期末考试一次函数与几何综合压轴题专项训练-2023-2024学年八年级数学下学期压轴题模拟训练（人教版）

期末考试一次函数与几何综合压轴题专项训练 【例题精讲】 例1．（角度问题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点． (1)求点的坐标； (2)如图1，直线交轴的正半轴于点，交于点，连接，设的面积为，求与的函数解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，若，，求点的坐标． 例2．（面积问题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点A在x轴上，，，且、，交y轴于M， (1)求点C的坐标； (2)在x轴上有一动点P，当的值最小时，求此时P的坐标． (3)点N为x轴上一动点，若，求点N的坐标； 例3．（等腰三角形存在性问题）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点，点在轴上运动，连接，将沿直线折叠，点的对应点记为． (1)求A、的坐标； (2)若点恰好落在直线上，求的面积； (3)如图2，若恰好与轴平行，且边与线段有交点，设交点为，在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例4．（等腰直角三角形存在性问题）如图，平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴正半轴于点B．直线交y轴负半轴于点C，． (1)求直线的函数表达式和的面积； (2)若点P为直线（不含A，B两点）上一点，连接，若的面积为7，求点P的坐标； (3)若点P为射线（不含A，B两点）上一点，M为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点N，使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出每种等腰直角三角形对应顶点P、N的坐标；若不存在，请说明理由． 例5．（平行四边形存在性问题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点、在坐标轴上，，将沿折叠，使点落在对角线上的点处． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发，沿折线方向以5个单位/秒的速度匀速移动，到终点停止，设运动时间为，的面积为，求出与的关系式，并写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，当时，在平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在；请直接写出点坐标，若不存在请说明原因． 例6．（菱形存在性问题）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点D、E，且．点M是线段上的一个动点． (1)求b的值； (2)连接，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标； (3)设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标． 例7．（矩形存在性问题）如图，平面直角坐标系中，，．为矩形对角线的中点，过点的直线分别与、交于点、． (1)求证：； (2)设，的面积为，求与的函数关系式； (3)若点在坐标轴上，平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出点的坐标． 例8．（正方形存在性问题）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，且分别交x轴于A、C两点． (1)求a，b的值及点A，C的坐标； (2)在直线上找一点D，使得是的面积的2倍，求出点D的坐标； (3)y轴上有一动点P，直线上有一动点M，点N在平面上，若四边形是正方形，求出点N的坐标． 【模拟训练】 1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，两直线交于点E，，． (1)如图1，求k和b的值； (2)如图2，点P在x轴上，过点P作x轴的垂线交射线于点M，交射线于点N，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式，直接写出t的取值范围； (3)如图3，在（2）的条件下，，点H在直线上，点F在x轴上，点G在直线上，连接和， 当四边形为矩形，且时，求点G的坐标． 2．直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于与直线交于，过作轴于． (1)点坐标为 ；点坐标为 ． (2)求直线的函数解析式． (3)是线段上一动点，点从原点开始，每秒一个单位长度的速度向运动（与、不重合），过作轴的垂线，分别与直线、交于、，设的长为，点运动的时间为，求出与之间的函数关系式（写出自变量的取值范围） (4)在（）的条件下，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形（直接写出结果） 3．综合运用 (1)如图1，，顶点在直线上，过点作于点，过点作于点，当时，判断线段与的数量关系（直接写出结果，不要求写解答过程） (2)如图2，直线与坐标轴交于点，，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数解析式． (3)如图3，四边形为长方形，其中为坐标原点，点的坐标为，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，是线段上的动点，是直线上的动点且在第四象限，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点的坐标． 4．如图，平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点A落在点D处，与交于点E．的长满足式子． (1)求点A，C的坐标； (2)求出点E的坐标和直线的函数解析式； (3)F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标是，点的坐标是（）．直线交轴于点，记点关于轴的对称点为，点为轴上一动点． (1)当时，求的长； (2)当时，用含的代数式表示的长； (3)是否存在四边形，使四边形为正方形？若存在，请求出所有满足条件的和点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图：已知直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，是的角平分线，点E是线段上的一个动点（不与点O，A重合），过点E作，交线段于点Q，交线段于点F，设，． (1)分别求点A和点B的坐标； (2)求y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，如果垂直平分，那么直线上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由． 7.（1）基本图形的认识：如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，连接，则是______三角形（填形状）； （2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，，连接，过点A在第一象限内作的垂线，并在垂线截取，求点C的坐标； （3）基本图形的应用：如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴于点D，且，求点D的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末考试一次函数与几何综合压轴题专项训练 【例题精讲】 例1．（角度问题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点． (1)求点的坐标； (2)如图1，直线交轴的正半轴于点，交于点，连接，设的面积为，求与的函数解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，若，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得出，待定系数法求出直线解析式，令，则，即可得解； （2）求出，得到，，从而得出，再由，计算即可得出； （3）求出，作交于，轴于，证明得出，求出直线的解析式为，得出，作交轴于，证明平分，作于，由角平分线的性质定理得出，待定系数法求出直线的解析式为，得出，由勾股定理得出，由，得出，求出的值，取符合题意的的值即可得解． 【详解】（1）解：， ， 将代入直线得：， 解得：， 直线解析式为， 令，则， ； （2）解：在中，令，则， ， ， 在中，令，则， 解得：， ， ， ， ； （3）解：，， ， 如图，作交于，轴于， ， 则为等腰直角三角形，，， ， ， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， 解得：， ， ， 作交轴于， ， ， ， 平分， 作于， ， ，直线解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得：， 直线的解析式为， 令，则， 解得：， ， ， 在中，由勾股定理得，， ，， ， 整理得：，解得：或或， 点在轴正半轴，，， ，经检验，是原分式方程的根， 当时，，． 【点睛】本题考查了一次函数函数综合、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 例2．（面积问题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点A在x轴上，，，且、，交y轴于M， (1)求点C的坐标； (2)在x轴上有一动点P，当的值最小时，求此时P的坐标． (3)点N为x轴上一动点，若，求点N的坐标； 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）过点C、B作轴，轴，垂足点D、E．构造一线三直角全等模型，结合线段与坐标的关系，计算解答即可． （2）运用轴对称原理，构造轴对称计算的最小值即可． （3）设，则，根据题意，得，结合，建立等式计算即可． 【详解】（1）过点C、B作轴，轴，垂足点D、E． ，， ∴， ∴， ∵、， ∴，， ∴，， ∴，， ∵点C在第二象限， 故． （2）作B关于x轴的对称点，连接交x轴点P，此时，最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为，根据题意，得 ， 解得， 故解析式为， 故； 设直线的解析式为，根据题意，得 ， 解得， 故解析式为， 当时，， 故． （3）∵、， 设，则，， ∴， ∵，，且、， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴或， 故或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一线三直角全等模型，线段和最小计算，两点间距离公式的应用，绝对值的应用，熟练掌握待定系数法，一线三直角全等模型，线段和最小计算是解题的关键． 例3．（等腰三角形存在性问题）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点，点在轴上运动，连接，将沿直线折叠，点的对应点记为． (1)求A、的坐标； (2)若点恰好落在直线上，求的面积； (3)如图2，若恰好与轴平行，且边与线段有交点，设交点为，在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为15或60 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）分别令和可求A、B两点的坐标； （2）由勾股定理得，，由题意知，分点在上运动，点在轴的正半轴上运动，两种情况求解：①当点在上运动，如图①，由折叠的性质可知，，，则，设，则，由勾股定理得，，即，解得，根据，计算求解即可；②当点在轴的正半轴上运动，如图②，由折叠的性质可知，，，则，设，则，由勾股定理得，，即，解得，根据，计算求解即可； （3）由轴，则轴，由题意知，，则，当，，则，，设，当时，是等腰三角形，如图③，根据，解得，或，可得或；当时，是等腰三角形，则，解得，或，则；当时，是等腰三角形，则，解得，则． 【详解】（1）解：当时，则；当时，则有，解得：， ∴； （2）解：由勾股定理得，， 由题意知，分点在上运动，点在轴的正半轴上运动，两种情况求解： ①当点在上运动，如图①， 由折叠的性质可知，，，则， 设，则， 由勾股定理得，，即，解得， ； ②当点在轴的正半轴上运动，如图②， 由折叠的性质可知，，，则， 设，则， 由勾股定理得，，即，解得， ； 综上所述，的面积为15或60； （3）解：∵轴，则轴， 由题意知，，则， 当，，则， ， 设，当时，是等腰三角形，如图③， ，解得，或， 或； 当时，是等腰三角形，则，解得，或， ； 当时，是等腰三角形，则，解得， ； 综上所述，存在，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数的解析式，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 例4．（等腰直角三角形存在性问题）如图，平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴正半轴于点B．直线交y轴负半轴于点C，． (1)求直线的函数表达式和的面积； (2)若点P为直线（不含A，B两点）上一点，连接，若的面积为7，求点P的坐标； (3)若点P为射线（不含A，B两点）上一点，M为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点N，使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出每种等腰直角三角形对应顶点P、N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，10 (2)或 (3)或或 【分析】（1）把代入求出一次函数解析式为，得到，根据，求出，根据待定系数法求出函数解析式，根据三角形面积公式求得； （2）设点P的坐标为，根据，的面积为7，得出点P在线段或在线段的延长线上，然后分两种情况分别列出方程，解方程即可； （3）分三种情况：当N点在轴下方，点P在上，时，当点P在线段上，点在x轴上方，时，当点P在的延长线上时，点在x轴上方，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， 把代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； ． （2）解：设点P的坐标为， ∵，的面积为7， ∴点P在线段或在线段的延长线上， ∴， ∴， 当点P在线段上时，， 即， 解得：， ∴， ∴此时； 当点P在线段的延长线上时，， 即， 解得：， ∴， ∴此时点； 综上分析可知，点P的坐标为：或． （3）解：当N点在轴下方，点P在上，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵是以为直角边的等腰直角三角形，， ∴，， 设，， 过P点作直线轴，作，， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∴，作，则， ∴， ∵， ∴， ∴M在直线AB上， ∴ ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 当点P在线段上，点在x轴上方，时，如图所示： 此时，∵，∴， ∵，∴四边形为平行四边形， ∴此时点与关于对称， 则，即，； 当点P在的延长线上时，点在x轴上方，时，如图所示： ∵，∴，即， ∵，∴， 根据上一种情况可知，此时点的坐标仍然为，点的坐标与上一种情况中点M的坐标相同，即此时点的坐标为； 综上分析可知：存在或或使是以为直角边的等腰直角三角形． 【点睛】此题考查一次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，直线所成三角形的面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，中心对称的点的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 例5．（平行四边形存在性问题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点、在坐标轴上，，将沿折叠，使点落在对角线上的点处． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发，沿折线方向以5个单位/秒的速度匀速移动，到终点停止，设运动时间为，的面积为，求出与的关系式，并写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，当时，在平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在；请直接写出点坐标，若不存在请说明原因． 【答案】(1) (2) (3)存在，，， 【分析】本题考查了一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，勾股定理、平行四边形的性质，面积的计算等： （1）由翻折可知，，,设, 在 ，根据，构建方程求出x即可解决问题； （2）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可解决问题； （3）点有二种情况：当为边时，当为对角线时，分别求解即可； 其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏． 【详解】（1）解：的坐标， 则：，， 在中，根据勾股定理得：， 将沿折叠，使点落在对角线上的点处， ，， ， 设,则, 在中，由勾股定理得：, 即, 解得, ． （2）过点作于点， 根据三角形面积可得，， ∴， 故点的横坐标为， 即：， 正比例函数经过， ， ， ， ， ①当点在段时，即：， 如图：过点作于点， ， ， ， ②当点在段时，如下图，过点作于点， ， ，， ， 综上所述：． （3）由（2）知，点，当时，则点，而点,设点， ①当为边时， 点向右平移个单位得到点，同样点向右平移个单位得到点， 即且，解得或， 故点的坐标为或； ②当为对角线时， 由中点公式得且，解得， 综上点的坐标为或或． 例6．（菱形存在性问题）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点D、E，且．点M是线段上的一个动点． (1)求b的值； (2)连接，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标； (3)设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）先求出点坐标，则，再根据矩形的性质，用表示点坐标，利用待定系数法可解； （2）根据（1）所求，结合梯形面积公式求出四边形的面积，进而求出的面积，再根据三角形面积公式求出点M的横坐标，即可得到答案； （3）以、、、为顶点的四边形是菱形，分三种情况讨论，分别以，，为对角线，分别求出点坐标即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴点坐标， ∴， ， ， ∵点B的坐标为， ∴， ∴ ∴点的坐标为， 把代入得：， 解得：； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∵三角形的面积与四边形的面积之比为， ∴， 设点的横坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：如图（1）所示，当为菱形对角线时，则点M在线段的垂直平分线上，且点M与点N关于对称 ∴点M的纵坐标为， 在中，当时，， ∴， ∴ ， 如图（2）所示，当为菱形边时，设点M坐标为， 由菱形的性质可得， ∴，， ∴， ∴或（舍去）， ∴； 当为菱形的边时，如图，设点M坐标为， ∴， ∴，， ∴， 解得或（舍去）， ∴；   综上所述，点N的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数的综合题目，考查矩形的性质，菱形的性质，四边形的面积等知识，解题关键是掌握菱形的性质进行分类讨论，并且能够利用一次函数图象上点的坐标特征，用点的坐标表示线段长． 例7．（矩形存在性问题）如图，平面直角坐标系中，，．为矩形对角线的中点，过点的直线分别与、交于点、． (1)求证：； (2)设，的面积为，求与的函数关系式； (3)若点在坐标轴上，平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)点坐标为或或 【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）连接，首先证明四边形是平行四边形，结合题意可得，，进而可得，再结合平行四边形的性质可得，即可获得答案； （3）分点在轴上、点在轴上和点原点重合三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如下图，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为； （3）解：①如图，点在轴上， 设点标为， 则，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， ∵点相左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到， ∴点相左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度，可得； ②如下图，点在轴上， 设点坐标为，则，， ∵， ∴，解得， ∵相左平移8个单位长度，向下平移16个单位长度得到 ， ∴相左平移8个单位长度，向下平移16个单位长度，可得到； ③当点原点重合时，则点与点重合，此时点坐标为． 综上所述，点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、一次函数的应用、勾股定理等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 例8．（正方形存在性问题）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，且分别交x轴于A、C两点． (1)求a，b的值及点A，C的坐标； (2)在直线上找一点D，使得是的面积的2倍，求出点D的坐标； (3)y轴上有一动点P，直线上有一动点M，点N在平面上，若四边形是正方形，求出点N的坐标． 【答案】(1)，，，；(2)或 (3)或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、正方形的存在性问题等； （1）把分别代入与即可求出a，b的值，分别令与即可得到点A，C的坐标； （2）过作交于，则，再求出的面积，根据是的面积的2倍列方程求解即可； （3）过作于，过作于，当四边形是正方形时，可证得设，，根据全等求出坐标，再根据平移求出点N的坐标． 【详解】（1）把代入可得，解得， ∴， 令，解得， ∴， 把代入可得，解得， ∴， 令，解得， ∴； （2）过作交于， 设，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的面积的2倍， ∴， ∴，解得或， ∴或； （3）根据题意设，， 当在第一象限时，如图，过作于，于，则 ∴，，，， 当四边形是正方形时，，，从平移到与从平移到平移规则一致， ∴ ∴， ∴，， ∴，解得 ∴，， ∴向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到 ∴向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到； 当在第四象限时，如图，过作于，于，则 ∴，，，， 当四边形是正方形时，，，从平移到与从平移到平移规则一致， ∴，∴，∴，， ∴，解得，∴，， ∴向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到 ∴向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到； 当在第二象限时，如图，过作于，于，则 ∴，，，， 当四边形是正方形时，，，从平移到与从平移到平移规则一致， ∴，∴， ∴，， ∴，解得不合题意； 综上所述，或． 【模拟训练】 1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，两直线交于点E，，． (1)如图1，求k和b的值； (2)如图2，点P在x轴上，过点P作x轴的垂线交射线于点M，交射线于点N，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式，直接写出t的取值范围； (3)如图3，在（2）的条件下，，点H在直线上，点F在x轴上，点G在直线上，连接和， 当四边形为矩形，且时，求点G的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)点G的坐标为或 【分析】（1）首先表示出A、B的坐标，再根据，求出C、D的坐标，最后利用待定系数法即可求出k和b的值； （2）设点P的横坐标为t，则，，利用线段MN的长为d，即可表示出d与t之间的函数关系式，联立两直线的解析式，求出交点E的坐标，根据过点P作x轴的垂线交射线于点M，交射线于点N即可求出t的取值范围； （3）当时，根据（2）可求出的面积，设，则，根据可求出或，分情况即可求出点G的坐标． 【详解】（1）解：直线交x轴于点A，交y轴于点B， ，， 即，， 又，， ，， ，， 将，代入直线，得 ， ； （2）设点P的横坐标为t，则，， 线段MN的长为d， ， 即， 即， ； （3）过点G作于点I， 当时，由（2）可知， 由题意可知，，， 设，则， 四边形为矩形， ， ，， ， ， 解得， 当时，， ，, 即， 当时，， ，, 即， 综上所述：点G的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，主要考查求函数解析式、已知两点坐标表示线段长度、一次函数与几何图形相结合，熟练掌握函数性质、正确画出图形是解题的关键． 2．直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于与直线交于，过作轴于． (1)点坐标为 ；点坐标为 ． (2)求直线的函数解析式． (3)是线段上一动点，点从原点开始，每秒一个单位长度的速度向运动（与、不重合），过作轴的垂线，分别与直线、交于、，设的长为，点运动的时间为，求出与之间的函数关系式（写出自变量的取值范围） (4)在（）的条件下，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形（直接写出结果） 【答案】(1) ，； (2)； (3)； (4)的值为或． 【分析】()分别把代入，代入即可求解； ()利用待定系散法可求得直线的函数解析式； ()用可分别表示出的坐标，则可表示出与之间的关系式； ()由条件可知，利用平行四边形的性质可知，由()的关系式可得到关于的方程，解方程即可求得的值； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，平行四边形的性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 解得， 点， 过作轴于， 把代入中可得， ， 故答案为：，； （2）解：∵直线与轴相交于， 可设直线解析式为， 把点坐标代入中可得，， 解得， 直线的函数解析式为； （3）解：由题意可知， 把代入中可得， ， 把代入，可得， ， ∴， 点在线段上，且， ， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上可得，； （4）解：由题意可知，， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ， ， 解得或， 即当的值为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 3．综合运用 (1)如图1，，顶点在直线上，过点作于点，过点作于点，当时，判断线段与的数量关系（直接写出结果，不要求写解答过程） (2)如图2，直线与坐标轴交于点，，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数解析式． (3)如图3，四边形为长方形，其中为坐标原点，点的坐标为，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，是线段上的动点，是直线上的动点且在第四象限，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据可判定，即可得出结论； （2）过点做交直线于点，过点作轴于，根据，求得，最后运用待定系数法求直线的函数表达式； （3）根据是以点为直角顶点的等腰直角三角形，当点是直线上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点在矩形的内部时，当点在矩形的外部时，设，分别根据，得出，据此列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 又，， ，， ， ， ， ； （2）解：直线与坐标轴交于点，， 、， 如图2，过点做交直线于点，过点作轴于， ，，， ， 将直线绕点顺时针旋转至直线， ， ， ， ，， ， 点坐标为， 设的解析式为，将，点坐标代入，得， 解得， 的函数表达式为； （3）解：当点是直线上的动点且在第四象限时，分两种情况： 当点在矩形的内部时，如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线于， 设，则，，， 由（1）可得，，则， 即：， 解得， ， ， 此时，，，符合题意； 当点在矩形的外部时，如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线于， 设，则，，， 同理可得：，则， 即：， 解得， ， ，， 此时，，，，符合题意， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用． 4．如图，平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点A落在点D处，与交于点E．的长满足式子． (1)求点A，C的坐标； (2)求出点E的坐标和直线的函数解析式； (3)F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，或或或 【分析】（1）利用绝对值及算术平方根的非负性求解； （2）根据折叠、平行的性质可证，设，则，用勾股定理解，求出x的值即可得到点E的坐标；利用待定系数法求直线的函数解析式； （3）分三种情况：为边，为对角线；为边，为对角线；为对角线，分别求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，（负值舍去）， ，； （2）解：矩形中， ， 由折叠得， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 点E的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的函数解析式为； （3）解：存在，点P的坐标为或或或． 矩形中，，，， 当以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形时，存在四种情况，如图： 当为边，为对角线时，, 当点P在点B左侧时，如所示，点坐标为， 当点P在点B右侧时，如所示，点坐标为； 当为边，为对角线时，点P与点B关于x轴对称，如所示，点坐标为； 当为对角线时，如所示， 设，则， 在中，，即，解得， 可得点坐标为，即， 综上可知，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，非负数的性质，矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，求一次函数解析式等，注意数形结合及分类讨论是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标是，点的坐标是（）．直线交轴于点，记点关于轴的对称点为，点为轴上一动点． (1)当时，求的长； (2)当时，用含的代数式表示的长； (3)是否存在四边形，使四边形为正方形？若存在，请求出所有满足条件的和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在四边形，使四边形为正方形，，． 【分析】（）根据的值表示出直线解析式，把坐标代入求出的值，确定出解析式，进而得出的坐标，确定出的长； （）设出解析式为，把坐标代入表示出，即可表示出的长； （）存在四边形，使四边形为正方形，若四边形为正方形，则有，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可确定出坐标； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，正方形的性质，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由，得到， 设直线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线解析式为， 令，得到， ∴， 即； （2）解：根据题意，设直线AP解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线解析式为， 令，得到， ； （3）解：存在四边形，使四边形为正方形，理由为： 若四边形为正方形，则有， 即， 解得， ∴， ∴， ∴． 6．如图：已知直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，是的角平分线，点E是线段上的一个动点（不与点O，A重合），过点E作，交线段于点Q，交线段于点F，设，． (1)分别求点A和点B的坐标； (2)求y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，如果垂直平分，那么直线上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式，勾股定理，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用一次函数与x轴、y轴的交点坐标即可求解； （2）根据勾股定理求出的长，解得，再进一步求出，即可求解； （3）连接，先证明四边形为菱形，再通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴轴交于，与轴交于， ∴令，则， ∴ 令，则， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， ， ∴， 在上运动与重合时，与重合则， ∵与不重合， ∴． （3）解：连接，如图： ∶垂直平分， ∴，， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵，则， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 且在上 ∴当与重合时， 如图： 当在A上方与重合时， ，， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 综上，为或． 7.（1）基本图形的认识：如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，连接，则是______三角形（填形状）； （2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，，连接，过点A在第一象限内作的垂线，并在垂线截取，求点C的坐标； （3）基本图形的应用：如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴于点D，且，求点D的坐标． 【答案】（1）等腰直角；（2）；（3）或 【分析】（1）证明（），由全等三角形的性质得出，，则可得出结论； （2）过点作轴于点，证明，从而得到、，则可得到点的坐标； （3）当点D在点B的右侧时，过点作，交于点，过点作，交于点，由一次函数解析式求出，，证明，求出点坐标，求出直线的解析式，则可得出答案．当点D在点B的左侧时，画出图形，用同样的方法求出结果即可． 【详解】（1）证明：在和中， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角； （2）过点作轴于点，如图，    则：． ∴， ∴−−−． 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：如图，当点D在点B的右侧时，过点作，交于点，过点作，交于点， 把代入中，得， ∴点的坐标为， ∴， 把代入，得，解得， ∴点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 由题意可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 当点D在点B的左侧时，过点B作，交于点E，过点E作轴于点F， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得， 解得：， ∴点的坐标为； 综上分析可知：点D的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$