10.5 分式方程（第2课时）（同步课件）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

第10章 · 分式 10.5　分式方程（2） 第2课时　分式方程的增根 1 学习目标 1.会判断所求得的根是不是分式方程的根，进一步掌握分式方程的解法步骤; 2.了解分式方程产生增根的原因，会检验根的合理性； 3.分式方程的增根与无解的区别与联系. 知识回顾 解分式方程的一般步骤： 1.化：方程两边同乘以各分母的最简公分母, 将分式方程转化为整式方程. 2.解：解这个整式方程 3.验：将所求得的整式方程的解代入原方程检验 4.结：写出原分式方程的解 一化二解三验四结论 3 探索与交流 解分式方程 = 解：方程两边同乘3(x-2)，得 3(5x-4)=4x+10-(3x-6) 解这个一元一次方程，得 x=2 把x=2代入原方程，分式、的分母都为0. 为什么x=2不适合原分式方程？ 4 探索与交流 解分式方程 = 解：方程两边同乘3(x-2)，得 3(5x-4)=4x+10-(3x-6) 解这个一元一次方程，得 x=2 分式方程在化为整式方程的过程中，未知数允许的范围扩大了. 方程的两边同乘了一个不能保证分式方程的分母不为0的整式． 5 分式方程的增根： 概念学习 将分式方程变形为整式方程，若整式方程的根使得原分式方程的分母为0，则这个根称为原分式方程的增根. 增根产生的原因： 去分母时，在分式方程的两边同乘了使分母为0的代数式. 讨论与交流 1. 你认为在解分式方程的过程中，哪一步的变形可能会产生增根？ 分式方程去分母时可能会引起增根. 2. 为什么解分式方程必须检验？如何检验比较简便？ 因为解分式方程的过程中可能产生增根，所以解分式方程必须检验. 将解得的根代入最简公分母, 看最简公分母的值是不是0, 若为0, 则是增根． 例题讲解 例1　解下列方程： (1) = ； 解：(1)方程两边同乘x(x+1)，得 30(x+1)=2x. 解这个一元一次方程，得 x=-3. 检验：当x=-3时，x(x+1)=6≠0， x=-3是原方程的解. 一化(化分式方程为整式方程) 二解(得到的整式方程) 三检验(代入最简公分母检验) 四结论 例题讲解 例1　解下列方程： (3) = . (2)方程两边同乘2(3x-1)，得 1=3x-1+4. 解这个一元一次方程，得 x=-. 检验：当x=-时，2(3x-1)=-12≠0， (2) = +； (3)方程两边同乘(x+2)(x-2)，得 =16. 解这个一元一次方程，得 x=-2. 检验：当x=-2时，(x+2)(x-2)=0， x=-2是增根，原方程无解. x=-是原方程的解. 新知巩固 解下列方程： (1) = ； 解：(1)方程两边同乘x-1，得 4+x-5(x-1)=2x. 解这个一元一次方程，得 x=. 检验：当x=时，x-1=≠0， x=是原方程的解. (2) =； (2)方程两边同乘x-2，得 1=x-1-3(x-2). 解这个一元一次方程，得 x=2. 检验：当x=2时，x-2=0， x=2是增根，原方程无解. 10 新知巩固 解下列方程： (3) = ； (4) =. (3)方程两边同乘(x+1)(x-1)，得 3(x-1)=6. 解这个一元一次方程，得 x=3. 检验：当x=3时，(x+1)(x-1)=8≠0， x=3是原方程的解. (4)方程两边同乘(x+1)(x-1)，得 (x+1)2-(x2-1)=4. 解这个一元一次方程，得 x=1. 检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0， x=1是增根，原方程无解. 11 归纳总结 (1)去分母时，原方程的整式部分不要漏乘； (2)约去分母后，分子是多项式时，要注意添括号；(分数线有括号的作用) 解分式方程注意点: (3)增根不能舍掉； (4)由于解分式方程可能产生增根，因此解分式方程必须对解得的根进行检验. 12 例题讲解 例2 若解关于x的分式方程=会产生增根，求m的值. 解：去分母，得2x+4+mx=3x-6. 由分式方程有增根，得到(x+2)(x-2)=0， 解得x=2或x=-2. 当x=2时，4+4+2m=0，即m=-4； 当x=-2时，-2m=-12，即m=6. 综上，m的值是-4或6. 分式方程中最简公分母=0，求得x 代入整式方程求待定字母的值 13 思维提升 例3 已知关于x的方程=−1无解，求m的值. 解：两边同乘(x−3)得：(3−2x)−(2+mx)=3−x， 整理，(m+1)x=−2， 当m+1=0(即m=-1)时，此方程无解，所以原分式方程无解. 当m+1≠0时，解得x=. 若此解是原分式方程的增根，则原分式方程无解. 原方程的增根为x−3=0，即x=3 所以，即m= 综上所述，m=或m=−1，原分式方程无解. 14 思维提升 分式方程的增根与无解的区别与联系: (2)原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解. 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为0的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值. 分式方程无解则指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等. 它包含两种情形: (1)原方程化去分母后的整式方程无解； 15 新知巩固 1. 若方程=2+有增根，则增根是_______. 方程要产生增根，最简公分母必须为零. x=3 2. 解关于x的方程=产生增根，则常数m的值等于_______. -2 3.若关于x的方程＝无解，则m的值为_______. 0或4 16 新知巩固 4.若关于x的方程＝－1的解是负数，则a的取值范围是_______________. a＞－2且a≠4 注意分母不能为0 5.若关于x的分式方程＋＝的解大于1，则m的取值范围是 ______________. m＞0且m≠1 17 课堂小结 10.4 分式方程(2) 分式方程的增根 确定有增根的分式方程中的待定字母 当堂检测 1.下列说法： ①解分式方程一定会产生增根； ②方程=0的解为x=2； ③方程 =的最简公分母是2x(2x-4)； ④ =1+ 是分式方程． 其中正确的个数是 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A 19 当堂检测 2.关于分式方程＝的解，下列说法正确的是(　　)A.解是x＝2 B.解是x＝4 C.解是x＝－4 D.无解 D 3. 如果关于x的方程＝1的解是正数，那么m的取值范围是(　　)A.m＞－1 B.m＞－1且m≠0C.m＜－1 D.m＜－1且m≠－2 D 20 当堂检测 4.若关于x的分式方程＝1有增根，则m的值为_________. －6 5. 若关于x的方程＝无解，则m的值为_________. 0或4 6. 关于x的分式方程＝2-的解为非正数，则m的取值范围是________________． m≤6且m≠3 21 当堂检测 7. 若关于x的一元一次不等式组的解集为x＞5，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所 有整数a的和为_______. 3 22 当堂检测 8. 解下列方程： (2) ； (1) ； 解：(1)方程两边同乘(x－2)， 得－1－x－3x＋6＝1， 解得x＝1， 检验：当x＝1时，x－2≠0， x＝1是分式方程的解． (2)方程两边同乘(x+1)(x－1)，得 4+x2-1=x2-2x+1， 解得x=-1. 检验：当x=-1时，(x+1)(x-1)=0， x=-1是增根，原分式方程无解. 23 当堂检测 9.k取何值时，代数式的值比的值小1？ 解：根据题意，得＋1＝， 去分母，得2k＋2＋6＝9k＋3， 解得k＝. 24 当堂检测 10.当a为何值时，关于x的方程=无解？ 解：方程两边同乘(x+2)(x-2)，得2(x+2)+ax=3(x-2) 整理得(a-1)x=-10① 若原方程无解，则有两种情形： (1)当a-1=0(即a=1)时，此方程无解，所以原方程无解. (2)如果方程①的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解. 原方程若有增根，增根为x=2或-2，把x=2或-2代入方程①中， 得a=-4或6. 综上所述，a=1或a=-4或a=6时，原分式方程无解. 25 $$