线与不相交，连接，则，而与相交， 所以与不平行，否则，不合题意， 所以直线与是异面直线，所以C正确； 对于D中，连接，则为正三角形，可得， 又由，则为直线与直线所成的角， 即直线与直线所成的角为，所以D正确. 故选：CD. 【变式1-3】（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在正方体中，分别为和的中点，则下列说法正确的序号有 . ①，，，四点共面；②平面；③与所成角为. 【答案】②③ 【分析】对于①：用异面直线判定定理即可判断；对于②：利用线面平行的判定定理即可判断；对于③：利用为正三角形，可得与成角60°，即可求出与成角. 【详解】对于①：平面中，平面，平面， 又，则为异面直线，因此，，，四点不共面，故①错； 对于②：连结，如图： 在正方体中，,又， 则四边形为平行四边形，所以， 因为分别为的中点， 所以，，又平面，平面， 故平面，故②对； 对于③：在正方体中，连结， 因为分别为和的中点，所以, 所以四边形为平行四边形，所以 因为，所以为正三角形， 所以与成角60°，即与所成角为.故④对. 故答案为：②③. 【考点题型二】直线与平面所成的角 1.定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 2.规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0°.因此，直线与平面所成的角的范围是 [0°，90°]. 【规律方法】 求线面角的方法： (1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． (2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等． 【例2】（23-24高一下·宁夏石嘴山·期中）如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与的所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，构造线线平行，即可求解； （2）根据（1）的结果，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，再根据几何关系判断位置关系已经边长，即可求解. 【详解】（1）证明：连接交于点M，连接MD， MD为的中位线，故， 平面，不在平面内， 所以平面． （2）因为平面ABC，D是BC的中点，，， 所以，△ABC为直角三角形， 所以， 因为平面ABC，AC，平面ABC， 所以，， 所以，， 在中，，，， 直线与所成的角为与所成的角，即为， ，. 所以直线与的所成角的余弦值为. 【变式2-1】（2024届河南省名校联盟考前模拟大联考三模数学试题）在长方体中，与平面所成的角为与所成的角为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助线面角定义与等角定理可得与相等，与相等，结合线面垂直的性质定理计算即可得. 【详解】连接，由长方体的性质可得平面， 故与平面所成的角为与相等， 又平面，故平面，即， 又，故与所成的角与与所成角相等， 即与相等，又， 故.    故选：C. 【变式2-2】（21-22高二上·陕西咸阳·期末）如图是一个无盖的正方体盒子展开图，A，B，C，D是展开图上的四点，BD则在正方体盒子中，AD与平面ABC所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】先复原正方体，再构造线面角后可求正弦值. 【详解】 复原后的正方体如图所示，设所在面的正方形的余下的一个顶点为， 连接，则平面， 故为AD与平面ABC所成角，而， 故为AD与平面ABC所成角的正弦值为. 故答案为：. 【变式2-3】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在正四面体中，平面，D为AB中点，在CD上.    (1)求与平面的夹角正弦值； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直可得即为与平面的夹角，即可利用重心的性质以及勾股定理求解长度求解， （2）根据线面垂直的性质可得线线垂直，即可根据线线垂直求证线面垂直，即可求证. 【详解】（1）设正四面体的棱长为，连接， 由于平面，平面， 故，且为等边三角形的中心，即为与平面的夹角， 则 ， 故，    （2）由于平面，平面，故， 又，平面， 故平面，平面， 故. 【考点题型三】二面角 （1）有关概念：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． （2）平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角. 如图，OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角. （3）范围：[0，π] （4）记法：棱为l，面分别为α，β的二面角记为α－l－β.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－l－Q （5）度量：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角 【规律方法】 1.求二面角大小的步骤： 简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择． 2．作二面角的平面角的方法： 方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线． 如右图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角． 方法二：(垂线法)过二面的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角． 如图所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角． 方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角． 如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角． 【例3】（2023·黑龙江佳木斯·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，，底面为等腰梯形，，且． (1)证明：平面平面； (2)若点A到平面PBC的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由题意中的面面垂直得到平面，从而得到，再由题意中给出的棱长信息得到，进而得到平面即可求证. （2）延长交于点S，得，且平面平面，过作的垂面即可找到二面角的平面角，进而通过求即可求出平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 又平面，， 所以平面，又平面， 所以， 过C作交于点G，则由题意， 所以，， 所以，即，又，、平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （2）过A作交于点E， 由（1）可得平面平面，又平面平面， 所以平面，点A到平面PBC的距离为， 所以， 又由（1）平面可得， 所以，所以， 延长交于点S，则平面平面， 又由为等腰梯形，且以及，可得 ，分别为的中点， 连接，则，且， 又由平面，可得，又，、平面， 所以平面，又平面， 所以，过D作，交于点，连接， 则由得平面，所以为二面角的的平面角， 又在和中，， 所以，故， 所以. 故平面与平面夹角的余弦值为. 【变式3-1】（2024高一下·江苏·专题练习）直角三角形的斜边在平面内，两条直角边分别与平面成和角，则这个直角三角形所在的平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 ． 【答案】/0.5 【分析】过点作平面，垂足为，连接，过作，垂足为，连接，可证平面，即为所求，设，再根据和的线面角，在三角形中求得各边的长度，进而得到. 【详解】过点作平面，垂足为，连接， 过作，垂足为，连接， ∵平面，则， ∵，，，平面， 则平面，且平面， ∴，即所求二面角的平面角为， 设，分别与平面成和角， 则， 的面积， 所以，， ，所以， 故所求锐二面角的余弦值为． 故答案为：. 【变式3-2】（23-24高一下·辽宁·期中）如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，，. (1)证明：. (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，再由勾股定理和中位线得到，进而得到平面，即可证明； （2）取的中点，过作交于，连接，由几何关系证明为二面角的平面角，再由勾股定理和等面积求出即可求出结果. 【详解】（1）因为平面PAB，平面， 所以， E，F分别为BC，PC的中点，由中位线的性质可得 在中，， 又，，， 所以为直角，即， 平面， 所以平面， 平面， （2） 根据题意，取的中点，过作交于，连接， 因为为中点，为，则，且， 又平面， 平面， 平面，而平面，， 又，平面， 所以平面， 平面，，即为二面角的平面角， 所以在中，，则， 由等面积可得， 所以，即二面角的正切值为. 【变式3-3】（23-24高一下·吉林·期中）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且． (1)证明：平面． (2)证明：平面平面． (3)若，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（1）由题意可得，根据线面垂直的性质可得，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）如图，易证，由（1）得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）如图，根据线面垂直的判定定理可得平面，则，易证，则∠AHF为二面角的平面角的补角．结合等面积法求得FH，即可求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC， 则，，所以点A的曲率为， 所以．因为，所以△ABC为正三角形． 因为N为AB的中点，所以． 又平面ABC，平面ABC，所以， 因为，平面，所以平面． （2）取的中点D，连接DM，DN． 因为N为AB的中点，所以且． 又且，所以且， 所以四边形CNDM为平行四边形，则． 由（1）知平面，则平面． 又平面，所以平面平面． （3）取BC的中点F，连接AF，则． 因为平面ABC，平面ABC，所以， 因为，平面，所以平面． 又平面，所以，过F作的垂线，垂足为H，连接AH， 则，又平面，所以平面， 又平面，， 所以∠AHF为二面角的平面角的补角． 设，，则，，． 由等面积法可得，则， 则，故二面角的正切值为． 【考点题型四】点到平面的距离 定义：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离. 【规律方法】定义法、等积法求点到平面的距离. 【例4】（2024·四川·三模）正方体的棱长为2，分别是的中点. (1)求证：面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线定理构建线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行即可. （2）利用线面平行合理转化点面距离，再利用等体积法处理即可. 【详解】（1） 连接，因为分别是的中点， 由中位线定理得，又， 所以，所以四点共面，由于是AD的中点， 则且那么四边形为平行四边形， 从而，又面面故面， （2）由上问结论知点到平面的距离等于点到平面的距离. 易得， 利用余弦定理得 则 设点到平面的距离， 利用等体积法， 可得， 即点到平面的距离为. 【变式4-1】（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）若平面截球所得截面圆的面积为，且球心到平面的距离为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用球的截面小圆性质及球的面积公式计算即得. 【详解】由平面截球所得截面圆的面积为，得此截面小圆半径，而球心到此小圆距离， 因此球的半径，有， 所以球的表面积. 故选：C 【变式4-2】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在四棱锥中，为的中点，连接，且. (1)求证：平面平面； (2)若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析; (2)1. 【分析】（1）先证明四棱锥为正四棱锥，且所有棱长均相等，然后再证明平面，即可得证面面垂直； （2）可利用第一问的结论，把点到平面的距离等价转化到点到平面的距离的一半，即等于，然后再利用体积去求出这些相等的棱长，就可以得到答案;也可以利用等体积法去求点到平面的距离. 【详解】（1） 如图，连接，由得，四边形是菱形， 再由得，四边形是正方形，设正方形的中心为， 由，可知， 由底面是正方形可知：，又因为， 所以，即， 又因为，所以，即， 又因为平面，平面，， 所以平面， 即可得到四棱锥为正四棱锥，且所有棱长均相等， 所以，所以. 在中，，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）解法一： 由题意，得正方形的面积是梯形面积的. 因为四棱锥的体积为，所以正四棱锥的体积为. 设正四棱锥的棱长为，则正方形的面积为. 设与交于点，连接，则为正四棱锥的高. 因为，所以， 所以正四棱锥的体积为，解得. 由（1），知平面，所以点到平面的距离为2. 易知，且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面平面，所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 又是的中点，所以点到平面的距离等于点到平面距离的， 即点到平面的距离等于点到平面距离的， 所以点到平面的距离为1. 解法二： 由题意，知四棱锥的体积为，解得， 所以. 易知，且，所以四边形是平行四边形，所以. 在中，易得，所以在中，， 所以， 所以.连接，则. 设点到平面的距离为，由， 得，即，解得， 所以点到平面的距离为1. 【变式4-3】（2024·四川南充·三模）已知如图，在矩形中，，，将沿折起，得到三棱锥，其中是折叠前的，过M作的垂线，垂足为H，. (1)求证：； (2)过H作的垂线，垂足为N，求点N到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接，利用余弦定理、勾股定理的逆定理证明，再利用线面垂直的判定性质推理即得. （2）证明平面，再利用等体积法求出点到平面的距离即可. 【详解】（1）连接，由，， 得， 在中，由余弦定理得， 则，于是，而平面， 因此平面，又平面， 所以. （2）在中，由，，得，而平面， 平面，则平面，于是点到平面的距离等于点到平面的距离， 又，设点到平面的距离为，则， ，， ，， 由，得，即，解得， 所以点N到平面的距离. 【考点题型五】直线与平面间的距离 定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这这条直线和这个平面的距离. 【例5】（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，已知直角三角形ABC的斜边平面，A在平面上，AB，AC分别与平面成和的角，． (1)求BC到平面的距离； (2)求平面与平面的夹角． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）过作平面的垂线，利用直角三角形边角关系及勾股定理建立方程求解. （2）作出二面角的平面角，利用余弦定理、三角形面积公式求解即得. 【详解】（1）过作，垂足为，过作，垂足为，连、、， 则，， 设BC到平面的距离为，由平面，得 ， 在中，，则，在中， ， 在中，，则，所以. （2）由（1）知，四边形是矩形，过点作直线，显然， 在平面内过点作于，则，过作交于，连接， 则，有，而平面， 于是平面，又平面，则，即平面与平面的夹角， 由（1）知，，则， 在△中，，则， 于是，， 因此，又，则， 所以平面与平面的夹角为. 【变式5-1】（23-24高一下·安徽铜陵·期中）榫卯结构是中国古建筑的一种结构方式，榫卯连接方式的发明体现了中国古代劳动人民的智慧．图（1）所示的木根是榫卯结构中常用的一种配件，某个木楔简化后的几何图形如图（2）所示．在几何体中，四边形为矩形，，，都与底面ABC垂直，，，，直线到平面的距离为，则几何体的体积为（    ）    A．8 B．11 C．14 D．18 【答案】B 【分析】将几何体被分割为四棱锥与直三棱柱，再分别求出四棱锥和直三棱柱的体积即可. 【详解】    如图，作，，分别在棱，上，连接， 则几何体被分割为四棱锥与直三棱柱． ∵点到平面的距离为， ∴四棱锥的高为， 又四边形的面积为， ∴． ∵，，都与底面垂直， ∴即为直三棱柱的高， 而， ∴， 故几何体的体积为． 故选：B. 【变式5-2】（23-24高一下·天津南开·期中）庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点分别为，把可得几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥，结合柱体和锥体的体积公式，即可求解. 【详解】取的中点分别为，连接， 可得几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥， 将三棱柱补成一个上底面与矩形全等的矩形的平行六面体， 可得该三棱柱的体积为平行六面体的一半， 则三棱柱的体积为， 四棱锥的体积为， 所以该几何体的体积为. 故选：D. 【变式5-3】【多选题】（2024·全国·模拟预测）在棱长为1的正方体中，是线段的中点，以下关于直线的结论正确的有（    ） A．与平面平行 B．与直线垂直 C．与直线所成角为 D．与平面的距离为 【答案】ABD 【分析】通过证明平面平面，即可判断A，通过证明平面，即可判断B，由，所以与所成角就是直线与直线所成角，利用余弦定理求出，即可判断C，利用等体积法求出点到平面的距离，即可判断D. 【详解】因为且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 又，平面， 所以平面平面，而平面，故平面，选项A正确； 因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，而平面，故，选项B正确； 由于，所以与所成角就是直线与直线所成角， 因为，，， 所以， 所以，即与直线所成角为，选项C不正确； 由选项A可知，与平面的距离就是点到平面的距离． 设点到平面的距离为，由，得， 即，解得，即与平面的距离为，选项D正确. 故选：ABD． 【考点题型六】平行平面间的距离 与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线.它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离. 【例6】（2024高一下·全国·专题练习）用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为 . 【答案】/ 【分析】由题意画出图形，可得平面，平面，求出正方体的体对角线长，再由等体积法求得，则平面与平面间的距离可求． 【详解】由题意知：正六面体是棱长为的正方体，    有且，则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，则有平面， 同理平面， ，平面，平面平面， 连接， ，，，平面，平面， 又平面，，同理可证得：， 又平面，， 平面，平面， 设垂足分别为，则平面与平面间的距离为. 正方体的体对角线长为. 在三棱锥中，，易知， 则由等体积法求得：， ∴平面与平面间的距离为：. 故答案为：. 【变式6-1】（20-21高一·江苏·课后作业）上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意得到所以圆台上、下底面半径分别为6和7，再画出图形，利用勾股定理求解即可. 【详解】设圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R， 由题意可知：，解得， 如图可得：， 满足关系式，即，求得， 即两底面之间的距离为. 故选：D. 【变式6-2】（23-24高二下·辽宁·开学考试）若球的两个平行截面的面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差为，则球的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出截面图，即可根据勾股定理给求出球的半径. 【详解】设球心为，半径为， 若两平面在球心同一侧，画出其截面图，如图： 设， 由题可得，，，， 则，解得． 故球的直径为． 若两平面在球心两侧，画出其截面图，如图： 设， 由题可得，，，， 则，解得（不合题意舍去）． 故选：D． 【变式6-3】【多选题】（2024·河北唐山·一模）在透明的密闭正三棱柱容器内灌进一些水，已知．如图，当竖直放置时，水面与地面距离为3．固定容器底面一边AC于地面上，再将容器按如图方向倾斜，至侧面与地面重合的过程中，设水面所在平面为α，则（   ）    A．水面形状的变化：三角形⇒梯形⇒矩形 B．当时，水面的面积为 C．当时，水面与地面的距离为 D．当侧面与地面重合时，水面的面积为12 【答案】ABC 【分析】根据题设条件得到，正三棱柱的体积，再结合各个选项的条件，逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】由题知，正三棱柱的体积， 对于选项A，当容器按题设方向倾斜至时，水面形状是三角形，再倾斜时，水面形状是梯形，直到侧面与地面重合时，水面形状是矩形，所以选项A正确， 对于选项B，如图1，当容器按题设方向倾斜至时，设水面与棱的交点为， 设，又三棱柱为正三棱柱，取中点，连接， 易知，又，面， 所以面，所以到平面的距离为， 所以，解得， 此时水面图形为，又，， 取中点，则，且，所以，故选项B正确，    对于选项C，如图2，当容器按题设方向倾斜至时，设水面与棱的交点为， 易知，设，由，得到， 因为水面始终与地面平行，始终与水面平行，且始终在地面上， 所以水面与地面的距离，即到平面的距离， 取中点，连接，设交于，连接， 易知，又，面，所以面， 又，所以面，过作于，连接， 因为面，所以，又，面， 所以，即为水平面到地面的距离， 如图3，过作于，易知，所以， 得到，又，所以， 故选项C正确，    对于选项D，如图4，当侧面与地面重合时，水面为矩形，设， 则由，解得，所以， 故，所以选项D错误，    【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项C，利用容器倾斜时始终与地面平行，边始终与水面平行，将问题转化成到水面的距离，再利用几何关系，即可求出结果. 【考点题型七】异面直线间的距离 与两异面直线垂直且相交的的直线，叫做异面直线的公垂线，夹在异面直线之间的线段，就是这两条异面直线间的距离 【规律方法】 定义法、转化法求异面直线间的距离． 【例7】（23-24高二上·辽宁·阶段练习）如图，已知棱长为4的正方体为的中点，为的中点，，且面. (1)求证：四点共面，并确定点位置； (2)求异面直线与之间的距离； (3)作出经过点的截面（不需说明理由，直接注明点的位置），并求出该截面的周长. 【答案】(1)为的中点.证明见解析 (2) (3)截面位置见解析， 【分析】（1）由线面平行的性质定理得到四点共面，进而确定F的位置； （2）证明同时垂直于两条异面直线，并求出长度即可； （3）在线段上分别取点，使得，连接点，画出四边形即为所求，并求出周长. 【详解】（1）证明：因为面面， 面面， 所以，所以四点共面. 又，所以为的中点. （2） 连接， 因为面面，所以， 因为，所以， 又， 所以面， 又面，所以. 所以线段即为异面直线与之间的距离， 易得， 即异面直线与之间的距离为. （3） 如图，在线段上分别取点， 使得，连接点，则四边形即为所求. 又， 所以该截面的周长为. 【变式7-1】（23-24高二上·上海黄浦·期中）已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是 . 【答案】 【分析】由题意直线与的距离，即为点到的距离，然后求出点到的距离即可． 【详解】在正方体中，平面， 所以直线与的距离即为点到的距离， 又因为正方形的对角线为，且， 所以点到的距离为， 即异面直线与之间的距离是. 故答案为：． 【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2BC＝2，则异面直线B1D1与CD的距离为 ；异面直线BD1与CD的距离为 ． 【答案】 2 【详解】 解析：（定义法）由正方体得DD1⊥平面A1B1C1D1，所以DD1⊥B1D1.又DD1⊥CD，所以DD1是异面直线B1D1与CD的公垂线段．又DD1＝2，所以异面直线B1D1与CD的距离为2； （转化法）因为CD∥AB，CD⊄平面ABD1，AB⊂平面ABD1，所以CD∥平面ABD1，所以CD到平面ABD1的距离就是异面直线BD1与CD的距离，即点D到平面ABD1的距离就是异面直线BD1与CD的距离．设距离为h，由题得AD1＝＝.因为VD1ABD＝VDABD1，所以××2×1×2＝××2××h，所以h＝，所以异面直线BD1与CD的距离为. 【变式7-3】（2024高三·全国·专题练习）正六棱柱中，底面边长和高均为，求和两异面直线间的距离． 【答案】． 【分析】 根据题意，把和两异面直线间的距离，转化为到平面的距离，设为，结合，列出方程，即可求解. 【详解】 如图所示，在正六面体中，可得， 因为平面，且平面，所以平面， 则和两异面直线间的距离，即为到平面的距离， 即为到平面的距离，设为， 在正六边形中，， 可得到平面的距离为， 所以， 在直角中，可得， 在中，可得，所以， 在直角中，， 在中，由余弦定理得， 则， 所以， 因为，可得，解得， 所以和两异面直线间的距离. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$