18.2特殊平行四边形 期末综合复习训练题 2023-2024学年人教版八年级数学下册

2023-2024学年人教版八年级数学下册《18.2特殊平行四边形》 期末综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1．下列命题正确的是（     ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角互补的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2．如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（    ） A． B． C． D． 3．如图，菱形的对角线，交于点．若，，则菱形的周长是（    ） A． B． C． D． 4．如图，正方形中，，直线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，，，E、F为垂足，，则等于（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（    ）    A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，，为对角线上与点，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的序号为（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 二、填空题 9．一个矩形的长和宽分别是 ，，则它的面积为 ． 10．如图，菱形中，其面积为，，则与间的距离是 ． 11．用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（1）所示的正方形，测得，活动学具成图（2）所示的四边形，测得，则图（2）中的长是 ． 12．如图，矩形的对角线与相交于点，点在边AD上，连接EO并延长，交BC于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 13．数学课上，小明把一张矩形纸片进行折叠，使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，已知且，则 ． 14．如图，正方形的边长为4，，为上一点，则的最小值为 ． 15．如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为 ． 16．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接，则在下列说法中：①；②四边形是正方形；③的大小随着点的运动不断改变；④的值是定值；正确的有 ． 三、解答题 17．图①、图②是两张大小、形状完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A和点B正方形的顶点上，请在图①、图②中各画一个四边形，满足以下要求：    (1)在图①中以为边画菱形，点C、D在小正方形顶点上，且菱形的面积为3； (2)在图②中以为边画正方形，点E、F在小正方形的顶点上； (3)请直接写出图②中正方形的面积为______． 18．如图，在矩形中，，相交于点O，点E是矩形外一点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 19．如图，菱形的对角线，相交于点，，，是的中点，点，在上，，．    (1)求菱形的面积； (2)求证：四边形是矩形． 20．如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形的面积为72，，求菱形的面积． 21．如图，在正方形中，对角线、相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接、． (1)求证：； (2)点P是线段上的动点，点Q是延长线上的动点，且，当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？若没变化，猜想度数，并给予证明． 22．【问题原型】人教版教材八年级下册第69页有这样一道题： 如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．请你完成这一问题的证明过程． 【问题应用】 小红在老师的启发下对题目进行了探索，发现：当原题中的“中点E”改为“直线上任意一点（B，C两点除外）时”，结论都能成立．现请你证明下面这种情况： 如图（2），四边形是正方形，点E为反向延长线上一点，，且交正方形外角的平分线所在直线于点F，求证：． 【拓展迁移】 如图3，在正方形中，，E为边上一动点（点E，B不重合），以为直角边在上方作等腰直角三角形，，连接．则在点E的运动过程中，周长的最小值为______． 参考答案 1．解：A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，A选项错误； B.对角互补的平行四边形是矩形，B选项正确； C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C选项错误； D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，D选项错误, 故选：B. 2．解：应添加的条件是，理由为： 证明：、、、分别为、、、的中点， ，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， A、添加的条件是时，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B、添加的条件是，则，所以四边形为矩形，故此选项符合题意； C、添加的条件是，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； D、添加的条件是， 、、、分别为、、、的中点，且，，，，， ， 则四边形为菱形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴菱形的周长是， 故选：． 4．解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 故选：B． 5．解：连接． ，， ， 是等边三角形， ， 又，， ， ， 又， ． 故选：B． 6．解：如图，连接， ，， ， ，， ， ∴四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得，当时，线段的值最小，则线段的值最小， 此时，， ， 的最小值为， 故选：A． 7．解：是正方形的对角线， ， 是菱形的对角线， ． 故选：B． 8．解：①连接，交于点O，如图， ∵， ∴． ∵在正方形中，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②延长，交于M，交于点， ∵， ∴， 由①知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴．故②正确； ③由②知：． 即：．故③正确； ④∵点E为上一动点， ∴根据垂线段最短，当时，最小． ∵， ∴． ∴． 由①知：， ∴的最小值为，故④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故选：C． 9．解：矩形的面积 ． 故答案为： 10．解：设与间的距离为 ，依题意得，， ∴， 故答案为：． 11．解：如图（1）中， 四边形是正方形， ， 如图（2）中，连接交于O， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．解：∵矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 14．解：根据题意，连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∴． 当点B、N、M在同一条直线上时，有最小值． 在中 ，， 根据勾股定理得， 即的最小值为5． 故答案为：5． 15．解：在矩形中，平分， ，，， ， ． ， ， 又， 为等边三角形， ， ． 故答案为： 16．解：如图，作于M，于N， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点E是正方形对角线上的点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形，故②正确； ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵是正方形对角线， ∴，， ∴是定值，故③错误； ∵ ∴， ∴是定值．故④正确； 故答案为：①②④． 17．解：（1）如图①，取， ∵，， ∴， ∴菱形即为所求作；    （2）如图②，取， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴正方形即为所求作；    （3）． 故答案为：5． 18．（1）证明：如图1， ∵，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 四边形是菱形； （2）解：如图2，连接并延长交于点，交于点， 四边形是菱形， ，，，， ， ， 是等边三角形， ， ， ∵，， ∴是的中位线， ∴，, ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． 19．（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ， ； （2）∵菱形的对角线，相交于点， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴为的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴是矩形． 20．（1）证明：菱形的对角线和交于点， ，，， ∵， ∴， 即， 又， 四边形是菱形， ， ， ， ， 菱形是正方形； （2）解：正方形的面积为72， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积． 21．（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴ ∴；． （2）解：的大小不发生变化，； 证明：作，垂足分别为点M、N，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴，即． 22．解：问题原型：证明：如图1，取的中点G，连接， ， 点E是的中点， ， ， ， ， 是正方形的外角的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 问题应用： 证明：如图2， 在延长线上截取，连接． 四边形是正方形， ，． 又， ． ，，为正方形外角平分线 ， ， 又，， 在和中，， ， ． 拓展迁移： 解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在上取点H，使，连接， ， ， ， ，，， ， ， ， 作点D关于的对称点M，则点B、C、M在一条直线上，此时的最小值即为的长， 在中，由勾股定理得， 以A、D、F为顶点的三角形周长的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $$