湖南省永州市零陵区柳子中学2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷

2023-2024学年湖南省永州市零陵区柳子中学九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果反比例函数的图象经过点，那么函数的图象应在(    ) A. 第一、三象限 B. 第一、二象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 2.已知关于x的一元二次方程的一个根为2，则另一根是(    ) A. 4 B. 1 C. 2 D. 3.下列函数中，图象是双曲线且经过点的是(    ) A. B. C. D. 4.已知，那么下列等式中不成立的是(    ) A. B. C. D. 5.已知∽，若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.  7.点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在四边形ABCD中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是(    ) A. CA平分 B. C. D. 9.在中，D，F，E分别在BC，AB，AC上一点，连接BE交FD于点G，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法错误的是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点不含B、C两点，将沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，则以下结论中正确的是(    ) ①∽；②四边形 AMCB的面积最大值为10； ③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线； ④线段AM的最小值为；⑤当≌时， A. ①③④ B. ①②⑤ C. ①②③ D. ②④⑤ 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 11.若，则______. 12.如果反比例函数的图象在每一个象限内y随x的增大而减小，那么a满足的条件是______. 13.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______. 14.如图，已知，且，，，则______. 15.如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得，，则旗杆AB的高为______ 16.已知P是线段AB的黄金分割点，且，若，则AP的长为______. 17.如图，点A是反比例函数的图象上-点，过点A作轴，垂足为点B，线段AB交反比例函数的图象于点C，则的面积为______. 18.如图，曲线l是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到的，过点，的直线与曲线l相交于点M、N，则的面积为______. 三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题10分 解下列方程， 20.本小题8分 已知关于x的一元二次方程 求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； 若此方程的两实数根，满足，求实数m的值． 21.本小题8分 如图，在和中，， 求证：∽； 若：：9，，求EC的长. 22.本小题8分 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，，连接EF并延长交BC的延长线于点 求证：∽ 若正方形的边长为8，求BG的长. 23.本小题10分 某商场以每件40元的价格购进一批商品，当商场按每件50元出售时，可售出500件，经调查，该商品每涨价1元，其销售量就会减少10件；问： 这批商品商场为了能获利8000元，当要求售价不高于每件70元时，售价应定为多少？ 总利润能否达到9500元，为什么？ 24.本小题10分 如图，在中，，，，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒，连接 若，求t的值； 若与相似，求t的值. 25.本小题12分 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点， 求，对应的函数表达式： 根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集． 过点B作轴交y轴于点P，在x轴上是否存在点Q，使得的面积等于的面积的一半，若存在求出Q点的坐标． 26.  答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：设反比例函数解析式为， 反比例函数的图象经过点， ， 函数的图象在第二、四象限， 故选： 让点的横纵坐标相乘即为反比例函数的比例系数，根据比例系数的符号即可判断反比例函数的两个分支所在的象限． 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，利用此特征，把点的坐标代入函数解析式求函数值比较简单． 2.【答案】D  【解析】解：设方程的另一根为， 又， ， 解得 故选 可将该方程的已知根2代入两根之积公式，解方程即可求出方程的另一根． 解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后确定选择哪一个根与系数的关系式． 3.【答案】C  【解析】解：设函数解析式为， 把代入解析式，得 故解析式为 故选： 设出反比例函数的解析式，把代入解析式，求出k的值，得到反比例函数的解析式，进行验证即可． 此题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即 4.【答案】B  【解析】解：， ，，， 不成立的是 故选： 根据比例的性质对各选项进行判断． 本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质是解决问题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：∽， ， ， 故选： 利用相似三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可． 本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等的性质，属于中考常考题型． 6.【答案】    【解析】  7.【答案】A  【解析】解：反比例函数的图象分布在第二、四象限， 在每一象限y随x的增大而增大， 而， 点在第四象限，A、B点在第二象限， 即 故选： 根据反比例函数性质，反比例函数的图象分布在第二、四象限，再根据即可得出结论． 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：在和中，， 如果∽，需满足的条件有： ①或AC是的平分线； ②； 故选： 已知，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；D选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定． 此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键． 9.【答案】C  【解析】解：四边形AFDE是平行四边形， ， ， 故选项A正确； 四边形AFDE是平行四边形， ，， ， ∽， ， ， ∽， ， ， 故选项B正确； 根据三角形的相似，不成立， 故选项C错误； 四边形AFDE是平行四边形， ， ∽，∽， ，， ， 故选项D正确． 故选： 四边形AFDE是平行四边形，可得，，再根据相似三角形对应的边成比例，逐一判断每个结论即可． 本题考查了平行四边形的性质以及三角形的相似的判定与性质，综合性较强，难度适中． 10.【答案】B  【解析】解：，， ， ， ， ， ，， ， 四边形ABCD是正方形， ，， ∽故①正确， 设，则， ∽， ， ， ， 时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确， 当时，设， 在中，解得， ，故③错误， 作于G， ， 最小时AM最小， ， 时，AG最小值， 的最小值，故④错误． ≌时， ，在AB上取一点K使得，设， ， ， ，， ， ， ，故⑤正确． 故选： ①正确，只要证明即可解决问题． ②正确，设，构建二次函数，利用二次函数性质解决问题即可． ③错误，设，在中，利用勾股定理求出y即可解决问题． ④错误，作于G，因为，所以AG最小时AM最小，构建二次函数，求得AG的最小值为3，AM的最小值为 ⑤正确，在AB上取一点K使得，设，列出方程即可解决问题． 本题考查相似形综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题． 11.【答案】  【解析】解：根据题意， 可设， 则， 故填 根据比例的基本性质，可以用一个数分别表示出a和b，代入原式即可得出结果． 解此类题目最常用的解法是设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元． 12.【答案】  【解析】解：反比例函数的图象在每一个象限内y随x的增大而减小， ， 解得： 故答案为： 根据反比例函数的性质可得，再解不等式即可． 本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，当时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大． 13.【答案】且  【解析】解：由已知得：， 即， 解得：且 故答案为：且 由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式或不等式组是关键． 14.【答案】4  【解析】解：，， ∽， ， ， ， 故答案为 利用，，可证明∽，推出，即可得答案． 本题考查了相似三角形的判定与性质，证明∽是解此题的关键． 15.【答案】9  【解析】解： ，， ， 由题意可知，且为公共角， ∽， ，即，解得， 即旗杆AB的高为 故答案为： 由条件可证明∽，利用相似三角形的性质可求得答案． 本题主要考查相似三角形的应用，证得三角形相似得到关于AB的方程是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：是线段AB的黄金分割点，且，， ， ， 故答案为： 利用黄金分割的定义，进行计算即可解答． 本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 17.【答案】2  【解析】解：轴， ，， 故答案为： 由于轴，根据反比例函数k的几何意义得到，，然后利用进行计算． 本题考查了反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为 18.【答案】8  【解析】解：，， ， 建立如图新的坐标系，OB为轴，OA为轴． 在新的坐标系中，，， 直线AB解析式为， 由，解得或， ，， ， 故答案为 由题意，，可知，建立如图新的坐标系为轴，OA为轴，利用方程组求出M、N的坐标，根据计算即可． 本题考查坐标与图形的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 19.【答案】解：， ，即， ， ，； ， ， ， 或， ，  【解析】利用配方法求解即可； 化成一般式，然后利用因式分解法求解即可． 本题考查了一元二次方程的解法-因式分解法，配方法，根据方程的特点灵活选用合适的方法是解题的关键． 20.【答案】解：证明： 关于x的一元二次方程 整理，得 对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； ，， 解得 答：实数m的值为  【解析】根据一元二次方程根的判别式即可证明； 根据一元二次方程的根与系数的关系和完全平方公式的变形即可求解． 本题考查了根的判别式和根与系数的关系，解决本题的关键是完全平方公式的变形． 21.【答案】证明： ， ， 又， ∽； ∽； ， 又，   【解析】由两角相等的两个三角形相似可判断∽； 由相似三角形的性质可得，即可求解． 本题考查了相似三角形的判定与判定，证明∽是本题的关键． 22.【答案】解：四边形ABCD为正方形， ，， ， ； 又， ； ，即， ， ∽ 四边形ABCD为正方形， ， ∽， ； 又，正方形的边长为8， ，，   【解析】证明；证明，结合，得到∽ 证明∽，得到；结合，，求出CG的长度，即可解决问题． 该题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握正方形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点． 23.【答案】解：设每件应涨价x元，由题意得 ， 解得，不符题意，舍去， 元． 答：每件售价60元． 即， ， 方程没有实数根， 总利润不能达到9500元．  【解析】可以设每件应涨价x元，题中等量关系为销售数量每件利润，根据等量关系列出方程再解答； 题中等量关系为销售数量每件利润，根据等量关系列出方程，再根据判别式即可解答． 考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 24.【答案】解：在中，，，， ， ， 由题意知：，， ， ， ， 解得： 分两种情况：①当∽时， 则，即， 解得： ②当∽时， 则，即， 解得： 综上所述：当或时，与相似．  【解析】由已知条件得出，由题意知：，，，由得出方程，解方程即可； 分两种情况：①当∽时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值； ②当∽时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值； 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、三角形面积的计算；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键． 25.【答案】解：直线与双曲线相交于，两点， ， ，， 双曲线的表达式为：，， 把和代入得：， 解得：， 直线的表达式为：； 观察图象，关于x的不等式的解集为：或； 过点A作，交BP的延长线于点D，如图 轴， 轴，轴， ，， ，， ， 的面积等于的面积的一半， ， 设直线AB交x轴于C，则， ， ， ， 或  【解析】把代入到可求得的值，再把代入双曲线函数的表达式中，可求得m的值；把A，B两点的坐标代入到一次函数表达式中，可求得一次函数的表达式； 关于x的不等式的解集，则是双曲线的图象在一次函数的图象的上方对应的x的取值； 过点A作，交BP的延长线于点D，由所给的条件可得轴，则可确定AD的长度，BP的长度，利用三角形的面积公式即可求得的面积，进一步求得的面积，即可得到，解得，即可求得或 本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，函数与不等式的关系，数形结合解题的关键． 26.【答案】    【解析】  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$