期末考试平行四边形最值问题压轴题专项训练-2023-2024学年八年级数学下学期压轴题模拟训练（人教版）

期末考试平行四边形最值问题压轴题专项训练 【例题精讲】 例1．（将军饮马最值）如图，，C在延长线上，作平行四边形，连接，若，则周长的最小值是 ． 例2．（三边关系最值）如图，点E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是 ． 例3．（胡不归最值）如图，在正方形中，，，，分别为，，上的点，连接，，若，则的最小值为 . 例4．（瓜豆模型最值）如图，在正方形中，，点E是线段BC上的动点，点F在线段上方，，且，连接FA，FD，则的最小值为 ． 【模拟训练】 1．如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为 ． 2．如图，已知，，，点，分别是边上的动点，满足．连接，则的最小值为 ． 3．如图，在正方形中，，点E为对角线上的动点（不与A，C重合），以为边向外作正方形，点P是的中点，连接，则的取值范围为 ． 4．如图，中，，，点D为线段的中点，点E、F分别为线段上的点，且，则周长的最小值为 ． 5．如图，在菱形中，分别为线段上的动点，且始终满足，将绕点逆时针旋转至，连接，则的最小值为 ． 6．如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”．如图，已知“完美菱形”的边长为是它的较短对角线，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上的动点，则的最小值为 ． 7．如图，在正方形中，、分别是、边上的动点，且，若，则的最小值是 ． 8．如图，在中，，，为边上的一动点，以为邻边作，则对角线长度的最小值 ． 9．如图，在边长为6的正方形中，E，F分别是边上的动点，且始终满足，连接交于点P，连接，线段的最小值为 ． 10．如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ． 11．如图，E为平行四边形外一点，且满足，，，． （Ⅰ）平行四边形的面积为 ； （Ⅱ）若点M，N分别在线段，上，连接，当时，连接，，的最小值为 ． 12．如图，在菱形中，，，E，F分别为菱形边上的动点，过点E，F的直线将菱形分成面积相等的两部分，过点D作于点M，连接，则线段的最大值为 ． 13．如图，正方形的边长为a，点E、F分别在、上，且，与相交于点G，连接，则的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末考试平行四边形最值问题压轴题专项训练 【例题精讲】 例1．（将军饮马最值）如图，，C在延长线上，作平行四边形，连接，若，则周长的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】过点D作于点N，过点D作直线l，使得，作点B关于直线l的对称点，连接，根据平行四边形对角线互相平分，易证，得出，进而得到，利用勾股定理求出，即，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，过点D作于点N，过点D作直线l，使得，作点B关于直线l的对称点，连接，设交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 直线l与直线之间的距离为1， ， ， ， ， ， 即的最小值为， 即周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了对称的性质，两点之间线段最短，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，证明是解题关键． 例2．（三边关系最值）如图，点E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质利用“边角边”证明，可得，同理证明，可得，从而得到，然后求出．取的中点O，可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的三边关系可知，当O、D、H三点共线时，的长度最小． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 取的中点O，连接， 则， 在中，． 根据三角形的三边关系，， ∴当O、D、H三点共线时，的长度最小， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点，属于难题． 例3．（胡不归最值）如图，在正方形中，，，，分别为，，上的点，连接，，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】作，，证明，，得到，在中，应用勾股定理，即可求解， 本题考查了，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，两点之间，线段最短，解题的关键是：构造全等三角形得到． 【详解】解：延长到点，使，延长到点，使，延长到点，使，连接，， ∵正方形， ∴，， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，即：， ∵，∴的最小值为的长度， 在中，，， 故答案为：． 例4．（瓜豆模型最值）如图，在正方形中，，点E是线段BC上的动点，点F在线段上方，，且，连接FA，FD，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，勾股定理等知识，综合性强，难度较大．作，交的延长线于点G．证明，进而证明点F总在的角平分线上．在延长线上截取，则点D和点H关于直线对称，连接，当点A、F、H在同一直线上时，的值最小，为长度，根据勾股定理即可求出的最小值为． 【详解】解：如图1，作，交的延长线于点G． ∵四边形为正方形，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵∴，∴点F总在的角平分线上． 如图2，在延长线上截取，则点D和点H关于直线对称， 连接，当点A、F、H在同一直线上时，的值最小，为长度． 在中，，即的最小值为． 故答案为： 【模拟训练】 1．如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，轴对称中最值问题，勾股定理．取的中点，连接，易得，故，即当共线时，最大，作于，先后求出，最后用勾股定理求即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 四边形是菱形 在和中 连接 当共线时，最大，图中处 作于 ． 即的最大值为． 2．如图，已知，，，点，分别是边上的动点，满足．连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线是解题关键．过点作，且使，连接，过点作，交延长线于点，证明，由全等三角形的性质可得，进而可得，故当点在同一直线上时，的值最小，即线段的长度，然后求解即可． 【详解】解：如下图，过点作，且使，连接，过点作，交延长线于点， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点在同一直线上时，的值最小，即线段的长度， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴当取最小值时， 可有， ∴的最小值为． 故答案为：． 3．如图，在正方形中，，点E为对角线上的动点（不与A，C重合），以为边向外作正方形，点P是的中点，连接，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先取的中点O，结合正方形的性质，得证，当时，有最小值，在中，，计算即可作答． 【详解】解：如图，取的中点O，连接， ∵四边形、是正方形， ∴，， ∴， 则在和中 ， ∴， 当时，有最小值， 此时为等腰直角三角形，， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴的最小值为． 当点运动到点的时候，如图： 此时即为点H的位置， 此时正方形的边长最大且为 则的值最大， 此时 ∴则的取值范围为 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．如图，中，，，点D为线段的中点，点E、F分别为线段上的点，且，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】三线合一结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，求出的值，进而推出，得到为定值，进而得到最小时，的周长最小，过点作，，连接，作关于的对称点，连接，易得四边形为平行四边形，得到，，得到当三点共线时，的值最小，的周长最小，进行求解即可． 【详解】解：∵，，点D为线段的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为定值， ∴当最小时，的周长最小， 过点作，，连接，作关于的对称点，连接， 则：四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，的周长最小， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵作关于的对称点， ∴， ∴三点共线， ∴， 在中，， ∴周长的最小值为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，含30度的直角三角形，勾股定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，利用轴对称解决线段最值问题，解题的关键是掌握相关知识点，构造特殊图形和轴对称解决问题． 5．如图，在菱形中，分别为线段上的动点，且始终满足，将绕点逆时针旋转至，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作射线，然后证明，确定点G的运动轨迹，然后作作点C关于的对称点H，连接，，则即为和的最小值，可知点H在的延长线上，且，再过点B作交的延长线于点P，利用勾股定理计算即可解题． 【详解】解：作射线， ∵是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上移动， 作点C关于的对称点H，连接，，则即为和的最小值， ∵， ∴点H在的延长线上，且， 过点B作交的延长线于点P， 则， ∴，， ∴， ∴， 故和的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径问题，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 6．如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”．如图，已知“完美菱形”的边长为是它的较短对角线，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，用一条线段的长表示两线段和的最小值是解题的关键． 连接，，易知，因为，所以求的最小值只要求出的最小值，然后减去1即可，再利用将军饮马模型构造出的最小值时的线段，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：设与的交点为，连接，， 四边形是菱形， ， ， ， 的最小值为， 作点关于的对称点，延长交于点，连接，，， ， ， 的最小值为， 四边形是菱形，， ， 四边形是“完美菱形”， ∴菱形的边只能和较短对角线相等， ∵的边长为8， ，， ，， ，， 由对称性和菱形的性质，知， ， 的最小值为， 故答案为：． 7．如图，在正方形中，、分别是、边上的动点，且，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】延长到点，使得，继续延长到点，使得，取的中点，连接、、，判定是的中位线，根据正方形的性质、勾股定理，推出，结合三角形中位线的性质，推出，根据“两点之间线段最短”、勾股定理，得出的最小值计算出答案即可． 【详解】解：如图，延长到点，使得，继续延长到点，使得，取的中点，连接、、， ∵，点是的中点， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴点是的中点，，，， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∴的最小值的最小值， ∵当、、在同一直线上时，取得最小值， ∴的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、三角形中位线的判定与性质、两点之间线段最短，熟练掌握知识点、作辅助线推理证明、数形结合是解题的关键． 8．如图，在中，，，为边上的一动点，以为邻边作，则对角线长度的最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，平行四边形的性质，平行线间的距离，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，进而由直角三角形的性质得，再根据平行四边形的性质得，由平行线间的距离处处相等可知当时，对角线长度的最小，最小值等于的长度，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴当时，对角线长度的最小，最小值等于的长度， ∴对角线长度的最小值为， 故答案为：． 9．如图，在边长为6的正方形中，E，F分别是边上的动点，且始终满足，连接交于点P，连接，线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取的中点O，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P到的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得C、P、O三点共线时线段的值最小，然后根据勾股定理列式求出，再求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 取的中点O，连接，则（定值）， 根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段的值最小， 在中，由勾股定理得， 的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点P到的中点的距离是定值是解题的关键． 10．如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，线段和的最值问题，勾股定理；平移至，则，连接，得出四边形是平行四边形，则，，根据题意可得，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，平移至，则，连接, ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∵在正方形中，，是对角线上两点 ∴ ∴ 在中， ∴ 故答案为：． 11．如图，E为平行四边形外一点，且满足，，，． （Ⅰ）平行四边形的面积为 ； （Ⅱ）若点M，N分别在线段，上，连接，当时，连接，，的最小值为 ． 【答案】 【分析】（Ⅰ）过点D作于点G． 则，求出，由直角三角形的性质可得出，由勾股定理求出，根据平行四边形的面积公式计算即可． （Ⅱ）作E关于的对称点，连接，，把平移到处，连接，，过点作的延长线与点H，则四边形为平行四边形，，，，证明四边形为平行四边形，则，由四边形为平行四边形，得出，，，由勾股定理求出，，由，可得出，最后由当三点共线时，可求出的最小值． 【详解】解：（Ⅰ）过点D作于点G， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故答案为：6． （Ⅱ）作E关于的对称点，连接，，把平移到处，连接，，过点作的延长线与点H，如图， 则四边形为平行四边形，，，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ， ∴ ∵，， ∴， 当三点不共线时，， 当三点共线时，， ∴故答案为：． 【点睛】本题主要考查了含直角三角形的性质，平行四边形的判定以及性质，利用轴对称求最小值以及勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 12．如图，在菱形中，，，E，F分别为菱形边上的动点，过点E，F的直线将菱形分成面积相等的两部分，过点D作于点M，连接，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，连接交于点取的中点连接，由菱形的性质可得，得出都是等边三角形，从而得出再由勾股定理求得，得出 最后得出即可求解． 【详解】如图，连接交于点取的中点连接， 直线将菱形分成面积相等的两部分， 直线经过点 四边形是菱形， ， 都是等边三角形， 的最大值为 故答案为： 13．如图，正方形的边长为a，点E、F分别在、上，且，与相交于点G，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先证明，即可得到，再取中点H，，由于、不变，因此当H、G、C在同一条直线上时，取最小值，依据与的长，即可得出的最小值． 【详解】∵四边形是正方形，∴，， 在和中，，∴，∴， ∴，∴， 如图，取中点H，连接，， ∴， ∵、的长不变，∴当H、G、C在同一条直线上时，取最小值， 在中，， ∴的最小值，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识点，解决本题的关键是取中点H，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出当H、G、C在同一条直线上时，取最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$