3.2.1单调性与最大（小）值讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1 单调性与最大（小）值第一课时 【课时作业目标】： 理解函数的单调性，会根据定义判断或证明简单函数的单调性。 【知识梳理】 1.什么是函数的单调性？你能用数学语言表述吗？ 2. 如何用定义判断或者证明函数的单调性？ 3.填表：基本初等函数的单调性： 解析式 单调性 一次函数 二次函数 反比例函数 【基础巩固】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数.(　　) (2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　) (3)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数.(　　) (4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).(　　) 2(多选)如图是函数的图象，则函数在下列区间单调递减的是(　　) A. B． C． D． 3.(多选题)下列四个函数中在(-∞,0]上单调递减的是 (　　) A.f(x)=x2-2x　 B.f(x)=-x2 C.f(x)=x+1　 D.f(x)= 4.已知函数在区间上是增函数，则)的大小关系是(　　)A． B． C． D． 5.可推得函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1,2]上单调递增的一个条件是 (　　) A.a=0　 B. C.　 D. 6.函数f(x)=x2-3|x|+2的单调递减区间是______,单调递增区间是______.  【综合提升】 7.定义域为的函数满足：对任意的，有 则有(　　) A． B． C． D． 8.已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为( )A．(0,1) B．(-2,1) C．（0，） D．(0,2) 9.f(x)=在(-∞,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是__. 10.已知．(1)用分段函数的形式表示； (2)画出的图象，并写出函数的单调区间． 11.已知函数f(x)=ax+(a,b是常数),且满足f(1)=3,f(2)=. (1)求a,b的值. (2)试判断函数f(x)在区间上的单调性,并用定义证明. 【拓展探究】 12.已知函数是定义在上的函数，恒成立，且 (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 3.2.1 单调性与最大（小）值第一课时答案 【知识梳理】 1. 一般地，设函数的定义域为,区间:如果,当时，都有，那么就称在区间上单调递增(单调递减).特别地，当函数在它的定义域上单调递增（单调递减）时，我们就成它是增函数（减函数）.如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间. 2（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；（2）作差变形：作差，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式；（3）定号：确定的正负；（4）结论. 3.填表：基本初等函数的单调性： 解析式 单调性 一次函数 二次函数 反比例函数 【基础巩固】 1.　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 解析　(2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2＝1，则f(－1)＜f(1)，故应说成单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞). (3)应对任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以. (4)若f(x)＝x，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间是R. 2.BD 结合图象易知，函数f(x)在区间[－4，－1]，[2，5]上单调递减． 3.A、D【解析】在A中,f(x)=x2-2x的减区间为(-∞,1],故A符合题意;在B中,f(x)=-x2的减区间为[0,+∞),故B不符合题意;在C中,f(x)=x+1在R上是增函数,故C不符合题意;在D中,f(x)=在(-∞,1)上单调递减,所以在(-∞,0]上单调递减,故D符合题意. 4. D 因为在区间[0，＋∞)上是增函数，并且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，所以D选项是正确的． 5.B【解析】若a>0,函数f(x)=ax2-2x+1,开口向上,对称轴为x=-=, 要使f(x)在区间[1,2]上单调递增,可以推出若a<0,图象开口向下,要求≥2,显然不可能,当a=0时,f(x)=-2x+1,在[1,2]上单调递减,不合题意. 6.和 和【解析】化简函数为f(x)=作出函数图象如图,由图象不难得出,函数的单调递减区间为-∞,-和,单调递增区间为和. 【综合提升】 7.答案：A 解析：定义域在R上的函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R，有(x1－x2)·(f(x1)－f(x2))>0， 可得函数f(x)是定义域在R上的增函数，所以f(－2)<f(1)<f(3). 8. 答案：A 解析：依题得，解得. 9.(0,1]【解析】因为f(x)为R上的减函数,所以当x≤1时,f(x)单调递减,即a-4<0　①, 当x>1时,f(x)单调递减,即a>0　②且(a-4)×1+5≥2a　③,联立①②③解得,0<a≤1. 10.（1）当时，当时，， 当时，，所以． （2）的图象如图： 由图易得，的单调递增区间为，单调递减区间为. 11.【解析】(1)因为函数f(x)=ax+,f(1)=3,f(2)=, 所以解得故a=2,b=1. (2)f(x)在区间上单调递减.由(1)知f(x)=2x+,∀x1,x2∈,且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=2x1+-2x2-=(x1-x2),因为∀x1,x2∈,且x1<x2, 所以x1-x2<0,x1x2<,2-<0, 故f(x1)-f(x2)>0,故f(x)在区间上单调递减. 【拓展探究】 12.【解析】（1）解：因为函数，恒成立， 所以，则，此时，所以，解得， 所以； （2）证明：设，则， ，，且，则， 则，即，所以函数是增函数． （3），， 是定义在上的增函数， ，得，所以不等式的解集为． 学科网（北京）股份有限公司 $$