第二十三章 概率初步 重难点检测卷-2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

第二十三章 概率初步 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．下列成语所反映的事件中，是确定事件的是（　　） A．十拿九稳 B．守株待兔 C．水中捞月 D．一箭双雕 2．下列事件中，属于确定事件的是（    ） A．抛一枚硬币，落地后正面朝上 B．菱形的两条对角线相等 C．两个非零实数的积为正 D．10只鸟关在3个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只 3．甲、乙两位同学相约打乒乓球现有款式完全相同的4个乒乓球拍，分别记为A、B、C、D，如果甲同学先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，那么乙同学选中C号球拍的概率是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法合理的是（    ） A．某彩票的中奖机会是3%，那么如果买100张彩票一定会有3张中奖． B．在一次课堂进行的实验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的频率分别为和． C．抛掷一枚正六面体骰子，出现2的概率是的意思是，每6次就有1次掷得2． D．在100次抛图钉的实验中66次针尖朝上，由此说针尖朝上的概率是． 5．“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同.现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（   ） A． B． C． D． 6．口袋里装有五个大小形状都相同，所标数字不同的小球，小球所标的数字分别是，，，2，3，先随机抽取一个球得到的数字记为k，放回后再抽一个球得到的数字记为b，则满足条件关于x的一次函数的图象不经过第四象限的概率是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．“早上的太阳从东方升起”是 事件．（填“确定”或“不确定”） 8．布袋里有个红球和个白球，它们除了颜色外其他都相同．从布袋里随机摸出一个球恰好为白球的概率是 ． 9．如果从、、、、、这个数中任意选一个数，那么选到的数恰好是的倍数的概率是 ． 10．一个不透明的口袋中有除了标号不同外，五个完全相同的小球，分别标号1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是奇数的概率等于 ． 11．下表为某中学统计的七年级名学生体重达标情况（单位：人），在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是 ． “偏瘦” “标准” “超重” “肥胖” 80 350 46 24 12．有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…、6点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于4的概率是 ． 13．某班进行一次班级活动，要在2名男同学和3名女同学中，随机选出2名学生担任主持人，那么选出的2名学生恰好是一男一女的概率是 ． 14．在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、圆、平行四边形、等腰梯形的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后随机抽取一张，则抽到的卡片上印有的图案是中心对称图形的概率是 ． 15．如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C，都可使小奵泡发光．现随机从A，B，C，D中抽取一个字母（每个字母被抽到的可能性相等）并闭合对应开关，则小灯泡发光的概率为 ． 16．不透明的布袋里有2个黄球、3个红球，它们除颜色外其它都相同，那么 （1）从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好是红球的概率是 ． （2）从布袋中一次摸出两个球，这两个球颜色相同的概率是 ． 17．一个质地均匀的正方形骰子的六个面上分别有到的点数，将骰子抛掷两次，抛第一次，将朝上一面的点数记为，抛第二次，将朝上一面的点数记为，则点落在直线上的概率为 ． 18．七巧板游戏是中国人的智慧结晶．如图，七巧板是由个几何图形组成的正方形，其中、、、、是等腰直角三角形，是正方形，是平行四边形。一只蚂蚁在七巧板上随机停留，刚巧停在号板区域的概率是 ．    三、解答题（7小题，共64分） 19．盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 20．一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，如果你只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)直接写出翻牌得到“手机”奖品的可能性的大小； (2)请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品，包含（手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到“球拍”的可能性大小是． 21．手机微信推出了红包游戏，它有多种玩法，其中一种为“拼手气红包”，用户设好总金额以及红包个数后，可以生成不等金额的红包，现有一用户发了三个“拼手气红包”，总金额为3元，随机被甲、乙、丙三人抢到． （1）下列事件中，确定事件是　　，①丙抢到金额为1元的红包；②乙抢到金额为4元的红包；③甲、乙两人抢到的红包金额之和一定比丙抢到的红包金额多 （2）记金额最多、居中、最少的红包分别为A，B，C．求甲抢到红包A，乙抢到红包C的概率 22．不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个，蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为 (1)直接写出袋中黄球的个数； (2)从袋子中一次摸2个球，请用画树状图或列表格的方法，求“取出至少一个红球”的概率． 23．暗箱内有三个形状、大小完全相同的小球，分别标注数字1、2、3，甲、乙两人按照下列规则决定胜负． (1)从箱中摸出一个小球，如果上面标注的数是2的倍数，则甲获胜，如果上面标注的数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？为什么？ (2)从箱中连续摸出两个小球（摸出后不放回），并将第一次摸出的数作为十位数字，将第二次摸出的数作为个位数字，组成一个两位数，如果这个两位数是2的倍数，则甲获胜，如果这个两位数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？请用树状图或表格说明理由． 24．在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 (1)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近______（精确到）； (2)估计袋子中有黑球______个； (3)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球______个. 25．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 概率初步 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．下列成语所反映的事件中，是确定事件的是（　　） A．十拿九稳 B．守株待兔 C．水中捞月 D．一箭双雕 【答案】C 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可． 【详解】解：A. 十拿九稳是随机事件，不符合题意； B.守株待兔是随机事件，不符合题意； C.水中捞月是不可能事件，是确定事件，符合题意； D. 一箭双雕是随机事件，不符合题意； 故选：C． 2．下列事件中，属于确定事件的是（    ） A．抛一枚硬币，落地后正面朝上 B．菱形的两条对角线相等 C．两个非零实数的积为正 D．10只鸟关在3个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只 【答案】D 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，属于不确定事件，故A不符合题意； B、菱形的两条对角线相等，是随机事件，属于不确定事件，故B不符合题意； C、两个非零实数的积为正，是随机事件，属于不确定事件，故C不符合题意； D、10只鸟关在3个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只，是必然事件，属于确定事件，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了随机事件，菱形的性质，实数的运算，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 3．甲、乙两位同学相约打乒乓球现有款式完全相同的4个乒乓球拍，分别记为A、B、C、D，如果甲同学先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，那么乙同学选中C号球拍的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，再用乙选中C号球拍的结果数除以总的结果数即可； 【详解】解：画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中乙选中C号球拍3种可能的结果， ∴乙选中C号球拍的概率；． 故选：C. 4．下列说法合理的是（    ） A．某彩票的中奖机会是3%，那么如果买100张彩票一定会有3张中奖． B．在一次课堂进行的实验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的频率分别为和． C．抛掷一枚正六面体骰子，出现2的概率是的意思是，每6次就有1次掷得2． D．在100次抛图钉的实验中66次针尖朝上，由此说针尖朝上的概率是． 【答案】B 【分析】直接利用概率的意义分别分析得出答案． 【详解】解：A、某彩票的中奖机会是3%，那么如果买100张彩票不一定会有3张中奖，故原选项不合题意； B、在一次课堂进行的实验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的频率分别为和，故原选项符合题意； C、抛掷一枚正六面体骰子，出现2的概率是不代表每6次就有1次掷得2，故原选项不合题意； D、在100次抛图钉的实验中66次针尖朝上，不能说明针尖朝上的概率是，只能表示频率，故原选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了概率和频率的意义，正确理解概率的意义是解题关键． 5．“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同.现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画树状图（或列表），共有25种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】将宫、商、角、徵、羽、分别记为1，2，3，5，6．根据题意画图如下： 共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种， 则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是． 故选：A． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 6．口袋里装有五个大小形状都相同，所标数字不同的小球，小球所标的数字分别是，，，2，3，先随机抽取一个球得到的数字记为k，放回后再抽一个球得到的数字记为b，则满足条件关于x的一次函数的图象不经过第四象限的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了一次函数的性质．画树状图，共有25个等可能的结果，满足条件关于x的一次函数的图象不经过第四象限的结果有6个，再由概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得： 当时，不经过第四象限， 即当时，不经过第四象限， 画树状图如图： 共有25个等可能的结果，满足条件关于x的一次函数的图象不经过第四象限的结果有6个， ∴满足条件关于x的一次函数的图象不经过第四象限的概率为， 故选：D． 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．“早上的太阳从东方升起”是 事件．（填“确定”或“不确定”） 【答案】确定 【分析】本题考查了确定事件的定义．熟练掌握：必然事件即在一定条件下一定发生的事件；不可能事件即在一定条件下，一定不发生的事件；统称为确定事件是解题的关键． 根据事件的可能性得到相应事件的类型即可． 【详解】解：“早上的太阳从东方升起”是必然事件，属于确定事件， 故答案为：确定． 8．布袋里有个红球和个白球，它们除了颜色外其他都相同．从布袋里随机摸出一个球恰好为白球的概率是 ． 【答案】 【分析】根据概率的计算方法即可求解． 【详解】解：摸出一个球恰好为白球的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率的计算，理解并掌握随机事件概率的计算公式，方法是解题的关键． 9．如果从、、、、、这个数中任意选一个数，那么选到的数恰好是的倍数的概率是 ． 【答案】 【分析】 根据概率公式即可求解． 【详解】解：∵共有个数，的倍数的数有、，共个， ∴个数中任意选一个数，选到的数恰好是的倍数的概率是 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 10．一个不透明的口袋中有除了标号不同外，五个完全相同的小球，分别标号1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是奇数的概率等于 ． 【答案】/0.6 【分析】由在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5， 从中随机摸出一个小球，其标号是奇数的概率为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 11．下表为某中学统计的七年级名学生体重达标情况（单位：人），在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是 ． “偏瘦” “标准” “超重” “肥胖” 80 350 46 24 【答案】 【分析】根据概率公式计算即可得出结果． 【详解】解：该生体重“标准”的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率所求情况数与总情况数之比是本题的关键． 12．有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…、6点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于4的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查概率公式．根据骰子的特点，可知掷一次骰子共有六种等可能性，其中向上的一面出现的点数不大于4的有四种可能性，然后即可计算出掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于4的概率． 【详解】解：由骰子的特点可知：掷一次骰子共有六种等可能性，其中向上的一面出现的点数不大于4的有四种可能性， 掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于4的概率是， 故答案为：． 13．某班进行一次班级活动，要在2名男同学和3名女同学中，随机选出2名学生担任主持人，那么选出的2名学生恰好是一男一女的概率是 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查的是画树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 先画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得到答案． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有20种等可能的情况数，选出的2位同学恰好为一男一女的有12种， 则主持人是一男一女的概率为． 故答案为：． 14．在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、圆、平行四边形、等腰梯形的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后随机抽取一张，则抽到的卡片上印有的图案是中心对称图形的概率是 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了中心对称图形，概率的求法，掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题关键；直接利用概率公式计算即可； 【详解】解：4个图案中，中心对称图形的有2个，分别是平行四边形、圆， 抽到的卡片上印有的图案是中心对称图形的概率是， 故答案为：； 15．如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C，都可使小奵泡发光．现随机从A，B，C，D中抽取一个字母（每个字母被抽到的可能性相等）并闭合对应开关，则小灯泡发光的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查用概率公式计算事件发生的概率，熟练掌握概率公式：是解题的关键． 所有可能的结果共有4种可能，而让小灯泡发光的只有抽到D，一种可能，由概率公式即可求解． 【详解】解：小灯泡发光的概率为． 故答案为：． 16．不透明的布袋里有2个黄球、3个红球，它们除颜色外其它都相同，那么 （1）从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好是红球的概率是 ． （2）从布袋中一次摸出两个球，这两个球颜色相同的概率是 ． 【答案】 / / 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有可能出现的结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好是红球的结果有3种， 恰好是红球的概率为：， 故答案为：； （2）列表如下： 红 红 红 黄 黄 红 （红，红） （红，红） （黄，红） （黄，红） 红 （红，红） （红，红） （黄，红） （黄，红） 红 （红，红） （红，红） （黄，红） （黄，红） 黄 （红，黄） （红，黄） （红，黄） （黄，黄） 黄 （红，黄） （红，黄） （红，黄） （黄，黄） 由表知，共有20种可能出现的结果，其中另个颜色相同的结果有8种， 所以这两个球颜色相同的概率为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式和利用列表法和画树状图法求概率，注意列表法和画树状图法不要遗漏和重复出现的结果是解题的关键． 17．一个质地均匀的正方形骰子的六个面上分别有到的点数，将骰子抛掷两次，抛第一次，将朝上一面的点数记为，抛第二次，将朝上一面的点数记为，则点落在直线上的概率为 ． 【答案】 【分析】由题意画树状图，可得共有36种等可能的结果，然后求出在直线上的点的坐标，最后计算求解即可． 【详解】解：由题意画树状图如下： 共有36种等可能的结果， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， ∴在直线上的点的坐标为，，共个， ∴点、落在直线上的概率． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列举法求概率，一次函数．解题的关键在于列举所有可能存在的情况． 18．七巧板游戏是中国人的智慧结晶．如图，七巧板是由个几何图形组成的正方形，其中、、、、是等腰直角三角形，是正方形，是平行四边形。一只蚂蚁在七巧板上随机停留，刚巧停在号板区域的概率是 ．    【答案】 【分析】设号板的边长为，号板的短边长为，号板的直角边为，号板的直角边为，从而得出大正方形边长为，再根据正方形的面积公式求出大正方形的面积和号板的面积，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：设号板的边长为，则号板的短边长为，号板的直角边为，号板的直角边为， 号板的斜边长 大正方形的面积为，号板的面积 刚巧停在号板区域的概率， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了几何概率问题，勾股定理，熟练掌握概率=相应的面积与总面积之比是解答本题的关键． 三、解答题（7小题，共64分） 19．盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）不放红球即可． （2）都放红球即可． （3）根据可能性的程度确定红球比例即可． 【详解】（1）解：盒中只有100个黄球，摸出1个红球； （2）解：盒中只有100个红球，摸出1个红球； （3）解：盒中有99个红球、1个黄球，摸到红球； 盒中有50个红球，50个黄球，摸出1个红球； 盒中有99个黄球，1个红球，摸出1个红球（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查随机事件概率的运算方法，能够通过概率大小确定红球个数是解题关键． 20．一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，如果你只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)直接写出翻牌得到“手机”奖品的可能性的大小； (2)请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品，包含（手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到“球拍”的可能性大小是． 【答案】(1)抽到“手机”奖品的可能性是： (2)设计九张牌中有四张写着球拍，其它的五张牌中手机、微波炉、电影票各一张，谢谢参与两张 【分析】（1）一共有9张牌，其中2张手机的牌，再根据公式计算； （2）根据可能性的大小，保证“球拍”有4张即可，答案不唯一． 【详解】（1）由题意可知一共有9张牌，其中“手机”有2张，则抽到“手机”奖品的可能性是：； （2）设计九张牌中有四张写着球拍，其它的五张牌中手机、微波炉、电影票各一张，谢谢参与两张．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了随机事件的可能性，掌握可能性的计算公式是解题的关键． 21．手机微信推出了红包游戏，它有多种玩法，其中一种为“拼手气红包”，用户设好总金额以及红包个数后，可以生成不等金额的红包，现有一用户发了三个“拼手气红包”，总金额为3元，随机被甲、乙、丙三人抢到． （1）下列事件中，确定事件是　　，①丙抢到金额为1元的红包；②乙抢到金额为4元的红包；③甲、乙两人抢到的红包金额之和一定比丙抢到的红包金额多 （2）记金额最多、居中、最少的红包分别为A，B，C．求甲抢到红包A，乙抢到红包C的概率 【答案】（1）②；（2） 【分析】（1）直接利用确定事件以及不确定事件的定义分析得出答案； （2）列举出所有情况，看恰好是甲抢到红包A，乙抢到红包C的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】解：（1）事件①，③是不确定事件，事件②是确定事件； 故答案为：②； （2）由树形图可得出：因为有A，B，C三个红包，且抢到每一个红包的可能性相同， 共有6种情况，恰好甲抢到红包A，乙抢到红包C有1种情况，所以概率为． 【点睛】本题考查的知识点是用列表法与树状图法求随机事件的概率，结合题意画出树状图是解题的关键． 22．不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个，蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为 (1)直接写出袋中黄球的个数； (2)从袋子中一次摸2个球，请用画树状图或列表格的方法，求“取出至少一个红球”的概率． 【答案】(1)袋中有2个黄球； (2)“取出至少一个红球”的概率为． 【分析】本题考查了利用列表法和树状图法求两次事件的概率． （1）设黄球有x个，根据蓝球的概率列出方程求解即可； （2）列表得出所有可能的结果数，再找出摸出2个球中至少有一个是红球的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：设黄球有x个，根据题意得， 解得：， 即袋中有2个黄球； （2）解：所有可能的情况如表所示： 红1 红2 黄1 黄2 蓝 红1 （红1，红2） （红1，黄1） （红1，黄2） （红1，蓝） 红2 （红2，红1） （红2，黄1） （红2，黄2） （红2，蓝） 黄1 （黄1，红1） （黄1，红2） （黄1，黄2） （黄1，蓝） 黄2 （黄2，红1） （黄2，红2） （黄2，黄1） （黄2，蓝） 蓝 （蓝，红1） （蓝，红2） （蓝，黄1） （蓝，黄2） 由表格可得：共有20种等可能的结果，其中摸出2个球中至少有一个是红球的结果有14种， ∴摸出2个球中至少有一个是红球的概率为． 23．暗箱内有三个形状、大小完全相同的小球，分别标注数字1、2、3，甲、乙两人按照下列规则决定胜负． (1)从箱中摸出一个小球，如果上面标注的数是2的倍数，则甲获胜，如果上面标注的数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？为什么？ (2)从箱中连续摸出两个小球（摸出后不放回），并将第一次摸出的数作为十位数字，将第二次摸出的数作为个位数字，组成一个两位数，如果这个两位数是2的倍数，则甲获胜，如果这个两位数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？请用树状图或表格说明理由． 【答案】(1)规则公平，见解析 (2)规则公平，见解析 【分析】（1）直接由概率公式求出甲获胜的概率等于乙获胜的概率，即可得出结论； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中这个两位数是2的倍数的结果有2种，这个两位数是3的倍数的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：规则公平，理由如下： 由题意得：甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∴甲获胜的概率等于乙获胜的概率， ∴规则公平； （2）（2）规则公平，理由如下：    共有6种等可能的结果，其中这个两位数是2的倍数的结果有2种，这个两位数是3的倍数的结果有2种， ∴甲获胜的概率，乙获胜的概率， ∴甲获胜的概率等于乙获胜的概率， ∴规则公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 24．在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 (1)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近______（精确到）； (2)估计袋子中有黑球______个； (3)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球______个. 【答案】(1) (2)30 (3)10 【分析】（1）观察摸到黑球的频率后观察表格即可得到； （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，然后用球的总数乘以黑球的概率即可求得黑球的个数； （3）使得黑球和白球的数量相等即可． 【详解】（1）解：观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近， 故答案为：； （2）解：黑球的个数为个， 故答案为：30； （3）解：想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可以使得黑球和白球的个数相同， 即：在袋子中增加相同的白球10个， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 25．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是，，，，，， 【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率； （2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率． 【详解】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜． 此时，比赛的所有可能对阵为： ，， ，，共四种． 其中田忌获胜的对阵有 ，，共两种， 故此时田忌获胜的概率为． （2）不是． 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是． 综上所述，田忌获胜的所有对阵是 ，，， ，，． 齐王的出马顺序为时，比赛的所有可能对阵是 ，，， ，，， 共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵， 所以，此时田忌获胜的概率． 【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想；通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$