2023-2024学年沪科版下学期八年级数学期末复习卷（四）

2023-2024学年沪科版下学期八年级数学期末试卷04 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1．要使二次根式有意义，字母必须满足的条件是（） A．＞ 0 B．≥0 C．≠ 0 D．<0 2．关于x的方程是一元二次方程，则（ ） A． B． C． D． 3．如图，已知的面积为48，，点D为BC边上一点，过点D分别作于E，于F，若，则长为（   ）    A．12 B．10 C．6 D．8 4．如图，的面积为4，点P在对角线AC上，E、F分别在AB、AD上，且PE//BC，PF//CD，连接EF，图中阴影部分的面积为（    ） A．1.8 B．2 C．2.4 D．3 5．射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，那么子弹射出枪口的速度（用科学记数法表示）为（    ）． A． B． C． D． 6．某地区2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年共投入8000万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在菱形ABCD中，，AB的长为4．点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，连接E，F，G，H，则在四边形EFGH中，(   ) A． B． C． D． 8．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（　　） A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0 9．在矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交直线于点F，若，则的长为（　　） A． B．3 C． 或 D．或3 10．如图，点P是在正ABC内一点，，，，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段，连接，．下列结论中正确的是（    ） ①可以由绕点A逆时针旋转60°得到；②线段；③四边形的面积为；④． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．二次根式中，x的取值范围是 ． 12．若正n边形的一个外角是，则其内角和为 °. 13．如图，点O是矩形内一点，则点O到四个顶点的距离满足关系式，若点O在对角线，，．则 ．    14．如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，下列结论：①；②；③；④若，则．其中所有正确的结论是 ．    3． 解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21,22每题12分，23题14分，共计90分） 15．计算：． 16．用公式法解方程：． 17．已知关于的方程的一个根为3，求k的值及它的另一个根． 18．如图，在平行四边形中，，是对角线的三等分点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 19．观察下列等式，解答后面的问题． 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． … (1)按照此规律，第个等式是：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 20．如图，在长方形纸片中，，，将纸片按如图所示的方式折叠，使点B与点重合，折痕为． (1)求证：； (2)求和的长． 21．为了美化校阳环境，某校准备用长的栅栏，围成一个长方形花圃．    (1)若花圃的面积为，求长方形的长和宽； (2)若要用完栅栏（不考虑损耗），求出围成的花圃面积的最大值； (3)如图．现需要用一部分栅栏在花圃内围成两个长方形栽种区，学校决定将花圃背靠两面互相垂直的墙面而建，其它区域修成宽为的走道．如图所示，若此时长方形花圃的面积为，求此时长方形花圃的长和宽． 22．小王某月手机话费中的各项费用统计情况见下列图所示，其中月功能费为5元，请你根据统计图的信息完成下列各题： （1）该月小王手机话费共有________元． （2）扇形统计图中，表示短信费的扇形的圆心角______度． （3）请将条形统计图补充完整． （4）电信公司为让利给用户，从下月起每月将对长途话费进行打折优惠，如果小王每月长途电话的通话时间不变，那么两个月后，月长途花费将降至28.8元，那么长途话费的月平均折扣为多少？ 23．如图1，在矩形中，，分别以为边向外作正方形和正方形，连接交于点N，连接交于点M．      (1)求证：； (2)连接 ，求的长； (3)如图2，将正方形绕C点旋转，当F落在边上时（点D旋转到），请直接写出的长为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年沪科版下学期八年级数学期末试卷04 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1．要使二次根式有意义，字母必须满足的条件是（） A．＞ 0 B．≥0 C．≠ 0 D．<0 【答案】B 【分析】根据二次根式（a≥0）有意义的条件得到a≥0即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴x≥0， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件：a≥0． 2．关于x的方程是一元二次方程，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义得出，，求出即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 即且， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2． 3．如图，已知的面积为48，，点D为BC边上一点，过点D分别作于E，于F，若，则长为（   ）    A．12 B．10 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了求三角形的高，连接，利用等面积法推出，解之即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴ ， ∵的面积为48，，， ∴， ∴， 故选A．    4．如图，的面积为4，点P在对角线AC上，E、F分别在AB、AD上，且PE//BC，PF//CD，连接EF，图中阴影部分的面积为（    ） A．1.8 B．2 C．2.4 D．3 【答案】B 【分析】可证得四边形AEPF是平行四边形，根据SSS可证得，据此即可解答． 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD，AD//BC， ∵PE//BC，PF//CD， ∴PE//AF，PF//AE， 四边形AEPF是平行四边形， ，OA=OP，OE=OF ， ， 图中阴影部分的面积为： =2 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证得是解决问题的关键． 5．射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，那么子弹射出枪口的速度（用科学记数法表示）为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把代入，再利用二次根式的性质化简，最后用科学记数法表示出来即可． 【详解】解：， 当时，， 故选：D． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，二次根式的性质，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 6．某地区2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年共投入8000万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的实际应用，增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果教育经费的年平均增长率为x，根据2017年投入2500万元，则2018的教育经费为：万元，2019的教育经费为：万元，再利用总量为8000万元可得方程． 【详解】解：设教育经费的年平均增长率为x，则2018的教育经费为：万元，2019的教育经费为：万元， 那么可得方程：， 故选A． 7．如图，在菱形ABCD中，，AB的长为4．点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，连接E，F，G，H，则在四边形EFGH中，(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接AC、BD交于O，由菱形的性质证出△ABC是等边三角形，求出AC的长，由直角三角形的性质求出BD，由三角形中位线定理可得出答案． 【详解】解：连接AC、BD交于O， ∵四边形ABCD是菱形，∠BAC=120°， ∴∠ABC=60°， ∵AB=BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=4， ∵∠AOB=90°， ∴∠ABO=30°， ∴BO=， ∴BD=， ∵点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点， ∴EF=AC=2，FG=BD=， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了中点四边形，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质、三角形中位线定理是解题的关键． 8．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（　　） A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0 【答案】B 【详解】试题分析：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是α、β，根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1•x2=，可得：α•β=﹣6，α+β=3，那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0， 故选B． 9．在矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交直线于点F，若，则的长为（　　） A． B．3 C． 或 D．或3 【答案】C 【分析】连接，由矩形的性质得由E是的中点，得，由折叠得，则 ，可证明，得，再分两种情况讨论，一是点F线段上，因为，所以，则，由勾股定理得；二是点F在线段的延长线上，则，所以，由勾股定理得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴ ∵E是的中点， ∴， 由折叠得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 当点F线段上，如图1 ∵， ∴， ∴， ∴； 当点F在线段的延长线上，如图2，    ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故选：C． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 10．如图，点P是在正ABC内一点，，，，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段，连接，．下列结论中正确的是（    ） ①可以由绕点A逆时针旋转60°得到；②线段；③四边形的面积为；④． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】求出 ， 为等边三角形，然后根据四边形的面积为 的面积和，等于，所以③错误，A、C、D项都含有③，排除． 故本题选择B项． 【详解】由题意知，，， 为等边三角形，,②正确， 又 ,， ， ①正确，， 又， 在中三边长为3、4、5，这是一组勾股数，所以 为直角三角形 = ，③错误． 将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BDA，则有△BPC≌△BDA，连接PD，如图所示： 同理可得△BPD是边长为4的等边三角形，△APD是直角三角形，且直角边长为3和4，斜边长为5， ∴，故④正确； 故选B． 【点睛】本题考查图形的旋转、等边三角形的性质与判定、勾股定理逆定理及全等三角形的性质与判定，注意灵活运用旋转的性质． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．二次根式中，x的取值范围是 ． 【答案】x≥-3 【分析】根据被开方数是非负数，建立不等式求解即可． 【详解】∵是二次根式， ∴x+3≥0, 即x≥-3， 故答案为：x≥-3． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数建立不等式是解题的关键． 12．若正n边形的一个外角是，则其内角和为 °. 【答案】720 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和外角问题，解题的关键熟练掌握多边形的外角和为． 【详解】解：∵正n边形的一个外角是， ∴一个内角为，， ∴内角和为． 故答案为：． 13．如图，点O是矩形内一点，则点O到四个顶点的距离满足关系式，若点O在对角线，，．则 ．    【答案】或 【详解】根据、的值计算出的值，即可得到的值，再用表示出，即可得到关于的方程，求解即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O在对角线上，， ∴， ∴， 整理得， 解得或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确解出的长是解题的关键． 14．如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，下列结论：①；②；③；④若，则．其中所有正确的结论是 ．    【答案】①③/③① 【分析】先求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，，从而得到，故①正确；再求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再求出，然后利用“边角边”证明，得到，由，得到，，故②错误；由于，得到，故③正确；由是等腰直角三角形得到，求得，过作于，求得，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴设，， ∵， ∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 过作于，如图：    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上分析可知，①③正确． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键． 3． 解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21,22每题12分，23题14分，共计90分） 15．计算：． 【答案】 【详解】先把化简，再利用完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可． 【解答】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则和完全平方公式是解决问题的关键． 16．用公式法解方程：． 【答案】 【分析】先找出方程中的值，再利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：．变形得：． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了利用公式法解一元二次方程，牢记公式是解题关键． 17．已知关于的方程的一个根为3，求k的值及它的另一个根． 【答案】，另一根为 【分析】由于一根为3，把代入方程即可求得的值．然后根据两根之积即可求得另一根． 【详解】解：方程的一个根为3， ， 解得， 设另一根为， ， ， ∴另一根为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，解题时可利用根与系数的关系使问题简化，难度不大． 18．如图，在平行四边形中，，是对角线的三等分点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定： （1）先由平行四边形的性质得到，则，再由三等分点的定义得到，即可证明，则；同理可证明，据此可证明四边形是平行四边形； （2）先求出，则，由勾股定理得，由勾股定理得，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，是对角线的三等分点， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，是对角线的三等分点， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∴在中，由勾股定理得， ∵四边形是平行四边形， ∴． 19．观察下列等式，解答后面的问题． 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． … (1)按照此规律，第个等式是：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）根据规律可知，第个等式：左边的被开方数是，右边根号外的系数为，被开方数为，据此写出第个等式即可； （2）根据规律可知，等式左边的被开方数为，等式的右边根号外的系数为，被开方数为，然后证明即可． 【详解】（1）根据规律可知，第个等式是： ， 故答案为：； （2）根据规律猜想第个等式为：， 证明： ， 故猜想成立，即． 【点睛】本题考查了算术平方根，数字的变化规律，观察所给的式子，找出变化规律是解题的关键． 20．如图，在长方形纸片中，，，将纸片按如图所示的方式折叠，使点B与点重合，折痕为． (1)求证：； (2)求和的长． 【答案】(1)见详解 (2)， 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是，熟练应用折叠的性质及勾股定理，表示出线段的长度，列出等量关系式． （1）根据折叠的性质，可得，由长方形可得，，利用等边对等角，即可得出； （2）设的长度为，为，在中应用勾股定理，列出一元二次方程，即可求出的长度，过点作，在中应用勾股定理，即可求出的长度． 【详解】（1）解：根据折叠的性质，可得， 是长方形， ， ， ， ． （2）设，则， 在中， ，即：， 解得：， ， 过点作，垂足为， 由（1）可知，， 又，， ，， ， 在中， ，即， 解得：，（舍）， 故：，． 21．为了美化校阳环境，某校准备用长的栅栏，围成一个长方形花圃．    (1)若花圃的面积为，求长方形的长和宽； (2)若要用完栅栏（不考虑损耗），求出围成的花圃面积的最大值； (3)如图．现需要用一部分栅栏在花圃内围成两个长方形栽种区，学校决定将花圃背靠两面互相垂直的墙面而建，其它区域修成宽为的走道．如图所示，若此时长方形花圃的面积为，求此时长方形花圃的长和宽． 【答案】(1)长为，宽为时 (2) (3)长为，宽为或长为，宽为 【分析】（1）设长为，根据面积为建立方程，解之即可； （2）根据矩形的面积公式可表达矩形的面积，将其进行配方，根据平方的非负性，即可得出结论； （3）设长为，宽为，根据题意建立方程，得到，根据长方形面积公式，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设长为，则宽为， 由题意可知，， 解得或， ∴当花圃长为，宽为时，花圃面积为； （2）解：设长为， ∴矩形的面积， ∵， ∴， ∴， ∴当时，花圃面积的最大值为； （3）解：设长为，宽为， 由题意可得，， 整理得，， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴长方形花圃的长为，宽为或长为，宽为． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，完全平方公式的应用，解题的关键是正确理解题意，得出等量关系是解题关键． 22．小王某月手机话费中的各项费用统计情况见下列图所示，其中月功能费为5元，请你根据统计图的信息完成下列各题： （1）该月小王手机话费共有________元． （2）扇形统计图中，表示短信费的扇形的圆心角______度． （3）请将条形统计图补充完整． （4）电信公司为让利给用户，从下月起每月将对长途话费进行打折优惠，如果小王每月长途电话的通话时间不变，那么两个月后，月长途花费将降至28.8元，那么长途话费的月平均折扣为多少？ 【答案】（1）125元；（2）72°；（3）见解析；（4）长途话费的月平均折扣为八折 【分析】（1）根据月功能费在扇形统计图中所占比例计算即可. （2）用短信费所占比例乘以即可. （3）用第（1）问中求出的总话费，分别乘以基本话费和长途话费所占比例，求出两者具体金额后填图. （4）可设长途话费的月平均减少率为，根据题意“两个月后，月长途花费将降至28.8元”可得，解一元二次方程即可. 【详解】（1）元 （2）. （3）如图， （4）解：设平均减少率为，据题意得     解得 答：长途话费的月平均折扣为八折. 【点睛】本题综合考查了条形统计图与扇形统计图中的数据关系，和一元二次方程解决问题中的增长率问题，熟练掌握相关知识点，找到其中的数量关系并列式计算是解答关键. 23．如图1，在矩形中，，分别以为边向外作正方形和正方形，连接交于点N，连接交于点M．      (1)求证：； (2)连接 ，求的长； (3)如图2，将正方形绕C点旋转，当F落在边上时（点D旋转到），请直接写出的长为 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，从而得出结论； （2）取的中点Q，连接，可得是梯形的中位线，从而得出的长，进而求得的长，进一步得出的长，进而得出结果； （3）延长，交于R，作于T，可得出，，可得，进而得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形和是正方形 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图1，    取的中点Q，连接， 由（1）得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2，    延长，交于R，作于T， 可得矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理（1）可得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，梯形的中位线定理，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$