浙江省台州市温岭市第四中学2023—2024学年上学期九年级期中数学试卷　

2023-2024学年浙江省台州市温岭四中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列电视台的台标，是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是(    ) A. 、 B. 、10 C. 8、 D. 8、10 3.设的半径是r，点O到直线的距离是d，若与l有一个公共点，则r与d之间的关系是(    ) A. B. C. D. 4.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是(    ) A. B. C. D. 7.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排28场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为(    ) A. B. C. D. 8.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为若，则(    ) A. B. C. D. 9.如图，中，，，内心为I，连接AI并延长交的外接圆于D，若，则(    ) A. B. 1 C. D. 10.已知抛物线为常数，中，当时，，时，，则mn的值可能为(    ) A. 3 B. 6 C. D. 8 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______。 12.在中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为______. 13.已知m是关于x的方程的一个根，则______. 14.的半径为2，AB与切于点B，切线长为，AO的长是______. 15.在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点，若顶点C到x轴的距离为18，则线段AB的长度为______. 16.如图，在中，，，D为边AB上一动点点除外，以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则面积的最大值为______. 三、解答题：本题共8小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 解方程： 18.本小题8分 如图，在下列的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，例如，，都是格点． 将绕点B逆时针旋转得到，在网格中画出； 在的变换中，若中有点，则点P的对应点的坐标是______. 19.本小题8分 如图，CD是圆O的直径，点A在DC的延长线上，，AE交圆O于点B，且求的度数． 20.本小题8分 已知▱ABCD边AB、AD的长是关于x的方程的两个实数根． 当m为何值时，四边形ABCD是菱形？ 当时，求▱ABCD的周长． 21.本小题10分 已知：二次函数中的x和y满足表： x … 0 1 2 3 … … 3 0 0 m … 观察表可求得m的值为______； 请求出这个二次函数的表达式； 正比例函数，当时，总有，直接写出k的取值范围． 22.本小题12分 某水果超市经销一种水果，售价每千克50元．每千克盈利10元，每天可售出500千克，调查发现，进货价不变的情况下，每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．规定每千克涨价不能超过8元． 该超市希望每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 超市决定每卖出1千克捐赠a元给贫困山区学生，若每天盈利随着售价的增加而增大，求a的取值范围． 23.本小题12分 如图1，锐角，，以AB为直径作交AC，BC于点D，E，连接DE， 求证：； 如图2，连接AE，OD交于点G，， ①求证：； ②如图3，连接BG，若，求BG的长． 24.本小题14分 问题背景 如图1，已知，均为等边三角形，且点D在线段BC上，求证：≌； 尝试应用 如图2，已知中，，，P为线段BC上一点，以BP为边作等边三角形BPQ，连接CQ，M为线段CQ的中点，连接AM，求证：； 拓展创新 已知中，，，G为平面内一点，若，，请直接写出的值． 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：A、不是中心对称图形，故A选项错误； B、不是中心对称图形，故B选项错误； C、不是中心对称图形，故C选项错误； D、是中心对称图形，故D选项正确． 故选： 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合是解题的关键． 2.【答案】D  【解析】解：化为一元二次方程的一般形式， 其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是8，10， 故选： 一元二次方程是常数且的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 本题考查了一元二次方程的一般形式：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 3.【答案】B  【解析】解：与l有一个公共点， 与l相切， ， 故选： 与l有一个公共点，根据直线与圆的位置关系可得到与l相切，然后根据直线与圆的位置关系得判定方法对各选项进行判断． 本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离 4.【答案】D  【解析】解：，，， ， 所以原方程没有实数根． 故选： 把，，代入进行计算，根据计算结果判断方程根的情况． 本题考查了一元二次方程为常数的根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 5.【答案】B  【解析】【分析】 直接利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 此题主要考查二次函数图象的几何变换，正解掌握平移规律是解题的关键． 【解答】 解：将二次函数的图象向左平移2个单位长度，得到：， 再向上平移1个单位长度得到： 故选： 6.【答案】B  【解析】解：如图线段AB的垂直平分线DM和线段BC的垂直平分线MN的交点M，即为弧的圆心， 圆心的坐标是， 故选： 根据图形作线段AB和BC的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用，数形结合是解答此题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：设比赛组织者应邀请x个队参赛， 根据题意得：， 故选： 根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形的位置， ，， ， ， ， ， ， 即 故选： 先利用旋转的性质得到，，再利用四边形内角和计算出，然后利用互余计算出，从而得到的值． 本题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握旋转的性质是解决问题的关键． 9.【答案】D  【解析】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接OA，OB，OD，BI， 在中，，，内心为I， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ，， 是的内心， ， ， ， ， ， ， ， 故选： 设的外接圆的圆心为O，连接OA，OB，OD，BI，根据圆周角定理证明是等边三角形，根据垂径定理可得，，然后根据三角形内心证明，进而可以解决问题． 本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是得到是等边三角形． 10.【答案】A  【解析】解：当时，，时，， ，， ， ， ，， ， 不能取到4， 故选： 将已知两点代入求出，，再表示出，由已知，可求出，，即可求解． 本题考查二次函数的性质；函数最值的求法；熟练掌握二次函数的性质，能够将mn准确地用和表示出来是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：点关于原点对称的点的坐标为。 故答案是：。 根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答。 本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数。 12.【答案】  【解析】解：如图， ，为等边三角形， ， 故答案为 先画图，由等边三角形的判定和性质求得弦AB所对的圆心角． 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，以及等边三角形的判定和性质． 13.【答案】15  【解析】解：是关于x的方程的一个根， ， ， 故答案是 利用一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 本题考查一元二次方程的解． 14.【答案】4  【解析】解：如图，AB是的切线，，， 是的切线，B为切点， ， ， 故答案为： 根据切线的性质得出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可． 本题考查切线的性质，勾股定理，掌握切线的性质以及勾股定理是正确解答的前提． 15.【答案】6  【解析】解：设抛物线解析式为， 当时，， 解得，， 所以，， 所以， 故答案为： 设顶点式，再解方程得，，然后把B点和A点的横坐标相减得到AB的长． 本题考查了抛物线与x轴的交点，把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 16.【答案】8  【解析】【分析】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值，相似三角形的判定与性质，熟练运用正方形的性质与相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点C作于点G，作于点H，作于点由，，得到，易证∽，求得，设，则，易证≌，，所以，当时，面积的最大值为 【解答】 解：过点C作于点G，作于点H，作于点 ，， ， ，， ∽， ， 即 ， 设，则， ， ， 在和中 ， ≌， ， ， 当时，面积的最大值为 故答案为 17.【答案】解：， ， ， 或， 解得：，  【解析】利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答． 本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程-因式分解法是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：如图，即为所求； 观察图象可知，点P的对应点的坐标， 故答案为： 利用旋转变换的性质分别作出A，C的对应点，； 利用图象法解决问题即可． 本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． 19.【答案】解：连接OB，如图， ， ， ， ， 而，得， ， 而， ，   【解析】连接OB，由，得到，则，于是，而，得，由，根据，即可得到的度数． 本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20.【答案】解：若四边形ABCD是菱形，则， 所以方程有两个相等的实数根， 则， 解得； ， ， 解得， 方程为， 则， 平行四边形ABCD的周长为  【解析】由菱形的四边相等知方程有两个相等的实数根，据此利用根的判别式求解可得； 由知方程的一个解为3，代入方程求出m的值，从而还原方程，再利用根与系数的关系得出的值，从而得出答案． 本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系，菱形和平行四边形的性质． 21.【答案】3  【解析】解：观察表中数据可知函数的对称轴为：， 根据函数的对称轴性，， 故答案为：3； 函数的顶点坐标为，故抛物线的表达式为：， 将代入上式并解得：， 抛物线的表达式为：； 由表中数据知，与x轴的交点为和， 如图所示： 当时，图象过， 则， 当时，总有， 的取值范围为或 函数的对称轴为：，根据函数的对称轴知，，即可求解； 函数的顶点坐标为，故抛物线的表达式为：，将代入上式并解得：，即可求解； 画出二次函数和正比例函数的图象，利用一次函数图象的特征和数形结合思想求出k的取值范围． 本题主要考查二次函数与不等式以及待定系数法求函数解析式，关键是作出函数图象，利用数形结合的思想进行求解． 22.【答案】解：设每千克应涨价y元， 由题意得：， 解得：，， ， ， 答：每千克应涨价5元； 设设每千克涨价x元，扣除捐赠后每天销售该种水果获得的利润为w元，则每千克盈利元，每天可售出千克， 依题意得：， 当时，w随x的增大而增大，且， ， 解得：， 的取值范围为：  【解析】设每千克应涨价y元，则每千克盈利元，每天可售出千克，由题意：该超市希望每天盈利6000元，列出一元二次方程，解之即可得出y值，再结合每千克涨价不能超过8元，即可得出得出结论； 设每千克涨价x元，扣除捐赠后每天销售该种水果获得的利润为w元，则每千克盈利元，每天可售出千克，利用每天销售该种水果获得的利润=每千克的利润每天的销售量，即可找出w关于x的函数关系式，由当时w随x的增大而增大，利用二次函数的性质即可得出关于a的不等式，解之得出，再结合，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的性质，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式． 23.【答案】证明：四边形ABED是内接四边形， ， 又， ； ①证明：， ， 又， ， ， ， ， 即， ； ②解：作于K，交DO的延长线于点M， ，，， ≌， ， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，，， ≌，   【解析】根据圆内接四边形的性质及邻补角的定义即可得解； ①根据圆的有关性质、等腰三角形的性质得出，根据三角形外角性质推出，等量代换得出，根据邻补角定义得出，根据等腰三角形的判定即可得解； ②作于K，交DO的延长线于点M，利用AAS证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得出，结合等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得到，，利用SAS证明≌，根据全等三角形的性质即可得解． 此题是圆的综合题，考查了圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式，熟记圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识并作出合理的辅助线是解题的关键． 24.【答案】证明：，均为等边三角形， ，，， ， ， ≌； 证明：如图2，将绕A点旋转，得到，连接DM，QD，则旋转角， ，， ，，， ， ， ，， ，， ， 四边形CDQP是平行四边形，点M是CQ的中点， 点M是平行四边形CDQP对角线的交点， ， ，在中， ； 解：①当G点在三角形内部时，如图3，将绕点A顺时针旋转，得到， ，， ，， ， ， ， 过点A作交于T，设，则， ， ， ， ， ， ； ②当G点在三角形外部时，如图4，将绕点A顺时针旋转，得到， ，， ，， ， ， ， 设，则，由①可知， 在中，，则， ， 综上所述，的值为或  【解析】由，，，证明即可； 将绕A点旋转，得到，连接DM，QD，则旋转角，可得到四边形CDQP是平行四边形，则，，即可求证； 分两种情况讨论：①当G点在三角形内部时，将绕点A顺时针旋转，得到，可得，过点A作，设，则，可得，，则；①当G点在三角形外部时，将绕点A顺时针旋转，得到，可得，设，则，由①可知则，则 本题考查三角形的综合应用，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形旋转的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$