暑假作业03 平行四边形（4大题型专练+能力拓展练）【暑假分层作业】-2024年八年级数学暑假培优练（人教版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 平行四边形类型题精练 知识点1．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 知识点2．平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 知识点3．三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 知识点4．平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 题型一：用平行四边形的性质证明与计算 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解∶∵的顶点A，B，C的坐标分别为，，， ∴D和A的纵坐标相同，， ∴点D的坐标是， 故选：C． 2．如图，中，，E，F分别为，的中点，将沿直线折叠，点C落在边上点G处，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵ ∴， ∵E，F分别为，的中点， ∴， ∴， 由折叠的性质可得出， ∴， 故选：D． 3．如图，平行四边形中，，对角线，相交于点O，，则的周长为（　　） A．12 B．14 C．15 D．19 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴的周长为：， 故选：A． 4．如图，在中，，与的角平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为（    ）    A．12 B．16 C．24 D．36 【答案】D 【详解】∵在中， ∴，，，， ∴，，， ∵，与的角平分线交于点E ∴，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得． 故选：D． 5．如图▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，图中有（　　）对面积相等的平行四边形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵ABCD为平行四边形，BD为对角线， ∴△ABD的面积等于△BCD的面积， 同理△BGP的面积等于△EBP的面积，△PFD的面积等于△HPD的面积， ∵△BCD的面积减去△BGP的面积和△PDF的面积等于平行四边形PGCF的面积，△ABD的面积减去△EBP和△HPD的面积等于平行四边形AEPH的面积． ∴▱PGCF的面积等于▱AEPH的面积． ∴同时加上平行四边形PFDH和BGPE， 可以得出▱AEFD面积和▱HGCD面积相等，▱ABGH和▱BCFE面积相等． 所以有3对面积相等的平行四边形． 故选C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的性质. 6．如图，在中，O是对角线上一点，连结，，若，，，的面积分别为，，，，则下列关于，，，，的等量关系中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ∴，故C正确，不符合题意， ，， ， ，故B正确，不符合题意； 如图，作于，于，则， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，，，， ，， ，故A正确，不符合题意； 只有当时，，故D错误，符合题意； 故选：D． 7．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 【答案】C 【详解】解：如图，作于点M， 则平行四边形的面积， ∵，， ∴，即平行四边形的高的最大值是8cm， ∴在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，故乙的说法正确； 在逆时针转动过程中，先逐渐变大，到与相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行四边形的面积先变大，后变小；故甲的说法正确； 所以甲乙的说法都是正确的， 故选：C.    8．（19-20八年级下·江苏无锡·期中）如图，将沿对角线折叠，使点B落在处，，则 ． 【答案】/117度 【详解】解：∵四边形是平行四边形． ∴， ∴， ∵将沿对角线折叠使点B落在处， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，在平行四边形中，平分，交于点F，平分，交于点E．    (1)求证：； (2)若，平行四边形的周长为44，求的长． 【答案】(1)详见解析(2) 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为44，   ∴，   ∵， ∴，   ∴   ， ∴． 10．如图，在平行四边形中，，点、分别在、上，沿折叠平行四边形，使点、互相重合，点落在点的位置． (1)连接，，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠的性质可得，，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为折痕，点与点重合， ∴， ∴， ∴． 11．如图，已知四边形为平行四边形，，分别平分和，交于点，，连接，． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∴． 题型二：应用平行四边形的性质作图 12．如图是一个平行四边形土地，后来在其边缘挖了一个小平行四边形水塘，现准备将其分成两块，并使其满足：两块地的面积相等，分割线恰好做成水渠，便于灌溉，请你在图中画出分界线所在的直线（保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【详解】解：作两个平行四边形的两对对角线，其交点分别为M、N．即AC与BD交于点N，EG与FH交于点M， 连接MN，直线MN即为所求的分割线． 因为，过平行四边形对角线交点的直线等分其面积． 如图： 13．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，点、在格点上，请按要求画格点多边形（顶点在格点上）．    (1)在图中画一个以点为对角线交点，且面积为的平行四边形； (2)在图中画一个以线段为边，且有一个内角为的平行四边形． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：如图中，四边形即为所求；    （2）解：如图中，四边形即为所求．    14．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B在格点上，每一个小正方形的边长为1． (1)以为边在图1中画一个平行四边形，使每个顶点都在格点上，且面积为12； (2)以为对角线在图2中画一个平行四边形（非正方形），使每个顶点都在格点上，且面积为10． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）如图1，四边形ABCD即为所求； （2）如图2，四边形ACBD即为所求； 15．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形．如图，已知整点A（1，2），B（5，2），请在所给网格区域（不含边界）上按要求画整点四边形． （1）在图1中画一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形，使AO＝CO． （2）在图2中画一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形，使点C的横坐标与纵坐标的和等于点A的纵坐标的3倍． 【答案】（1）见详解（2）见详解． 【详解】（1）如图，四边形ACBD或四边形ABD′C即为所求作． （2）如图，四边形ACBD或四边形ABC′D′即为所求作． 题型三：平行四边形的判定与证明 16．如图，小华同学不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：只有两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小， 故选：． 17．如图，在中，分别以点B，D为圆心，长为半径作弧，分别交于点E，F，连接交于点O，连接并延长，再以O为圆心，长为半径作弧，交延长线于点C，连接，，则可以判定四边形为平行四边形的依据是（    ）    A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．对角线互相平分 【答案】D 【详解】解：由作图可知，，， ∴四边形是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)， 故选∶D． 18．如图是嘉淇不完整的推理过程．    （ ） ∴四边形是平行四边形 小明为保证嘉淇的推理成立，需在括号中添加适当的条件，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的一组对边平行且相等，即可求解． 【详解】解： ∴四边形是平行四边形 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 19．如图，点、在的对角线上，连接、、、，添加一个条件使四边形是平行四边形，那么这个条件是 ．（只填一个即可）    【答案】（答案不唯一） 【详解】解：添加：，理由如下： 连接交于点，如图，   四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一） 20．如图，点、、、在一条直线上，且，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：， ， 又， ， 即， 在和中， ， ， ． （2）证明：由（1）得， ，， ， 四边形是平行四边形． 题型三：三角形的中位线 21．如图所示，已知的周长为1，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2006个三角形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的周长为1，新的三角形的三条边为的三条中位线， 根据中位线定理，三条中位线之和为三角形三条边的， 所以第2个三角形周长为； 第3个三角形的周长为； 以此类推，第个三角形的周长为； 所以第2006个三角形的周长为． 故选：D． 22．如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形为 形． 【答案】平行四边 【详解】解：、分别是、的中点，、分别是、的中点， ，且， 且， 四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边． 23．如图，在中，点E是的中点，平分，且于点D．若，，则的长为 ．    【答案】//1.5 【详解】解：延长交于N，   平分，， ，， 又， ， ，， ， ∵点E是的中点， ， 则是的中位线， ∴， 故答案为：． 24．（23-24八年级下·江苏南京·期中）证明：三角形的三条中线交于一点． 已知：如图，、是的中线，、交于点O，连接并延长交于点F． 求证：是的中线． 小明进行了以下思考，证明：延长至点G，使得，连接、… （请沿着小明的思考，将证明过程补充完整．） 【答案】见解析 【详解】证明：∵是的中线，即点E是的中点， 又∵ ∴即， 同理可得：即， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即是的中线 25．如图，在中，平分，于点，点是的中点． (1)如图1，的延长线与边相交于点，求证：； (2)如图2，探究线段、、之间的数量关系，直接写出你的结论：________． 【答案】(1)见解析；(2)． 【详解】（1）证明：如图1中， 平分， ， 于点， ， 在和中， ， ， ，， 点是的中点， ， ； （2）解：如图2中，延长交的延长线于． ， ， ，， ， ， ， ， 为的中点， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 故答案为：． 26．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交的延长线于点．若，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作于点，如图， ， ， 在中，， ， ， 四边形为平行四边形， ∴，， ， 由作法得，平分， ， ， ， ， 即， ， 在中，， ． 故选：C． 27．如图，A、B坐标分别为和，点D是x轴上的一个动点，以A、B、D为顶点作，当最小时，C点坐标为 ．    【答案】 【详解】解：、坐标分别为和， ， 四边形是平行四边形， ， ， 此时点位于点处，可看成点向下平移2个单位得到的， 当最小时，点坐标为， 故答案为：． 28．如图，在中，以为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接，，，若，，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．由题意可知，，由平行四边形的性质推出，，，得到，证明，推出，由勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：由题意可知，， 四边形是平行四边形， ∴，，， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ，，， ， ． 故答案为：8． 29．如图，在平行四边形中，分别平分，交分别于点E、F．已知平行四边形的周长为36． (1)求证：； (2)过点E作于点M，若，求的面积． 【答案】(1)见详解(2)36 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“”可证，可得结论； （2）由角平分线的性质可得，由面积的和差关系可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， 分别平分， ， ， 又， ， ； （2）解：如图，过点作于， ∵平分， ， ∵平行四边形的周长为36， ， ． 30．如图，在四边形中，点在上，，，于点，于点，．      (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 31．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点作， ，得到四边形，它的面积记作，取中点作，，得到四边形，它的面积记作……，照此规律作下去，则 ． 【答案】 【详解】解：如下图，过点作于点，过点作于点， ∵是边长为1的等边三角形， ∴，， ∵点为中点，且， ∴为的中位线， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行线四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， …， ∴． 故答案为：． 32．已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点． (1)如图1，连接并延长交的延长线于点，求证：； (2)如图2，若，求； (3)如图3，若为的中点，为的中点，，求线段的长． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 为边上的中点， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， 连接并延长交的延长线于点， 由（1）可得， ∴， ，即 ， ∴； （3）解：连接并延长交的延长线于点， 由（1）可得， ， ， 为直角三角形， 为的中点，为的中点， 设， ， ， 33． 中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接． (1)若， ①如图①，当点E在线段上时，易证，结合图形，请直接写出线段，，的数量关系是 ；（不需说明理由） ②如图②，当点E在线段的延长线上时，请写出线段，，的数量关系，并证明； (2)如图③，若，当点E在线段延长线上时，猜想并直接写出线段，，的数量关系是 ．（不需说明理由） (3)在（1）、（2）的情况下，若，，则_______．（不需说明理由） 【答案】(1)①；②，证明见解析(2)(3)1或7 【详解】（1）①，证明如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； ②线段，，的数量关系是：， 证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 由旋转可知：，， ∴， ∴ 在和中 ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵， ∴． （2），证明如下： ∵ ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴ 由旋转可知：，， ∴， ∴ 在和中 ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵， ∴． （3）如图①，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴ 中，，， 由，得； 如图②，，则， 中，， ∴，与矛盾，故图②中，不存在，的情况； 如图③， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ 中，， ∴ 由知，． 综上，或7． 34．如图，在中，平分，于点，点是的中点．          【探究】 （1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：； （2）如图2，线段、、之间满足的数量关系为_________； 【初步运用】 （3）如图3，中，平分，，垂足为，过作交于点，，，则_________； 【灵活运用】 （4）如图4，中，，，点在上，，，垂足为E，与交于点，线段、之间满足的数量关系为_________． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）2.5；（4） 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴； （2）延长、相交于D， 由（1）同理可证， ∴， ∵点是的中点， ∴； 故答案为：； （3）延长、相交于F， 由（1）同理可证， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：2.5； （4）过D作于N，交的延长线于M， ∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 35．（2023·湖南·中考真题）如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解；添加条件，再由，不能根据一组对边相等，另一组对边平行证明四边形是平行四边形，故A符合题意； 添加条件，再由，能根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，故B不符合题意； 添加条件，由得到，进而得到，则，能根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，故C不符合题意； 添加条件，再由不能根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，故D不符合题意； 故选；A． 36．如图，在中，，，平分，交边于点，连接，若，则的长为（    ）    A．6 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ， 如图，过点作于点，   ， 则， ， ， ，， ， 故选：C． 37．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过P作于M，    由作图得：平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， 设， 在中，， 即：， 解得：， ∴． 故选：B． 38．（2023·湖南·中考真题）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，则的长为 ． 【答案】2 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：2． 39．（2023·山东东营·中考真题）（1）用数学的眼光观察． 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． （2）用数学的思维思考． 如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． （3）用数学的语言表达． 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）是直角三角形，证明见解析． 【详解】证明：（1）的中点，是的中点， . 同理，. ， . . （2）的中点，是的中点， ， . 同理，. 由（1）可知， . （3）是直角三角形，证明如下： 如图，取的中点，连接，， 是的中点， ，. 同理，，. ， . . ， ， . ， . 又， 是等边三角形， . 又， . ， . 是直角三角形. 故答案为：是直角三角形. 试卷第22页，共39页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 平行四边形类型题精练 知识点1．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 知识点2．平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 知识点3．三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 知识点4．平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 题型一：用平行四边形的性质证明与计算 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，，E，F分别为，的中点，将沿直线折叠，点C落在边上点G处，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，平行四边形中，，对角线，相交于点O，，则的周长为（　　） A．12 B．14 C．15 D．19 4．如图，在中，，与的角平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为（    ）    A．12 B．16 C．24 D．36 5．如图▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，图中有（　　）对面积相等的平行四边形． A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在中，O是对角线上一点，连结，，若，，，的面积分别为，，，，则下列关于，，，，的等量关系中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 8．（19-20八年级下·江苏无锡·期中）如图，将沿对角线折叠，使点B落在处，，则 ． 9．如图，在平行四边形中，平分，交于点F，平分，交于点E．    (1)求证：； (2)若，平行四边形的周长为44，求的长． 10．如图，在平行四边形中，，点、分别在、上，沿折叠平行四边形，使点、互相重合，点落在点的位置． (1)连接，，求证：； (2)若，求的度数． 11．如图，已知四边形为平行四边形，，分别平分和，交于点，，连接，． (1)若，求的度数； (2)求证：． 题型二：应用平行四边形的性质作图 12．如图是一个平行四边形土地，后来在其边缘挖了一个小平行四边形水塘，现准备将其分成两块，并使其满足：两块地的面积相等，分割线恰好做成水渠，便于灌溉，请你在图中画出分界线所在的直线（保留作图痕迹）． 13．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，点、在格点上，请按要求画格点多边形（顶点在格点上）．    (1)在图中画一个以点为对角线交点，且面积为的平行四边形； (2)在图中画一个以线段为边，且有一个内角为的平行四边形． 14．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B在格点上，每一个小正方形的边长为1． (1)以为边在图1中画一个平行四边形，使每个顶点都在格点上，且面积为12； (2)以为对角线在图2中画一个平行四边形（非正方形），使每个顶点都在格点上，且面积为10． 15．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形．如图，已知整点A（1，2），B（5，2），请在所给网格区域（不含边界）上按要求画整点四边形． （1）在图1中画一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形，使AO＝CO． （2）在图2中画一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形，使点C的横坐标与纵坐标的和等于点A的纵坐标的3倍． 题型三：平行四边形的判定与证明 16．如图，小华同学不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（    ）    A． B． C． D． 17．如图，在中，分别以点B，D为圆心，长为半径作弧，分别交于点E，F，连接交于点O，连接并延长，再以O为圆心，长为半径作弧，交延长线于点C，连接，，则可以判定四边形为平行四边形的依据是（    ）    A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．对角线互相平分 18．如图是嘉淇不完整的推理过程．    （ ） ∴四边形是平行四边形 小明为保证嘉淇的推理成立，需在括号中添加适当的条件，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 19．如图，点、在的对角线上，连接、、、，添加一个条件使四边形是平行四边形，那么这个条件是 ．（只填一个即可）    20．如图，点、、、在一条直线上，且，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 题型三：三角形的中位线 21．如图所示，已知的周长为1，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2006个三角形的周长为（　　） A． B． C． D． 22．如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形为 形． 23．如图，在中，点E是的中点，平分，且于点D．若，，则的长为 ．    24．（23-24八年级下·江苏南京·期中）证明：三角形的三条中线交于一点． 已知：如图，、是的中线，、交于点O，连接并延长交于点F． 求证：是的中线． 小明进行了以下思考，证明：延长至点G，使得，连接、… （请沿着小明的思考，将证明过程补充完整．） 25．如图，在中，平分，于点，点是的中点． (1)如图1，的延长线与边相交于点，求证：； (2)如图2，探究线段、、之间的数量关系，直接写出你的结论：________． 26．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交的延长线于点．若，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 27．如图，A、B坐标分别为和，点D是x轴上的一个动点，以A、B、D为顶点作，当最小时，C点坐标为 ．    28．如图，在中，以为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接，，，若，，，则的长为 ． 29．如图，在平行四边形中，分别平分，交分别于点E、F．已知平行四边形的周长为36． (1)求证：； (2)过点E作于点M，若，求的面积． 30．如图，在四边形中，点在上，，，于点，于点，．      (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 31．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点作， ，得到四边形，它的面积记作，取中点作，，得到四边形，它的面积记作……，照此规律作下去，则 ． 32．已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点． (1)如图1，连接并延长交的延长线于点，求证：； (2)如图2，若，求； (3)如图3，若为的中点，为的中点，，求线段的长． 33． 中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接． (1)若， ①如图①，当点E在线段上时，易证，结合图形，请直接写出线段，，的数量关系是 ；（不需说明理由） ②如图②，当点E在线段的延长线上时，请写出线段，，的数量关系，并证明； (2)如图③，若，当点E在线段延长线上时，猜想并直接写出线段，，的数量关系是 ．（不需说明理由） (3)在（1）、（2）的情况下，若，，则_______．（不需说明理由） 34．如图，在中，平分，于点，点是的中点．          【探究】 （1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：； （2）如图2，线段、、之间满足的数量关系为_________； 【初步运用】 （3）如图3，中，平分，，垂足为，过作交于点，，，则_________； 【灵活运用】 （4）如图4，中，，，点在上，，，垂足为E，与交于点，线段、之间满足的数量关系为_________． 35．（2023·湖南·中考真题）如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 36．如图，在中，，，平分，交边于点，连接，若，则的长为（    ）    A．6 B．4 C． D． 37．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（    ）    A． B． C． D． 38．（2023·湖南·中考真题）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，则的长为 ． 39．（2023·山东东营·中考真题）（1）用数学的眼光观察． 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． （2）用数学的思维思考． 如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． （3）用数学的语言表达． 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明． 试卷第22页，共39页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$