专题05 特殊的平行四边形【五大题型】-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题05 特殊的平行四边形【五大题型】 【题型1 应用特殊平行四边形的性质进行计算或证明】 1．（2023•西城区期末）小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C．a2 D． 2．（2023•东城区期末）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O．若∠ACB＝30°，AB＝2，则边AD的长为（　　） A． B．2 C． D．1 3．（2023•海淀区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（　　） A．13 B．20 C．25 D．34 4．（2023•丰台区期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC、BD交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，若AC＝8，OH＝3，则DH＝　 　． 5．（2023•门头沟区期末）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD中点的两条直线交AB、CD于E、F，交AD，BC于点H、G，若矩形的边长为4和2，则图中阴影部分的面积为 　 　． 6．（2023•平谷区期末）如图，点E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F，G，GF＝3，则AE＝　 　． 7．（2023•海淀区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别为BC，AB，AC的中点． （1）求证：四边形AEDF是菱形； （2）若AB＝6，BC＝10，求四边形AEDF的面积． 8．（2023•密云区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AB＝13，AC＝10，求AE的长． 【题型2 特殊平行四边形中的折叠问题】 9．（2023•东城区校级期末）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线F处．若AB＝6，AD＝8，则ED的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 10．（2023•顺义区校级期末）如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 11．（2023•海淀区校级期末）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH＝6cm，EF＝8cm，则边AB的长度等于（　　） A．10cm B．9.6cm C．8.4cm D．8cm 12．（2023•怀柔区校级期末）将一张矩形纸片ABCD如图所示折叠，使顶点C落在C′点．已知AB＝2，∠DEC′＝30°，则折痕DE的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．1 13．（2023•丰台区期末）如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，若AB＝5，BC＝10，则△DEF的周长是 　 　． 14．（2023•顺义区校级期末）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D＝70°，则∠ECF的度数是　 　． 15．（2023•海淀区校级期末）如图，已知在长方形ABCD中，将△ABE沿着AE折叠至△AEF的位置，点F在对角线AC上，若BE＝3，EC＝5，则线段CD的长是　 　． 16．（2023•海淀区校级期末）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为　 　． 17．（2023•海淀区校级期末）如图1，已知点E、F分别是正方形ABCD中边AB、BC上的点，且AE＝6，CF＝4，将正方形分别沿DE、DF向内折叠得图2，此时DA与DC重合为DG，求DG的长度． 18．（2023•东城区校级期末）将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F， （1）求证：四边形AECF为菱形； （2）若AB＝4，BC＝8， ①求菱形的边长； ②求折痕EF的长． 【题型3 特殊平行四边形中的图形变换问题】 19．（2023•东城区校级期末）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝112°，则∠α的大小是（　　） A．68° B．20° C．28° D．22° 20．（2023•东城区校级期末）如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC＝60°，则∠EFD的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 21．（2023•西城区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB＝6，BC＝8，则线段CH的长为（　　） A． B． C． D． 22．（2023•海淀区校级期末）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为 　 　． 23．（2023•西城区校级期末）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转30°得到▱AB′C′D′，点B′恰好落在BC边上，则∠DAB′＝　 　°． 24．（2023•朝阳区校级期末）如图，将边长为2的正方形ABCD绕顶点A旋转，使点B落在AC上的点E处，得正方形AEFG，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积是　 　． 25．（2022•石景山区期末）如图，四边形ABCD是正方形，以点A为中心，将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接DE，BE． （1）求∠DEB的度数； （2）过点B作BF⊥DE于点F，连接CF，依题意补全图形，用等式表示线段DE与CF的数量关系，并证明． 26．（2023•海淀区校级期末）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点． （1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由； （2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长． 【题型4 特殊平行四边形中的最值问题】 27．（2023•密云区校级期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点F是CD边上一点，且DF＝1，点E是BC边上的一个动点，M、N分别是线段AE、AF的中点，连接EF和MN，当点E在BC边上从点B向点C移动时，线段MN的最小值是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 28．（2023•海淀区校级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD顶点A、B在y轴、x轴上，当B在x轴上运动时，A随之在y轴运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 　 　． 29．（2023•石景山区期末）如图，E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，连接CE．若AB＝2，则CE长的最小值为 　 　． 30．（2023•东城区校级期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为 　 　；连接CP，线段CP的最小值为 　 　． 31．（2023•朝阳区期末）如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，E是DC延长线上一个动点，点G在射线CB上（不与点C重合），H是DF的中点，连接GH．若AD＝4，则GH的最小值为 　 　． 32．（2023•朝阳区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝4，∠BAD＝60°，则EF的最小值为 　 　． 【题型5 特殊平行四边形中的动点问题】 33．（2023•顺义区校级期末）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为 　 ． 34．（2023•顺义区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，P，Q分别是边AD，BC上的动点，点P从A出发到D停止运动，点Q从C出发到B停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中， ①存在四边形APCQ是矩形； ②存在四边形APCQ是菱形； ③存在四边形APQB是矩形； ④存在四边形APQB是正方形； 所有正确结论的序号是 　 　． 35．（2022•门头沟区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是矩形，且B（8，4），动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向点B运动，同时动点F从点B出发，以同样每秒1个单位的速度沿折线BC→CO向点O运动，当E，F有一点到达终点时，点E，F同时停止运动．设点E，F运动时间为t秒，在运动过程中，如果AE＝3CF，那么t＝　 　秒． 36．（2023•顺义区期末）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B，C重合），AF⊥AE于点A，AF＝AE，连接BF，DE． （1）求证：∠ABF＝∠ADE； （2）延长FB，DE，交于点G，连接AG． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段EG，FG，AG之间的数量关系，并证明． 37．（2022•房山区期末）矩形ABCD中，点M是对角线BD上的一个动点（点M不与点B，D重合），分别过点B，D向射线AM作垂线，垂足分别为点E，F，点O为BD的中点． （1）如图1，当点M与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系，并加以证明； （2）当点M运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立．加以证明，若不成立，说明理由． 38．（2023•海淀区校级期末）在正方形ABCD中，F是线段BC上一动点（不与点B，C重合）连接AF，AC，分别过点F，C作AF、AC的垂线交于点Q． （1）依题意补全图1，并证明AF＝FQ； （2）过点Q作NQ∥BC，交AC于点N，连接FN．若正方形ABCD的边长为1，写出一个BF的值，使四边形FCQN为平行四边形，并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 特殊的平行四边形【五大题型】 【题型1 应用特殊平行四边形的性质进行计算或证明】 1．（2023•西城区期末）小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C．a2 D． 解：过A作AH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝a， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AHABa， ∴菱形ABCD的面积＝BC•AHa2． 答案：B． 2．（2023•东城区期末）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O．若∠ACB＝30°，AB＝2，则边AD的长为（　　） A． B．2 C． D．1 解：过O点作OH⊥AD， ∵四边形ABCD是矩形，∠AOB＝60度， ∴△AOB是等边三角形，AO＝BO＝2，∠BAO＝60°， ∴∠DAO＝30°． 在Rt△AHO中，AO＝2，∠HAO＝30°， ∴AH． ∴AD＝2AH＝2． 答案：A． 3．（2023•海淀区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（　　） A．13 B．20 C．25 D．34 解：作BM⊥x轴于M． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°， ∴∠DAO＝∠ABM， ∵∠AOD＝∠AMB＝90°， ∴△DAO≌△ABM， ∴OA＝BM，AM＝OD， ∵A（﹣3，0），B（2，b）， ∴OA＝3，OM＝2， ∴OD＝AM＝5， ∴AD， ∴正方形ABCD的面积＝34， 答案：D． 4．（2023•丰台区期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC、BD交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，若AC＝8，OH＝3，则DH＝　　． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OD＝OB，∠COD＝90°， ∵DH⊥AB， ∴OHBD＝OB， ∴BD＝6， ∴BO＝3，S菱形ABCD6×8＝24， ∵AOAC＝4，OBBD＝3， ∴AB5， ∴AB•DH24＝12， ∴5•DH＝12， DH， 答案：． 5．（2023•门头沟区期末）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD中点的两条直线交AB、CD于E、F，交AD，BC于点H、G，若矩形的边长为4和2，则图中阴影部分的面积为 　4　． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD，∠BOE＝∠DOF， 又∵∠OBE＝∠ODF， 在△AOE和△COF中， ， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴S△BOE＝S△DOF， 同理可得△DOH≌△BG，四边形AEOH≌四边形CFOG， ∴S阴影＝S△BCD； ∵S△BCDBC•CD＝4，故S阴影＝4． 答案：4． 6．（2023•平谷区期末）如图，点E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F，G，GF＝3，则AE＝　3　． 解：如图，连接CE， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°， 在△ADE和△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE（SAS）， ∴AE＝CE， ∵EF⊥BC，EG⊥CD，∠GCF＝90°， ∴四边形CFEG为矩形， ∴GF＝CE， ∴AE＝GF＝3． 答案：3． 7．（2023•海淀区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别为BC，AB，AC的中点． （1）求证：四边形AEDF是菱形； （2）若AB＝6，BC＝10，求四边形AEDF的面积． （1）证明：∵D，E分别是BC，AB的中点， ∴DE∥AC且DE＝AFAC． 同理DF∥AB且DF＝AEAB． 又∵AB＝AC， ∴DE＝DF＝AF＝AE， ∴四边形AEDF是菱形． （2）解：∵AB＝6，BC＝10，点D，E，F分别为BC，AB，AC的中点， ∴BD＝5，EF＝5， ∴AD， ∴菱形AEDF的面积为EF•AD5． 8．（2023•密云区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AB＝13，AC＝10，求AE的长． （1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD＝BC， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即BC＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO＝5，BC＝AB＝13， ∵AE⊥BC， ∴S四边形ABCD＝BC•AE， 在Rt△ABO中，由勾股定理可得： ∴， ∴BD＝2BO＝24， ∵S四边形ABCDAC•BD＝BC•AE， ∴， ∴． 【题型2 特殊平行四边形中的折叠问题】 9．（2023•东城区校级期末）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线F处．若AB＝6，AD＝8，则ED的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 解：在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8， ∴DC＝6， ∴AC10， 根据折叠可得：△DEC≌△FEC， ∴FC＝DC＝6，DE＝FE， 设ED＝x，则FE＝x，AF＝AC﹣CF＝4，AE＝8﹣x， 在Rt△AEF中：（AF）2+（EF）2＝AE2， 42+x2＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， 答案：A． 10．（2023•顺义区校级期末）如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 解：由折叠的性质知，∠BEF＝∠DEF，∠EBC′、∠BC′F都是直角， ∴BE∥C′F， ∴∠EFC′+∠BEF＝180°， 又∵∠EFC′＝125°， ∴∠BEF＝∠DEF＝55°， 在Rt△ABE中，可求得∠ABE＝90°﹣∠AEB＝20°． 答案：B． 11．（2023•海淀区校级期末）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH＝6cm，EF＝8cm，则边AB的长度等于（　　） A．10cm B．9.6cm C．8.4cm D．8cm 解：如图所示：设HF上两个点分别为M、Q， ∵M点是A点对折过去的， ∴∠EMH为直角，△AEH≌△MEH， ∴∠HEA＝∠MEH，AE＝EM， 同理∠MEF＝∠BEF， ∴∠MEH+∠MEF＝90°， ∴∠HEF＝90°， ∵M点也是B点对折过去的， ∴BE＝EM， ∴AE＝BE， ∵EH＝6cm，EF＝8cm， ∴FH10（cm）， ∵S△HEFHF×EM， ∴AE＝EM（cm）， ∴AB＝AE+BE＝4.8+4.8＝9.6（cm）． 答案：B． 12．（2023•怀柔区校级期末）将一张矩形纸片ABCD如图所示折叠，使顶点C落在C′点．已知AB＝2，∠DEC′＝30°，则折痕DE的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．1 解：∠DEC＝30°，∠DEC'＝30°，所以DE＝2DC＝2AB＝4． 答案：C． 13．（2023•丰台区期末）如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，若AB＝5，BC＝10，则△DEF的周长是 　15　． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠A＝90°， ∵BD为折痕， ∴CD＝DE，∠C＝∠E＝90°， ∴AB＝DE，∠A＝∠E＝90°， 在△BAF和△DEF中， ， ∴△BAF≌△DEF（AAS）， ∴AF＝EF，BF＝DF， ∴△DEF的周长＝（AB+BC）＝15， 答案：15． 14．（2023•顺义区校级期末）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D＝70°，则∠ECF的度数是　35°　． 解：∵将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处， ∴∠BCE＝∠FCE，BC＝CF， ∵四边形ABCD是菱形 ∴BC∥AD，BC＝CD ∴CF＝CD ∴∠CFD＝∠D＝70° ∵BC∥AD ∴∠BCF＝∠CFD＝70° ∴∠ECF＝35° 答案：35° 15．（2023•海淀区校级期末）如图，已知在长方形ABCD中，将△ABE沿着AE折叠至△AEF的位置，点F在对角线AC上，若BE＝3，EC＝5，则线段CD的长是　6　． 解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AB＝CD， 由折叠的性质可得：AB＝AF，BE＝FE＝3，∠AFE＝∠B＝90°， ∴BC＝BE+CE＝3+5＝8， 在Rt△CEF中，CF4， 设AB＝AF＝CD＝x，则AC＝x+4， ∵Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2， ∴x2+82＝（x+4）2， 解得：x＝6， ∴CD＝6， 答案：6． 16．（2023•海淀区校级期末）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为　8　． 解：设正方形的边长为a，则2a2＝（2）2，解得a＝2， 翻折变换的性质可知AD＝A′B′，A′H＝AH，B′G＝DG， 阴影部分的周长＝A′B′+（A′H+BH）+BC+（CG+B′G）＝AD+AB+BC+CD＝2×4＝8． 答案：8． 17．（2023•海淀区校级期末）如图1，已知点E、F分别是正方形ABCD中边AB、BC上的点，且AE＝6，CF＝4，将正方形分别沿DE、DF向内折叠得图2，此时DA与DC重合为DG，求DG的长度． 解：由折叠可知，DG＝AD＝CD，AE＝EG，GF＝CF， ∵AE＝6，CF＝4， ∴EF＝10， 设正方形边长为a， ∴EB＝a﹣6，BF＝a﹣4， 在Rt△EFB中，EF2＝EB2+BF2， ∴100＝（a﹣6）2+（（a﹣4）2， ∴a＝12， ∴DG＝12． 18．（2023•东城区校级期末）将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F， （1）求证：四边形AECF为菱形； （2）若AB＝4，BC＝8， ①求菱形的边长； ②求折痕EF的长． 证明：（1）∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF， ∴OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC， ∵AD∥AC， ∴∠FAC＝∠ECA，在△AOF和△COE中， ∴△AOF≌△COE， ∴OF＝OE， ∵OA＝OC，AC⊥EF， ∴四边形AECF为菱形； （2）①设菱形的边长为x，则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，AE＝x， 在Rt△ABE中，∵BE2+AB2＝AE2， ∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5， 即菱形的边长为5； ②在Rt△ABC中，AC4， ∴OAAC＝2， 在Rt△AOE中，AE＝5， OE， ∴EF＝2OE＝2． 【题型3 特殊平行四边形中的图形变换问题】 19．（2023•东城区校级期末）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝112°，则∠α的大小是（　　） A．68° B．20° C．28° D．22° 解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°， ∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α， ∴∠BAB′＝α，∠B′AD′＝∠BAD＝90°，∠AD′C′＝∠ADC＝90°， ∵∠2＝∠1＝112°， 而∠ABC＝∠D′＝90°， ∴∠3＝180°﹣∠2＝68°， ∴∠BAB′＝90°﹣68°＝22°， 即∠α＝22°． 答案：D． 20．（2023•东城区校级期末）如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC＝60°，则∠EFD的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 解：∵△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF， ∴CE＝CF，∠DFC＝∠BEC＝60°，∠EFC＝45°， ∴∠EFD＝60°﹣45°＝15°． 答案：B． 21．（2023•西城区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB＝6，BC＝8，则线段CH的长为（　　） A． B． C． D． 解：过点H作HM⊥BC于点M， ∵将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，AB＝6，BC＝8， ∴BE＝BC＝8，∠CBE＝90°，BG＝AB＝6， ∴HM∥BE， ∵H是EG的中点， ∴MHBE＝4，BM＝GMBG＝3， ∴CM＝BC﹣BM＝8﹣3＝5， 在Rt△CHM中，CH． 答案：D． 22．（2023•海淀区校级期末）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为 　1或5　． 解：旋转得到F1点， ∵AE＝AF1，AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°， ∴△ADE≌△ABF1， ∴F1C＝1； 旋转得到F2点，同理可得△ABF2≌△ADE， ∴F2B＝DE＝2， F2C＝F2B+BC＝5． 23．（2023•西城区校级期末）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转30°得到▱AB′C′D′，点B′恰好落在BC边上，则∠DAB′＝　75　°． 解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点）， ∴AB＝AB′，∠BAB′＝30°， ∴∠B＝∠AB′B＝（180°﹣30°）÷2＝75°， ∴∠DAB′＝75°． 答案：75． 24．（2023•朝阳区校级期末）如图，将边长为2的正方形ABCD绕顶点A旋转，使点B落在AC上的点E处，得正方形AEFG，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积是　44　． 解：直角△ADC是直角三角形，AD＝CD＝2，则S△ACDAD•CD2×2＝2； ACAD＝2， 则EC＝22， ∵△MEC是等腰直角三角形， ∴S△MECME•EC（22）2＝6﹣4， ∴阴影部分的面积＝S△ACD﹣S△MEC＝2﹣（6﹣4）＝44． 答案：44． 25．（2022•石景山区期末）如图，四边形ABCD是正方形，以点A为中心，将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接DE，BE． （1）求∠DEB的度数； （2）过点B作BF⊥DE于点F，连接CF，依题意补全图形，用等式表示线段DE与CF的数量关系，并证明． 解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∵将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE， ∴∠EAB＝α，AB＝AE， ∴AE＝AD，∠EAD＝90°+α， ∴∠AED45°α， ∵AE＝AB，∠EAB＝α， ∴∠AEB90°α， ∴∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝（90°α）﹣（45°α）＝45°； （2）补全图形如下，线段DE与CF的数量关系为DECF， 证明：过C作CG⊥CF交FD延长线于G， ∵BF⊥DE， ∴∠BFC+∠CFD＝90°， ∵CG⊥CF， ∴∠CFD+∠G＝90°， ∴∠BFC＝∠G， ∵∠BCD＝∠FCG＝90°， ∴∠BCF＝∠DCG， ∵BC＝CD， ∴△BCF≌△DCG（AAS）， ∴BF＝DG，CF＝CG， ∴△FCG是等腰直角三角形， ∴FGCF， 由（2）知，∠DEB＝45°， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴EF＝BF， ∴EF＝DG， ∴EF+FD＝DG+FD，即DE＝FG， ∴DECF． 26．（2023•海淀区校级期末）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点． （1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由； （2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长． 解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下： ∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， ∴∠AFH＝90°， 在四边形AFHE中，∠FAE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°， ∴四边形AFHE是矩形， 又∵AE＝AF， ∴矩形AFHE是正方形； （2）设AE＝x．则由（1）以及题意可知：AE＝EH＝FH＝AF＝x，BH＝7，BC＝AB＝13， 在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2， 即132＝x2+（x+7）2， 解得：x＝5（负值舍去）， ∴BE＝BH+EH＝5+7＝12， ∴DF＝BE＝12， 又∵DH＝DF+FH， ∴DH＝12+5＝17． 【题型4 特殊平行四边形中的最值问题】 27．（2023•密云区校级期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点F是CD边上一点，且DF＝1，点E是BC边上的一个动点，M、N分别是线段AE、AF的中点，连接EF和MN，当点E在BC边上从点B向点C移动时，线段MN的最小值是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 解：∵M、N分别是线段AE、AF的中点， ∴MN是△AEF的中位线， ∴MNEF， ∴EF取最小值时，MN最小， ∵E在BC上运动， ∴E与C重合时，EF最小， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝DC＝4， ∵DF＝1， ∴CF＝DC﹣DF＝3， ∴EF最小值为3， ∴MN的最小值为1.5， 答案：B． 28．（2023•海淀区校级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD顶点A、B在y轴、x轴上，当B在x轴上运动时，A随之在y轴运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 　1　． 解：取AB的中点M，连接OM、DM、OD，如图： ∵∠AOB＝90°， ∴OMAB＝1， Rt△ADM中，AMAB＝1，AD＝BC＝1， ∴DM， 而△ODM中，OD＜OM+DM， ∴当D、M、O共线时，OD最大，最大值为OM+DM＝1． 答案：1． 29．（2023•石景山区期末）如图，E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，连接CE．若AB＝2，则CE长的最小值为 　1　． 解：取AB中点O，连接OC， ∵AB＝2， ∴OB＝1， ∴OC， ∵∠AEB＝90°， ∴点E在以O为圆心，OB为半径的圆上， ∴当点E在OC上时，CE有最小值， ∴CE的最小值为1． 答案：1． 30．（2023•东城区校级期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为 　90°　；连接CP，线段CP的最小值为 　1　． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°， 在△ADE和△DCF中， ， ∴△ADE≌△DCF（SAS）， ∴∠DAE＝∠CDF， ∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°， ∴∠ADF+∠DAE＝90°， ∴∠APD＝90°， 取AD的中点O，连接OP，则OPAD2＝1（不变）， 根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小， 在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO， 所以，CP＝CO﹣OP1． 答案：90°，1． 31．（2023•朝阳区期末）如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，E是DC延长线上一个动点，点G在射线CB上（不与点C重合），H是DF的中点，连接GH．若AD＝4，则GH的最小值为 　　． 解：如图，延长GH交DE于M， ∵四边形CEFG是正方形， ∴FG∥DE，FG＝CE， ∴∠GFH＝∠CDH， ∵H是DF的中点， ∴DH＝FH， ∵∠GHF＝∠DHM， ∴△GHF≌△MHD（ASA）， ∴FG＝DM，GH＝MH， 设正方形CEFG的边长为x，则DM＝x，CM＝4﹣x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°， ∴CG2+CM2＝GM2， ∴x2+（4﹣x）2＝GM2， ∴GM2＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8， ∴GM的最小值是2， ∴GH的最小值是． 答案：． 32．（2023•朝阳区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝4，∠BAD＝60°，则EF的最小值为 　　． 解：连接OP， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠CABDAB＝30°， ∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F， ∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°， ∴四边形OEPF是矩形， ∴EF＝OP， ∵当OP取最小值时，EF的值最小， ∴当OP⊥AB时，OP最小， ∵AB＝4， ∴OBAB＝2，OAAB＝2， ∴S△ABOOA•OBAB•OP， ∴OP， ∴EF的最小值为， 答案：． 【题型5 特殊平行四边形中的动点问题】 33．（2023•顺义区校级期末）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为 　（2，4）或（3，4）或（8，4）　． 解：显然PO≠PD，不考虑； 当OD＝PD（P在右边）时，根据题意画出图形，如图所示： 过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ＝4，PD＝ODOA＝5， 根据勾股定理得：DQ＝3，故OQ＝OD+DQ＝5+3＝8，则P1（8，4）； 当PD＝OD（P在左边）时，根据题意画出图形，如图所示： 过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ＝4，PD＝OD＝5， 根据勾股定理得：QD＝3，故OQ＝OD﹣QD＝5﹣3＝2，则P2（2，4）； 当PO＝OD时，根据题意画出图形，如图所示： 过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形OPQ中，OP＝OD＝5，PQ＝4， 根据勾股定理得：OQ＝3，则P3（3，4）， 综上，满足题意的P坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）． 答案：（2，4）或（3，4）或（8，4） 34．（2023•顺义区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，P，Q分别是边AD，BC上的动点，点P从A出发到D停止运动，点Q从C出发到B停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中， ①存在四边形APCQ是矩形； ②存在四边形APCQ是菱形； ③存在四边形APQB是矩形； ④存在四边形APQB是正方形； 所有正确结论的序号是 　①②③　． 解：在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6， ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ①当点P与D重合，点C与B重合时，存在四边形APCQ是矩形；故①正确； ②∵AP＝CQ，AP∥CQ， ∴四边形APCQ是平行四边形， 当AP＝CP时，四边形APCQ是菱形， 设AP＝x，则CP＝x，PD＝6﹣x， ∵∠D＝90°， ∴PC2＝PD2+CD2， ∴x2＝（6﹣x）2+42， 解得x， 故当AP时，四边形APCQ是菱形；故②正确； ③当AP＝BQ时，四边形APQB是矩形， ∵AP＝CQ， ∴BQ＝CQBC＝3， 当AP＝3时，四边形APQB是矩形，故③正确； ④不存在四边形APQB是正方形， 理由：当AP＝AB＝BQ＝4， 则CQ＝2， ∵AP＝CQ， ∴BQ＝CQ＝4， ∵BC＝BQ+CQ＝6， ∴不存在四边形APQB是正方形， 答案：①②③． 35．（2022•门头沟区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是矩形，且B（8，4），动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向点B运动，同时动点F从点B出发，以同样每秒1个单位的速度沿折线BC→CO向点O运动，当E，F有一点到达终点时，点E，F同时停止运动．设点E，F运动时间为t秒，在运动过程中，如果AE＝3CF，那么t＝　3或6　秒． 解：当F在BC边上，如图： 由题意得：AE＝t，BF＝t，CF＝4﹣t， ∵AE＝3CF， ∴t＝3（4﹣t）， ∴t＝3． 当F在OC上时，如图： AE＝t，CF＝t﹣4， ∵AE＝3CF， ∴t＝3（t﹣4）， ∴t＝6， ∵当E，F有一点到达终点时，点E，F同时停止运动， ∴0≤t≤8， ∴t＝6符合题意． 答案：3或6 36．（2023•顺义区期末）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B，C重合），AF⊥AE于点A，AF＝AE，连接BF，DE． （1）求证：∠ABF＝∠ADE； （2）延长FB，DE，交于点G，连接AG． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段EG，FG，AG之间的数量关系，并证明． （1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAC＝90°， ∴∠DAE+∠BAE＝90°， 又∵AF⊥AE，AF＝AE， ∴∠EAF＝90°， ∴∠BAF+∠BAE＝90°， ∴∠BAF＝∠DAE， 在△ABF和△ADE中， ， ∴△ABF≌△ADE（SAS）， ∴∠ABF＝∠ADE， （2）①解：依题意补全图形如下： ②线段EG，FG，AG之间的数量关系是：． 证明如下： 过点A作AH⊥AG与GD的延长线交于H， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAG+∠GAD＝90°， ∵AH⊥AG，则∠GAH＝90°， ∴∠GAD+∠DAH＝90°， ∴∠BAG＝∠DAH， ∵∠ABG＝180°﹣∠ABF，∠ADH＝180°﹣∠ADE， 由（1）知：∠ABF＝∠ADE， ∴∠ABG＝∠ADH， 在△ABG和△ADH中， ， ∴△ABG≌△ADH（ASA） ∴AG＝AH， 又∠GAH＝90°， ∴△AGH为等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 即：， ∵∠EAF＝∠GAH＝90°， 即：∠FAG+∠GAE＝∠GAE+∠EAH＝90°， ∴∠FAG＝∠EAH， 在△AFG和△AEH中， ， ∴△AFG≌△AEH（SAS）， ∴FG＝EH， ∴． 37．（2022•房山区期末）矩形ABCD中，点M是对角线BD上的一个动点（点M不与点B，D重合），分别过点B，D向射线AM作垂线，垂足分别为点E，F，点O为BD的中点． （1）如图1，当点M与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系，并加以证明； （2）当点M运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立．加以证明，若不成立，说明理由． 解：（1）OE＝OF，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴DO＝BO， 在△DOF和△BOE中， ， ∴△DOF≌△BOE（AAS）， ∴OE＝OF； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长FO交BE于点H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴DO＝BO， ∵DF⊥AM，BE⊥AM， ∴DF∥BE， ∴∠DFO＝∠BHO， 在△DFO和△BHO中， ， ∴△DFO≌△BHO（AAS）， ∴OF＝OH， ∵BE⊥AM， ∴OE＝OF． 38．（2023•海淀区校级期末）在正方形ABCD中，F是线段BC上一动点（不与点B，C重合）连接AF，AC，分别过点F，C作AF、AC的垂线交于点Q． （1）依题意补全图1，并证明AF＝FQ； （2）过点Q作NQ∥BC，交AC于点N，连接FN．若正方形ABCD的边长为1，写出一个BF的值，使四边形FCQN为平行四边形，并证明． 解：（1）根据题意，作图如下： 证明：在AB上截取BM＝BF，如图， ∵∠CFQ+∠AFB＝90°，∠BAF+∠AFB＝90°， ∴∠BAF＝∠CFQ， ∵BF＝BM， ∴CF＝AM， 又∵∠AMF＝180°﹣45°＝135°，∠FCQ＝90°+45°＝135°， ∴∠AMF＝∠FCQ， 在△AMF和△FCQ中， ， ∴△AMF≌△FCQ（ASA）， ∴AF＝FQ； （2）当BF时，四边形FCQN为平行四边形， 证明：如图，在AB上截取BM＝BF，连接MF， ∵BF，BC＝1， ∴FC， 由（1）可得△BMF为等腰三角形，且△AMF≌△FCQ， ∴CQ＝MF， ∵NQ∥BC， ∴∠FCQ+∠NQC＝180°， ∵∠FCQ＝135°， ∴∠NQC＝45°， ∵∠NCQ＝90°， ∴∠NQC＝45°＝∠NQC， ∴，， ∴NQ＝FC且NQ∥FC， ∴四边形FCQN为平行四边形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$