期末考试二元一次方程组三种压轴题专项训练-2023-2024学年七年级数学下学期压轴题模拟训练（人教版）

期末考试二元一次方程组三种压轴题专项训练 【例题精讲】 例1．（几何图形问题）某企业用规格是的标准板材作为原材料，按照图①所示的裁法一和裁法二，分别裁剪出甲型与乙型两种板材（单位：）． (1)求出图①中与的值． (2)在试生产阶段，若将张标准板材按裁法一裁剪，张标准板材按裁法二裁剪，裁剪后将得到的甲型与乙型板材做侧面或底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的装饰盒若干个（接缝处的长度忽略不计）． ①一共可裁剪出甲型板材_______________张，乙型板材________________张； ②设做成的竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，根据题意完成表格： 礼品盒板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） 甲型（张） 乙型（张） ③恰好一共可以做出竖式和横式两种无盖装饰盒子________________个．（在横线上直接写出答案） 例2．（利润问题）正值春夏换季的时节，某商场用元分别以每件元和元的价格购进了某品牌衬衫和短袖衫共件． (1)商场本次购进了衬衫和短袖衫各多少件？ (2)若该商场以每件元的价格销售了衬衫总进货量的，将短袖衫在成本的基础上提价进行销售，为了减少库存积压，该商场准备将剩下的衬衫在原售价的基础上降价销售，每件衬衫降价多少元，该商场销售完这批衬衫和短袖衫正好达到利润的预期目标． 例3．（方案问题）某物流公司有360箱货物需要运送，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如表所示： (假设每辆车均满载) 车型 甲 乙 丙 运载量(箱/辆) 20 30 40 运费(元/辆) 300 400 450 (1)全部货物一次性运送可用甲型车6辆， 乙型车4辆， 丙型车 辆： (2)若全部货物仅用甲、 乙两种车型一次性运完， 需运费5100元，求甲、 乙两种车型各需多少辆？ (3)若该公司打算用甲、 乙、丙三种车型同时参与运送， 已知车辆总数为11辆， 且一次性运完所有货物， 请设计出所有的运送方案， 并写出最少运费． 【模拟训练】 1．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）． (1)若该厂购进正方形纸板1500张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； (2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值． 2．小林在某商店购买商品A，B共三次，只有其中一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买A，B商品的数量和总费用如下表所示： A商品(个) B商品(个) 总费用(元) 第一次 6 5 1140 第二次 3 7 1110 第三次 9 8 1062 (1)在这三次购买中，购物打了折的是第 次； (2)求出A，B商品的标价； (3)若商品A，B的折扣相同，问商店里打几折出售这两种商品的？ 3．宁阳大枣以果实硕大、果肉肥厚、细腻扯丝、营养丰富、风味浓郁而驰名中外，素有“天然维生素丸”之称，宁阳某特产品商店购进，两种不同包装的大枣共件，总费用为元，这两种包装大枣的进价、售价如表： 包装 包装 进价（元/件） 售价（元/件） (1)该特产品店购进，两种包装的大枣各多少件？ (2)来自外地的王先生打算购买，两种包装的大枣各件，现在有特产品店在做活动，甲商店打“九折”销售，乙商店总价“满元减元”，请问王先生会选择到哪个商店买更优惠？说明理由． 4．根据以下素材，完成任务． 素材 “迎亚运，共期盼”，为了建设“亚运新城”，现对奥体中心附近的主干道进行改造．施工方考虑到封道区域的限定，计划每小时挖掘土石方1760，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表： 型号 挖掘土石方量（单位：/台·时） 租金（单位：元/台·时）      甲型 160 190 乙型 240 260 现在为了合理利用资源，避免不必要的浪费，租赁公司需要完成下面两个任务： 任务1 制定租用计划 若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量．甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ 任务2 探究租用方案 若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案？并说出哪种方案最省钱． 5．汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲、乙两种货车的运货情况（每辆车都满载）如下表： 第一次 第二次 甲种货车/辆 2 5 乙种货车/辆 3 6 累计运货/吨 (1)甲、乙两种货车每辆满戟分别可装多少吨货物？ (2)若货主需要租用该公司的甲种货车8辆，乙种货车6辆，刚好运完这批货物（每辆车都满载），若按每吨付运费元，则货主应付运费多少元？ (3)若货主共有吨货，计划租用该公司的货车（每辆车都满载）正好把这批货运完，则该汽车公司共有哪几种运货方案？ 6．某校七年级甲、乙两个班共人去游览景点，其中甲班人数较少，不到人；乙班人数较多，有多人．下表为某景点的门票价格： 购票人数/人 以上 每人门票价/元 (1)若两班都以班级为单位分别购票，则一共应付元．请计算两个班各有多少名学生？ (2)在售票处了解到，该景点为迎接劳动节推出了“买四赠一”的优惠活动（即每买4张12元的票可获得一张同等价值的赠票），请通过计算说明七年级甲、乙两班作为一个团体，应选择团体购票还是参加迎接劳动节赠票方式购票． 7．（1）如图1，宽为的大长方形由8个形状、大小相同的小长方形拼成，求其中一个小长方形长和宽分别是多少？ （2）如图1、图2，都是由8个形状、大小相同的小长方形拼（围）成的大矩形，且图2中的阴影部分（小矩形）的面积为，求小长方形的长． （3）如图3，在大长方形中放置9个形状、大小相同的小长方形，则所有阴影部分面积的和是___________．（说明：图中的单位为）    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末考试二元一次方程组三种压轴题专项训练 【例题精讲】 例1．（几何图形问题）某企业用规格是的标准板材作为原材料，按照图①所示的裁法一和裁法二，分别裁剪出甲型与乙型两种板材（单位：）． (1)求出图①中与的值． (2)在试生产阶段，若将张标准板材按裁法一裁剪，张标准板材按裁法二裁剪，裁剪后将得到的甲型与乙型板材做侧面或底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的装饰盒若干个（接缝处的长度忽略不计）． ①一共可裁剪出甲型板材_______________张，乙型板材________________张； ②设做成的竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，根据题意完成表格： 礼品盒板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） 甲型（张） 乙型（张） ③恰好一共可以做出竖式和横式两种无盖装饰盒子________________个．（在横线上直接写出答案） 【答案】(1)， (2)①，；②甲型：，；乙型：，；③． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量 关系，列出二元一次方程组． （1）根据裁法一和裁法二裁出甲、乙的张数及剩余，可得出关于、的二元一次方程组，即可求解； （2）①由裁法一裁出2张甲和一张乙，裁法二裁出一张甲和2张乙，结合标准板材即可求解；②根据制作一个竖式无盖需要甲和张乙，制作一个横式无盖需要甲和张乙，即可求解；③根据甲、乙裁出的张数列二元一次方程组即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ，； （2）①一共可裁剪出甲型板材；（张）， 乙型版：（张）， 故答案为：，； ②甲型：，；乙型：，； ③根据题意得：， 解得：， ， 故答案为． 例2．（利润问题）正值春夏换季的时节，某商场用元分别以每件元和元的价格购进了某品牌衬衫和短袖衫共件． (1)商场本次购进了衬衫和短袖衫各多少件？ (2)若该商场以每件元的价格销售了衬衫总进货量的，将短袖衫在成本的基础上提价进行销售，为了减少库存积压，该商场准备将剩下的衬衫在原售价的基础上降价销售，每件衬衫降价多少元，该商场销售完这批衬衫和短袖衫正好达到利润的预期目标． 【答案】(1)商场本次购进了衬衫件，短袖衫件 (2)每件衬衫降价元，该商场销售完这批衬衫和短袖衫正好达到预期目标 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）设商场本次购进了衬衫x件，短袖y件，依题意得：，计算求解，然后作答即可； （2）设每件衬衫降价元，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：设商场本次购进了衬衫x件，短袖y件， 依题意得：， 解得：， 答：商场本次购进了衬衫件，短袖衫件． （2）解：设每件衬衫降价元， 依题意得， ， 解得：． 答：每件衬衫降价元，该商场销售完这批衬衫和短袖衫正好达到预期目标． 例3．（方案问题）某物流公司有360箱货物需要运送，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如表所示： (假设每辆车均满载) 车型 甲 乙 丙 运载量(箱/辆) 20 30 40 运费(元/辆) 300 400 450 (1)全部货物一次性运送可用甲型车6辆， 乙型车4辆， 丙型车 辆： (2)若全部货物仅用甲、 乙两种车型一次性运完， 需运费5100元，求甲、 乙两种车型各需多少辆？ (3)若该公司打算用甲、 乙、丙三种车型同时参与运送， 已知车辆总数为11辆， 且一次性运完所有货物， 请设计出所有的运送方案， 并写出最少运费． 【答案】(1)3 (2)甲种车型需9辆，乙种车型需6辆 (3)所有的运送方案为：①甲车 1辆， 乙车6辆， 丙车4辆；②甲车2辆， 乙车4辆， 丙车5辆；③甲车3辆，乙车2辆，丙车6辆．最低运费为4400元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （1）利用所需丙型车的数量（货物的总箱数每辆甲型车的运载量使用用型车的辆数一每辆乙型车的运载量使用乙型车的辆数）每辆丙型车的运载量，即可求出结论； （2）设甲型车需x辆，乙型车需y辆，根据“甲、乙两种车型一次性可运送360箱货物，且需运费5100元”，可列出关于必，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设使用a辆甲型车，b辆乙型车，则使用辆丙型车，根据使用的三种车型一次性可运送360箱货物，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b，均为正整数，可得出各运输方案，再求出各方案所需运费，比较后即可得出结论． 【详解】（1）根据题意得： （辆）；故答案为：3； （2）设甲种车型需x辆，乙种车型需y辆，根据题意得： ，解得 答：甲种车型需9辆，乙种车型需6辆． （3）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有辆， 由题意得 ， ∵a、 b、均为正整数， ，， ∴所有的运送方案为： ①甲车 1辆， 乙车6辆， 丙车4辆； (元)， ②甲车2辆， 乙车4辆， 丙车5辆； (元)， ③甲车3辆，乙车2辆，丙车6辆． (元)， 最低运费为4400元． 【模拟训练】 3．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）． (1)若该厂购进正方形纸板1500张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； (2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值． 【答案】(1)加工竖式纸盒300个，加工横式纸盒600个，恰好能将购进的纸板全部用完 (2)在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值为155，160，165，170 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1000张、长方形纸板2000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合即可求出a的值，此题得解． 【详解】（1）解：设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个， 根据题意得：，解得：． 答：加工竖式纸盒300个，加工横式纸盒600个，恰好能将购进的纸板全部用完． （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个， 根据题意得：， ． ，a为正整数， 为5的倍数， 又， 满足条件的a为：155，160，165，170． 答：在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值为155，160，165，170． 2．小林在某商店购买商品A，B共三次，只有其中一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买A，B商品的数量和总费用如下表所示： A商品(个) B商品(个) 总费用(元) 第一次 6 5 1140 第二次 3 7 1110 第三次 9 8 1062 (1)在这三次购买中，购物打了折的是第 次； (2)求出A，B商品的标价； (3)若商品A，B的折扣相同，问商店里打几折出售这两种商品的？ 【答案】(1)三 (2)商品的标价为90元，商品的标价为120元 (3)商店是打6折出售这两种商品 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）由第三次购物数量更多而价格更少，可得出第三次购物打了折扣； （2）设商品的标价为元，商品的标价为元，根据总价二单价物数量结合第一、二次购物的数量及总价，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设商店是打折出售这两种商品，根据现价二原价折扣率，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：观察表格中的数据，可知：第三次购物，购进的数量更多，总价更低， ∴第三次购物打了折扣． 故答案为：三． （2）设商品的标价为元，商品的标价为元， 依题意，得：， 解得：． 答：商品的标价为90元，商品的标价为120元． （3）设商店是打折出售这两种商品， 依题意，得：， 解得：． 答：商店是打6折出售这两种商品． 3．宁阳大枣以果实硕大、果肉肥厚、细腻扯丝、营养丰富、风味浓郁而驰名中外，素有“天然维生素丸”之称，宁阳某特产品商店购进，两种不同包装的大枣共件，总费用为元，这两种包装大枣的进价、售价如表： 包装 包装 进价（元/件） 售价（元/件） (1)该特产品店购进，两种包装的大枣各多少件？ (2)来自外地的王先生打算购买，两种包装的大枣各件，现在有特产品店在做活动，甲商店打“九折”销售，乙商店总价“满元减元”，请问王先生会选择到哪个商店买更优惠？说明理由． 【答案】(1)该特产品店购进种包装的大枣件，购进种包装的大枣件 (2)到乙商店买更优惠，理由见解析 【分析】本题考查二元一次方程组应用、有理数混合运算的实际应用， （1）该特产品店购进种包装的大枣件，购进种包装的大枣件，根据“购进，两种不同包装的大枣共件，总费用为元”建立关于、的二元一次方程组，求解可得答案； （2）分别求出王先生分别在甲、乙商店购买所需的费用，再比较即可得出结论； 解题的关键是正确理解题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程组并求解． 【详解】（1）解：该特产品店购进种包装的大枣件，购进种包装的大枣件， 依题意，得：， 解得：， 答：该特产品店购进种包装的大枣件，购进种包装的大枣件； （2）王先生会选择到乙商店买更优惠． 理由： 如果王先生在甲商店购买，则所需费用： （元）， 如果王先生在甲商店购买，则所需费用： （元）， ∵ ∴王先生会选择到乙商店买更优惠． 4．根据以下素材，完成任务． 素材 “迎亚运，共期盼”，为了建设“亚运新城”，现对奥体中心附近的主干道进行改造．施工方考虑到封道区域的限定，计划每小时挖掘土石方1760，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表： 型号 挖掘土石方量（单位：/台·时） 租金（单位：元/台·时）      甲型 160 190 乙型 240 260 现在为了合理利用资源，避免不必要的浪费，租赁公司需要完成下面两个任务： 任务1 制定租用计划 若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量．甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ 任务2 探究租用方案 若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案？并说出哪种方案最省钱． 【答案】任务一：租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台；任务二：共有3种租用方案，方案1：租用8台甲型挖掘机，2台乙型挖掘机，花费2040元；方案2：租用5台甲型挖掘机，4台乙型挖掘机，花费1990元；方案3：租用2台甲型挖掘机，6台乙型挖掘机，花费1940元；方案3：租用2台甲型挖掘机，6台乙型挖掘机，最省钱 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键； 任务1：设租用甲型挖掘机x台，乙型挖掘机y台，再根据租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，计划每小时挖掘土石方1760，再建立方程组解题即可； 任务2：设租用甲型挖掘机m台，乙型挖掘机n台，可得，再利用方程的正整数解解决问题即可． 【详解】任务1：设租用甲型挖掘机x台，乙型挖掘机y台， 根据题意得：，解得：． 答：租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台 任务2：设租用甲型挖掘机m台，乙型挖掘机n台， 根据题意得：， ∴． 又∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种租用方案， 方案1：租用8台甲型挖掘机，2台乙型挖掘机，花费元； 方案2：租用5台甲型挖掘机，4台乙型挖掘机，花费元； 方案3：租用2台甲型挖掘机，6台乙型挖掘机，花费元； 所以方案3：租用2台甲型挖掘机，6台乙型挖掘机，最省钱． 5．汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲、乙两种货车的运货情况（每辆车都满载）如下表： 第一次 第二次 甲种货车/辆 2 5 乙种货车/辆 3 6 累计运货/吨 (1)甲、乙两种货车每辆满戟分别可装多少吨货物？ (2)若货主需要租用该公司的甲种货车8辆，乙种货车6辆，刚好运完这批货物（每辆车都满载），若按每吨付运费元，则货主应付运费多少元？ (3)若货主共有吨货，计划租用该公司的货车（每辆车都满载）正好把这批货运完，则该汽车公司共有哪几种运货方案？ 【答案】(1)甲、乙两种货车每辆满载分别可装吨、吨货物 (2)货主应付运费元 (3)详见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是找出题目中的两个关键未知量找出等量关系列出方程组． （1）两个相等关系∶第一次2辆甲种车载重的吨数辆乙种货车载重的吨数；第二次5辆甲种车载重的吨数辆乙种货车载重的吨数，根据以上两个相等关系，列方程组求解即可； （2）结合（1）的结果，求出8辆甲种货车和6辆乙种货车一次刚好运完的吨数，再乘以即得货主应付运费； （3）设租用甲种货车共a辆，乙种货车b辆．根据题意得，此方程的非负整数解共有四个故共有四种方案． 【详解】（1）解：设甲种货车每辆满载可装吨货物，乙种货车每辆满载可装吨货物．根据题意，得， 解得， 答：甲、乙两种货车每辆满载分别可装吨、吨货物； （2）元， 答：货主应付运费元； （3）设租用甲种货车辆，乙种货车辆．根据题意，得，此方程的非负整数解共有组，分别为或或或， 故共有如下表所示的四种方案： 方案一 方案二 方案三 方案四 甲种货车辆 乙种货车辆 6．某校七年级甲、乙两个班共人去游览景点，其中甲班人数较少，不到人；乙班人数较多，有多人．下表为某景点的门票价格： 购票人数/人 以上 每人门票价/元 (1)若两班都以班级为单位分别购票，则一共应付元．请计算两个班各有多少名学生？ (2)在售票处了解到，该景点为迎接劳动节推出了“买四赠一”的优惠活动（即每买4张12元的票可获得一张同等价值的赠票），请通过计算说明七年级甲、乙两班作为一个团体，应选择团体购票还是参加迎接劳动节赠票方式购票． 【答案】(1)七年级甲班有人，七年级乙班有人 (2)选择团体购票 【分析】本题考查二元一次方程组的运用，解题的关键是根据题意，列出方程组；根据学生人数和购票方案，选择合适的购票方案，即可． （1）根据题意，列出方程组，即可求解； （2）分别求出选择团体购票和参加迎接劳动节赠票方式购票，进行比较，选择合适的购票方案，即可． 【详解】（1）设七年级甲班有人，七年级乙班有人，∴，∴， 答：七年级甲班有人，七年级乙班有人． （2）两班作为一个团体，选择团体购票费用为：（元）， ∵， ∴两班作为一个团体，参加迎接劳动节赠票方式购票费用为：（元） ∵， ∴七年级甲、乙两班作为一个团体，应选择团体购票，不应该参加迎接劳动节赠票方式购票． 7．（1）如图1，宽为的大长方形由8个形状、大小相同的小长方形拼成，求其中一个小长方形长和宽分别是多少？ （2）如图1、图2，都是由8个形状、大小相同的小长方形拼（围）成的大矩形，且图2中的阴影部分（小矩形）的面积为，求小长方形的长． （3）如图3，在大长方形中放置9个形状、大小相同的小长方形，则所有阴影部分面积的和是___________．（说明：图中的单位为）    【答案】（1）长和宽分别是，；（2）5；（3）738 【分析】（1）设这8个大小一样的小长方形的长为，宽为，根据图形中线段的关系可得方程组，解之可得； （2）设这8个大小一样的小长方形的长为，宽为．根据图1中3个长度个宽度，及小矩形的边长为列出方程组； （3）设小长方形宽为，长为，由图可知大长方形长为，宽为，根据题中数据列出方程组求解即可． 【详解】解：（1）设这8个大小一样的小长方形的长为，宽为． ，解得， 一个小长方形的长和宽分别是，； （2）设这8个大小一样的小长方形的长为，宽为，由图可知，中间小正方形是边长为的小正方形，，， 小长方形的长为； （3）设小长方形宽为，长为， 由图可知大长方形长为，宽为，则，， 大长方形的宽为， 所有阴影部分面积的和． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解图形中各线段之间的关系列出方程组是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$