专题01 二次根式期末复习题型【十大题型+过关检测卷】-《期末复习题型》2023-2024学年八年级数学下册期末重点复习攻略（浙教版）

专题01 二次根式期末复习之十大题型 目录 【题型一 二次根式的定义】 1 【题型二 最简二次根式】 3 【题型三 同类二次根式】 4 【题型四 二次根式有意义的条件】 6 【题型五 利用二次根式的性质化简】 7 【题型六 比较二次根式的大小】 9 【题型七 二次根式加减乘除混合运算】 10 【题型八 二次根式的分母有理化】 12 【题型九 新定义型二次根式的运算】 17 【题型十 二次根式中的规律探究问题】 19 【过关检测卷】 23 【期末题型】 【题型一 二次根式的定义】 例题：（23-24九年级上·四川乐山·期末）下列各式中，一定是二次根式的是(    ) A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·新疆伊犁·期末）下列各式中，一定是二次根式的是(   ) A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）下列式子一定不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·贵州安顺·期末）下列各式：，，，，，中，是二次根式的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型二 最简二次根式】 例题：（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）下列式子中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）下列式子中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海宝山·期末）在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【题型三 同类二次根式】 例题：（23-24八年级上·北京顺义·期末）下列各根式中，与不是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·上海·期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是（    ） A．3 B． C．1 D．0 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）若最简二次根式可以与合并，则的值可以是（    ） A．5 B．4 C．2 D．1 3．（23-24八年级上·上海闵行·期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【题型四 二次根式有意义的条件】 例题：（23-24八年级上·浙江宁波·期末）使有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）要使有意义，则的取值范围是（    ） A． B．是一切实数 C． D． 2．（23-24八年级上·四川泸州·期末）使有意义的x的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 3．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）若有意义，则实数的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【题型五 利用二次根式的性质化简】 例题：（23-24八年级上·山东济南·期末）下列各式中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·山东淄博·期末）下列各组数中，相等的一组数是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江西吉安·期末）实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，化简 的结果是 ． 【题型六 比较二次根式的大小】 例题：（23-24八年级上·陕西西安·期末）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）比较大小： ．（用、或连接） 2．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）比较大小 （用，，号填写）． 3．（23-24八年级上·四川成都·期末）比较大小： ． 【题型七 二次根式加减乘除混合运算】 例题：（23-24八年级下·福建南平·期末）计算： (1) (2) 【变式训练】 1．（22-23八年级下·云南昆明·期末）计算： (1)； (2)． 2．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）计算： (1)； (2)． 3．（23-24八年级上·河南郑州·期末）计算： (1)； (2)． 【题型八 二次根式的分母有理化】 例题：（23-24八年级上·山东济南·期末）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简．解：． [理解应用] (1)化简：； (2)若是的小数部分，化简 (3)化简： 【变式训练】 1．（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如： ． (1)模仿材料中的计算方法，化简______； (2)求解：； (3)为正整数，且，求的值． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）小明在解决问题：已知 ，求 的值. 他是这样分析与解的： ， . 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出 ； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出 的值． 【题型九 新定义型二次根式的运算】 例题：（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“”如下，如，计算： ． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·山西长治·期末）对于任意的正实数和，我们定义新运算：，如：，求：的值． 2．（19-20八年级上·辽宁沈阳·期末）对于实数a、b，定义关于“”的一种运算，例如． (1)求的值； (2)若，，求的值． 3．（21-22八年级下·贵州安顺·期末）定义：若多项式与都是常数，且满足，，则称这两个多项式互为“黔一相依”多项式． (1)填空：的“黔一相依”多项式为______ ； (2)求证：若，多项式与多项式互为“黔一相依”多项式． 【题型十 二次根式中的规律探究问题】 例题：（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第④个等式：__________； (2)请利用上述规律计算（仿照上式写出过程）； (3)请利用你发现的规律，计算： 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 根据上述规律，解答下面的问题： (1)若；则______，______． (2)的值为_________． (3)请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明． 2．（22-23八年级下·辽宁·期末）阅读下列解题过程： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． ．．．．．． (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：______； (2)按照你所发现的规律，请你写出第（为正整数）个等式：______； (3)利用这一规律计算，． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（23-24八年级上·江西南昌·期末）当时，下列二次根式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a， b，化简的结果是（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·河北衡水·期末）在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（    ） A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对 二、填空题 7．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）比较大小： (填“”、“”或“”） 8．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）函数中，自变量的取值范围是 ． 9．（23-24八年级上·四川巴中·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是 ． 10．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，从一个大正方形中截去面积分别为和的两个小正方形，若，，则图中留下来的阴影部分的面积为 ． 11．（23-24八年级上·河南郑州·期末）设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式： （海伦公式），（秦九韶公式），若一个三角形的三边长依次为2，，，则三角形的面积为 ． 12．（23-24八年级上·湖南永州·期末）将一组数，2，，，，，按图中的方法排列： …… 若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大数的位置记为 ． 三、解答题 13．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）计算：． 14．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期末）计算： (1)； (2)． 15．（23-24八年级上·河北保定·期末）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）观察下列各式的规律： ①；②；③…… (1)猜想：第个等式是_____________________________； (2)说明你的猜想的正确性； (3)应用：若，则____________． 17．（23-24八年级上·山东滨州·期末）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． (1)化简m，n； (2)求的值． 18．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）观察以下等式： 第1个等式： ， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 19．（23-24七年级上·福建福州·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是 ； (2)若，求的“麓外区间”； (3)实数满足，求的算术平方根的“麓外区间”． 20．（23-24八年级上·湖南永州·期末）阅读理解：观察下列等式： ①； ②； … (1)利用你观察到的规律，化简：______； (2)计算：______； (3)若，，比较a，b两数的大小，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式期末复习之十大题型 目录 【题型一 二次根式的定义】 1 【题型二 最简二次根式】 3 【题型三 同类二次根式】 4 【题型四 二次根式有意义的条件】 6 【题型五 利用二次根式的性质化简】 7 【题型六 比较二次根式的大小】 9 【题型七 二次根式加减乘除混合运算】 10 【题型八 二次根式的分母有理化】 12 【题型九 新定义型二次根式的运算】 17 【题型十 二次根式中的规律探究问题】 19 【过关检测卷】 23 【期末题型】 【题型一 二次根式的定义】 例题：（23-24九年级上·四川乐山·期末）下列各式中，一定是二次根式的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的定义，根据二次根式被开方数是非负数判断． 【详解】解：A、，被开方数是负数，不是二次根式； B、，被开方数是非负数，是二次根式； C、，根指数是3，不是二次根式； D、，根指数是3，不是二次根式； 故选：B． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·新疆伊犁·期末）下列各式中，一定是二次根式的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，根据二次根式的性质逐个判断即可得到答案 【详解】解：，故A选项不符合题意， 根指数是3，故B选项不符合题意， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，故D选项符合题意， 故选D． 2．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）下列式子一定不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如的式子叫二次根式进行判断． 【详解】解：．是二次根式，故本选项不符合题意； B．是二次根式，故本选项不符合题意； C．是二次根式，故本选项不符合题意； D．中，不是二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（22-23八年级下·贵州安顺·期末）下列各式：，，，，，中，是二次根式的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：当时，不是二次根式， 的被开方数，不是二次根式， 的根指数是3，不是2，不是二次根式， 当时，不是二次根式， 所以二次根式有，，共2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式． 【题型二 最简二次根式】 例题：（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）下列式子中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可． 【详解】解：A． 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； B． 属于最简二次根式，故本选项符合题意； C． 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； D． 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的判定，理解并掌握满足最简二次根式的条件是解题关键．最简二次根式要满足下列两个条件：（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）被开方数不含分母．据此分析判断即可． 【详解】解：A. 的被开方数含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； B. ，是最简二次根式，符合题意； C. 的被开方数不是整数，故不是最简二次根式，不符合题意； D. 的被开方数含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）下列式子中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数因数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选A。 3．（23-24八年级上·上海宝山·期末）在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简最简二次根式的方法是解题的关键． 根据最简二次根式的定义进行解题即可 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 【题型三 同类二次根式】 例题：（23-24八年级上·北京顺义·期末）下列各根式中，与不是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是先化简二次根式，再看被开方数是否相同，被开方数相同的是同类二次根式． 【详解】解：A、，与是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、，与是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、，与不是同类二次根式，故此选项符合题意； D、与是同类二次根式，故此选项不符合题意， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·上海·期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是（    ） A．3 B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，根据“最简二次根式与是同类二次根式”可得，进行计算即可得出答案，熟练掌握同类二次根式的概念是解此题的关键． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， 它们的被开方数相等， ， 解得：， 故选：B． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）若最简二次根式可以与合并，则的值可以是（    ） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查合并同类二次根式，涉及同类二次根式、最简二次根式、合并同类二次根式等知识，由题意，将化为最简二次根式，从而得到，解方程即可得到答案，熟记最简二次根式及同类二次根式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，是最简二次根式，且可以与合并， ，解得， 故选：C． 3．（23-24八年级上·上海闵行·期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，根据：“被开方数相同的最简二次根式，叫做同类二次根式”，进行判断即可． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不符合题意； B、，，是同类二次根式，符合题意； C、，不是同类二次根式，不符合题意； D、不是同类二次根式，不符合题意； 故选B． 【题型四 二次根式有意义的条件】 例题：（23-24八年级上·浙江宁波·期末）使有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数大于等于零即可． 【详解】解：若有意义， 则， 解得， 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）要使有意义，则的取值范围是（    ） A． B．是一切实数 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选D． 2．（23-24八年级上·四川泸州·期末）使有意义的x的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分母不为0，二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数，根据被开方数大于等于0，分母不等于0求解即可． 【详解】解： 由题意得，且， 解得且． 故选：A． 3．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）若有意义，则实数的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴且， 故选：B． 【题型五 利用二次根式的性质化简】 例题：（23-24八年级上·山东济南·期末）下列各式中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而判断得出答案．此题主要考查了二次根式的性质，正确化简各数是解题关键． 【详解】解：，故A选项不正确，符合题意； ，故B选项正确，不符合题意； ，故C选项正确，不符合题意； ，故D选项正确，不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·山东淄博·期末）下列各组数中，相等的一组数是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查实数大小比较以及二次根式的性质化简，分别化简各数后再进行比较即可． 【详解】解：A．，故选项Ａ不符合题意； B．，，所以，故选项Ｂ不符合题意； C．，故选项Ｃ不符合题意； D．，，所以，，故选项D正确， 故选：D 2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算．本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的基本性质是解题关键． 【详解】解：由图知：， ，， 原式 ． 故选：． 3．（23-24八年级上·江西吉安·期末）实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，化简 的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，化简二次根式，根据数轴上点的位置可得，得出，即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型六 比较二次根式的大小】 例题：（23-24八年级上·陕西西安·期末）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，掌握二次根式的大小比较的方法是解本题的关键． 【详解】解：∵，而， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）比较大小： ．（用、或连接） 【答案】 【分析】本题考查二次根式 的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解答的关键．将根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，即可得到答案． 【详解】解：，，且， ，即， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）比较大小 （用，，号填写）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，通过比较与的平方即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·四川成都·期末）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．将化成，根据无理数的估算、二次根式的化简可得，由此即可得． 【详解】解：， ∵， ，即， 故答案为：． 【题型七 二次根式加减乘除混合运算】 例题：（23-24八年级下·福建南平·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算： （1）根据二次根式加减的运算法则计算即可； （2）根据二次根式四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·云南昆明·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查算术平方根、立方根，平方差公式以及实数的运算，理解算术平方根、立方根的定义，掌握平方差公式的结构特征以及实数的运算法则是正确解答的前提． （1）根据算术平方根、立方根的定义以及二次根式的性质进行计算即可； （2）根据平方差公式，二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ． 2．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可； （2）先算完全平方公式和平方差公式，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 3．（23-24八年级上·河南郑州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． （1）直接化简二次根式，再合并得出答案； （2）先利用平方差公式进行乘法运算，同时进行除法运算后化简，进而得出答案； 【详解】（1）解：； （2）解：． 【题型八 二次根式的分母有理化】 例题：（23-24八年级上·山东济南·期末）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简．解：． [理解应用] (1)化简：； (2)若是的小数部分，化简 (3)化简： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）原式分子分母同时乘以有理化因式，化简即可； （2）求出的整数部分，进而表示出小数部分确定出a，代入原式分母有理化计算即可； （3）原式各项进行分母有理化，计算即可求出值． 【详解】（1）解：（1） ； （2）∵a是的小数部分，且， ∴， ∴； （3） ． 【点睛】本题考查了分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式和估算无理数的大小，熟练掌握平方差公式和二次根式的混合运算是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如： ． (1)模仿材料中的计算方法，化简______； (2)求解：； (3)为正整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，完全平方公式的变形求值： （1）仿照题意进行求解即可； （2）先证明，再把所求式子裂项，最后化简即可得到答案； （3）先求出，进而得到，则可推出；求出，，得到，即可求出． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解：， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）小明在解决问题：已知 ，求 的值. 他是这样分析与解的： ， . 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出 ； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化． （1）根据例题可得：对式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解； （2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解； （3）根据小明的分析过程，得得，，再整体代入，即可求出代数式的值． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：， ， ，即， ，， ． 【题型九 新定义型二次根式的运算】 例题：（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“”如下，如，计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，直接利用题中新定义的运算公式代值求解，进而得出答案，正确理解题中新定义运算公式是解题关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·山西长治·期末）对于任意的正实数和，我们定义新运算：，如：，求：的值． 【答案】 【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴根据题中的新定义得： ， 即： ． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 2．（19-20八年级上·辽宁沈阳·期末）对于实数a、b，定义关于“”的一种运算，例如． (1)求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由新定义运算得，再求算术平方根即可； （2）由新定义运算得方程组，再用加减法求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：依题意得： ， 由得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查新定义，算术平方根，用加减法解二元一次方程组，理解新定义和熟练掌握加减法解二元一次方程组是解题的关键，注意整体思想的应用． 3．（21-22八年级下·贵州安顺·期末）定义：若多项式与都是常数，且满足，，则称这两个多项式互为“黔一相依”多项式． (1)填空：的“黔一相依”多项式为______ ； (2)求证：若，多项式与多项式互为“黔一相依”多项式． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】根据“黔一相依”多项式列方程组可得结论； 先计算对应，，，，可得，，从而得结论． 【详解】（1）解：根据题意得，解得， 的“黔一相依”多项式为， 故答案为：； （2）证明：当时，， ， ， 若，多项式与多项式互为“黔一相依”多项式． 【点睛】本题考查了对新定义：“黔一相依”多项式的理解和掌握，二次根式的化简等知识，解决本题的关键是理解“黔一相依”多项式的定义． 【题型十 二次根式中的规律探究问题】 例题：（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第④个等式：__________； (2)请利用上述规律计算（仿照上式写出过程）； (3)请利用你发现的规律，计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数式规律探究，二次根式的性质与化简，此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系是解题的关键． （1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为，第三个分数的分母就是，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可得出第四个式子； （2）根据（1）找的规律进行计算即可； （3）根据规律得出算式，最后求出即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据规律得：； （3）解： ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 根据上述规律，解答下面的问题： (1)若；则______，______． (2)的值为_________． (3)请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1)，； (2)； (3)，证明见详解； 【分析】（1）本题考查根式的规律，根据题目规律得到第8个等式，即可答案； （2）本题考查根式的规律，根据题目规律得到第100个等式：即可答案； （3）本题考查根式的规律，根据题目规律得到第个等式：，再证明即可 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由题意可得， ， 故答案为：； （3）解：由题意可得， 第n个等式为：， 证明：左边 右边， ∴． 2．（22-23八年级下·辽宁·期末）阅读下列解题过程： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． ．．．．．． (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：______； (2)按照你所发现的规律，请你写出第（为正整数）个等式：______； (3)利用这一规律计算，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据所列等式所呈现的规律进行解答即可； （2）由规律得出一般情况，用含有的式子表达即可； （3）利用规律进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得： 第4个等式为：， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， 第（为正整数）个等式为：， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质以及等式所呈现的规律是解题的关键． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（23-24八年级上·江西南昌·期末）当时，下列二次根式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，即被开方数大于或等于0，反之则二次根式没有意义. 【详解】解：A． 当时，，该二次根式有意义，故本选项不符合题意； B． 当时，，该二次根式有意义，故本选项不符合题意； C． 当时，，该二次根式有意义，故本选项不符合题意； D． 当时，，即没有意义，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，解题关键是掌握最简二次被开方数的因数是整数，字母因式是整式，同时被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根式根据最简根式满足的两个条件逐一判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简根式，不符合题意； C、，不是最简根式，不符合题意； D、，不是最简根式，不符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的计算，根据二次根式的性质可判断选项A；根据二次根式的性质可判断选项B；根据二次根式的除法可判断选项C；根据二次根式的乘法可判断选项D．熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 4．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．由，可知和异号，由，可得，，然后根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：， 和异号， ∵， ∴，， ∴， 故选：C． 5．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a， b，化简的结果是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴和二次根式，掌握以上知识点是解题的关键．根据数轴上两点的位置，判断，的正负性，进而即可求解． 【详解】解：∵数轴上A，两点表示的数分别是 ，， ∴，， ∴， 故选：A． 6．（23-24八年级上·河北衡水·期末）在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（    ） A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法与除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．把，分别代入甲，乙，丙计算的结果验证即可． 【详解】解：∵，， ∴，故甲正确， ，故乙正确； ，故丙正确； 故选：D． 二、填空题 7．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）比较大小： (填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，把两个二次根式都平方，然后比较平方后的数的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式组，熟知二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出不等式组，计算即可． 【详解】解：由题意可知，， 解得． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·四川巴中·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，掌握“利用同类二次根式的定义求解字母参数的值”是解本题的关键．由同类二次根式的定义可得，再解方程即可． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． 故答案为：8． 10．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，从一个大正方形中截去面积分别为和的两个小正方形，若，，则图中留下来的阴影部分的面积为 ． 【答案】26 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先求出图中留下来的阴影部分的面积等于两个长方形的面积之和，再将的值代入计算即可得． 【详解】解：由题意可知，图中留下来的阴影部分的面积为， ，， ， 故答案为：26． 11．（23-24八年级上·河南郑州·期末）设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式： （海伦公式），（秦九韶公式），若一个三角形的三边长依次为2，，，则三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，二次根式的应用．正确计算是解题关键．理解题意，掌握海伦公式和秦九韶公式是解题关键． 【详解】解：利用海伦公式求解：， ， ， ， ∴， ； 利用秦九韶公式： ． 12．（23-24八年级上·湖南永州·期末）将一组数，2，，，，，按图中的方法排列： …… 若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大数的位置记为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探索，先将原数阵中的数全部化为算术平方根的形式，总结规律可得(m为正整数)在第m行的第6个，再由可得解．将原数阵中的数全部化为算术平方根的形式，从而发现规律是解题的关键． 【详解】将原数阵中的数全部化为算术平方根的形式，可得： …… 观察可知：(m为正整数)在第m行的第6个， ∴，在第17行的第6个， ∴这组数中最大数的位置记为， 故答案为：． 三、解答题 13．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）计算：． 【答案】6 【分析】此题考查了二次根式的计算，正确掌握二次根式的运算法则，合并同类二次根式的法则是解题的关键． 【详解】解： ． 14．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，熟练地利用二次根式的性质化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算计算即可； （2）先根据二次根式的性质和完全平方公式运算化简，再根据二次根式的加减运算计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 15．（23-24八年级上·河北保定·期末）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查二次根式的运算和零指数幂的运算，解题关键掌握运算法则． （）先进行分母有理化，然后合并同类二次根式即可； （）根据平方差和完全平方公式进行计算即可； （）先进行算术平方根，立方根和化简绝对值运算，再进行加减即可； （）先由二次根式的除法和零指数幂的运算法则计算，再进行加减即可； 【详解】（1）原式， ； （2）原式， ； （3）原式， ； （4）原式， ， ． 16．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）观察下列各式的规律： ①；②；③…… (1)猜想：第个等式是_____________________________； (2)说明你的猜想的正确性； (3)应用：若，则____________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)55 【分析】（1）利用已知得出各式变化规律，二次根式下分数的分母等于分子的平方减，且分数前面的数字就是分数的分子； （2）把 二次根式里面进行通分化简即可证明结论； （3）根据规律求出a、b的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，第个等式是， 故答案为：； （2）解： （3）解：由题意可得：，，，即二次根式下分数的分母等于分子的平方减，且分数前面的数字就是分数的分子， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，理解题意，找出变化规律是解题关键． 17．（23-24八年级上·山东滨州·期末）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． (1)化简m，n； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法，是解题的关键． （1）根据分母有理化的方法，进行化简即可； （2）根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）原式 ． 18．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）观察以下等式： 第1个等式： ， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据题目中前4个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第5个等式； （2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可． 【详解】（1）解：根据题目中前4个等式， 可以发现式子的变化特点， 那么第5个等式为； （2）解：猜想的第（n为正整数）个等式为，证明如下： 等式右边为， 因为等式左边为， 所以等式左边等于等式右边， 即． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性． 19．（23-24七年级上·福建福州·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是 ； (2)若，求的“麓外区间”； (3)实数满足，求的算术平方根的“麓外区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出的取值范围即可； （3）根据二次根式有意义的条件，结合算术平方根的非负性，得到，，求出的值，进而求出的“麓外区间”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“麓外区间”是； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的“麓外区间”为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立：， 解得：， ∴的算术平方根为， ∵， ∴； ∴的算术平方根的“麓外区间”为． 20．（23-24八年级上·湖南永州·期末）阅读理解：观察下列等式： ①； ②； … (1)利用你观察到的规律，化简：______； (2)计算：______； (3)若，，比较a，b两数的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)（也可） (3) 【分析】（1）根据分母有理化，配成平方差公式化简即可； （2）根据（1）的规律化简各式再合并即可； （3）利用倒数法比较大小即可． 本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去；分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 【详解】（1）解： 故答案为：. （2） （3）解：， ， ，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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