专题02 一元二次方程期末复习题型【八大题型+过关检测卷】-《期末复习题型》2023-2024学年八年级数学下册期末重点复习攻略（浙教版）

专题02 一元二次方程期末复习之八大题型 目录 【题型一 一元二次方程的定义】 1 【题型二 一元二次方程的一般形式】 3 【题型三 已知一元二次方程的解求参数】 4 【题型四 一元二次方程的解法】 6 【题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 10 【题型六 根据一元二次方程根的情况求参数】 11 【题型七 一元二次方程的应用】 13 【题型八 一元二次方程的根与系数的关系】 17 【过关检测卷】 21 【期末题型】 【题型一 一元二次方程的定义】 例题：（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）下列方程，是一元二次方程的是（  ） ①，②，③，④． A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·山东德州·期末）下列方程中，属于一元二次方程的有（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24九年级上·吉林白城·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·重庆江津·期末）如果方程是关于x的一元二次方程，则P的值是(     ) A．2 B． C． D．3 【题型二 一元二次方程的一般形式】 例题：（23-24九年级上·湖北随州·期末）将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数是1，则一次项系数和常数项分别为（    ） A．5， B．5，1 C．， D．，1 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广东汕头·期末）方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．5，6，1 B．5，， C．5，6， D．5，，1 2．（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）把一元二次方程化为一般式，当二次项为时，一次项和常数项分别为（   ） A．， B．，1 C．， D．，1 3．（23-24九年级上·四川遂宁·期末）将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【题型三 已知一元二次方程的解求参数】 例题：（23-24九年级上·湖南湘西·期末）关于的方程的一个根为，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．5 【变式训练】 1．（23-24九年级上·吉林·期末）设a是方程的根，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川眉山·期末）关于x的一元二次方程方程有一个根是0，则a的值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（  ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【题型四 一元二次方程的解法】 例题：（23-24九年级上·河南三门峡·期末）解方程 (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）按要求解下列方程： (1)（因式分解法）； (2)（公式法）． 2．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 3．（23-24九年级上·河南许昌·期末）解方程：       用配方法解方程：(1)；(2)； 用公式法解方程：(3)；(4)． 【题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 例题：（23-24九年级上·山东济南·期末）一元二次方程根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【变式训练】 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列一元二次方程中，没有实数解的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南信阳·期末）一元二次方程的根的情况是(    ) A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 3．（23-24九年级上·河南漯河·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与a的取值有关 【题型六 根据一元二次方程根的情况求参数】 例题：（23-24九年级下·吉林·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·湖北荆州·期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是 ． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为 ． 3．（23-24九年级上·西藏·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【题型七 一元二次方程的应用】 例题：（22-23九年级上·四川眉山·期末）有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃的一边为米，面积为平方米． (1)用含的代数式表示，并求出的取值范围； (2)如果要围成面积为63平方米的花圃，的长是多少？ (3)能围成面积为78平方米的花圃吗？若能，求出的长，若不能，请说明理由． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q同时从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为． (1)运动几秒时，点P，Q相距？ (2)的面积能等于吗？为什么？ 2．（23-24九年级上·河南郑州·期末）第届亚运会于年月日至月日在杭州举行．某商店以每件元的价格购进亚运会吉祥物挂坠，以每件元的价格出售．据统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． (1)求该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率； (2)经市场预测，该吉祥物挂坠月份的销售量将与月份持平，商店为回馈顾客，决定降价促销，调查发现，该吉祥物挂坠的售价每降价元，月销售量就会增加件．那么每件售价定为多少元时，该吉祥物挂坠月份的销售利润可达到元． 【题型八 一元二次方程的根与系数的关系】 例题：（22-23九年级上·江西九江·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)请说明无论m为何实数，该方程总有两个实数根； (2)如果方程的一个实数根为1，求m值及另一根． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·宁夏固原·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根为，，且，求的值． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程两实数根分别为和，且满足，求的值． 3．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）关于x的一元二次方程． (1)若，求方程的两根； (2)当时，利用根的判别式判断方程根的情况； (3)若方程的两个实数根满足，写出一组满足条件的a，b的值． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（23-24九年级上·四川达州·期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．2，，14 B．2，， C．2，12，14 D．2，12， 3．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）用配方法解方程，配方后结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·广东广州·期末）设一元二次方程 的两根为 ，则 的值为（   ） A．1 B． C．0 D．3 5．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 6．（23-24九年级上·河南南阳·期末）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A．且k≠0 B．且 C． D．且 二、填空题 7．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）方程的解是 ． 8．（23-24九年级上·山东济南·期末）关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以是 （写出一个即可）． 9．（23-24九年级上·福建莆田·期末）若，则的值是 ． 10．（23-24九年级上·浙江台州·期末）若m是方程的根，则式子的值为 ． 11．（23-24九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 12．（23-24九年级上·山东聊城·期末）若规定两数，，通过运算“”可得，即，如，若，则的值为 ． 三、解答题 13．（22-23九年级上·广西防城港·期末）解方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） 14．（22-23九年级上·贵州毕节·期末）按要求解方程： (1)（公式法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）． 15．（22-23九年级上·四川眉山·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根 (2)若方程的两个实数根都是整数，求整数的值． 16．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，用一段80米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，左右两个长方形都有一个1米的门通往中间长方形，中间的长方形有一个1米的门通往外面，墙的最大可用长度为50米． (1)如果羊圈的总面积为345平方米，求边AB的长； (2)请问羊圈的总面积能为480平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由． 17．（23-24九年级上·河南开封·期末）某市按照《关于切实做好2024年初中毕业升学体育考试工作的通知》的要求，跳绳项目为必选项目．某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售150条，6月份销售216条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该跳绳销售量的月增长率； (2)若此种跳绳的进价为30元／条．经过市场调研，当售价为40元／条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该跳绳的实际售价． 18．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）【阅读材料】 利用完全平方公式，可以将多项式（均为常数且）变形为的形式，如．我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：． 【问题解决】 (1)用多项式的配方法将化成的形式是 ，当多项式的值为时，的值为 ． (2)把多项式进行分解因式． 19．（21-22九年级上·江西宜春·期末）如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿边AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，当点P运动到点B后，运动停止，设运动时间为x（s）． (1)______cm，______cm（用含x的式子表示）； (2)若时，求x的值； (3)当x为何值时，将成为以为斜边的直角三角形． 20．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）阅读材料： 材料1：如图，是由四个长为，宽为的长方形拼摆而成的正方形，其中，则根据图形可以得到等式． 材料2：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料3：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根． 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解：一元二次方程两个根为，则______，_____． (2)应用探究：一元二次方程两个根为，则_______． (3)思维拓展：已知实数分别满足，，其中且，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程期末复习之八大题型 目录 【题型一 一元二次方程的定义】 1 【题型二 一元二次方程的一般形式】 3 【题型三 已知一元二次方程的解求参数】 4 【题型四 一元二次方程的解法】 6 【题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 10 【题型六 根据一元二次方程根的情况求参数】 11 【题型七 一元二次方程的应用】 13 【题型八 一元二次方程的根与系数的关系】 17 【过关检测卷】 21 【期末题型】 【题型一 一元二次方程的定义】 例题：（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）下列方程，是一元二次方程的是（  ） ①，②，③，④． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．据此对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：①是一元二次方程； ②含有两个未知数，不是一元二次方程； ③不是整式方程，不是一元二次方程； ④是一元二次方程． 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·山东德州·期末）下列方程中，属于一元二次方程的有（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义逐一判断，即可解答． 【详解】解：①是一元二次方程，故①不正确； ②整理得：，是一元一次方程，故②不正确； ③是分式方程，不是一元二次方程，故③不正确； ④是一元二次方程，故④正确； 所以，上列属于一元二次方程的只有1个， 故选：A． 2．（23-24九年级上·吉林白城·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出，求出即可，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 3．（23-24九年级上·重庆江津·期末）如果方程是关于x的一元二次方程，则P的值是(     ) A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据一元二次方程的定义得出且，再求出的值即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 且， 且， 即． 故选：B． 【题型二 一元二次方程的一般形式】 例题：（23-24九年级上·湖北随州·期末）将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数是1，则一次项系数和常数项分别为（    ） A．5， B．5，1 C．， D．，1 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式：要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．先把方程化为一般式得到，然后根据一次项系数和常数项的定义求解． 【详解】解：移项、合并得， 一次项系数为，常数项为1． 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广东汕头·期末）方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．5，6，1 B．5，， C．5，6， D．5，，1 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．注意一元二次方程的一般形式是： (a，b，c是常数且)，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此即可解答． 【详解】解：由原方程得：， ∴二次项系数为5，一次项系数为，常数项为， 故选：B． 2．（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）把一元二次方程化为一般式，当二次项为时，一次项和常数项分别为（   ） A．， B．，1 C．， D．，1 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式形式，解题的关键是先移项，把和移到方程左边，然后根据一次项和常数项的定义进行判断． 【详解】解：移项得， 所以二次项为，一次项为，常数项为1． 故选：D． 3．（23-24九年级上·四川遂宁·期末）将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】∵方程化成一般形式是， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为、、， 故选：． 【题型三 已知一元二次方程的解求参数】 例题：（23-24九年级上·湖南湘西·期末）关于的方程的一个根为，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义：使得方程左右两边相等的未知数的值是方程的解． 根据一元二次方程根的定义，将代入方程，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根为， ∴． 解得． 故选A． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·吉林·期末）设a是方程的根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，根据是方程的根，得到，整体思想代入求值即可，掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，以及整体思想是解题的关键． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴， 即， ∴， 故选：． 2．（23-24九年级上·四川眉山·期末）关于x的一元二次方程方程有一个根是0，则a的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解与定义，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．把代入已知方程，得到关于a的方程，通过解新方程求得a的值．注意二次项系数不等于零． 【详解】解：依题意得：， 解得． 又∵一元二次方程方程， ∴， ∴， ∴； 故选A． 3．（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（  ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义、代数式求值等知识，由题意，得到，恒等变形，整体代入代数式即可得到答案，熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的一个根， ，即， ， 故选：A． 【题型四 一元二次方程的解法】 例题：（23-24九年级上·河南三门峡·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把方程左边利用提公因式法分解因式，然后解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）按要求解下列方程： (1)（因式分解法）； (2)（公式法）． 【答案】(1)； (2) 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法． （1）移项后，用提取公因式法分解因式求解； （2）先求出，再根据求根公式求解． 【详解】（1）解：原方程可变形为． ∴， ∴或， ∴； （2）解：， 这里， ∴， ∴， 即． 2．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ， ， ． 3．（23-24九年级上·河南许昌·期末）解方程：       用配方法解方程：(1)；(2)； 用公式法解方程：(3)；(4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及配方法及公式法解一元二次方程等知识，熟练掌握配方法及公式法解一元二次方程是解决问题的关键． （1）根据配方法解一元二次方程即可得到答案； （2）根据配方法解一元二次方程即可得到答案； （3）根据公式法解一元二次方程即可得到答案； （4）根据公式法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，即，解得， ，； （2）解：， ， ，即，解得， ，； （3）解：， ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ，． 【题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 例题：（23-24九年级上·山东济南·期末）一元二次方程根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．计算出判别式的值即可得出答案． 【详解】解：， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列一元二次方程中，没有实数解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式．一元二次方程的解法，分别根据根的判别式与方程的解法，可以判断方程根的情况． 【详解】解：A、原方程整理得，，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意； B、方程，则方程的根为，则方程有两个相等的实数根，所以该选项不符合题意； C、由方程可得，则方程没有实数根，所以该选项符合题意； D、方程，则方程的根为，，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意． 故选：C． 2．（23-24九年级上·河南信阳·期末）一元二次方程的根的情况是(    ) A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 3．（23-24九年级上·河南漯河·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与a的取值有关 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据“，方程有两个不等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；”结合原方程列出判别式即可解题． 【详解】解：由题可得： ， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【题型六 根据一元二次方程根的情况求参数】 例题：（23-24九年级下·吉林·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·湖北荆州·期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式，先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于的不等式，求出的取值范围即可．解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴，， 解得：． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系求参数，求不等式的解集的运用，掌握方程有两个不相等的实根；方程有两个相等的实根；方程无实根的判定方法是解题的关键． 根据方程有两个实根，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·西藏·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式的知识，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；一元二次方程的根的判别式为，与根的关系为：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义可得，根据方程有实数根，则有，建立关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，可得， 解得， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 【题型七 一元二次方程的应用】 例题：（22-23九年级上·四川眉山·期末）有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃的一边为米，面积为平方米． (1)用含的代数式表示，并求出的取值范围； (2)如果要围成面积为63平方米的花圃，的长是多少？ (3)能围成面积为78平方米的花圃吗？若能，求出的长，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)7米 (3)不能围成面积为78平方米的花圃，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示y，（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当时，方程无实数根”． （1）根据各边长度间的关系可得出米，再利用矩形的面积计算公式，即可用含x的代数式表示y； （2）根据围成花圃的面积为63平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （3）不能围成面积为78平方米的花圃，根据围成花圃的面积为78平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，即不能围成面积为78平方米的花圃． 【详解】（1）解：∵米， ∴米， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的长为7米． （3）解：不能围成面积为78平方米的花圃，理由如下： 根据题意得：，整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根，即不能围成面积为78平方米的花圃； 【变式训练】 1．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q同时从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为． (1)运动几秒时，点P，Q相距？ (2)的面积能等于吗？为什么？ 【答案】(1)运动秒或秒时，点P，Q相距 (2)的面积不能等于．理由见解析 【分析】 本题主要考查了勾股定理，一元二次方程的应用： （1）设运动时间为，则，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； （2）根据三角形面积公式建立方程，看方程是否有解即可得到结论． 【详解】（1）解：设运动时间为，则，则． ∵在中，，， ∴，即：． 解得：，． ∴运动秒或秒时，点P，Q相距． （2）解：的面积不能等于．理由如下： 当的面积等于时，则， ∴，即：． ∵． ∴方程无实数解． ∴的面积不能等于． 2．（23-24九年级上·河南郑州·期末）第届亚运会于年月日至月日在杭州举行．某商店以每件元的价格购进亚运会吉祥物挂坠，以每件元的价格出售．据统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． (1)求该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率； (2)经市场预测，该吉祥物挂坠月份的销售量将与月份持平，商店为回馈顾客，决定降价促销，调查发现，该吉祥物挂坠的售价每降价元，月销售量就会增加件．那么每件售价定为多少元时，该吉祥物挂坠月份的销售利润可达到元． 【答案】(1)； (2)元． 【分析】（）设该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （）设每件售价定为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解方程即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率为， 根据题意得，， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率为； （2）解：设每件售价定为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得，， 整理得，， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：每件售价定为元时，该吉祥物挂坠月份的销售利润可达到元． 【题型八 一元二次方程的根与系数的关系】 例题：（22-23九年级上·江西九江·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)请说明无论m为何实数，该方程总有两个实数根； (2)如果方程的一个实数根为1，求m值及另一根． 【答案】(1)见解析 (2)，另一根为 【分析】此题考查根的判别式和根与系数的关系，设，是关于的一元二次方程，，，为常数）的两个实数根，则，． （1）表示出根的判别式，判断其值大于0，即可得证； （2）把代入方程求出的值，设方程的另一根是，根据根与系数的关系得，即可求出答案． 【详解】（1） ， 无论为何值，方程总有两个实数根； （2）把代入方程得：， 解得：， ， 设方程的另一根是， ， ， 另一根为． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·宁夏固原·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，根据建立不等式求解，即可解题． （2）本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用“，”结合建立关于的等式，即可解题． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即，解得； （2）解：由根与系数的关系，得，， ， ， ， ， 或， 解得，， ， 的值为0． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程两实数根分别为和，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）由根的判别式，即可得出结论， （2）将化简，由根与系数关系，求出与的值，代入即可， 本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数关系，解题的关键是：熟练应用根的判别式和根与系数关系． 【详解】（1）解：， ， 该方程总有两个不相等的实数根， （2）解：， ，即：， 由和是方程两实数根，可得：，， 代入，可得：，即， 或， 故答案为：或． 3．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）关于x的一元二次方程． (1)若，求方程的两根； (2)当时，利用根的判别式判断方程根的情况； (3)若方程的两个实数根满足，写出一组满足条件的a，b的值． 【答案】(1) (2)方程有两个不相等的实数根 (3) 【分析】本题考查一元二次方程的知识，掌握根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）由方程的系数结合根的判别式、 ，可得出，进而可找出方程有两个不相等实数根; （3）利用一元二次方程根与系数的关系可得，接下来结合已知条件 ，求得，故可得到，的值． 【详解】（1）若 则 ， 或 ， ； （2）关于的一元二次方程：， 则 ， ， ， ∴原方程有两个不相等的实数根； （3）由一元二次方程根与系数的关系，得， 又， ， ， 故可以取． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（23-24九年级上·四川达州·期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可得出答案，牢记一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：．当时，不满足题意，故本选项不符合题意； ．含有两个未知数，故本选项不符合题意； ．含有分式，故本选项不符合题意； ．满足一元二次方程的定义，故本选项符合题意； 故选：． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．2，，14 B．2，， C．2，12，14 D．2，12， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项．将方程化为一元二次方程的一般形式，然后找出二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】解：∵一元二次方程可化为：， ∴二次项系数为2、一次项系数为、常数项为． 故选：B． 3．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）用配方法解方程，配方后结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法，根据一除，二移，三配，四变形的步骤进行配方即可． 【详解】解： ∴， ∴； 故选B． 4．（22-23九年级上·广东广州·期末）设一元二次方程 的两根为 ，则 的值为（   ） A．1 B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两根为，则，，熟知此部分知识是解题关键．利用根与系数的关系，即可得出答案． 【详解】解：根据根与系数的关系，得，， ， 故选A． 5．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法．先计算出方程的判别式，根据判别式的符号即可判断方程根的情况． 【详解】解：关于x的方程， ∵，，， ∴， 所以关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 6．（23-24九年级上·河南南阳·期末）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A．且k≠0 B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故选：D。 二、填空题 7．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键． 根据两个一次式的积等于0，每个因式都可能为0，得到两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程即得． 【详解】∵， ∴，， 解得，，． 故答案为：，． 8．（23-24九年级上·山东济南·期末）关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 由于方程有实数根，则其根的判别式，由此可以得到关于a的不等式，解不等式就可以求出a的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ， 解上式得． ∴的任意实数． ∴a的值可以是1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． 9．（23-24九年级上·福建莆田·期末）若，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值是解题的关键． 由，可知是一元二次方程的两个实数根，则，然后代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：6． 10．（23-24九年级上·浙江台州·期末）若m是方程的根，则式子的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了一元二次方程的根，求代数式的值；运用整体代入法求值是关键．由题意可得，再把所求代数式变形后整体代入即可． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴ 即； ∴， 故答案为：2026． 11．（23-24九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义和根的判别式是解题的关键．根据关于x的方程有两个实数根，得到且，即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴且， ∴且． 即k的取值范围是且． 故答案为：且． 12．（23-24九年级上·山东聊城·期末）若规定两数，，通过运算“”可得，即，如，若，则的值为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查定义新运算、一元二次方程的解法等，根据材料写出正确的算式是关键． 已知等式利用题中新定义变形，计算即可求出x的值． 【详解】已知等式利用题中新定义化简得：，即， 分解因式得：， 解得：或． 故答案为：或． 三、解答题 13．（22-23九年级上·广西防城港·期末）解方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用配方法求解可得； （3）利用公式法求解可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴，； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； （3）∵，，， ∴， ∴， ∴，． 14．（22-23九年级上·贵州毕节·期末）按要求解方程： (1)（公式法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算． （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用配方法解一元二次方程即可； （3）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， ∴， 解得：，． （2）解：， 配方，得， ∴或， 解得，． （3）解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， ∴，． 15．（22-23九年级上·四川眉山·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根 (2)若方程的两个实数根都是整数，求整数的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式：当时，方程由两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）求出即可证出结论； （2）利用求根公式解方程，然后利用有理数的整除性确定m的值． 【详解】（1）解：∵ ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由（1）知： ∴ ∴， ∵方程的两个实数根都是整数 ∴或． 16．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，用一段80米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，左右两个长方形都有一个1米的门通往中间长方形，中间的长方形有一个1米的门通往外面，墙的最大可用长度为50米． (1)如果羊圈的总面积为345平方米，求边AB的长； (2)请问羊圈的总面积能为480平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)边AB的长为15米； (2)羊圈的总面积不能为480平方米．理由见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题的关键． （1）设边AB的长为x，则米，然后根据矩形面积公式可列出一元二次方程并求解即可获得答案； （2）由（1）可得，然后根据一元二次方程根的判别式可获得答案． 【详解】（1）设边的长为x，依题意得： 整理得： 解得：，， 当时，，不合题意 答：边的长为15米； （2）设边的长为x，依题意得： 整理得： ∴此方程无解，故羊圈的总面积不能为480平方米． 17．（23-24九年级上·河南开封·期末）某市按照《关于切实做好2024年初中毕业升学体育考试工作的通知》的要求，跳绳项目为必选项目．某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售150条，6月份销售216条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该跳绳销售量的月增长率； (2)若此种跳绳的进价为30元／条．经过市场调研，当售价为40元／条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该跳绳的实际售价． 【答案】(1)跳绳销售量的月增长率为； (2)该跳绳的实际售价为50元条． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设跳绳销售量的月增长率为，利用该跳绳6月份的销售量该跳绳4月份的销售量该跳绳销售量的月增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该跳绳的实际售价为元条，则每条的销售利润为元，月销售量为条，利用总利润每条的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【详解】（1）解：设跳绳销售量的月增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：跳绳销售量的月增长率为； （2）解：设该跳绳的实际售价为元条，则每条的销售利润为元，月销售量为条， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该跳绳的实际售价为50元条． 18．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）【阅读材料】 利用完全平方公式，可以将多项式（均为常数且）变形为的形式，如．我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：． 【问题解决】 (1)用多项式的配方法将化成的形式是 ，当多项式的值为时，的值为 ． (2)把多项式进行分解因式． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据配方法即可将化成的形式，由，解方程即可求出的值； （）利用配方法把原式转化为，再利用平方差公式因式分解即可； 本题考查了配方法，因式分解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 当的值为时， 则， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解： ， ， ． 19．（21-22九年级上·江西宜春·期末）如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿边AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，当点P运动到点B后，运动停止，设运动时间为x（s）． (1)______cm，______cm（用含x的式子表示）； (2)若时，求x的值； (3)当x为何值时，将成为以为斜边的直角三角形． 【答案】(1)， (2)或 (3)当为或时，是以为斜边的直角三角形 【分析】（1）直接根据P、Q点运动方向和运动速度表示出答案； （2）在中，根据勾股定理即可求出答案； （3）表示出、和，由勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）由题可得：，， ∴，， 故答案为：，； （2）在中，，即， 解得：或； （3），，， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， 解得：或， ∴当为或时，是以为斜边的直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，正确表示出三角形各边的长度是解题的关键． 20．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）阅读材料： 材料1：如图，是由四个长为，宽为的长方形拼摆而成的正方形，其中，则根据图形可以得到等式． 材料2：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料3：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根． 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解：一元二次方程两个根为，则______，_____． (2)应用探究：一元二次方程两个根为，则_______． (3)思维拓展：已知实数分别满足，，其中且，求的值． 【答案】(1)2， (2) (3) 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系，并灵活应用是解本题的关键． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）首先将变形为，然后代入，求解即可； （3）把，两边同时除以得：，则实数s和可看作方程的根，可得，，再整体代入求值即可． 【详解】（1）∵一元二次方程两个根为， ∴，； （2）∵， ∴ ∴； （3）解：把，两边同时除以得：， 则实数s和可看作方程的根， ∴，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$