3.2.1单调性与最大（小）值第二课时讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1单调性与最大（小）值第二课时 【课时作业目标】 理解函数最大（小）值的定义，能借助函数图像以及函数的单调性求函数的最大（小）值. 【知识梳理】 1. 函数最大（小）值的定义是什么？ 2. 求函数的最值有哪些方法？ 3.填表：基本初等函数的最值： 解析式 最大（小）值 一次函数 二次函数 反比例函数 【基础巩固】 1.函数y＝f(x)(－2≤x≤2)的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为(　　) A. (2)，f(－2) B.，f(－1) C.， D.，f(0) 2.函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是(　　) A．10,5 B．10,1 C．5,1 D．以上都不对 3.函数f(x)＝的最大值是(　　) A. B. C. D. 4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌汽车，销售x辆该品牌汽车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x。若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　) A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元 5.函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值与最小值分别是____、___. 6.函数g(x)＝2x－的值域为________. 【综合提升】 7.函数f(x)＝的最大值为(　　) A．1 B．2 C. D. 8.当时，恒成立，则实数的取值范围是________. 9.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．[0,2] C．(－∞，2] D．[1,2] 10.（多选）若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)(　　) A．最大值为2 B．最大值为1 C．最小值为－1 D．无最小值 11.求函数y=f(x)=在区间[1,2]上的最大值和最小值. 【拓展探究】 12.若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝2. (1) 求f(x)的解析式； (2) 若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围。 3.2.1单调性与最大（小）值第二课时答案 【知识梳理】 1. 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1）都有；（2）使得.那么，我们称是函数的最大值（最小值）. 2.（1)利用函数图像找最值.(2)先判断函数的单调性，再利用单调性求最值. 3.特别地，二次函数求最值，由开口方向及对称轴在给定区间上求最值. 【基础巩固】 1.答案C 解析：根据函数最值定义，结合函数图象可知，当x＝－时，有最小值；当x＝时，有最大值. 2.答案B 解析：　因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]，所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10. 3.答案C 解析：因为1－x(1－x)＝x2－x＋1＝，所以≤.故f(x)的最大值为. 4.答案C 解析：设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝＋30＋，所以当x＝9或10时，L最大为120万元. 5.答案2， 解析：利用定义证明函数在给定区间上单调递减. 6.答案 解析：设＝t(t≥0)，则x＋1＝t2，即x＝t2－1，所以y＝2t2－t－2＝－，t≥0，所以当t＝时，ymin＝－，所以函数g(x)的值域为. 【综合提升】 7.答案B 解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，此时f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝1；当x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，最大值为f(0)＝2.综上可得，f(x)的最大值为2. 8.答案 解析：恒成立，即， 因为，，所以. 9.答案D解析：f(x)＝(x－1)2＋2，因为f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，所以1≤m≤2. 10.答案BD 解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图所示.根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象.当x＝1时，f(x)取得最大值，且f(x)max＝1，由图象知f(x)无最小值.故选BD. 11.【解析】∀x1,x2∈[1,2],且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=- ==, 因为1≤x1<x2≤2,所以2<x1+x2<4,即6<3(x1+x2)<12, 又1<x1x2<4,x2-x1>0,故f(x1)-f(x2)>0. 所以函数y=在区间[1,2]上单调递减, ymax=f(1)=-,ymin=f(2)=-4. 【拓展探究】 12.　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 因为f(0)＝2，所以c＝2，所以f(x)＝ax2＋bx＋2. 因为f(x＋1)－f(x)＝2x，所以2ax＋a＋b＝2x， 所以解得 所以f(x)＝x2－x＋2. (2)由题意知x2－x＋2>2x＋m在[－1,1]上恒成立， 即x2－3x＋2－m>0在[－1,1]上恒成立. 令g(x)＝x2－3x＋2－m＝－－m(x∈[－1,1])， 则g(x)在区间[－1,1]上是减函数， 所以g(x)min＝g(1)＝1－3＋2－m>0，所以m<0， 即实数m的取值范围为(－∞，0). 学科网（北京）股份有限公司 $$