2024学年中考数学考前适应性强化训练：二次函数的相似三角形问题

2024学年中考数学考前适应性强化训练： 二次函数的相似三角形问题 1．如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过点，的抛物线与轴另一个交点为，连接．平行于轴的动直线从点开始，以每秒1个单位长度的速度向轴正方向平移，同时动点从点出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向原点运动． (1)求抛物线的表达式； (2)设点运动的时间为秒，是否存在某一时刻，使与相似？若存在，试求出值；若不存在，简述你的理由； (3)点在直线上，横坐标为11，为轴上一动点，为抛物线上一动点，是否存在点，，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，简述理由． 2．定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题： 已知直线外有一点P，，，，圆M是点P与直线的点切圆． (1)如果圆心M在线段上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）． (2)如图2，以O为坐标原点、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点P在第一象限，设圆心M的坐标是． ①求y关于x的函数解析式； ②点B是①中所求函数图象上的一点，连接 并延长交此函数图象于另一点C．如果，求点B的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标是，点为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点为，连接． (1)求该二次函数的表达式； (2)依题补图1：连接，过点作轴于点；当和相似时，求的值； (3)如图2，过点作直线，和轴交点为，在点沿着抛物线从点到点运动过程中，当与抛物线只有一个交点时，求点的坐标． 4．如图，抛物线与x轴交于A（5，0），B（，0），与y轴的正半轴交于点C，连接BC，AC，已知． （1）求抛物线的解析式； （2）直线（）交线段AC于点M，当以A、O、M为顶点的三角形与△ABC相似时，求k的值，并求出此时点M的坐标； （3）P为第一象限内抛物线上一点，连接BP交AC于点Q，请判断：是否有最大值，如有请求出这个最大值，如没有请说明理由． 5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点． (1)直接写出抛物线的解析式． (2)如图，将抛物线向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由． (3)直线BC与抛物线交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． (4)若将抛物线进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标． 6．如图，已知二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象经过点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 7．如图，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒． （1）求抛物线的解析式； （2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形； （3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标； （4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、点，与y轴交于点，连接AC，BC．点E是线段OB上动点（不与O、B两点重合），过点E作x轴的垂线l，设直线l与BC交于点D，与抛物线交于点P． (1)求抛物线的表达式； (2)连接AP，当和相似时，求点P的坐标； (3)过点Р作，垂足为F，求面积的最大值 9．如图1，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)连接，则______； (2)如图2，若经过A、B、C三点，连接、，若与的周长之比为，求该抛物线的函数表达式； (3)如图3，在（2）的条件下，连接OP，抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系内，已知直线与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线图像过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B， （1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标； （2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标． 11．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E． （1）求抛物线的函数表达式 （2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点．连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+8与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B（4，0），与y轴相交于点C，顶点为点P．点D（0，4）在OC上，联结BC、BD． （1）求抛物线的表达式并直接写出点P的坐标； （2）点E为第一象限内抛物线上一点，如果△COE与△BCD的面积相等，求点E的坐标； （3）点Q在抛物线对称轴上，如果△BCD∽△CPQ，求点Q的坐标． 13．如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A和C分别在x轴和y轴正半轴上，点B坐标为（3，3），抛物线y=﹣x2+bx+c过点A、C，交x轴负半轴于点D，与BC边的另一个交点为E，抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N． （1）求抛物线的函数关系式； （2）点P在直线MN上，求当PE+PA的值最小时点P的坐标； （3）如图2，探索在x轴是否存在一点F，使∠CFO=∠CDO﹣∠CAO？若存在，求点F的坐标；不存在，说明理由； （4）将抛物线沿y轴方向平移m个单位后，顶点为Q，若QO平分∠CQN，求点Q的坐标． 14．设抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于两个不同的点A（-1，0）、B（m，0），与y轴交于点C．且∠ACB=90度． (1)求m的值； (2)求抛物线的解析式，并验证点D（1，﹣3）是否在抛物线上； (3)已知过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E．问：在x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D． (1)求该抛物线的表达式及点C的坐标； (2)联结BC、BD，求∠CBD的正切值； (3)若点P为x轴上一点，当△BDP与△ABC相似时，求点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$