期末考试四边形综合压轴题专项训练-2023-2024学年八年级数学下学期压轴题模拟训练（人教版）

期末考试四边形综合压轴题专项训练 【例题精讲】 例1．（中位线定理）如图，在中，平分，于点，点是的中点．   【探究】 （1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：； （2）如图2，线段、、之间满足的数量关系为_________； 【初步运用】 （3）如图3，中，平分，，垂足为，过作交于点，，，则_________； 【灵活运用】 （4）如图4，中，，，点在上，，，垂足为E，与交于点，线段、之间满足的数量关系为_________． 例2．（平行四边形综合）在中，点是上任意一点，延长交的延长线于点． (1)在图1中，当时，求证：是的平分线； (2)根据（1）的条件和结论， ①如图2，若，点是的中点，请求出的度数； ②如图3，若，且，连接、，请直接写出的度数． 例3．（正方形综合）问题背景：如图，在正方形中，边长为．点，是边，上两点，且，连接，，与相交于点． (1)探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； (2)探索发现：若点，分别是与的中点，计算的长； (3)拓展提高：延长至，连接，若，请直接写出线段的长． 例4．（旋转综合）【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，正方形中，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为，延长交线段于点，连接．求的度数． 【实践探究】 （2）小瑞受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图②，正方形的边长为6，点，分别在，上，连接，，．若，，求的长． 【拓展迁移】 （3）小波深入研究以上两个问题，发现并提出新的探究点：如图③，是的高，，若，，求的面积． 【模拟训练】 1．问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题展开数学活动．    动手操作： 第一步：如图，四边形是正方形纸片，将该纸片对折，使与重合，折痕为，展开铺平，如图； 第二步：沿直线折叠，使点落在处，设交于点．如图； 第三步：延长交于点，连接交于点，如图． 解决问题： (1)线段与的数量关系是__________； (2)若正方形的边长为． （）求的长；（）求的值． 2．如图1，在边长为2的正方形中，点是射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作正方形． (1)当点在线段上，连接，求证：； (2)当点是线段中点，连接，求线段的长； (3)如图2，点在线段的延长线上，连接，若的延长线恰好经过的中点，求线段的长． 3．如图1，在中，，，点D为内部一点，，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接交于点F，连接．    (1)求证：； (2)求证：． (3)如图2，若F为的中点．（下面三个问题，依次按易、中、难排列，请根据自己的认知水平，选择其中一个问题进行解答．） ① 与的面积是否相等，并说明理由． ②若G为的中点，连结，判断与的位置关系，并说明理由． ③探索与的等量关系，并说明理由． 4．（1）如图1，在中，，则边上的高为____________； （2）四边形为正方形，边长，是边上一动点（不与点A、B重合）．线段关于对称的线段为，连接． ①如图2，若为等边三角形，求的长； ②如图3，延长，交射线于点．能否为等腰三角形？若能，求出此时的长，若不能，请说明理由． 5．【课本再现】 （1）如图1，都是等边三角形，连接，其中与相等的角是　　． 【类比迁移】 （2）如图2，在菱形中，，点E，F分别在边上，且． ①求证：． ②若，点E在边上从点B向点C运动，设，，求y与x的函数关系式． 【拓展运用】 （3）如图3，在四边形中，，，是的平分线，求的长． 6．如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴正半轴的夹角为，点B为l上任意一点，点在x轴正半轴上．以为边作等边三角形，交于点D．    (1)若，时，则__________． (2)当，时，求： ①的长度； ②点C的坐标． (3)如图2，延长交y轴于点E，连结．求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末考试四边形综合压轴题专项训练 【例题精讲】 例1．（中位线定理）如图，在中，平分，于点，点是的中点．          【探究】 （1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：； （2）如图2，线段、、之间满足的数量关系为_________； 【初步运用】 （3）如图3，中，平分，，垂足为，过作交于点，，，则_________； 【灵活运用】 （4）如图4，中，，，点在上，，，垂足为E，与交于点，线段、之间满足的数量关系为_________． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）2.5；（4） 【分析】（1）利用证明，得出，，然后利用三角形中位线定理求解即可； （2）延长、相交于D，类似（1）的方法探究线段、、之间关系即可； （3）延长、相交于F，利用证明，得出，利用平行线的性质，等角对等边以及余角的性质可证明，利用三角形中位线定理求，利用勾股定理求出即可； （4）过D作于N，交的延长线于M，利用等腰直角三角形的判断与性质可得出，利用证明，得出，利用证明，得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴； （2）延长、相交于D， 由（1）同理可证， ∴， ∵点是的中点， ∴； 故答案为：； （3）延长、相交于F， 由（1）同理可证， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：2.5； （4）过D作于N，交的延长线于M， ∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判断等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造三角形的中位线是解题的关键． 例2．（平行四边形综合）在中，点是上任意一点，延长交的延长线于点． (1)在图1中，当时，求证：是的平分线； (2)根据（1）的条件和结论， ①如图2，若，点是的中点，请求出的度数； ②如图3，若，且，连接、，请直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据等边对等角，利用四边形是平行四边形，可得，由等量关系可得即可证明结论； （2）①先说明是等腰直角三角形可得，再证明可得，然后证明是等腰直角三角形即可证明结论；②延长相较于H，连接，求证四边形是平行四边形，再求证是等边三角形，求证，再根据全等三角形的性质及角的和差即可解答． 【详解】（1）证明：如图1，， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线． （2）解：①如图2，连接 ∵在平行四边形中，， ， ， ， 又， ∴是等腰直角三角形，即：， 由（1）可得：， ， 又∵是的中点， ， ， ∴， ∴， 是等腰直角三角形，即：； ②如图3，延长相较于H，连接． ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形为平行四边形 由（1）可得：AD=DF，CE=CF ∴平行四边形是菱形．平行四边形是菱形． ∵， ∴,, ∴是等边三角形，即， 在与中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，综合运用相关知识成为解题的关键． 例3．（正方形综合）问题背景：如图，在正方形中，边长为．点，是边，上两点，且，连接，，与相交于点． (1)探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； (2)探索发现：若点，分别是与的中点，计算的长； (3)拓展提高：延长至，连接，若，请直接写出线段的长． 【答案】(1)且，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，得出，，再证即可； （2）连接并延长交于，求出长，再根据中位线的性质求出即可； （3）过点作于点，根据勾股定理求出，，即可． 【详解】（1）解：且． 理由：∵四边形是正方形， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段和的关系为：且； （2）连接并延长交于，连接， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，，， ∴， ∵点，分别是与的中点， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵正方形的边长为，， ∴，， 在中，， ∴， ∴的长为； （3）如图，过点作于点， ∵正方形的边长为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理，等角对等边等知识点．解题关键是构造从而使用中位线定理、作构造． 例4．（旋转综合）【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，正方形中，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为，延长交线段于点，连接．求的度数． 【实践探究】 （2）小瑞受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图②，正方形的边长为6，点，分别在，上，连接，，．若，，求的长． 【拓展迁移】 （3）小波深入研究以上两个问题，发现并提出新的探究点：如图③，是的高，，若，，求的面积． 【答案】（1）；（2）的长为3；（3） 【分析】此题是四边形综合题目，考查了折叠性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理． （1）证明，得出，由直角三角形的性质可得出答案； （2）延长到，使，连接，证明，得出，由勾股定理可得出答案； （3）将沿和翻折得到，沿翻折得到，延长，交于点，证明四边形是正方形，得出，设，则，，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）由折叠可得：，，． 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ； （2）延长到，使，连接， 则， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ， 在中，， ， ， 的长为3． （3）将沿翻折得到，沿翻折得到，延长，交于点， ，，，，， 四边形是正方形， ，， 设，则，， 在中，， ， 解得， ， ． 【模拟训练】 1．问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题展开数学活动．    动手操作： 第一步：如图，四边形是正方形纸片，将该纸片对折，使与重合，折痕为，展开铺平，如图； 第二步：沿直线折叠，使点落在处，设交于点．如图； 第三步：延长交于点，连接交于点，如图． 解决问题： (1)线段与的数量关系是__________； (2)若正方形的边长为． （）求的长； （）求的值． 【答案】(1)；(2)（）；（）． 【分析】（）根据正方形的性质可得，，再根据折叠性质可得，，证明即可； （）（）由折叠性质可知，，，正方形的性质得，，，再由勾股定理即可求解； （）连接，由折叠的性质可知，垂直平分，则，，，再证是的中位线得，最后由折叠性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠性质可知，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）（）由折叠性质可知，，， 由（）知， ∵正方形的边长为， ∴，，， 在中，， 即， 解得； （）连接，如图，      由折叠的性质可知，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 由折叠性质可知，，， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴，解得， ∴ ，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 2．如图1，在边长为2的正方形中，点是射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作正方形． (1)当点在线段上，连接，求证：； (2)当点是线段中点，连接，求线段的长； (3)如图2，点在线段的延长线上，连接，若的延长线恰好经过的中点，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，可证得，即可证得结论； （2）过点作，垂足为点，可证得，得出，即可求解； （3）在的延长线取一点，使得，连接，证明，再证明为等腰直角三角形，进而得，即可求解. 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形和四边形都是正方形 ∴，， ∴          在和中， ∴ ∴ （2）解：过点作，垂足为点 ∵四边形和四边形都是正方形 ∴， ∴ 在和中， ∴ ∴，          ∴ ∴ ∵点是线段中点，且正方形的边长为2 ∴ ∴ （3）解：在的延长线取一点，使得，连接 ∵是中点 ∴ 在和中， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴为等腰直角三角形          ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键. 3．如图1，在中，，，点D为内部一点，，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接交于点F，连接．    (1)求证：； (2)求证：． (3)如图2，若F为的中点．（下面三个问题，依次按易、中、难排列，请根据自己的认知水平，选择其中一个问题进行解答．） ① 与的面积是否相等，并说明理由． ②若G为的中点，连结，判断与的位置关系，并说明理由． ③探索与的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①相等，理由见解析；②，理由见解析；③，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）证明，又由，，即可证明； （2）由及得到，根据三角形内角和定理即可得到结论； （3）①根据三角形中线的性质得到，．即可证明结论；②连接．证明，即可得到结论；③取中点G，连结交于点，连结．证明，再证明，则，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． （2）∵，， ∴， ∴， ∴ （3）解：①相等，理由如下： ∵为的中线， ∴，． ∴． ②，理由如下： 连结．如图，    ∵G为的中点，， ∴﹐ ∵为的中线， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． ③，理由如下： 取中点G，连接交于点M，连接．    ∵， ∴   ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴． 4．（1）如图1，在中，，则边上的高为____________； （2）四边形为正方形，边长，是边上一动点（不与点A、B重合）．线段关于对称的线段为，连接． ①如图2，若为等边三角形，求的长； ②如图3，延长，交射线于点．能否为等腰三角形？若能，求出此时的长，若不能，请说明理由． 【答案】（1）3；（2）①；② 【分析】（1）作，交的延长线于点，可推出，进而得出结果； （2）①作，交于，可推出，，从而，，进而求得，进而得出，由得，进一步得出结果； ②根据题意可知只有，此时，设，则，在四边形中，根据，从而求得，类比①求得结果． 【详解】解：（1）如图， 作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3； （2）①如图，作，交于， ∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴，， ∵线段关于对称的线段为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由得， ∴， ∴； ②由对称可知：， ∴， ∵， ∴， 当时，， 设，则， 在四边形中，， ∴， ∴， ∴， 如图，在上截取， ∴， ∴，， ∴， 由得，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，正方形的性质，轴对称等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 5．【课本再现】 （1）如图1，都是等边三角形，连接，其中与相等的角是　　． 【类比迁移】 （2）如图2，在菱形中，，点E，F分别在边上，且． ①求证：． ②若，点E在边上从点B向点C运动，设，，求y与x的函数关系式． 【拓展运用】 （3）如图3，在四边形中，，，是的平分线，求的长． 【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质，得到，进而得到，即可得出结果； （2）①连接，如图，根据菱形的性质推出为等边三角形，然后利用“”可证明，根据全等三角形的性质即可得解； ②连接，过点E作于点M，过点F作于点N，解直角三角形求出的长，根据三角形面积公式求解即可； （3）延长到点E，使，连接，过点B作于点F，同理（2）①证出，根据全等三角形的性质得出，解直角三角形求出的长，根据线段的和差及等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）∵都是等边三角形， ∴， ∴， 即：； 故答案为：； （2）①证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：如图2，连接，过点E作于点M，过点F作于点N， ∵， ∴， ∴， 由①知，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴； （3）解：如图3，延长到点E，使，连接，过点B作于点F， ∵，是的平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质是解题的关键． 6．如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴正半轴的夹角为，点B为l上任意一点，点在x轴正半轴上．以为边作等边三角形，交于点D．    (1)若，时，则__________． (2)当，时，求： ①的长度； ②点C的坐标． (3)如图2，延长交y轴于点E，连结．求证：． 【答案】(1)；(2)①，；(3)见解 【分析】（1）本题根据等边三角形性质得到，根据，推出，结合直线l与x轴正半轴的夹角为，证明，得到，再利用30度所对的直角边等于斜边一半，求出，最后进行等量代换即可解题． （2）①本题作于点，根据30度所对的直角边等于斜边一半，得到，再结合勾股定理求出、，最后根据，即可解题． ②本题作轴于点，证明，根据全等三角形性质得到，，推出，即可解题． （3）本题作于点，作轴于点，作轴于点，得到四边形为矩形，由（2）同理可证，得到，根据垂直平分线性质得到，再结合三角形外角性质和三角形内角和，推出，证明，得到，最后根据进行等量代换，即可解题． 【详解】（1）解：等边三角形，，， ，， 直线l与x轴正半轴的夹角为，即，， ，， ，即，，，故答案为：． （2）解：①作于点，    ，即， ，，， ，，; ②作轴于点，    有，，， ，， ，，，点C的坐标为． （3）解：作于点，作轴于点，作轴于点，    ， ， 由上述条件易知，四边形为矩形， ， 由（2）同理可证， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形性质、30度所对的直角边等于斜边一半、勾股定理、全等三角形的性质和判定、垂直平分线性质、矩形的性质和判定、解题的关键在于作辅助线构造直角三角形和全等三角形，再结合相关性质即可解题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$