暑假作业02 勾股定理（7大题型专练+能力拓展练）【暑假分层作业】-2024年八年级数学暑假培优练（人教版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 勾股定理类型题精练 知识点1．勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：a2+b2=c2.） 知识点2．勾股定理的证明 勾股定理的发现至今有5000名年的历史,5000 多年来世界上各个文明古国相继发现和研究过这个定理,并给出了勾股定理的许多证明,现介绍几种著名的拼图证法。 知识点3.勾股定理的应用 利用勾股定理可以解决和直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活中的一些实际问题. 题型一：勾股定理与无理数 1．如图，矩形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点所表示的数为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 则， 点表示， 点表示， 故选：． 题型二：勾股定理与网格图 2．如图，在下列边长为1的小正方形组成的网格中，利用网格点画图． (1)画出一条线段，使得； (2)在（1）的基础上，以为边，画出，使得的三边长都为无理数． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）如图所示，即为所求； ； （2）如图所示，即为所求； ，，． 题型三：以直角三角形的边为边的图形 3．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、b的面积分别为2和5，则c的面积为 ． 【答案】 【详解】解： ∵三个正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴（如上图），根据勾股定理的几何意义，的面积的面积的面积， ∴c的面积的面积的面积． 故答案为：． 4．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（    ）    A．25 B．35 C．40 D．11 【答案】B 根据勾股定理分别求出正方形F、正方形G的面积，再根据勾股定理计算出E的面积即可． 【详解】解：∵正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3， ∴正方形F的面积，正方形G的面积， ∴正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积， 故选：B．    5．图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，会徽的主题图案是由图2中七个直角三角形演化而成的，其中．则组成会徽的七个直角三角形的面积的平方和为 ．    【答案】7 【详解】解：由题意得， ， ， ， ， ；；；；； ∴ ， 故答案为：7． 6．如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为 ． 【答案】30 【详解】解：在中，， ， ． 故答案为：30． 题型四：以弦图为背景的计算 7． “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（     ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：∵大正方形的面积是29，小正方形的面积是9． ∴一个小三角形的面积是．三角形的斜边为． ， ， 故选：C． 8．如图，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为，短直角边为，图2中的阴影部分的面积为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， 阴影部分的面积为． 故选：C 9．如图是一“赵爽弦图”模板，其直角三角形的两条直角边的长分别是6和8，则中间小正方形的面积是 ． 【答案】4 【详解】解：中间小正方形的边长是：， 则中间小正方形的面积是， 故答案为：4． 10．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10的正方形，则空白部分面积为    【答案】50 【详解】解：正方形的边长为10， “赵爽弦图”中正方形的边长5， 空白处的面积大正方形的面积小正方形面积． 故答案为：． 题型五：勾股定理与折叠问题 11．如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：点为的中点， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：， ， 故选：D． 12．如图，在直角坐标系中，C点在线段上，D点在线段上，将沿直线折叠后，B点与A重合，则点C坐标是 ． 【答案】 【详解】解：设，则， 由折叠可知，， 在中，，即：， 解得：，即， ∴点坐标是， 故答案为：． 13．如图，在中，，，点D为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点B落在点E处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，点A恰好与点E重合．若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵沿翻折，使点B落在点E处， ∴， ∵将沿翻折，点A恰好与点E重合， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的点F处，折痕为． (1)已知，则 度； (2)在（1）的条件下，如果，则 ． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 设，则， ∵折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， 在中，由勾股定理得， 解得， 故答案为：． 题型六：勾股定理的证明 15．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把斜边定为c， A、∵， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、∵， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、根据图形只能说明，不能证明勾股定理，故本选项符合题意； D、∵， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选C． 16．操作与探究 (1)图1是由有5个边长为1的正方形组成的，把它按图中的分割方法分割成五部分后可拼接成一个面积为5的大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形，并在大正方形内部标注出五部分的序号； (2)如图，如果设（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为，斜边为c．请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：如图即为拼接成的大正方形； （2）解：大正方形的面积， 又因为大正方形的面积， 所以； 题型七：勾股定理的应用问题举例 17．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（   ） A．5.3尺 B．6.8尺 C．4.7尺 D．3.2尺 【答案】D 【详解】解：如图， 设竹子折断处离地面x尺，则斜边长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， ∴折断处离地面的高度为尺， 故选：D． 18．山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．7km B．6km C．5km D．2km 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴从A村到B村比原来减少的路程为． 故选：B． 19．如图，要为一段高为5米， 长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长度至少为（    ）    A．18米 B．17 米 C．13米 D．12米 【答案】B 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度米， 地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是米． 故选B． 20．如图，一架10米长的梯子斜靠在路灯杆上，刚好梯顶抵达8米高的路灯，当电工师傅沿梯子上去修路灯时，把梯子顶端向下滑动2米至处，下滑前后两次梯脚间的距离是 米．    【答案】2 【详解】解：在中，根据勾股定理，得： 根据题意，得：； 又∵梯子的长度不变， ∴在中，根据勾股定理，得：． 则． 所以，下滑前后两次梯脚间的距离是2米． 故答案为：2． 21．圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 ． 【答案】20 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 根据题意得：，， 在中，， 即蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为． 故答案为：20 22．某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过，如图，一辆小汽车在该笔直路段上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪的正前方的点处，后小汽车行驶到点处，测得此时小汽车与车速检测仪间的距离为，． (1)求的长． (2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 【答案】(1)(2)这辆小汽车不超速，理由见解析 【详解】（1）解：根据题意得：，，， ， 答：的长为； （2）解：这辆小汽车不超速，理由如下： 该小汽车的速度为， 这辆小汽车不超速． 23．如图，有两条公路相交成角，沿公路方向离O点处有一所学校A，当重型卡车P沿道路方向行驶时，在以P为圆心，以内（包括）会受到卡车噪声的影响，若已知卡车P沿道路方向行驶的速度为，且卡车与学校A的距离越近，噪声影响越大． (1)求对学校A的噪声影响最大时卡车与学校的距离． (2)求卡车P沿道路方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． 【答案】(1)(2)24秒 【详解】（1）解：作于D， ∵， ∴， 即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离． （2）解：如图，以A为圆心为半径画圆，交于B、C两点， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵卡车P沿道路方向行驶的速度为， ∴卡车经过的时间秒， 答：卡车P沿道路方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为24秒． 24．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 【答案】的长为 【详解】解：设，则， 由勾股定理得： 在中，， 在中，， 由题意可知：， 所以， 解得： 即的长为． 25．如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则 ． 【答案】 【详解】解：如图， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， 设， 由折叠得，，， ∴，， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 26．如图，某投影仪正对墙投屏，其光源离墙米，离地米，它透过方孔发射出来的上下两束光束的最大张角为，并在上下调整机头摆动过程中发现（假设光源位置始终不变），墙上高为米处始终能被照射到，若不考虑墙高，则投影仪发射的光线可能到达的最高位置离地面的距离是 米． 【答案】 【详解】解：如图，记投影仪的位置为点，墙与地面的交点为点，点为墙上高为米处，过点作垂直于墙于，作交墙于，过点作于， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵光源离墙米，离地米， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴投影仪发射的光线可能到达的最高位置离地面的距离， 故答案为：． 27．如图，在中． (1)利用尺规作图， 在边上求作一点P，使得点到的距离（的长）等于的长；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)画出（1）中的线段．若，求的长． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解， 【详解】（1）解：如图，点P即为所求： （2）解：如图，线段即为所求： 在中，由勾股定理得：，     由作图知平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴． 28．小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③牵线放风筝的小明的身高为米．    (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降7米，则他应该往回收线多少米？（精确到个位，） 【答案】(1)米(2)他应该往回收线6米 【详解】（1）解：由题意可知：米，米， 在中，由勾股定理得，， ∴（负值已舍去)， 米， 答：风筝的垂直高度为米； （2）∵风筝沿方向下降7米，保持不变，如图，    ∴此时的(米)， 即此时在中，米，有(米)， 相比下降之前，缩短长度为(米)， ∴他应该往回收线6米． 29．如图，中，，，点D，E分别在，上，过点E作，垂足为F，且． (1)若，，求的长； (2)若时，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 30．在中，，点是直线上一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接． (1)【问题发现】如图1，当点是的中点时，线段与的数量关系是________，与的位置关系是________； (2)【猜想论证】如图2，当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2中的情况给出证明；若不成立，请说明理由． (3)【拓展应用】若，其他条件不变，连接．当是等边三角形时，请直接写出的面积为________． 【答案】(1)， (2)成立，理由见详解 (3)或 【详解】（1）解：∵，， ∴是等腰直角三角形，， 当点是中点时，，，， ∴是等腰三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴，且， ∴， ∴是等腰直角三角形，，即点是的中点，是中线， ∵点是中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：仍成立，理由如下， 如图所示，延长到，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所述，点在下方，当是等边三角形时，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴； 点在上方，当是等边三角形时，过点作于点， 同法可得，， ∴； 综上所述，的面积为或， 故答案为：或． 31．已知：若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角和是，则称这个两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形中，是一条对角线，，则点与点关于互为顶针点：若再满足，则点与点关于互为勾股顶针点． 【初步思考】（1）如图2，在中，，，为外两点，，，为等边三角形． ①点与点______关于互为顶针点； ②求证：点与点关于互为勾股顶针点． 【实践操作】（2）在长方形中，． ①如图3，点在边上，点在边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点、，使得点与点关于互为勾股顶针点．（不用证明，不写作法，保留作图痕迹） 【思维探究】②如图4，点是线段上的动点，点是平面内一点，点与点关于互为勾股顶针点，直线与直线交于点，在点运动过程中，当线段与线段的长度相等时，求的长． 【答案】（1）①E和D；②见解析；（2）①图见解析；②1或2或或10 【详解】（1）解：①∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴点与点E和D关于互为顶针点； 故答案为：E和D； ②证明：∵在中，，， ∴， ∴， ∴点与点关于互为勾股顶针点． （2）①如图3，以点B为圆心，长为半径画弧交于F，连接，作的平分线交于E，则点E、F即为所求作； 作图理由：连接，， 由作图得，，又， ∴， ∴，， 则， ∴点与点关于互为勾股顶针点； ②根据点E、F的位置，分四种情况： 1）如图4-1，当时，设，则， 由折叠性质得，， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴由勾股定理得，解得，即； 2）如图4-2，当时，； 3）如图4-3，当时，设，则， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴由勾股定理得，解得，即； 4）如图4-4，当时，点F与D重合，此时， 综上，满足条件的值为1或2或或10． 32．（2023·广东广州·中考真题）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（    ）    A． B． C．20 D． 【答案】D 【详解】解：连接，      由已知得：，，， ∴， 在中，， ∴（）， 故选：D 33．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，在中，，，，点为边上的中点，交的延长线于点，交的延长线于点，且．若，则的面积为（    ）    A．13 B． C．8 D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接．      在中，， ，点为边上的中点， ，，，． ． ，， ，． ． 又，， ． ，． 在中，． 在中，． 又在中，， ． ． ． 故选：D． 34．（2023·山东日照·中考真题）已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（    ） A． B． C． D．大小无法确定 【答案】C 【详解】解：如下图， ∵为直角三角形的三边，且。 ∴， ∴， ∵， ， ∴． 故选：C． 35．（2023·西藏·中考真题）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线交于点E．若线段，，则长为 ．    【答案】 【详解】连接，如图，    根据作图可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∵，，， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 36．（2023·江苏·中考真题）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为 （精确到个位，参考数据：）．    【答案】 【详解】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C， 则，， 在中，， 即 ∵这台扫地机能从角落自由进出， ∴这台扫地机的直径不小于长， 即最小时为， 解得：，（舍）， ∴图中的x至少为， 故答案为：．    37．（2023·江苏南通·中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）． 【答案】 【详解】解：由于现有勾股数a，b，c，其中，均小于， ，为直角边，为斜边， ， ， 得到， ， ， 是大于1的奇数， ． 故答案为：． 38．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键． 39．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．    (1)求证：； (2)若时，求的长； (3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)(3)存在， 【详解】（1）解：由题意，可知，，． ． 即． ． （2）在中，， ． ． ， ，． ． ． 在中，． （3）由（2）可知，． 当最小时，有的值最小，此时． 为等腰直角三角形， ． ． 即的最小值为． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 勾股定理类型题精练 知识点1．勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：a2+b2=c2.） 知识点2．勾股定理的证明 勾股定理的发现至今有5000名年的历史,5000 多年来世界上各个文明古国相继发现和研究过这个定理,并给出了勾股定理的许多证明,现介绍几种著名的拼图证法。 知识点3.勾股定理的应用 利用勾股定理可以解决和直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活中的一些实际问题. 题型一：勾股定理与无理数 1．如图，矩形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点所表示的数为（    ） A．2 B． C． D． 题型二：勾股定理与网格图 2．如图，在下列边长为1的小正方形组成的网格中，利用网格点画图． (1)画出一条线段，使得； (2)在（1）的基础上，以为边，画出，使得的三边长都为无理数． ，，． 题型三：以直角三角形的边为边的图形 3．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、b的面积分别为2和5，则c的面积为 ． 4．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（    ）    A．25 B．35 C．40 D．11 5．图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，会徽的主题图案是由图2中七个直角三角形演化而成的，其中．则组成会徽的七个直角三角形的面积的平方和为 ．    ∴ 6．如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为 ． 题型四：以弦图为背景的计算 7． “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（     ）    A．5 B．6 C．7 D．8 8．如图，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为，短直角边为，图2中的阴影部分的面积为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 9．如图是一“赵爽弦图”模板，其直角三角形的两条直角边的长分别是6和8，则中间小正方形的面积是 ． 10．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10的正方形，则空白部分面积为    题型五：勾股定理与折叠问题 11．如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 12．如图，在直角坐标系中，C点在线段上，D点在线段上，将沿直线折叠后，B点与A重合，则点C坐标是 ． 13．如图，在中，，，点D为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点B落在点E处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，点A恰好与点E重合．若，则的长为 ． 14．如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的点F处，折痕为． (1)已知，则 度； (2)在（1）的条件下，如果，则 ． 题型六：勾股定理的证明 15．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（    ） A． B． C． D． 16．操作与探究 (1)图1是由有5个边长为1的正方形组成的，把它按图中的分割方法分割成五部分后可拼接成一个面积为5的大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形，并在大正方形内部标注出五部分的序号； (2)如图，如果设（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为，斜边为c．请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理． 题型七：勾股定理的应用问题举例 17．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（   ） A．5.3尺 B．6.8尺 C．4.7尺 D．3.2尺 18．山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．7km B．6km C．5km D．2km 19．如图，要为一段高为5米， 长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长度至少为（    ）    A．18米 B．17 米 C．13米 D．12米 ∴地毯的长度至少是米． 20．如图，一架10米长的梯子斜靠在路灯杆上，刚好梯顶抵达8米高的路灯，当电工师傅沿梯子上去修路灯时，把梯子顶端向下滑动2米至处，下滑前后两次梯脚间的距离是 米．    21．圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 ． 22．某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过，如图，一辆小汽车在该笔直路段上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪的正前方的点处，后小汽车行驶到点处，测得此时小汽车与车速检测仪间的距离为，． (1)求的长． (2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 23．如图，有两条公路相交成角，沿公路方向离O点处有一所学校A，当重型卡车P沿道路方向行驶时，在以P为圆心，以内（包括）会受到卡车噪声的影响，若已知卡车P沿道路方向行驶的速度为，且卡车与学校A的距离越近，噪声影响越大． (1)求对学校A的噪声影响最大时卡车与学校的距离． (2)求卡车P沿道路方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． 24．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 25．如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则 ． 26．如图，某投影仪正对墙投屏，其光源离墙米，离地米，它透过方孔发射出来的上下两束光束的最大张角为，并在上下调整机头摆动过程中发现（假设光源位置始终不变），墙上高为米处始终能被照射到，若不考虑墙高，则投影仪发射的光线可能到达的最高位置离地面的距离是 米． 27．如图，在中． (1)利用尺规作图， 在边上求作一点P，使得点到的距离（的长）等于的长；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)画出（1）中的线段．若，求的长． 28．小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③牵线放风筝的小明的身高为米．    (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降7米，则他应该往回收线多少米？（精确到个位，） 29．如图，中，，，点D，E分别在，上，过点E作，垂足为F，且． (1)若，，求的长； (2)若时，求证：． 30．在中，，点是直线上一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接． (1)【问题发现】如图1，当点是的中点时，线段与的数量关系是________，与的位置关系是________； (2)【猜想论证】如图2，当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2中的情况给出证明；若不成立，请说明理由． (3)【拓展应用】若，其他条件不变，连接．当是等边三角形时，请直接写出的面积为________． 31．已知：若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角和是，则称这个两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形中，是一条对角线，，则点与点关于互为顶针点：若再满足，则点与点关于互为勾股顶针点． 【初步思考】（1）如图2，在中，，，为外两点，，，为等边三角形． ①点与点______关于互为顶针点； ②求证：点与点关于互为勾股顶针点． 【实践操作】（2）在长方形中，． ①如图3，点在边上，点在边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点、，使得点与点关于互为勾股顶针点．（不用证明，不写作法，保留作图痕迹） 【思维探究】②如图4，点是线段上的动点，点是平面内一点，点与点关于互为勾股顶针点，直线与直线交于点，在点运动过程中，当线段与线段的长度相等时，求的长． 32．（2023·广东广州·中考真题）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（    ）    A． B． C．20 D． 33．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，在中，，，，点为边上的中点，交的延长线于点，交的延长线于点，且．若，则的面积为（    ）    A．13 B． C．8 D． 34．（2023·山东日照·中考真题）已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（    ） A． B． C． D．大小无法确定 35．（2023·西藏·中考真题）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线交于点E．若线段，，则长为 ．       36．（2023·江苏·中考真题）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为 （精确到个位，参考数据：）．    37．（2023·江苏南通·中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）． 38．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．    39．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．    (1)求证：； (2)若时，求的长； (3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$