2023-2024学年沪科版下学期八年级数学期末复习卷（三）

2023-2024学年沪科版下学期八年级数学期末试卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1．一元二次方程x2+4x﹣11=0配方后化为（　　） A．（x+4）2=13 B．（x﹣2）2=15 C．（x+2）2=13 D．（x+2）2=15 2．直角三角形两边长为3，4，则第三边长为（    ） A．5 B． C．5或 D．不能确定 3．某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：80，90，75， 75，80，80，下列表述错误（   ） A．众数是80 B．中位数是75 C．平均数是80 D．方差是 4．如图是单位长度为的正方形网格，格点上、两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．已知：，则x+y的值（  ） A．1 B．-1 C．3 D．-3 6．如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连CE，则CE的长不可能是（　　） A．1.2 B．2.05 C．2.7 D．3.1 7．关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为-2，则另一个根是（　　） A．-6 B．-3 C．3 D．6 8．如图，已知边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD的中点，连接AC，点G、H在AC上，且AC＝4AG＝4CH，则四边形EHFG的面积为（　　） A．8 B．4 C． D． 9．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，其中斜边的端点D在斜边的延长线上，相交于点F，则以下判断不正确的是（    ）    A．是等边三角形 B． C．CE=DE D． 10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且，AF、BE相交于点G，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 12．如图，一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，旗杆折断之前的高度是 m． 13．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载了一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面x尺，则根据题意列方程为： ． 14．如图，在矩形中，，P为边上一动点，连接，把沿BP折叠使A落在处，当为等腰三角形时，的长为 .    3． 解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21,22每题12分，23题14分，共计90分） 15．计算： （1） （2）×﹣|2﹣| 16．解方程： (1) (2) 17．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根和． (1)求实数m的取值范围； (2)若，求实数m值． 18．如图中，的平分线交BC于点F，交AB的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 19．如图所示，是一种长米，宽米的矩形瓷砖，分别为矩形四边的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长米，宽米的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：    (1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块？ (2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形？ 20．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的式子表示），并证明． 21．为了解龙华区某校七年级学生对A《最强大脑》、B《朗读者》、C《中国诗词大会》、D《极限挑战》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了m位学生进行调查统计（要求每位学生选出并且只能选一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图（图1，图2）． 根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）在图1中，喜爱《朗读者》节目所对应的扇形的圆心角度数是　 　度； （2）请根据以上信息直接在答题卡中补全图2的条形统计图； （3）已知该校七年级共有420位学生，那么他们最喜欢《中国诗词大会》这个节目的学生约多少人． 22．一种服装的进价为元/件，经销商经过市场调查发现该种服装如果销售单价为元/件，则年销售量为件，销售这种服装的员工每年工资以及其它费用总计元． (1)用含的代数式表示每年销售这种服装的获利金额； 注：每年获利金额＝（销售单价－进价）×年销售量—其它费用． (2)若经销商希望该种服装一年的获利金额达元，且要使产品年销售量较大，你认为销售单价应定为多少元/件？ 23．在△ABC和△ADE中，AC=BC，AE=DE，且AE＜AC，∠ACB=∠AED=90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．    (1)如图1，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图2，当时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论； (3)当α=150°时，若BC=3，DE=1，请直接写出PC2的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年沪科版下学期八年级数学期末试卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1．一元二次方程x2+4x﹣11=0配方后化为（　　） A．（x+4）2=13 B．（x﹣2）2=15 C．（x+2）2=13 D．（x+2）2=15 【答案】D 【分析】根据配方法进行变形即可． 【详解】解：x2+4x﹣11=0， 移项得，， 两边加上一次项一半的平方得，， 配方得，； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法，解题关键是熟练掌握配方法，准确进行计算． 2．直角三角形两边长为3，4，则第三边长为（    ） A．5 B． C．5或 D．不能确定 【答案】C 【分析】分两种情况，3，4为直角边时和4为斜边时，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当3，4为直角边时，第三边的长为， 当4为斜边时，第三边的长为， 则第三边的长为或， 故选：C 【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方，注意分类讨论． 3．某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：80，90，75， 75，80，80，下列表述错误（   ） A．众数是80 B．中位数是75 C．平均数是80 D．方差是 【答案】B 【详解】试题分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．利用平均数和极差的定义可分别求出．这组数据中80出现了3次，出现的次数最多，所以这组数据的众数位80；将这组数据按从大到校的顺序排列，第3，4个数是80，故中位数为80由平均数；公式求得这组数据的平均数位80；方差为=． 故选B． 考点：统计 4．如图是单位长度为的正方形网格，格点上、两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用网格根据勾股定理即可求出、两点间的距离． 【详解】解：根据网格可知：、两点间的距离． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，解决本题的关键是掌握勾股定理． 5．已知：，则x+y的值（  ） A．1 B．-1 C．3 D．-3 【答案】B 【分析】先把式子化成的形式，再根据非负数的性质求出x、y的值，代入求解即可得到答案 【详解】解：化简 即： ∴， 解得： ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查非负数的性质，几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0，学会把原式化成的形式是解题的关键． 6．如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连CE，则CE的长不可能是（　　） A．1.2 B．2.05 C．2.7 D．3.1 【答案】D 【分析】取AB的中点F，得到△BCF是等边三角形，利用三角形中位线定理推出EF=BD=1，再分类讨论求得，即可求解． 【详解】解：取AB的中点F，连接EF、CF， ∵∠BAC=30°，BC=2， ∴AB=2BC=4，BF=FA=BC=CF=2，∠ABC=60°， ∴△BCF是等边三角形， ∵E、F分别是AD、AB的中点， ∴EF=BD=1， 如图： 当C、E、F共线时CE有最大值，最大值为CF+EF=3； 如图， 当C、E、F共线时CE有最小值，最小值为CF-EF=1； ∴， 观察各选项，只有选项D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，分类讨论求得CE的取值范围是解题的关键． 7．关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为-2，则另一个根是（　　） A．-6 B．-3 C．3 D．6 【答案】B 【详解】分析：根据一元二次方程的两根之和等于－5求解. 详解：设另一个根为a，则根据根与系数的关系可得－2＋a＝－5，解得a＝－3. 故选B. 点睛：已知一元二次方程的一个根，求所含的字母系数的方法有：①把已知的根代入到原方程中，求出字母系数，再把字母系数的值代回到原方程求出另一个根；②用两根之和或者两根之积求解. 8．如图，已知边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD的中点，连接AC，点G、H在AC上，且AC＝4AG＝4CH，则四边形EHFG的面积为（　　） A．8 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接BD交AC于点O，连接EF．由已知易知∠EAG＝∠FCH，AE＝CF，AG＝CH，由SAS可得△EAG≌△FCH，故EG＝FH，∠AGE＝∠CHF，可得∠EGH＝∠FHG，故EG∥FH，得四边形EGFH是平行四边形，故GH与EF互相平分，即EF经过点O，由S△AEO＝S正方形ABCD＝×16＝2，AG＝OG，可得S△EOG＝S△AEO＝1，故可得S平行四边形EGFH解决问题． 【详解】如图，连接BD交AC于点O，连接EF． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠EAG＝∠FCH， ∵点E、F分别为AB、CD的中点， ∴AE＝CF， ∵AC＝4AG＝4CH， ∴AG＝OG＝OH＝CH， ∴△EAG≌△FCH（SAS）， ∴EG＝FH，∠AGE＝∠CHF， ∴∠EGH＝∠FHG， ∴EG∥FH， ∴四边形EGFH是平行四边形， ∴GH与EF互相平分， ∴EF经过点O， ∵S△AEO＝S正方形ABCD＝×16＝2， 又∵AG＝OG， ∴S△EOG＝S△AEO＝1， ∴S平行四边形EGFH＝4S△EOG＝4． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，平行四边形面积的计算，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 9．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，其中斜边的端点D在斜边的延长线上，相交于点F，则以下判断不正确的是（    ）    A．是等边三角形 B． C．CE=DE D． 【答案】D 【分析】过点D作，在上取点G，使，连接，证明，推出，，再证明，推出是等边三角形，即可证明是等边三角形，据此求解即可判断． 【详解】解：过点D作，在上取点G，使，连接，    ∵和是两个全等的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，选项A成立， ∴，即是等腰三角形，则选项C也成立， ， ∴，， ∴，则选项B也成立， ∴没有条件能证明，故选项D不成立， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作出合适的辅助线，证明是等边三角形是解题的关键． 10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且，AF、BE相交于点G，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定定理和性质、垂直的判定依次进行判断即可得． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，①正确； ∵， ， ∴， ∴， ∴，②正确； ∵GF与BG的数量关系不清楚， ∴无法得AG与GE的数量关系，③错误； ∵， ∴， ∴， 即，④正确； 综上可得：①②④正确， 故选：B． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，垂直的判定等，理解题意，综合运用全等三角形全等的判定和性质是解题关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查根的判别式．解题的关键是掌握时，方程有两个不相等的实数根． 根据方程有两个不等的实数根，得到判别式大于0，列式求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 12．如图，一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，旗杆折断之前的高度是 m． 【答案】16m 【分析】图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边的长度，解直角三角形即可． 【详解】解：∵旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为8m，旗杆离地面6m折断，且旗杆与地面是垂直的， ∴折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，折断的旗杆为==10m， ∴旗杆折断之前高度为：10m+6m=16m． 故答案为16m． 【点睛】本题考查的是勾股定理的实际应用，根据实际情况找出可以运用勾股定理的直角三角形是解答本题的关键． 13．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载了一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面x尺，则根据题意列方程为： ． 【答案】 【分析】 设折断处离地面x尺，根据勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：如图，设折断处离地面x尺， 根据题意可得：，   ． 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 14．如图，在矩形中，，P为边上一动点，连接，把沿BP折叠使A落在处，当为等腰三角形时，的长为 .    【答案】或/3和 【分析】根据为等腰三角形，分三种情况进行讨论：，分别求得的长，并判断是否符合题意． 【详解】①如图，当时，过作，交于E，交于F，则垂直平分，垂直平分，    ∴， 由折叠得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； ②如图，当时， 由折叠得，， ∴， 连接，则中，， ∴（不合题意）， 故这种情况不存在； ③如图，当时，    由折叠得，， ∴， ∴点落在上的中点处， 此时，， ∴． 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题以折叠问题为背景，主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏． 3． 解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21,22每题12分，23题14分，共计90分） 15．计算： （1） （2）×﹣|2﹣| 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）原式利用算术平方根的定义计算，再算加减法； （2）原式先算开方，化简绝对值，再算乘法，最后算加减． 【详解】解：（1） = =； （2）×-|2-| = = 【点睛】本题考查了实数和二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 16．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 因式分解为，， 即，， 解得， （2） 由题意得，，， ∵， ∴， 即， 【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 17．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根和． (1)求实数m的取值范围； (2)若，求实数m值． 【答案】(1)m＜； (2)实数m的值是1 【分析】（1）由Δ＞0得到关于m的不等式，解之得到m的范围； （2）根据根与系数的关系得：，，结合得到关于m的一元一次方程，解之即可求解． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝＝25−4m＞0， 解得m＜， 故实数m的取值范围是m＜； （2）根据根与系数的关系得：，， ∵， ∴， 解得m＝1． 故实数m的值是1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式Δ＝＞0”是解题的关键． 18．如图中，的平分线交BC于点F，交AB的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)48 【分析】（1）由平行四边形的性质可得ABCD，由平行线的性质及角平分线的定义可得∠AED＝∠ADE，进而可证明结论； （2）连接AF，利用AAS证明△BEF≌△CDF可得EF＝DF＝6，，结合等腰三角形的性质可得AF⊥DE，利用勾股定理可求解AF的长，再根据三角形的面积公式计算可求解． 【详解】（1）证明：在▱ABCD中，ABCD， ∴∠CDE＝∠AED， ∵DF平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠AED＝∠ADE， ∴AD＝AE； （2）解：连接AF， 在△BEF和△CDF中，， ∴△BEF≌△CDF（AAS）， ∴EF＝DF＝6，， ∴， ∵AD＝AE， ∴AF⊥DE， ∵AD＝BC＝BF＋CF＝5＋5＝10， ∴AF＝， ∴＝DE·AF＝×12×8＝48． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识，证明是解题的关键． 19．如图所示，是一种长米，宽米的矩形瓷砖，分别为矩形四边的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长米，宽米的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：    (1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块？ (2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形？ 【答案】(1)块 (2)个 【分析】（1）根据墙壁的长可求出横向所需瓷砖，根据墙壁宽可求出纵向所需瓷砖，由此即可求解； （2）根据菱形的性质，菱形图中中的直角三角形的特点，瓷砖的特点，由此即可求解． 【详解】（1）解：墙壁长，宽，矩形瓷砖长，宽， ∴，，则可知矩形瓷砖横排块，竖排块可毫无空隙地贴满墙面， ∴至少需要这种瓷砖 (块)． （2）解：每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半，另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个， ∴一共有淡黄色花纹菱形个，面积相等的菱形一共有 (个)． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接，掌握菱形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 20．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的式子表示），并证明． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】（1）根据数字规律求解； （2）根据数字规律及二次根式的性质计算． 【详解】解：（1）由题意： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第4个等式为：， 故答案为：； （2）由（1）可得： 第个等式为：， 证明：左边， 左边右边， 等式成立． 故答案为：． 【点睛】本题考查数字类规律探索，分式的加减运算和二次根式的化简，理解题意发现数字间的规律是解题关键． 21．为了解龙华区某校七年级学生对A《最强大脑》、B《朗读者》、C《中国诗词大会》、D《极限挑战》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了m位学生进行调查统计（要求每位学生选出并且只能选一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图（图1，图2）． 根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）在图1中，喜爱《朗读者》节目所对应的扇形的圆心角度数是　 　度； （2）请根据以上信息直接在答题卡中补全图2的条形统计图； （3）已知该校七年级共有420位学生，那么他们最喜欢《中国诗词大会》这个节目的学生约多少人． 【答案】（1）144；（2）作图见解析；（3）126（人）． 【分析】（1）用360°乘以喜爱《朗读者》节目的人数所占的百分比即可； （2）从两个统计图中可知，D组的人数为5人，占调查人数的10%，求出调查的总人数，再用总人数减去其他人数，求出喜欢B的人数，从而补全统计图； （3）用总人数乘以C组所占的百分比即可得出答案． 【详解】（1）喜爱《朗读者》节目所对应的扇形的圆心角度数是：360°×40%＝144°． 故答案为：144； （2）调查的总人数有：＝50（人）， 喜爱B的人数有：50﹣10﹣15﹣5＝20（人）， 补全统计图如下： （3）他们最喜欢《中国诗词大会》这个节目的学生有420×＝126（人）． 答：他们最喜欢《中国诗词大会》这个节目的学生约126人． 【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键． 22．一种服装的进价为元/件，经销商经过市场调查发现该种服装如果销售单价为元/件，则年销售量为件，销售这种服装的员工每年工资以及其它费用总计元． (1)用含的代数式表示每年销售这种服装的获利金额； 注：每年获利金额＝（销售单价－进价）×年销售量—其它费用． (2)若经销商希望该种服装一年的获利金额达元，且要使产品年销售量较大，你认为销售单价应定为多少元/件？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据每年获利金额＝（销售单价－进价）×年销售量—其它费用列式； （2）列一元二次方程求解，即可． 【详解】（1）解：设每年销售这种服装的获利金额为， 根据题意得： （2）解：根据题意得：， 解得：，， ∵要使产品销售量较大， ∴． 答：销售单价应定为元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，找出w关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 23．在△ABC和△ADE中，AC=BC，AE=DE，且AE＜AC，∠ACB=∠AED=90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．    (1)如图1，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图2，当时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论； (3)当α=150°时，若BC=3，DE=1，请直接写出PC2的值． 【答案】(1)PC=PE，PC⊥PE，理由见解析 (2)PC=PE，PC⊥PE，理由见解析 (3)PC2=． 【分析】（1）延长EP交BC于F，根据AAS证△FBP≌△EDP，再证△EFC是等腰直角三角形即可得出PC=PE，PC⊥PE； （2）作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，根据AAS证△FBP≌△EDP，再根据SAS证△FBC≌△EAC，然后得出△FCE是等腰直角三角形即可得出结论； （3）作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过点E作EH⊥AC交CA延长线于H，同②得出△FCE是等腰直角三角形，利用勾股定理求出CE2，根据PC2=CE2得出PC2的值即可． 【详解】（1）解：PC=PE，PC⊥PE，理由如下： 如图1，延长EP交BC于F，    ∵∠ACB=∠AED=90°， ∴ED∥BC， ∴∠PBF=∠PDE， ∵点P是线段BD的中点， ∴BP=DP， 又∵∠BPF=∠DPE， ∴△FBP≌△EDP（AAS）， ∴PF=PE，BF=DE， 又∵AC=BC，AE=DE， ∴FC=EC， 又∵∠ACB=90°， ∴△EFC是等腰直角三角形， ∵EP=FP， ∴PC=PE，PC⊥PE； （2）解：PC=PE，PC⊥PE，理由如下： 如图2，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，    同理（1）可证△FBP≌△EDP（AAS）， ∴BF=DE，PE=PF=EF， ∵DE=AE， ∴BF=AE， ∵当α=90°时，∠EAC=90°， ∴ED∥AC，EA∥BC， ∵FB∥AC，∠FBC=90°， ∴∠CBF=∠CAE， 在△FBC和△EAC中， ， ∴△FBC≌△EAC（SAS）， ∴CF=CE，∠FCB=∠ECA， ∵∠ACB=90°， ∴∠FCE=90°， ∴△FCE是等腰直角三角形， ∴EP=FP， ∴PC⊥PE，PC=PE； （3）解：如下图，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过点E作EH⊥AC交CA延长线于H，    当α=150°时，由旋转可知，∠CAE=150°， 即DE与BC所成夹角的锐角为30°， ∴∠FBC=∠EAC=α=150°， 同（2）可得△FBP≌△EDP（AAS）， 同（2）可得△FCE是等腰直角三角形，CP⊥EP，CP=EP=CE， 在Rt△AHE中，∠EAH=30°，AE=DE=1， ∴HE=，AH=， 又∵AC=BC=3， ∴CH=3+， ∴EC2=CH2+HE2=10+3， ∴PC2=（EC）2=EC2=． 【点睛】本题主要考查了几何变换综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$