18.2.3 正方形-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(人教版)

18. 2. 3　 正方形 【边学边练】 知识点一　 正方形的性质 1. 一个正方形的面积为 16 cm2,则它的对角线长为 (　 　 ) A. 4 cm B. 4 2 cm C. 8 2 cm D. 6 cm 2. 下列性质中,平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是 (　 　 ) A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分内角 知识点二　 正方形的判定 3. 下列四个菱形中分别标注了部分数据,根据所标数据,可以判断菱形是正方形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 4. 如图,在△ABC 中,点 E,D,F 分别在边 AB,BC,AC 上,且 DE∥AC,DF∥AB. 下列四个 判断中,不正确的是 (　 　 ) A. 四边形 AEDF 是平行四边形 B. 如果 AD=EF,那么四边形 AEDF 是矩形 C. 如果 AD 平分∠EAF,那么四边形 AEDF 是菱形 D. 如果 AD⊥BC 且 AB=AC,那么四边形 AEDF 是正方形 【随堂小测】 1. 如图,四边形 OABC 是正方形,若点 B 的坐标为(0, 2 ),则点 A 的坐标为 (　 　 ) A. ( 22 , 2 2 ) B. ( 2 2 ,1 ) C. (1,1) D. (1, 22 ) 2. 下列说法正确的是 (　 　 ) A.有一个角是直角的平行四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的矩形是正方形 C. 有一组邻边相等的菱形是正方形 D. 各边都相等的四边形是正方形 14 3. 如图,正方形 ABCD 的两条对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E 在 BD 上,且 BE=AD,则 ∠ACE 的度数为 (　 　 ) A. 22. 5° B. 27. 5° C. 30° D. 35° 第 3 题图 　 　 　 　 图 1　 　 　 　 　 图 2 第 4 题图 　 　 　 　 第 5 题图 4. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具,他先把活动学具制作成图 1 所示的菱形,并测得∠B= 60°,接着活动学具制作成图 2 所示的正方形,并测得正 方形的对角线 AC= 2 a cm,则图 1 中对角线 AC 的长为 cm. 5. 如图,正方形 ABCD 的边长为 6,点 E,F 分别在边 CD,BC 上,且 CF = DE = 2,连接 AE,与 DF 交于点 G,连接 AF,取 AF 的中点 H,连接 HG,则 HG 的长为 . 6. 如图,在▱ABCD 中,点 E,F,G,H 分别在边 AB,BC,CD,AD 上,AE =CG,AH =CF,且 EG 平分∠HEF. (1)求证:△AEH≌△CGF; (2)若∠EFG= 90°,求证:四边形 EFGH 是正方形. 7. 如图,G 是正方形 ABCD 对角线 CA 的延长线上的任意一点,以线段 AG 为边作一个 正方形 AEFG,线段 BE 和 DG 相交于点 H. (1)求证:△EAB≌△GAD; (2)求证:DG⊥BE; (3)若 AB= 3 2 ,AG= 3,求 BE 的长. 24 (2)由题意可知 AM=CN= t cm. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AM∥CN. ∴ 四边形 AMCN 是平行四边形. 当 AN=AM 时,四边形 AMCN 是菱形. ∴ AN= t cm. ∵ BE=AE= 3 cm, ∴ EN=BC-BE-CN= 9-3-t= (6-t)cm. 在 Rt△AEN 中,由勾股定理,得 AN2 = AE2 + EN2,即 t2 = 32 +(6-t) 2 . 解得 t= 15 4 . ∴ 当 t 为15 4 时,四边形 AMCN 是菱形. 18. 2. 3　 正方形 【边学边练】 1. B　 【解析】设正方形的对角线长为 x cm,则 有 1 2 x2 = 16,即 x= 4 2 (负数已舍去) . 故选 B. 2. C　 【解析】 ∵ 平行四边形的对角线互相平 分,∴ 矩形、菱形、正方形的对角线也必然互 相平分. 故选 C. 3. B 4. D　 【解析】A. ∵ DE∥AC,DF∥AB,∴ 四边形 AEDF 是平行四边形. 故此选项正确;B. ∵ AD =EF,四边形 AEDF 是平行四边形,∴ 四边形 AEDF 是矩形. 故此选项正确;C. ∵ AD 平分 ∠EAF,四边形 AEDF 是平行四边形,∴ 四边 形 AEDF 是菱形. 故此选项正确;D. 由 AD⊥ BC 且 AB=AC,不能判定四边形 AEDF 是正方 形. 故此选项错误. 故选 D. 【随堂小测】 1. A　 【解析】如图,连接 AC 交 OB 于点 D. ∵ 四 边 形 OABC 是正方形,∴ ∠ADO= 90°,CD = AD = 1 2 AC = BD = OD= 1 2 OB. ∵ 点 B(0, 2 ), ∴ OB= 2 . ∴ AD = OD = 1 2 OB = 2 2 . ∴ 点 A 2 2 , 2 2( ) . 故选 A. 2. B　 【解析】A. 有一个角是直角的平行四边形 是矩形,此选项错误,不符合题意;B. 对角线互 相垂直的矩形是正方形,此选项正确,符合题 意;C. 有一组邻边相等的菱形还是菱形,此选 项错误,不符合题意;D. 四条边都相等的四边 形是菱形,此选项错误,不符合题意. 故选 B. 3. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ BC = AD,∠DBC = 45°,AC⊥BD. ∵ BE = AD,∴ BE = BC. ∴ ∠BEC = ∠BCE = (180°-45°)÷2 = 67. 5°. ∵ AC⊥BD,∴ ∠COE = 90°. ∴ ∠ACE = 90° - ∠BEC= 90°-67. 5° = 22. 5°. 故选 A. 4. a　 【解析】如图 1,图 2 中,连接 AC. 在图 2 中,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB =BC,∠B = 90°. ∵ AC = 2 a cm,AC2 = AB2 +BC2,即 2a2 = AB2 + BC2 . ∴ AB = BC = a cm. 在图 1 中, ∵ ∠B= 60°,AB = BC,∴ △ABC 是等边三角 形. ∴ AC=BC=a cm. 　 　 　 　 　 图 1　 　 　 　 　 　 图 2 5. 13 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AD = CD = AB = BC = 6,∠ADE = ∠DCF = 90°. ∵ DE = CF,∴ △ADE ≌ △DCF ( SAS) . ∴ ∠AED = ∠DFC. ∵ ∠CDF + ∠DFC = 90°, ∴ ∠CDF+ ∠AED = 90°. ∴ ∠DGE = ∠AGF = 90°. ∵ H 是 AF 的中点,∴ HG = 1 2 AF. ∵ AB = BC = 6, BF = BC - CF = 6 - 2 = 4, ∴ AF = AB2 +BF2 = 62 +42 = 52 = 2 13 . ∴ HG = 1 2 AF= 1 2 ×2 13 = 13 . 6. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ ∠A= ∠C. 在△AEH 和△CGF 中, AE=CG, ∠A= ∠C AH=CF, { , ∴ △AEH≌△CGF(SAS) . (2)解:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD=BC,AB=CD,∠B= ∠D. ∵ AE=CG,AH=CF, ∴ AB-AE=CD-CG,BC-CF=AD-AH. ∴ BE=DG,BF=DH. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 101 ∴ △BEF≌△DGH(SAS) . ∴ EF=GH. ∵ △AEH≌△CGF, ∴ EH=GF. ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形. ∴ EH∥GF. ∴ ∠HEG= ∠FGE. ∵ EG 平分∠HEF, ∴ ∠HEG= ∠FEG. ∴ ∠FGE= ∠FEG. ∴ GF=EF. ∴ ▱EFGH 是菱形. ∵ ∠EFG= 90°, ∴ 菱形 EFGH 是正方形,即四边形 EFGH 是 正方形. 7. (1)证明:∵ 四边形 ABCD,AEFG 是正方形, ∴ AB=AD,AE=AG,∠DAB= ∠EAG= 90°. ∴ ∠DAB+ ∠EAD = ∠EAG+ ∠EAD,即∠EAB = ∠GAD. 在△EAB 和△GAD 中, AE=AG, ∠EAB= ∠GAD AB=AD, { , ∴ △EAB≌△GAD(SAS) . (2)证明:∵ △EAB≌△GAD, ∴ ∠ABE= ∠ADG. ∵ ∠ADB+∠ABD=90°,∠ABD=∠ABE+∠DBE, ∴ ∠ADB + ∠ADG + ∠DBE = 90°,即∠HDB + ∠DBE= 90°. ∴ ∠DHB= 90°. ∴ DG⊥BE. (3)解:∵ △EAB≌△GAD, ∴ BE=DG. ∵ 四边形 ABCD 是正方形,AB= 3 2 , ∴ BC = AB = 3 2 , BD ⊥ AC, AC = BD = AB2 +BC2 = 6. ∴ ∠DOG= 90°,OA=OD= 1 2 BD= 3. ∵ AG= 3,∴ OG=OA+AG= 6. ∴ DG= OD2 +OG2 = 32 +62 = 3 5 . ∴ BE= 3 5 . 小专题 5　 特殊平行四边形性质与 判定的综合运用 1. (1)证明:∵ ∠BAC= 90°,E 是 BC 的中点, ∴ AE= 1 2 BC=CE. 又∵ AD∥BC,AE∥CD, ∴ 四边形 AECD 是平行四边形. ∴ 四边形 AECD 是菱形. (2)解:如图,过点 A 作 AG⊥BC 于点 G. ∵ 在△ABC 中,∠BAC= 90°,AB= 3,BC= 5, ∴ AC= BC2 -AB2 = 52 -32 = 4. ∵ S△ABC = 1 2 AB·AC= 1 2 BC·AG. ∴ 1 2 ×3×4 = 1 2 ×5·AG. ∴ AG= 12 5 . 由(1),得四边形 AECD 是菱形. ∴ CD=CE. 又∵ S菱形AECD =CD·EF=CE·AG, ∴ EF=AG= 12 5 . 2. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AD∥BC 且 AD=BC. ∵ BE=CF,∴ BE+CE=CF+CE,即 BC=EF. ∴ AD=EF. ∵ AD∥EF,∴ 四边形 AEFD 是平行四边形. ∵ AE⊥BC,∴ ∠AEF= 90°. ∴ 四边形 AEFD 是矩形. (2)解:∵ 四边形 ABCD 是菱形,AD= 10, ∴ AD=AB=BC= 10. ∵ CE= 4,∴ BE=BC-CE= 10-4 = 6. 在 Rt△ABE 中,AE= AB2-BE2 = 102-62 =8. 在 Rt△AEC 中,AC= AE2+CE2 = 82+42 =4 5 . 3. (1)证明:∵ AD∥BC,∴ ∠DMO= ∠BNO. ∵ MN 是对角线 BD 的垂直平分线, ∴ OB=OD,MN⊥BD. ∴ ∠MOD=∠NOB=90°. 在△MOD 和△NOB 中, ∠DMO= ∠BNO, ∠MOD= ∠NOB, OD=OB, { ∴ △MOD≌△NOB(AAS) . ∴ OM=ON. ∵ OB=OD, ∴ 四边形 BNDM 是平行四边形. ∵ MN⊥BD,∴ 四边形 BNDM 是菱形. (2)解:∵ 菱形 BNDM 的面积为 120, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 201