专题05 立体几何初步（考点清单，15题型解读）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题05 立体几何初步 【考点题型一】多面体的结构特征 1.棱柱、棱锥、棱台 多面体 棱柱 棱锥 棱台 定义 由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台 有关概念 平移起止位置的两个面叫作棱柱的底面，多边形的边平移形成的面叫作棱柱的侧面. 相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点 多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其它各面叫做棱台的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点 图形 表示法 用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如上图中的棱柱可记为棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′ 用表示顶点和底面各顶点的字母表示，如上图中的棱锥可记为棱锥S－ABCD 用表示底面各顶点的__字母__表示棱台，如上图中的棱台可记为棱台ABCD－A′B′C′D′ 分类 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫四面体 按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台…… 特征 侧棱互相平行且相等；侧面都是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形. 底面是多边形；侧面是有一个公共顶点的三角形． 侧棱延长后交于一点；侧面是梯形．两个底面与平行于底面的截面是相似多边形 2.多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体． 【例1】（2022高三·全国·专题练习）已知正四棱锥的底面积为64，侧棱长，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C．8 D． 【变式1-1】【多选题】（23-24高一下·江苏无锡·期中）在正方体中，，，过E，F的平面将正方体截成两部分，则所得几何体可能是（ ） A．三棱锥 B．直三棱柱 C．三棱台 D．四棱柱 【变式1-2】（23-24高三上·山西临汾·期中）一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16，且其侧面梯形的高为，则该正四棱台的高为 .    【变式1-3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，在长方体中，，一小虫从顶点出发沿长方体的表面爬到顶点，则小虫走过的最短路线的长为 . 【考点题型二】旋转体的结构特征 1.圆柱、圆锥、圆台和球 旋转体 圆柱 圆锥 圆台 球 定义 将矩形绕着它的一边所在直线旋转一周，形成的空间图形叫做圆柱 将直角三角形绕着它的一条直角边所在直线旋转一周，形成的空间图形叫做圆锥 将直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在直线旋转一周，形成的空间图形叫做圆台 半圆绕着它的直径所在直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫做球体，简称球 有关概念 旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 如上图所示，轴为O，底面为⊙O，SA为母线．另外，S叫做圆锥的顶点，OA(或OB)叫做底面⊙O的半径 圆台的下底面和上底面．与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、侧面、母线，如上图所示，轴为OO′，AA′为母线 半圆的圆心叫做球的球心；半圆的__半径__叫做球的半径；半圆的__直径__叫做球的直径 图形 表示法 用表示底面圆心的字母表示圆柱，如上图记为圆柱O′O 用表示顶点和底面圆心的字母表示，如上图记为圆锥SO 用表示底面圆心的字母表示圆太，如上图记为圆台O′O 用表示球心的字母表示球，如上图记为球O 2.旋转面：一条平面曲线绕它所在平面的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面. 旋转体：封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴． 【例2】（22-23高一下·江苏镇江·期末）某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式2-1】（22-23高一下·辽宁·期末）如图，在圆柱中，，分别为圆，的直径，，，为的中点，则一只蚂蚁在圆柱表面从爬到的最短路径的长度为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23高一下·江西南昌·阶段练习）如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AB＝1，CD＝2，AD⊥DC，O是AD的中点，以AD为直径的半圆O与BC相切于点P．以AD为旋转轴旋转一周，可以得到一个球和一个圆台．给出以下结论，其中正确结论的个数是（    ） ①圆台的母线长为3； ②球的半径为； ③将圆台的母线延长交的延长线于点，则得到的圆锥的高为； ④点的轨迹的长度是． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】（21-22高二上·湖北黄石·期末）已知圆锥的母线长度为3，一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发点的最短距离为3，则此圆锥的底面圆半径为 ． 【考点题型三】直观图的斜二测画法 简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是： (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半． (2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变． 【例3】（2024高三上·全国·专题练习）（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积． （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状．    （3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？ （4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？ 【变式3-1】（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若==2， 那么原三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式3-3】（23-24高一下·江苏南京·期中）如图是水平放置的的直观图，是中边的中点，三条线段对应原图形中的线段，那么（    ） A．最短的是 B．最短的是 C．最短的是 D．无法确定谁最短 【考点题型四】平面的基本性质 1.平面的基本性质 (1)基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)． (2) 基本事实2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)． (3) 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2.点、线、面的位置关系的表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A ∉l A在α内 A∈α A在α外 A ∉α l在α内 L ⊂α l在α外 L ⊄α 或 l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A L ∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 【例4】（2023高一·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且．设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线． 【变式4-1】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．空间中三点确定一个平面 B．空间中两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C．一条直线和一个点能确定一个平面 D．四边形一定是平面图形 【变式4-2】（2024高二·全国·专题练习）设平面与平面相交于直线,直线，直线,,则M （用符号表示）． 【变式4-3】（22-23高一下·江苏·期中）空间有6个点，其中任意三点不共线，且有五个点共面，则这6个点最多可以确定 个平面． 【考点题型五】空间两直线的位置关系 1.直线与直线的位置关系的分类 2.基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示： 【例5】【多选题】（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．直线与是平行直线 C．直线与是相交直线 D．平面截正方体所得的截面面积为 【变式5-1】（2023高二上·黑龙江·学业考试）如图，在正方体中，与平行的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（22-23高一下·江苏南京·阶段练习）点分别在空间四边形的边上，若，则下列说法中正确的是（   ） A．直线与一定平行 B．直线与一定相交 C．直线与可能异面 D．直线与一定共面 【变式5-3】（22-23高二·全国·随堂练习）如图，已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱长AB，BC，CD，AD的中点，求证：E，F，G，H四点共面．    【考点题型六】等角定理及其应用 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行且方向相同，那么这两个角相等． 【例6】（2023春·全国·高一专题练习）如图，在棱长为a的正方体中，M、N分别是棱CD、AD的中点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)证明：． 【变式6-1】（2020春·江苏南京·高一校考阶段练习）空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角的大小关系为（    ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互余 【变式6-2】（2021春·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考期中）已知∠BAC=30°，ABA′B′，ACA′C′，则∠B′A′C′=（    ） A．30° B．150° C．30°或150° D．大小无法确定 【变式6-3】（2023春·全国·高一专题练习）如图，正方体中，E，F，G分别是棱，及的中点，，则______ 【考点题型七】异面直线的判定 异面直线的判定方法： 定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线； 符号表示：若则直线与是异面直线. 【例7】（23-24高二上·上海·期末）如果直线a和b没有公共点，那么a与b（　　） A．共面 B．平行 C．可能平行，也可能是异面直线 D．是异面直线 【变式7-1】（18-19高二上·重庆铜梁·阶段练习）如图，在正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论：①直线AM与是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与是异面直线；④直线AM与是异面直线．其中正确的结论为（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 【变式7-2】（23-24高二上·北京海淀·期末）如图，已知E，F分别为三棱锥的棱的中点，则直线与的位置关系是 （填“平行”，“异面”，“相交”）． 【变式7-3】（23-24高二上·北京海淀·阶段练习）如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是 . ①②③④ 【考点题型八】空间中直线与平面的位置关系 (1)位置关系：有且只有三种 ①直线在平面内——有无数个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； ③直线与平面平行——没有公共点． 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． 【点拨】“直线与平面不相交”和“直线与平面没有公共点”表示不同的意义，前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行． (2)符号表示：直线l在平面α内，记为l⊂α；直线l与平面α相交于点M，记为l∩α＝M；直线l与平面α平行，记为l∥α． (3)图示：直线l在平面α内，如图a所示；直线l与平面α相交于点M，如图b所示；直线l与平面α平行，如图c所示． 【例8】（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，是所在平面外的一点，，分别是，的中点． (1)判断直线与平面的位置关系． (2)判断直线与直线的位置关系． 【变式8-1】（22-23高一下·上海嘉定·期末）若，且，则 （填数学符号） 【变式8-2】（22-23高一·全国·课后作业）如图，把下列图形的点、线、面的关系，用集合的语言表述： （1） ； （2） ； （3） ． 【变式8-3】（21-22高一·全国·课后作业）如图，长方体． （1）直线平面 ； （2）直线平面 ． 【考点题型九】直线与平面平行 1.直线与平面平行的判定定理 （1）定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. （2）图形语言： （3）符号语言：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；即： （4）作用：证明直线与平面平行 2.直线与平面平行的性质定理 （1）定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. （2）图形语言： （3）符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b （4）作用：证明两直线平行. 【例9】（21-22高一下·江苏无锡·期中）如图所示，在四棱锥中，BC∥平面，，E是的中点．求证： (1)∥平面； (2)∥平面. 【变式9-1】（23-24高一下·江苏连云港·期中）若表示直线，表示平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则或与异面 【变式9-2】（2024高一下·全国·专题练习）求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面． 已知：如图，空间四边形中，E，F分别是，的中点．    求证：平面． 【变式9-3】（2024高一下·全国·专题练习）如图，在三棱台中，，分别为的中点．求证：平面.    【考点题型十】直线与平面垂直 1. 直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直. （2）记法：l⊥α （3）有关概念： 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.它们唯一的公共点P叫做垂足. （4）图示与画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 2. 直线与平面垂直的判定定理 （1）定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 （2）图形语言 （3）符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α， a∩b＝P⇒l⊥α （4）作用：判断直线与平面垂直. 3. 直线与平面垂直的性质定理 （1）定理：垂直于同一个平面的两条直线平行 （2）图形语言： （3）符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b （4）作用：证明两直线平行. 【例10】（2023春·全国·高一专题练习）如图所示的长方体中，底面是边长为2的正方形，O为与的交点，，M是线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【变式10-1】（23-24高二上·上海·期末）下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（    ）. A．若直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直 B．若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直 C．若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直 D．若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直 【变式10-2】（2023·高一单元测试）已知在正方体中，交于点，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D． 【变式10-3】（23-24高二上·上海长宁·期末）如图，已知正四棱柱， (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 【考点题型十一】两平面的位置关系 (1)位置关系：有且只有两种 ①两个平面平行——没有公共点； ②两个平面相交——有一条公共直线． (2)符号表示：两个平面α、β平行，记为α∥β；两个平面α、β相交于直线l，记为α∩β＝l． (3)图示：两个平面α、β平行，如图a所示；两个平面α、β相交于直线l，如图b所示． 【例11】（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，分别是的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？ (1)所在的直线与平面的位置关系； (2)所在的直线与平面的位置关系； (3)所在的直线与平面的位置关系； (4)平面与平面的位置关系； (5)平面与平面的位置关系. 【变式11-1】【多选题】（2023·江苏南京·一模）如图，是长方体，是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（    ）    A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．三点共线 【变式11-2】（21-22高二上·上海杨浦·期中）若面，面，面，则平面与平面的位置关系 . 【变式11-3】（23-24高一下·江苏无锡·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面． (1)证明：三棱锥为鳖臑； (2)若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为． ①证明：直线平面； ②判断与的位置关系，并证明你的结论． 【考点题型十二】两平面平行 1.判定定理 （1）定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 （2）图形语言： （3）符号语言：a⊂β，b⊂β， a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β （3）作用：证明两个平面平行 2.性质定理 （1）定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. （2）图形语言： （3）符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒__a∥b__ （4）作用：证明两直线平行 【规律方法】 1.证明两个平面平行的方法有： ①用定义，此类题目常用反证法来完成证明； ②用判定定理或推论(即“线线平行⇒面面平行”)，通过线面平行来完成证明； ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)； ④借助“传递性”来完成(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)． 2.面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用． 【例12】（2021秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）如图1，已知菱形的对角线交于点，四边形是平行四边形.将三角形沿线段折起到的位置，如图2所示. (1)求证：； (2)在线段上是否分别存在点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 【变式12-1】（2023·高一课时练习）如图，平面平面平面，异面直线 分别与平面 相交于点和点．已知，，，求、、的长． 【变式12-2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1平面BCHG. 【变式12-3】（23-24高一下·江苏无锡·期中）在直棱柱中，底面为平行四边形，，分别为线段的中点. (1)证明：； (2)证明：平面平面. 【考点题型十三】两平面垂直 1.判定定理 （1）定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 （2）图形语言： （3）符号语言：l⊥α，l⊂β⇒α⊥β （4）作用：判断两平面垂直 2. 性质定理 （1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 （2）图形语言： （3）符号语言：α⊥β，l⊂β，α∩β＝a，l⊥a⇒l⊥α （4）作用：证明直线与平面垂直 【规律方法】 1.面面垂直判定的两种方法与一个转化 (1)两种方法： ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． (2)一个转化： 在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 2．证面面垂直的思路 (1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑． (2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理． 【例13】（19-20高三上·北京昌平·期末）如图，在五面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，. (1)求证：平面； (2)求证：平面⊥平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面?说明理由． 【变式13-1】（23-24高三上·北京丰台·期末）在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式13-2】（2024高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，．证明：平面平面； 【变式13-3】（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）在四棱锥中，底面是正方形，平面．    (1)求证：平面⊥平面； (2)求证：平面⊥平面． 【考点题型十四】几何体的表面积 1．柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和. 2．把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积. 3．计算公式 圆柱的侧面积 圆柱的表面积 圆锥的侧面积 圆锥的表面积 圆台的侧面积 圆台的表面积 球体的表面积 【例14】（2023春·安徽阜阳·高一阜阳市第三中学校考阶段练习）现需要设计一个仓库，由上下两部分组成，如图所示，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱，正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍． (1)若，，则仓库的容积（含上下两部分）是多少？ (2)若上部分正四棱锥的侧棱长为6m，当为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 【变式14-1】（23-24高三上·河北石家庄·期末）某圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】【多选题】（23-24高一下·广东·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为，则（    ） A．圆台的母线与底面所成的角为 B．圆台的侧面积为 C．圆台的体积为 D．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 【变式14-3】（2023高二上·上海·专题练习）已知一个正四棱柱的对角线的长是9，表面积等于144 ，求这个棱柱的侧面积（）. 【考点题型十五】几何体的体积 圆柱的体积 圆锥的体积 圆台的体积 球体的体积 正方体的体积 正方体的体积 【例15】（23-24高一下·重庆长寿·期中）如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，面ABCD，，E，F分别是PC，AD的中点． (1)证明：平面PFB； (2)求三棱锥的体积． 【变式15-1】（23-24高一下·福建·期中）已知圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则该圆台的体积为 ． 【变式15-2】（23-24高一下·浙江杭州·阶段练习）在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线旋转一圈，则所得几何体的体积为 ． 【变式15-3】（2023·全国·高一专题练习）如图，是圆柱的母线，线段的两个端点分别在圆柱的两个底面圆周上，它与圆柱的轴所成的角为，且，轴到平面的距离为3，求此圆柱的侧面积及体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 立体几何初步 【考点题型一】多面体的结构特征 1.棱柱、棱锥、棱台 多面体 棱柱 棱锥 棱台 定义 由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台 有关概念 平移起止位置的两个面叫作棱柱的底面，多边形的边平移形成的面叫作棱柱的侧面. 相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点 多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其它各面叫做棱台的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点 图形 表示法 用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如上图中的棱柱可记为棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′ 用表示顶点和底面各顶点的字母表示，如上图中的棱锥可记为棱锥S－ABCD 用表示底面各顶点的__字母__表示棱台，如上图中的棱台可记为棱台ABCD－A′B′C′D′ 分类 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫四面体 按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台…… 特征 侧棱互相平行且相等；侧面都是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形. 底面是多边形；侧面是有一个公共顶点的三角形． 侧棱延长后交于一点；侧面是梯形．两个底面与平行于底面的截面是相似多边形 2.多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体． 【例1】（2022高三·全国·专题练习）已知正四棱锥的底面积为64，侧棱长，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图象，结合图象利用勾股定理求解. 【详解】如图：正四棱锥的底面积为64，则， 又顶点在在底面上的射影是四边形的中心， 过点作于，连接， 则，又侧棱长为， 所以该四棱锥的高为. 故选：A. 【变式1-1】【多选题】（23-24高一下·江苏无锡·期中）在正方体中，，，过E，F的平面将正方体截成两部分，则所得几何体可能是（ ） A．三棱锥 B．直三棱柱 C．三棱台 D．四棱柱 【答案】ABC 【分析】根据正方体的结构特征，结合平面图形的性质分别分析截面形状即可求出结果. 【详解】如图， 连接，则平面可截得三棱锥，故A正确； 如图，过E作，过F作， 则过的平面可截得直三棱柱，故B正确 如图，延长至P，连接，分别与交于两点， 则可得平面截得三棱台，故C正确； 将四边形分成一个三角形和一个五边形，所以不可能得到四棱柱. 故选：ABC. 【变式1-2】（23-24高三上·山西临汾·期中）一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16，且其侧面梯形的高为，则该正四棱台的高为 . 【答案】 【分析】根据正四棱台的几何性质即可根据勾股定理求解. 【详解】如图：在正四棱台,分别为侧面上的高以及棱台的高， 设棱台的上下底面的边长分别为，则， 在等腰梯形中，， 所以， 故棱台的高为， 故答案为：    【变式1-3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，在长方体中，，一小虫从顶点出发沿长方体的表面爬到顶点，则小虫走过的最短路线的长为 . 【答案】 【分析】分三种情况，利用平面展开图求解可得. 【详解】 如图，若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为. 综上所述，小虫走过的最短路线的长为. 故答案为：. 【考点题型二】旋转体的结构特征 1.圆柱、圆锥、圆台和球 旋转体 圆柱 圆锥 圆台 球 定义 将矩形绕着它的一边所在直线旋转一周，形成的空间图形叫做圆柱 将直角三角形绕着它的一条直角边所在直线旋转一周，形成的空间图形叫做圆锥 将直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在直线旋转一周，形成的空间图形叫做圆台 半圆绕着它的直径所在直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫做球体，简称球 有关概念 旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 如上图所示，轴为O，底面为⊙O，SA为母线．另外，S叫做圆锥的顶点，OA(或OB)叫做底面⊙O的半径 圆台的下底面和上底面．与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、侧面、母线，如上图所示，轴为OO′，AA′为母线 半圆的圆心叫做球的球心；半圆的__半径__叫做球的半径；半圆的__直径__叫做球的直径 图形 表示法 用表示底面圆心的字母表示圆柱，如上图记为圆柱O′O 用表示顶点和底面圆心的字母表示，如上图记为圆锥SO 用表示底面圆心的字母表示圆太，如上图记为圆台O′O 用表示球心的字母表示球，如上图记为球O 2.旋转面：一条平面曲线绕它所在平面的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面. 旋转体：封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴． 【例2】（22-23高一下·江苏镇江·期末）某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】求出扇形的弧长，进而求出圆锥的底面半径，由勾股定理即可得到圆锥的高. 【详解】因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形， 所以该扇形的弧长为，圆锥的母线长为3， 设圆锥的底面半径为，则，解得， 设圆锥的母线长为，则， 所以圆锥的高为. 故选：C. 【变式2-1】（22-23高一下·辽宁·期末）如图，在圆柱中，，分别为圆，的直径，，，为的中点，则一只蚂蚁在圆柱表面从爬到的最短路径的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把半圆柱侧面展开得到侧面展开图为矩形，结合矩形的性质，即可求解. 【详解】如图所示，把半圆柱侧面展开，得到侧面展开图为矩形 ， 在圆柱中，因为，可得， 即矩形中，，，则最短路径的长度为． 故选：A.    【变式2-2】（22-23高一下·江西南昌·阶段练习）如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AB＝1，CD＝2，AD⊥DC，O是AD的中点，以AD为直径的半圆O与BC相切于点P．以AD为旋转轴旋转一周，可以得到一个球和一个圆台．给出以下结论，其中正确结论的个数是（    ） ①圆台的母线长为3； ②球的半径为； ③将圆台的母线延长交的延长线于点，则得到的圆锥的高为； ④点的轨迹的长度是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由球体、圆台的结构特征及已知条件确定母线长、台高和球体的半径，再根据圆锥与圆台相关线段相似比求锥体高，进而求的轨迹的长度. 【详解】圆台上、下底半径分别为，设母线长为，高为，则球的直径为， 因为与半圆相切于点，则，所以，①正确； 过作于，则1， 所以，即球的半径为，②正确； 因为，易得，则，③错误； 过作于，延长与交于，则的轨迹以为圆心，为半径的圆． 作于，得，则，即，得， 所以，点的轨迹的长度是，④错误， 故选：B 【变式2-3】（21-22高二上·湖北黄石·期末）已知圆锥的母线长度为3，一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发点的最短距离为3，则此圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】/0.5 【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，对应的弧长是底面圆的周长，对应的弦是最短距离，由此求出底面圆的半径． 【详解】解：把圆锥的侧面展开形成一个扇形， 则对应的弧长是底面圆的周长，对应的弦是最短距离， 如图所示，由，得， 所以； 设底面圆的半径为，则， 解得， 即底面圆的半径为． 故答案为：． 【考点题型三】直观图的斜二测画法 简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是： (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半． (2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变． 【例3】（2024高三上·全国·专题练习）（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积． （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状．    （3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？ （4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？ 【答案】（1）；（2）为直角三角形；（3）10；（4） 【分析】（1）根据直观图求出原面积的表达式即可得出结果； （2）由直观图可知，即为直角三角形； （3）由直观图中线段长并利用勾股定理即可求得结果； （4）利用直观图与原图面积表达式的关系即可求得结果. 【详解】（1）由直观图与原图之间的关系可得 ． （2）由斜二测画法规则知，故原为直角三角形． （3）由已知可得在中，，，故． （4）原三角形面积为（a为三角形的底，h为三角形a边上的高）， 画直观图后，，， ． 【变式3-1】（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若==2， 那么原三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直观图的作图法则，还原三角形，即可求解. 【详解】因为，由直观图可知，， 所以还原平面图形中，，，在中，, 则三角形的周长为. 故选：D 【变式3-2】（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据题意，由梯形面积公式求出原图的面积，结合原图与直观图面积的关系，分析即可得出结果. 【详解】根据题意，原图直角梯形中，上下两底分别为2和4，高为， 其面积， 则其直观图的面积. 故选：B. 【变式3-3】（23-24高一下·江苏南京·期中）如图是水平放置的的直观图，是中边的中点，三条线段对应原图形中的线段，那么（    ） A．最短的是 B．最短的是 C．最短的是 D．无法确定谁最短 【答案】C 【分析】利用斜二测画法规则，结合给定的图形分析判断得解. 【详解】依题意，轴，轴，是的中点， 由斜二测画法规则知，在原图形中应有，且为边上的中线， 因此为等腰三角形，为边上的高，所以相等且最长，最短. 故选：C 【考点题型四】平面的基本性质 1.平面的基本性质 (1)基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)． (2) 基本事实2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)． (3) 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2.点、线、面的位置关系的表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A ∉l A在α内 A∈α A在α外 A ∉α l在α内 L ⊂α l在α外 L ⊄α 或 l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A L ∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 【例4】（2023高一·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且．设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】利用基本事实2和基本事实3即可求解. 【详解】因为， 所以． 由已知可得，平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC， 所以平面ABC． 同理，平面ADC，平面ADC． 所以为平面ABC与平面ADC的一个公共点． 又平面平面， 所以， 所以P，A，C三点共线． 【变式4-1】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．空间中三点确定一个平面 B．空间中两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C．一条直线和一个点能确定一个平面 D．四边形一定是平面图形 【答案】B 【分析】ACD选项，可举出反例，B选项，可根据三角形为平面图形得到B正确. 【详解】A选项，空间中三点若共线，则不能确定一个平面，A错误； B选项，如图，空间中两两相交且不共点的三条直线可确定三角形， 而三角形为平面图形， 故可确定一个平面，B正确； C选项，若点在此直线上，此时一条直线和一个点不能确定一个平面，C错误； D选项，四边形可能为空间四边形，此时不是平面图形， 如图，三棱锥中，四边形就是空间四边形，D错误. 故选：B 【变式4-2】（2024高二·全国·专题练习）设平面与平面相交于直线,直线，直线,,则M （用符号表示）． 【答案】 【分析】利用平面的基本性质即得. 【详解】因为，直线，直线， 所以，又平面与平面相交于直线， 所以点在直线上，即. 故答案为：. 【变式4-3】（22-23高一下·江苏·期中）空间有6个点，其中任意三点不共线，且有五个点共面，则这6个点最多可以确定 个平面． 【答案】11 【分析】根据不共线的三点确定唯一一个平面，即可列举求解. 【详解】记5个共面的点分别为 ，不共面的第6个点为,则从中随机选取两个点，连同第6个点，即可构成一个平面，此时共有 共有10 个平面，这5个点确定一个平面，故最多可以确定10+1=11个平面， 故答案为：11 【考点题型五】空间两直线的位置关系 1.直线与直线的位置关系的分类 2.基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示： 【例5】【多选题】（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．直线与是平行直线 C．直线与是相交直线 D．平面截正方体所得的截面面积为 【答案】AD 【分析】对于ABC：根据异面直线的定义来判断；对于D：四边形为平面截正方体所得的截面，求梯形面积即可. 【详解】面，面，，所以直线与是异面直线，故A正确； 面，面，，所以直线与是异面直线，即直线与是异面直线，故B错误； 面，面，，所以直线与是异面直线，故C错误； 明显，故四边形为平面截正方体所得的截面， ， 四边形是等腰梯形，则梯形的高是， 所以梯形的面积，故D正确． 故选：AD． 【变式5-1】（2023高二上·黑龙江·学业考试）如图，在正方体中，与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据正方体的性质结合空间中线线位置关系分析判断. 【详解】根据题意可知：、与相交，与平行，与异面， 故ABD错误，C正确. 故选：C. 【变式5-2】（22-23高一下·江苏南京·阶段练习）点分别在空间四边形的边上，若，则下列说法中正确的是（   ） A．直线与一定平行 B．直线与一定相交 C．直线与可能异面 D．直线与一定共面 【答案】D 【分析】根据两条平行线确定一个平面，即可求解. 【详解】由于，所以四点确定一个平面， 因此直线与一定共面，故D正确，C错误，    只有当且时，此时四边形为平行四边形，此时，故A不正确，    只有当但时，此时四边形为梯形，此时相交于点，故B不正确，    故选：D 【变式5-3】（22-23高二·全国·随堂练习）如图，已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱长AB，BC，CD，AD的中点，求证：E，F，G，H四点共面．    【答案】答案见详解 【分析】通过中位线定理证明，且，同理可证，且，从而可证为平行四边形，即E，F，G，H四点共面． 【详解】∵E，F，分别为AB，BC的中点， ∴，且， ∵G，H分别为CD，AD的中点， ∴，且， ∴，且， ∴四边形为平行四边形 ∴E，F，G，H四点共面． 【考点题型六】等角定理及其应用 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行且方向相同，那么这两个角相等． 【例6】（2023春·全国·高一专题练习）如图，在棱长为a的正方体中，M、N分别是棱CD、AD的中点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)证明：． 【答案】(1)等腰梯形，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，结合中位线性质及直线的平行性的传递性可得且，根据等腰梯形的定义即可得到答案； （2）根据等角定理即可证明结论成立. 【详解】（1）等腰梯形，理由： 连接，，，，， 因为M，N分别是棱CD、AD的中点，所以，， 又因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，且， 所以且， 所以四边形是梯形， 又因为，所以， 所以梯形是等腰梯形. （2）证明：由（1）知，又根据正方体的性质可知，，且与的方向相同， 所以根据等角定理可得. 【变式6-1】（2020春·江苏南京·高一校考阶段练习）空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角的大小关系为（    ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互余 【答案】C 【分析】根据等角定理即可求解. 【详解】由等角定理可知：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 故选：C. 【变式6-2】（2021春·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考期中）已知∠BAC=30°，ABA′B′，ACA′C′，则∠B′A′C′=（    ） A．30° B．150° C．30°或150° D．大小无法确定 【答案】C 【分析】直接利用等角定理的应用求出结果． 【详解】解：已知，，， 当角的方向相同时，， 当角的方向相反时，， 故选：． 【变式6-3】（2023春·全国·高一专题练习）如图，正方体中，E，F，G分别是棱，及的中点，，则______ 【答案】## 【分析】依题意可得、，根据空间等角定理可得； 【详解】解：依题意且，所以四边形为平行四边形， 所以，同理可得， 所以或与互补，显然与不互补， 所以； 故答案为： 【考点题型七】异面直线的判定 异面直线的判定方法： 定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线； 符号表示：若则直线与是异面直线. 【例7】（23-24高二上·上海·期末）如果直线a和b没有公共点，那么a与b（　　） A．共面 B．平行 C．可能平行，也可能是异面直线 D．是异面直线 【答案】C 【分析】根据直线a和b没有公共点，结合空间直线的位置关系进行判断． 【详解】∵直线a和b没有公共点， ∴直线a与b不是相交直线． ∴直线a与b可能是相交直线或异面直线． 故选：C． 【变式7-1】（18-19高二上·重庆铜梁·阶段练习）如图，在正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论：①直线AM与是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与是异面直线；④直线AM与是异面直线．其中正确的结论为（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】 根据异面直线的定义逐一判断. 【详解】 ∵A、M、三点共面，且在平面，但平面，， ∴直线AM与是异面直线，故①错误； 因为平面，平面，但平面，， 所以直线AM与BN也是异面直线，故②错误； 因为平面，平面，但平面，， 所以直线BN与是异面直线，故③正确； 因为平面，平面，但平面，， 所以直线AM与是异面直线，故④正确． 故选：A． 【变式7-2】（23-24高二上·北京海淀·期末）如图，已知E，F分别为三棱锥的棱的中点，则直线与的位置关系是 （填“平行”，“异面”，“相交”）． 【答案】异面 【分析】假设共面推出矛盾. 【详解】假设直线共面，平面， 由，则平面， 同理，平面，故共面， 这与是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线异面. 故答案为：异面. 【变式7-3】（23-24高二上·北京海淀·阶段练习）如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是 . ①②③④ 【答案】② 【分析】根据异面直线的定义一一判定即可. 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，此时， 而，所以共面，则、在平面上，故①不符题意； 因为，即共面，易知平面，而平面， ，， 故与异面，故②符合题意； 当重合时，易知，则四边形是平行四边形， 则此时，故③不符合题意； 当重合时，显然，相交，故④不符合题意. 故答案为：② 【考点题型八】空间中直线与平面的位置关系 (1)位置关系：有且只有三种 ①直线在平面内——有无数个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； ③直线与平面平行——没有公共点． 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． 【点拨】“直线与平面不相交”和“直线与平面没有公共点”表示不同的意义，前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行． (2)符号表示：直线l在平面α内，记为l⊂α；直线l与平面α相交于点M，记为l∩α＝M；直线l与平面α平行，记为l∥α． (3)图示：直线l在平面α内，如图a所示；直线l与平面α相交于点M，如图b所示；直线l与平面α平行，如图c所示． 【例8】（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，是所在平面外的一点，，分别是，的中点． (1)判断直线与平面的位置关系． (2)判断直线与直线的位置关系． 【答案】(1)相交； (2)异面； 【分析】（1）由线面关系的定义可得答案； （2）根据异面直线的判定定理可得结论. 【详解】（1）因为面，所以面，又面， 所以直线与平面的位置关系是相交； （2）由（1）得直线与平面的位置关系是相交，面， 又面，，面， 所以直线与直线的位置关系是异面. 【变式8-1】（22-23高一下·上海嘉定·期末）若，且，则 （填数学符号） 【答案】 【分析】根据点线、点面位置关系，结合平面的基本性质即可得答案. 【详解】由且，即. 故答案为： 【变式8-2】（22-23高一·全国·课后作业）如图，把下列图形的点、线、面的关系，用集合的语言表述： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 ，， ，， 【分析】根据点、线、面的位置关系，写成符号语言表示. 【详解】由点、线、面的位置关系可得： （1），， （2） （3）， 故答案为： （1），， （2） （3）， 【变式8-3】（21-22高一·全国·课后作业）如图，长方体． （1）直线平面 ； （2）直线平面 ． 【答案】 / 【分析】根据几何特征，即可判断直线与平面的位置关系，即可得解. 【详解】根据长方体可知，直线平面， 直线平面. 故答案为：，. 【考点题型九】直线与平面平行 1.直线与平面平行的判定定理 （1）定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. （2）图形语言： （3）符号语言：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；即： （4）作用：证明直线与平面平行 2.直线与平面平行的性质定理 （1）定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. （2）图形语言： （3）符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b （4）作用：证明两直线平行. 【例9】（21-22高一下·江苏无锡·期中）如图所示，在四棱锥中，BC∥平面，，E是的中点．求证： (1)∥平面； (2)∥平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的性质证明，再根据线面平行的判定定理，即可证明结论； （2）取的中点F，证明四边形为平行四边形，即可得，再根据线面平行的判定定理，即可证明结论； 【详解】（1）证明：因为∥平面，⊂平面，平面平面， 所以， 又⊂平面，平面， 所以∥平面. （2）取的中点F，连接，E是的中点．得，且， 由（1）知AD∥BC且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 则， 又平面，平面， 所以平面. 【变式9-1】（23-24高一下·江苏连云港·期中）若表示直线，表示平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则或与异面 【答案】D 【分析】举反例否定A，B，C，利用线面平行的性质定理判断D即可. 【详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，若，，则或与相交或与异面，故B错误； 对于C，若，，则或，故C错误; 对于D，若，，结合线面平行的性质定理得或与异面，故D正确. 故选：D. 【变式9-2】（2024高一下·全国·专题练习）求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面． 已知：如图，空间四边形中，E，F分别是，的中点．    求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】通过证明，而在面外, 在面内,即可得出结论. 【详解】由题意，连接． 在中，，， ∴． 又平面，平面， ∴平面． 【变式9-3】（2024高一下·全国·专题练习）如图，在三棱台中，，分别为的中点．求证：平面.    【答案】证明见解析 【分析】连接，,证明四边形为平行四边形，得为的中点，利用三角形中位线定理可得,即可证得. 【详解】证明：如图，连接，，    设，连接. 在三棱台中，，为中点， 可得 所以四边形为平行四边形． 所以为的中点．又为的中点， 所以. 又平面，平面， 所以平面. 【考点题型十】直线与平面垂直 1. 直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直. （2）记法：l⊥α （3）有关概念： 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.它们唯一的公共点P叫做垂足. （4）图示与画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 2. 直线与平面垂直的判定定理 （1）定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 （2）图形语言 （3）符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α， a∩b＝P⇒l⊥α （4）作用：判断直线与平面垂直. 3. 直线与平面垂直的性质定理 （1）定理：垂直于同一个平面的两条直线平行 （2）图形语言： （3）符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b （4）作用：证明两直线平行. 【例10】（2023春·全国·高一专题练习）如图所示的长方体中，底面是边长为2的正方形，O为与的交点，，M是线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明；（2）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析整理. 【详解】（1）连接，如图， ∵O、M分别是、的中点，是矩形，则，且， ∴四边形是平行四边形，则， 平面，平面， ∴平面. （2）连接， ∵正方形的边长为2，， ∴，，， 则，故， 又∵平面，平面， ∴， 由为正方形可得：， ，平面， ∴平面， 又∵平面， ∴， ，面， ∴平面. 【变式10-1】（23-24高二上·上海·期末）下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（    ）. A．若直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直 B．若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直 C．若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直 D．若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直 【答案】C 【分析】由线面垂直的判定定理即可得. 【详解】直线与平面内的两条相交直线垂直才可得直线与平面垂直， A、B不符，D中的无数条直线可能为无数条平行直线，不符， 故A、B、D错误，C正确. 故选：C. 【变式10-2】（2023·高一单元测试）已知在正方体中，交于点，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D． 【答案】C 【分析】由线面平行的判定定理即可得出结果. 【详解】作出图形如图所示，连接，因为，所以平面平面，故平面，其他三个选项易知是错误的. 故选：C. 【变式10-3】（23-24高二上·上海长宁·期末）如图，已知正四棱柱， (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 （1）根据正四棱柱特点结合线面垂直的判定即可证明； （2）通过平行四边形的性质并结合面面平行的判定即可证明. 【详解】（1）因为正四棱柱，所以平面， 且四边形为正方形，所以， 又因为平面，所以， 因为，且平面，所以平面. （2）因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，且平面，所以平面平面. 【考点题型十一】两平面的位置关系 (1)位置关系：有且只有两种 ①两个平面平行——没有公共点； ②两个平面相交——有一条公共直线． (2)符号表示：两个平面α、β平行，记为α∥β；两个平面α、β相交于直线l，记为α∩β＝l． (3)图示：两个平面α、β平行，如图a所示；两个平面α、β相交于直线l，如图b所示． 【例11】（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，分别是的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？ (1)所在的直线与平面的位置关系； (2)所在的直线与平面的位置关系； (3)所在的直线与平面的位置关系； (4)平面与平面的位置关系； (5)平面与平面的位置关系. 【答案】(1)相交 (2)相交 (3)平行 (4)平行 (5)相交 【分析】根据直线与平面的位置关系的判定、平面与平面位置关系的判定直接判断答案即可. 【详解】（1）由于A点在平面内，M不在平面内，所以所在的直线与平面相交. （2）由于C点在平面内，N不在平面内，所在的直线与平面相交. （3）由正方体的结构特征得平面平面，， 所以所在的直线与平面平行. （4）由正方体的结构特征得平面平面， 所以平面与平面平行. （5）由正方体的结构特征得平面平面， 而平面平面， 所以平面与平面相交. 【变式11-1】【多选题】（2023·江苏南京·一模）如图，是长方体，是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（    ）    A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．三点共线 【答案】BCD 【分析】 根据长方体的几何性质，结合线面公理，可得答案. 【详解】对于A，连接，，，如下图：    在长方形，由为对角线的中点，则， 则平面平面， 由平面，平面，则， 在长方体中，平面，由平面， 所以与异面，故A错误； 对于B，由选项A可知：，，易知平面，故B正确； 对于C，由选项A可知：，，易知平面，故C正确； 对于D，由选项A可知：，故D正确. 故选：BCD. 【变式11-2】（21-22高二上·上海杨浦·期中）若面，面，面，则平面与平面的位置关系 . 【答案】相交 【分析】根据给定条件利用平面的基本事实直接判断即可. 【详解】因面，面，面，则面与面有公共点A，且不重合， 所以面与面的位置关系是相交. 故答案为：相交 【变式11-3】（23-24高一下·江苏无锡·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面． (1)证明：三棱锥为鳖臑； (2)若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为． ①证明：直线平面； ②判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；②平行，证明见解析. 【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理即可求解； （2）①利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解； ②利用①的结论及线面平行的性质定理即可求解. 【详解】（1）∵， ∴为直角三角形， ∵平面，且平面，平面，平面， ∴，，， ∴和为直角三角形， ∵，平面，平面， ∴平面， 又∵平面， ∴， ∴为直角三角形， ∴三棱锥为鳖曘. （2）① 连接，∵点分别为的中点， ∴， 且平面，平面， 所以直线平面， ②平行， 证明：平面，平面，平面平面=， 所以. 【考点题型十二】两平面平行 1.判定定理 （1）定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 （2）图形语言： （3）符号语言：a⊂β，b⊂β， a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β （3）作用：证明两个平面平行 2.性质定理 （1）定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. （2）图形语言： （3）符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒__a∥b__ （4）作用：证明两直线平行 【规律方法】 1.证明两个平面平行的方法有： ①用定义，此类题目常用反证法来完成证明； ②用判定定理或推论(即“线线平行⇒面面平行”)，通过线面平行来完成证明； ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)； ④借助“传递性”来完成(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)． 2.面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用． 【例12】（2021秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）如图1，已知菱形的对角线交于点，四边形是平行四边形.将三角形沿线段折起到的位置，如图2所示. (1)求证：； (2)在线段上是否分别存在点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，分别是的中点，证明见解析 【分析】对于（1），证明平面即可. 对于（2），使即可. 【详解】（1）证明：折叠前，四边形是菱形，， 折叠后. 平面， 又平面. （2）在线段上分别存在点，且分别是的中点时，平面平面. 证明如下： 如图，分别取的中点，连结， 在中，分别是的中点，. 分别是的中点，四边形是平行四边形， 平行且等于四边形是平行四边形，. 又平面 平面， 平面平面. 【变式12-1】（2023·高一课时练习）如图，平面平面平面，异面直线 分别与平面 相交于点和点．已知，，，求、、的长． 【答案】，， 【分析】连接交平面于点，连接，，利用面面平行的性质定理得到，，再根据三角形相似得到对应边的比例，利用相似比例即可得到答案. 【详解】连接交平面于点，连接，， 因为平面平面，平面平面于，平面平面于， 所以，所以，， 又因为，所以， 所以， 因为，，所以，， 所以， 因为平面平面，平面平面于，平面平面于， 所以，所以，， 又因为，所以， 所以，因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以， 所以，，. 【变式12-2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1平面BCHG. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用中位线定理与空间平行线的传递性，推得，由此得证； （2）利用线面平行的判定定理证得EF平面BCHG，A1E平面BCHG，从而利用面面平行的判定定理即可得证. 【详解】（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点 ∴GH是的中位线，∴GHB1C1， 又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1BC，∴GHBC， ∴B，C，H，G四点共面． （2）∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EFBC， ∵平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF平面BCHG， ∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，， ∴A1GEB，， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1EGB， ∵平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E平面BCHG， ∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1平面BCHG. 【变式12-3】（23-24高一下·江苏无锡·期中）在直棱柱中，底面为平行四边形，，分别为线段的中点. (1)证明：； (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）借助直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的定义、直棱柱的定义及等腰三角形的性质即可证明； （2）先证明平面，平面，再借助平面与平面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）连接，， 因为底面为平行四边形，且为的中点， 所以为的中点， 因为棱柱为直棱柱， 所以平面，且平面，所以， 因为，且，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为为的中点，所以是边上的中线， 所以. . （2）因为中，分别为线段的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为中，分别为线段的中点，所以， 因为直棱柱，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，平面， 所以平面平面. . 【考点题型十三】两平面垂直 1.判定定理 （1）定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 （2）图形语言： （3）符号语言：l⊥α，l⊂β⇒α⊥β （4）作用：判断两平面垂直 2. 性质定理 （1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 （2）图形语言： （3）符号语言：α⊥β，l⊂β，α∩β＝a，l⊥a⇒l⊥α （4）作用：证明直线与平面垂直 【规律方法】 1.面面垂直判定的两种方法与一个转化 (1)两种方法： ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． (2)一个转化： 在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 2．证面面垂直的思路 (1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑． (2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理． 【例13】（19-20高三上·北京昌平·期末）如图，在五面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，. (1)求证：平面； (2)求证：平面⊥平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面?说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，理由见解析 【分析】（1）由题意可得，根据线面平行的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理的逆定理可得，由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理与性质可得，再次利用线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）取的中点，连接.由（1）可得，由（2）可得平面，即可证明. 【详解】（1）在五面体中，因为四边形是正方形，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以，即. 因为四边形是正方形，所以. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为平面,所以平面. 因为平面，所以平面⊥平面. （3）在线段上存在点，使得平面. 证明如下：取的中点，连接. 由（1）知，平面ABFE，又平面，平面∩平面， 所以.因为，所以. 所以四边形是平行四边形．所以. 由（2）知，平面，所以平面. 【变式13-1】（23-24高三上·北京丰台·期末）在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，因为二面角为直二面角，可得平面平面， 又因为平面平面，，且平面， 所以平面， 所以①正确； 对于②中，由平面，且平面，可得， 又因为，且，平面， 所以平面，所以②正确； 对于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正确； 对于④，中，因为平面，且平面，可得平面平面， 若平面平面，且平面平面，可得平面， 又因为平面，所以， 因为与不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D错误. 故选：C. 【变式13-2】（2024高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，．证明：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据正方形的性质，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可. 【详解】连接，与相交于点，连接， 四边形ABCD是边长为2的正方形，则，为和的中点， ，则， 平面，，平面， 又因为平面，所以平面平面. 【变式13-3】（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）在四棱锥中，底面是正方形，平面．    (1)求证：平面⊥平面； (2)求证：平面⊥平面． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）由线面垂直性质、正方形性质得，，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证. （2）由线面垂直性质、正方形性质得，，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 又因为底面是正方形，所以， 又因为平面， 所以平面， 又平面， 所以平面⊥平面. （2）因为平面，平面， 所以， 又因为底面是正方形，所以， 又因为平面， 所以平面， 又平面， 所以平面⊥平面. 【考点题型十四】几何体的表面积 1．柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和. 2．把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积. 3．计算公式 圆柱的侧面积 圆柱的表面积 圆锥的侧面积 圆锥的表面积 圆台的侧面积 圆台的表面积 球体的表面积 【例14】（2023春·安徽阜阳·高一阜阳市第三中学校考阶段练习）现需要设计一个仓库，由上下两部分组成，如图所示，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱，正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍． (1)若，，则仓库的容积（含上下两部分）是多少？ (2)若上部分正四棱锥的侧棱长为6m，当为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，正四棱柱侧面积最大，最大为 【分析】（1）利用柱体和锥体的体积公式计算； （2）设，正四棱柱侧面积用x表示，利用基本不等式求最大值. 【详解】（1）∵，正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍，∴． 所以仓库的容积 （2）若正四棱锥的侧棱长为6m，设， 则，，． ∴正四棱柱侧面积， ∴， 当且仅当，即时，． 所以当时，正四棱柱侧面积最大，最大为． 【变式14-1】（23-24高三上·河北石家庄·期末）某圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意作图，根据圆锥与圆柱的几何性质，可得到答案. 【详解】由题意作图如下： 由题设可知该圆锥的高．设在该圆锥中内接一个高为的圆柱， 该圆柱的底面半径为，由，则，即，所以， 故该圆柱的侧面积， 当时，侧面积取得最大值． 故选：C. 【变式14-2】【多选题】（23-24高一下·广东·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为，则（    ） A．圆台的母线与底面所成的角为 B．圆台的侧面积为 C．圆台的体积为 D．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 【答案】ABD 【分析】选项A，先求出圆台的高，进而求出圆台的母线与底面所成的角即可；选项B，由圆台的侧面积公式求解即可；选项C，由圆台的体积公式求解即可；选项D，设球心到下底面的距离为，由勾股定理得，求解即可. 【详解】对于A，因为圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线为， 所以圆台的高为：， 根据线面角定义求出母线与底面所成角，A正确； 对于B，由圆台的侧面积公式， 求得圆台的侧面积为：，B正确； 对于C，由圆台的体积公式， 求得圆台体积为：，C错误； 对于D，由题意可知球心在下底面下方，设球心到下底面的距离为， 由勾股定理得，解得， 则该球的半径为，所以该球的表面积为，D正确． 故选：ABD. 【变式14-3】（2023高二上·上海·专题练习）已知一个正四棱柱的对角线的长是9，表面积等于144 ，求这个棱柱的侧面积（）. 【答案】112或72 【分析】根据题意求出正四棱柱的底面边长和侧棱长，即可求出这个棱柱的侧面积. 【详解】设底面边长、侧棱长分别为，， 则， 解得或， 所以或. 【考点题型十五】几何体的体积 圆柱的体积 圆锥的体积 圆台的体积 球体的体积 正方体的体积 正方体的体积 【例15】（23-24高一下·重庆长寿·期中）如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，面ABCD，，E，F分别是PC，AD的中点． (1)证明：平面PFB； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）取PB的中点G，连接EG，FG，通过证明四边形是平行四边形，得，进而可以得到平面PFB； （2）三棱锥的体积即为三棱锥的体积，计算可得. 【详解】（1）取PB的中点G，连接EG，FG，如图， E，G分别是PC，PB的中点，底面ABCD为正方形， 且，又且， 且， 四边形是平行四边形， 则，又平面PFB，平面PFB， 平面PFB. （2）因为， 又平面ABCD，所以是三棱锥的高， 因为， F是AD的中点,则, 所以, 即三棱锥的体积是. 【变式15-1】（23-24高一下·福建·期中）已知圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则该圆台的体积为 ． 【答案】 【分析】根据圆台的体积公式计算可得. 【详解】因为圆台的高，上底面半径，下底面半径， 所以圆台的体积 . 故答案为： 【变式15-2】（23-24高一下·浙江杭州·阶段练习）在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线旋转一圈，则所得几何体的体积为 ． 【答案】 【分析】由题意，该几何体是上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半球体的组合体，结合圆锥、圆柱和球的体积公式计算即可． 【详解】由题意，将所得平面图形绕直线旋转一圈后， 所得几何体是上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半球体的组合体， 则该组合体的体积为 ． 故答案为： 【变式15-3】（2023·全国·高一专题练习）如图，是圆柱的母线，线段的两个端点分别在圆柱的两个底面圆周上，它与圆柱的轴所成的角为，且，轴到平面的距离为3，求此圆柱的侧面积及体积. 【答案】， 【分析】由题意求出圆柱的高和底面半径，根据圆柱的侧面积及体积.公式，即可求得答案. 【详解】由题意知异面直线与轴所成的角为， 又，故直线与所成的角为， 连接,由题意知底面,底面, 故， ∵，故在中，， 作,垂足为D，则D为的中点， 又平面,则平面底面， 底面,平面底面，故平面, 又因为平面,平面,故平面， 所以为轴到平面的距离，即， 则， 即圆柱的底面半径为5，高为 ， 故圆柱的侧面积, 体积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$