广东省深圳市外国语学校2024届高三下学期第九次模拟考试数学试题

广东省深圳市外国语学校2024届高三第九次模拟考试数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）复数z满足z（2﹣i）＝|3+4i|，则复数z的虚部是（　　） A．2 B．2i C．1 D．i 2．（5分）定义两集合M，N的差集：M﹣N＝{x|x∈M且x∉N}，已知集合A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，则A﹣（A﹣B）的子集个数是（　　）个． A．2 B．4 C．8 D．16 3．（5分）已知p：双曲线C的方程为，q：双曲线C的渐近线方程为，则（　　） A．p是q的充要条件 B．p是q的充分不必要条件 C．p是q的必要不充分条件 D．p是q的既不充分也不必要条件 4．（5分）已知向量，，．若与垂直，则实数λ的值为（　　） A． B． C．2 D． 5．（5分）某公司有营销部门、宣传部门以及人事部门，其中营销部门有50人，平均工资为5千元，方差为4，宣传部 门有40人，平均工资为3千元，方差为8，人事部门有10人，平均工资为3千元，方差为6，则该公司所有 员工工资的方差为（　　） A．6.4 B．6.6 C．6.7 D．6.8 6．（5分）已知等比数列{an}公比为q，前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．Sn＝2an﹣a1 7．（5分）已知6件不同的产品中有2件次品，现对它们一一测试，直至找到所有2件次品为止，若至多测试4次就能找到这2件次品，则共有（　　）种不同的测试方法． A．114 B．90 C．106 D．128 8．（5分）已知函数，若f（x）＞0恒成立，则正实数a的取值范围是（　　） A．0＜a＜e B．a＞e2 C．a＞e D．a＞2e 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） （多选）9．（6分）下列说法中，正确的是（　　） A．若随机变量X∼N（2，σ2），且P（X＞6）＝0.4，则P（﹣2＜x＜2）＝0.1 B．一组数据6，7，7，9，13，14，16，17，21的第70百分位数为15 C．在一元线性回归模型分析中，决定系数R2用来刻画模型的拟合效果，若R2值越小，则模型的拟合效果越好 D．设随机事件A，B，已知A事件发生的概率为0.3，在事件A发生的条件下事件B发生的概率为0.4，在事件A不发生的条件下事件B发生的概率为0.2，则事件B发生的概率为0.26 10．（6分）已知两条直线m，n和三个平面α，β，γ，下列命题正确的是（　　） A．若m∥α，m∥β，则α∥β B．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ C．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，则m⊥γ D．若n⊂γ，n∥α，n∥β，α∩β＝m，则m∥γ （多选）11．（6分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，若f（x）是奇函数，f（2）＝﹣f（1）≠0，且对任意x，y∈R，f（x+y）＝f（x）f′（y）+f′（x）f（y），则（　　） A． B．f（9）＝1 C．f′（x）是周期为3的函数 D． 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（5分）计算：cos72°cos（﹣36°）＝　 　． 13．（5分）设椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC，则椭圆E的离心率是　 　． 14．（5分）记min{x，y，z}表示x、y、z中的最小值．若x，y＞0，，则M的最大值为 　 　． 四、解答题（本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）在三棱锥P﹣ABC中，AB，AC，AP两两垂直，E，D，H分别为棱PB，PA，BC的中点，点G是线段AD的中点，且AB＝AP＝4，AC＝2， （1）求证：GH∥平面CDE； （2）当M是线段PC中点时，求二面角B﹣AH﹣M的正弦值． 16．（15分）已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求角A的大小； （2）若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值． 17．（15分）已知f（x）＝xsinx﹣acosx在时，取得极大值． （1）讨论f（x）在[﹣π，π]上的单调性； （2）令h（x）＝x2﹣4xsinx﹣4cosx+4，试判断h（x）在R上零点的个数． 18．（17分）在平面直角坐标系中，过直线l：上任一点M作该直线的垂线PM，，线段FM的中垂线与直线PM交于点P． （1）当M在直线l上运动时，求点P的轨迹C的方程； （2）过P向圆N：（x﹣2）2+y2＝1引两条切线，与轨迹C的另一个交点分别A，B． ①判断：直线AB与圆N的位置关系，并说明理由； ②求△PAB周长的最小值． 19．（17分）已知{an}是各项均为正整数的无穷递增数列，对于k∈N*，定义集合，设bk为集合Bk中的元素个数，特别规定：若Bk＝∅时，bk＝0． （1）若，写出b1，b2及b10的值； （2）若数列{bn}是等差数列，求数列{an}的通项公式； （3）设集合S＝{s|s＝n+an，n∈N*}，T＝{t|t＝n+bn，n∈N*}，求证：S∪T＝N*且S∩T＝∅． 参考答案与试题解析 一、单选题（本题共8小题，每小题分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）复数z满足z（2﹣i）＝|3+4i|，则复数z的虚部是（　　） A．2 B．2i C．1 D．i 【分析】结合复数模公式，复数的四则运算，虚部的概念，即可求解． 【解答】解：， 则， 故复数z的虚部是1． 故选：C． 【点评】本题主要考查复数模公式，复数的四则运算，虚部的概念，属于基础题． 2．（5分）定义两集合M，N的差集：M﹣N＝{x|x∈M且x∉N}，已知集合A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，则A﹣（A﹣B）的子集个数是（　　）个． A．2 B．4 C．8 D．16 【分析】由已知结合新定义及集合的运算即可求解． 【解答】解：因为A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}， 所以A﹣B＝{2}， 所以A﹣（A﹣B）＝{3，5}， 则 A﹣（A﹣B）的子集个数是4个． 故选：B． 【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的运算，属于基础题． 3．（5分）已知p：双曲线C的方程为，q：双曲线C的渐近线方程为，则（　　） A．p是q的充要条件 B．p是q的充分不必要条件 C．p是q的必要不充分条件 D．p是q的既不充分也不必要条件 【分析】根据双曲线的性质，判断充分必要条件，即可判断选项． 【解答】解：双曲线C的方程为，得其渐近线方程为； 若双曲线C的渐近线方程为，则双曲线的方程为． 即p⇒q，但q不能推出p． 则p是q的充分不必要条件． 故选：B． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查充分必要条件的判定，是基础题． 4．（5分）已知向量，，．若与垂直，则实数λ的值为（　　） A． B． C．2 D． 【分析】可得出，然后根据与垂直可得出，进行向量数量积的坐标运算即可求出λ的值． 【解答】解：，，且， ∴，解得． 故选：A． 【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题． 5．（5分）某公司有营销部门、宣传部门以及人事部门，其中营销部门有50人，平均工资为5千元，方差为4，宣传部 门有40人，平均工资为3千元，方差为8，人事部门有10人，平均工资为3千元，方差为6，则该公司所有 员工工资的方差为（　　） A．6.4 B．6.6 C．6.7 D．6.8 【分析】利用分层抽样的平均数与方差公式求解． 【解答】解：所有人的平均工资为千元， 故该公司所有员工工资的方差为． 故选：D． 【点评】本题主要考查了分层抽样的平均数与方差，属于基础题． 6．（5分）已知等比数列{an}公比为q，前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．Sn＝2an﹣a1 【分析】由已知结合等比数列的性质先求出公比检验选项C，然后结合等比数列的求和公式及通项公式检验选项A，B，D即可判断． 【解答】解：等比数列{an}中，a6＝8a3，可得，即q＝2，故C选项错误； 又 ，故D选项正确； ，故B选项错误； 又，，， 故 不成立，故A选项错误． 故选：D． 【点评】本题主要考查了等比数列的性质，求和公式的应用，属于基础题． 7．（5分）已知6件不同的产品中有2件次品，现对它们一一测试，直至找到所有2件次品为止，若至多测试4次就能找到这2件次品，则共有（　　）种不同的测试方法． A．114 B．90 C．106 D．128 【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理及分类加法计数原理求解． 【解答】解：检测2次可测出2件次品，不同的测试方法有种； 检测3次可测出2件次品，不同的测试方法有种； 检测4次测出2件次品；不同的测试方法有种； 检测4次测出4件正品，不同的测试方法共有种， 由分类计数原理，满足条件的不同的测试方法的种数为：种． 故选：A． 【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理及分类加法计数原理，属中档题． 8．（5分）已知函数，若f（x）＞0恒成立，则正实数a的取值范围是（　　） A．0＜a＜e B．a＞e2 C．a＞e D．a＞2e 【分析】由已知不等式特点构造函数，结合导数分析函数的单调性，然后由不等式恒成立与最值关系的转化即可求解． 【解答】解：∵， ∴ex+lna+lna＞ln（x+2）+2， 两边加上x得ex+lna+（x+lna）＞ln（x+2）+（x+2）＝ln（x+2）+eln（x+2）， 设g（x）＝x+ex，则g（x）单调递增， ∴x+lna＞ln（x+2），即lna＞ln（x+2）﹣x， 令k（x）＝ln（x+2）﹣x，则， ∵f（x）的定义域是（﹣2，+∞）， ∴当x∈（﹣2，﹣1）时，k′（x）＞0，k（x）单调递增； 当x∈（﹣1，+∞）时，k（x）＜0，k（x）单调递减， ∴当x＝﹣1时，k（x）取得极大值即为最大值，且k（x）max＝k（﹣1）＝1， ∴lna＞k（x）max＝k（﹣1）＝1， ∴a＞e． 故选：C． 【点评】本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） （多选）9．（6分）下列说法中，正确的是（　　） A．若随机变量X∼N（2，σ2），且P（X＞6）＝0.4，则P（﹣2＜x＜2）＝0.1 B．一组数据6，7，7，9，13，14，16，17，21的第70百分位数为15 C．在一元线性回归模型分析中，决定系数R2用来刻画模型的拟合效果，若R2值越小，则模型的拟合效果越好 D．设随机事件A，B，已知A事件发生的概率为0.3，在事件A发生的条件下事件B发生的概率为0.4，在事件A不发生的条件下事件B发生的概率为0.2，则事件B发生的概率为0.26 【分析】对于A，结合正态分布的对称性，即可求解； 【解答】解：因为X～N（2，σ2）且P（X＞6）＝0.4，所以P（﹣2＜X＜2）＝0.1，故A正确； 数据共有9个数， 9×0.7＝6.3， 第70百分位数是第7个数16，故B错误； 在一元线性回归分析中可以用决定系数R2来刻画回归的效果， 若R2的值越小，则模型的拟合效果越差，故C错误； P（A）＝0.3，P（B|A）＝0.4， 所以P（AB）＝P（A）P（B|A）＝0.12， 又因为， 则， 所以P（B）＝P（AB）+P（AB）＝0.12+0.14＝0.26，故D正确． 故选：AD． 【点评】本题主要考查概率与统计的知识，属于基础题． 10．（6分）已知两条直线m，n和三个平面α，β，γ，下列命题正确的是（　　） A．若m∥α，m∥β，则α∥β B．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ C．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，则m⊥γ D．若n⊂γ，n∥α，n∥β，α∩β＝m，则m∥γ 【分析】用身边的事物举例，或用长方体找反例，对答案项进行验证和排除． 【解答】解：对于A，当m∥α，m∥β时，两平面α，β可能平行可能相交，所以A错误； 对于B，α⊥β，α⊥γ，两平面β，γ可能平行可能相交，所以B错误； 对于C，当α∩β＝m，α⊥γ，β⊥γ时， 设α∩γ＝b，β∩γ＝c，在γ取一点O，过O分别作OB⊥b＝B，OC⊥c＝C， 则OB⊥α，OC⊥β，因为α∩β＝m， 所以m⊂α，m⊂β，所以OB⊥m，OC⊥m， 因为OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面γ，所以m⊥γ，所以C正确； 对于D，当α∩β＝m，n⊂γ，n∥α，n∥β时， 可得m∥γ或m⊂γ，所以D错误． 故选：C． 【点评】本题考查了平面与平面，直线与平面的位置关系，属于中档题． （多选）11．（6分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，若f（x）是奇函数，f（2）＝﹣f（1）≠0，且对任意x，y∈R，f（x+y）＝f（x）f′（y）+f′（x）f（y），则（　　） A． B．f（9）＝1 C．f′（x）是周期为3的函数 D． 【分析】由已知利用赋值法，结合函数的周期性，函数与导数奇偶性检验各选项即可判断． 【解答】解：对于A：令x＝y＝1，得f（2）＝2f（1）f'（1）， 因为f（2）＝﹣f（1）≠0，所以，A正确： 对于B：令y＝1，得f（x+1）＝f（x）f′（1）+f′（x）f（1）①， 所以f（1﹣x）＝f（﹣x）f′（1）+f′（﹣x）f（1）， 因为f（x）是奇函数，所以f′（x）是偶函数， 所以f（1﹣x）＝﹣f（x）f′（1）+f′（x）f（1）②， 由①②，得f（x+1）＝2f（x）f′（1）+f（1﹣x）＝﹣f（x）﹣f（x﹣1），即f（x+2）＝﹣f（x+1）﹣f（x）， 所以f（x+3）＝﹣f（x+2）﹣f（x+1）＝f（x+1）+f（x）﹣f（x+1）＝f（x）， 所以f（x），f′（x）是周期为3的函数，所以f（9）＝f（0）＝0，所以B错误，C正确； 对于D：因为，在①中令x＝0得，f（1）＝f（0）f′（1）+f′（0）f（1）， 所以f′（0）＝1，，所以D正确． 故选：ACD． 【点评】本题主要考查了抽象函数中，函数周期性，奇偶性的应用，还考查了赋值法的应用，属于中档题． 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（5分）计算：cos72°cos（﹣36°）＝　　． 【分析】由已知结合诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了诱导公式及二倍角公式的应用，属于基础题． 13．（5分）设椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC，则椭圆E的离心率是　　． 【分析】设AC中点为M，连接OM，则OM为△ABC的中位线，运用三角形的中位线定理和三角形相似的性质可得离心率． 【解答】解：如图，设AC中点为M，连接OM， 则OM为△ABC的中位线， 于是△OFM∽△AFB，且＝＝， 即＝可得e＝＝． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法，运用中位线定理和三角形相似的性质是解题的关键． 14．（5分）记min{x，y，z}表示x、y、z中的最小值．若x，y＞0，，则M的最大值为 　　． 【分析】根据最小值的定义可得答案． 【解答】解：，， 又得，可得M2≤2，即， 当即时等号成立． 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数的最值，属于中档题． 四、解答题（本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）在三棱锥P﹣ABC中，AB，AC，AP两两垂直，E，D，H分别为棱PB，PA，BC的中点，点G是线段AD的中点，且AB＝AP＝4，AC＝2， （1）求证：GH∥平面CDE； （2）当M是线段PC中点时，求二面角B﹣AH﹣M的正弦值． 【分析】（1）连接PH，交CE于点O，连接DO，则O为△PBC重心，推导出DO∥GH，由此能证明GH∥平面CDE． （2）以A为坐标原点，AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AH﹣M的正弦值． 【解答】解：（1）证明：连接PH，交CE于点O，连接DO，则O为△PBC重心， ∴＝2，由题：＝2， ∴DO∥GH，又DO⊂平面CDE，GH⊄平面CDE， ∴GH∥平面CDE． （2）解：∵平面AB，AC，AP两两垂直， ∴以A为坐标原点，AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则B（4，0，0），H（2，1，0），M（0，1，2）， ＝（2，1，0），＝（0，1，2）， 设平面AHM的法向量为＝（x，y，z）， 则，∴，取x＝1，得＝（1，﹣2，1）， 平面ABH的法向量为＝（0，0，1）， ∴cos＜＞＝＝， 设所求角为θ，则sinθ＝． ∴二面角B﹣AH﹣M的正弦值为． 【点评】本题考查三角形重心性质、线面平行的判定与性质、二面角的正弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 16．（15分）已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求角A的大小； （2）若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值． 【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式得到，又根据sinB≠0得到，即可求解； （2）利用余弦定理和三角形的面积公式得到BC和AD，利用基本不等式即可求解． 【解答】解：（1）由题意知△ABC中，， 故，即， 即， 所以，而B∈（0，π），∴sinB≠0， 故，即， 又A∈（0，π），故； （2）由余弦定理：， 又S△ABD+S△ACD＝S△ABC， 所以，所以， 所以，当且仅当b＝c时，取等号， 则的最小值为2． 【点评】本题考查了两角和的正弦公式、余弦定理和基本不等式的应用，属于中档题． 17．（15分）已知f（x）＝xsinx﹣acosx在时，取得极大值． （1）讨论f（x）在[﹣π，π]上的单调性； （2）令h（x）＝x2﹣4xsinx﹣4cosx+4，试判断h（x）在R上零点的个数． 【分析】（1）求导数，令f′（x）＝0，则x＝0或．可得单调区间． （2）分别讨论x＞0和，求出单调性，可得结果． 【解答】解：（1）由题可得：f′（x）＝sinx+xcosx+asinx，因为f（x）在时，取得极大值， 则，得a＝﹣1，f（x）＝xsinx+cosx．所以f′（x）＝sinx+xcosx﹣sinx＝xcosx， 令f′（x）＝0，则x＝0或． 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 时f′（x）＜0，f（x）单调递减， 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 时，f′（x）＜0，f（x）单调递减． 所以f（x）的单调递增区间是，递减区间是． （2）h（x）在R上有3个零点，理由如下：h（x）＝x2﹣4xsinx﹣4cosx+4， 因为h（0）＝0，所以x＝0是h（x）的一个零点． h（﹣x）＝（﹣x）2+4﹣4（﹣x）sin（﹣x）﹣4cos（﹣x）＝x2+4﹣4xsinx﹣4cosx＝h（x）， 所以h（x）是偶函数，即要确定h（x）在R上的零点个数，需确定x＞0时，h（x）的零点个数即可． ①当x＞0时，h′（x）＝2x﹣4xcosx＝2x（1﹣2cosx）， 令h′（x）＝0，即或， 时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，且， 时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，且， 所以h（x）在有唯一零点． ②当时，由于sinx≤1，cosx≤1， h（x）＝x2+4﹣4xsinx﹣4cosx≥x2+4﹣4x﹣4＝x2﹣4x＝t（x）， 而t（x）在单调递增，， 所以h（x）＞0恒成立，故h（x）在无零点， 所以h（x）在（0，+∞）有一个零点， 由于h（x）是偶函数，所以h（x）在（﹣∞，0）有一个零点，而h（0）＝0， 综上h（x）在R有且仅有三个零点． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题． 18．（17分）在平面直角坐标系中，过直线l：上任一点M作该直线的垂线PM，，线段FM的中垂线与直线PM交于点P． （1）当M在直线l上运动时，求点P的轨迹C的方程； （2）过P向圆N：（x﹣2）2+y2＝1引两条切线，与轨迹C的另一个交点分别A，B． ①判断：直线AB与圆N的位置关系，并说明理由； ②求△PAB周长的最小值． 【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义进行求解即可； （2）①设出P，A，B三点的坐标，得到直线PA的方程，利用点到直线的距离公式得到y1，y2是方程的两根，结合韦达定理和点到直线的距离公式再进行求解即可； ②根据弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式得到△PAB的面积表达式，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数f（t）的最小值，即△PAB的面积最小值，再利用周长公式进行求解即可． 【解答】解：（1）易知|PF|＝|PM|， 所以点P的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线， 则轨迹C的方程为y2＝x； （2）①不妨设，，， 可得直线PA的方程为， 整理得x﹣（y1+y0）y+y1y0＝0， 因为该直线为圆N的切线， 所以， 即， 同理得， 所以y1，y2是方程的两根， 此时，， 易知直线AB的方程为x﹣（y1+y2）y+y1y2＝0， 即， 则点N到AB的距离， 故直线AB与圆N相切； ②易知|AB|＝＝ ＝， 而点P（）到直线AB的距离d＝＝， 所以＝， 不妨令， 记f（t）＝＝＝（t++2）2（）， 可得 ＝（1﹣）[2（t++2）（1+）（1﹣）+（t++2）2]， 易知，， 当t∈[﹣1，0）时，，， 可得f′（t）＞0，f（t）单调递增； 当 t∈（0，+∞）时，， 当t∈（0，2）时，， 可得f′（t）＜0，f（t）单调递减； 当t∈（2，+∞）时，， 可得可得f′（t）＞0，f（t）单调递增， 又f（﹣1）＝f（2）＝27， 所以△PAB的最小值为， 当且仅当t＝0或t＝2，即y0＝0或时，等号成立， 又． 故△PAB周长的最小值为． 【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于难题． 19．（17分）已知{an}是各项均为正整数的无穷递增数列，对于k∈N*，定义集合，设bk为集合Bk中的元素个数，特别规定：若Bk＝∅时，bk＝0． （1）若，写出b1，b2及b10的值； （2）若数列{bn}是等差数列，求数列{an}的通项公式； （3）设集合S＝{s|s＝n+an，n∈N*}，T＝{t|t＝n+bn，n∈N*}，求证：S∪T＝N*且S∩T＝∅． 【分析】（1）根据集合的定义求解； （2）分a1≥1和a1＝m≥2两种情况讨论，结合等差数列的定义求解； （3）利用反证法证明． 【解答】解：（1）因为≥2， 所以b1＝0，b2＝0， 由2n＜3得，n＝1，所以b3＝1， 由2n＜10得，n＝1，2，3，所以b10＝3； （2）由题可知a1≥1，所以B1＝∅，即b1＝0， 若a1＝m≥2，则B2＝∅，Bm+1＝{1}， 所以b2＝0，bm+1＝1，与{bn}是等差数列矛盾， 所以a1＝1， 设， 因为{an}是各项均为正整数的递增数列，所以， 假设存在k∈N*使得dk≥2， 设ak＝t，由ak+1﹣ak≥2得ak+1≥t+2， 由ak＝t＜t+1＜t+2≤ak+1得bt＜k，bt+1＝bt+2＝k，与{bn}是等差数列矛盾， 所以对任意n∈N*都有dn＝1， 所以数列{an}是等差数列，an＝1+（n﹣1）＝n； （3）证明：因为对于n∈N*，Bn⊆Bn+1，所以bn≤bn+1， 所以n+bn≤n+bn+1＜n+1+bn+1，即数列{n+bn}是递增数列， 先证明S∩T＝∅， 假设S∩T≠∅，设正整数p∈S∩T， 由于p∈S，故存在正整数i＜p使得p＝i+ai，所以ai＝p﹣i， 因为{an}是各项均为正整数的递增数列，所以ai+1≥p﹣i+1， 所以bp﹣i＝i﹣1，bp﹣i+1＝i， 所以（p﹣i）+bp﹣i＝p﹣i+i﹣1＝p﹣1，（p﹣i+1）+bp﹣i+1＝p﹣i+1+i＝p+1， 又因为数列{n+bn}是递增数列，所以p∉T，与假设矛盾， 所以S∩T＝∅， 再证明S∪T＝N*， 由题可知S∪T⊆N*， 设q∈N*且q∉S，因为数列{n+an}是各项均为正整数的递增数列， 所以存在正整数j，使得q＜j+aj． 令j0＝min{j|q＜j+aj}． 若j0＝1，则q＜1+a1，即a1＞q﹣1，所以a1≥q， 所以bq＝0，所以q+bq＝q∈T． 若j0＞1，则， 所以． 所以， 因为，所以q∈T， 所以N*⊆S∪T， 综上所述，S∪T＝N*且S∩T＝∅． 【点评】本题主要考查了数列的新定义问题，考查了元素与集合的关系，属于难题． 学科网（北京）股份有限公司 $$