18.2.1.2 矩形的判定-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(人教版)

第 2 课时　 矩形的判定 【边学边练】 知识点　 矩形的判定 1. 下列图形一定是矩形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 2. 甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时,木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框 是不是矩形,他们各自做了如下检测,检测后,他们都说窗框是矩形,你认为正确 的是 (　 　 ) A. 甲量得窗框两组对边分别相等 B. 乙量得窗框对角线相等 C. 丙量得窗框的一组邻边相等 D. 丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等 3. 如图,在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,OA = 3. 若要使▱ABCD 为矩形,则 OB 的长度为 (　 　 ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【随堂小测】 1. 在▱ABCD 中,若增加一个条件使其成为矩形,则增加的条件是 (　 　 ) A. AD=CD B. ∠B= 90° C. AC= 2AB D. 对角线互相垂直 2. 下列说法不正确的是 (　 　 ) A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 53 3. 如图,在四边形 ABCD 中,∠A = ∠ABC = 90°,DE⊥BC,DB 平分∠ADC. 下列结论: ①BC=CD;②四边形 ABED 是矩形;③E 是 BC 的中点;④若 AD = 2,CD = 5,则 AB = 4. 其中正确的有 (　 　 ) A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 第 3 题图 　 　 　 　 　 第 5 题图 4. 四边形 ABCD 的对角线相交于点 O,且 OA=OB=OC=OD. 若∠AOB= 60°,则 AB ∶ AC = . 5. 如图,线段 AB⊥BC,以点 C 为圆心,以 AB 的长为半径画弧,然后再以点 A 为圆心, 以 BC 的长为半径画弧,两弧交于点 D,连接 AD,CD,则四边形 ABCD 是矩形,其依 据是 . 6. 如图,将▱ABCD 的边 AB 延长至点 E,使 AB = BE,连接 DE,CE,BD,DE 交 BC 于 点 O. (1)求证:△ABD≌△BEC; (2)若∠BOD= 2∠A,求证:四边形 BECD 是矩形. 7. 如图,在△ABC 中,O 是边 AC 上一个动点,过点 O 作直线 MN∥BC. 设 MN 交∠ACB 的平分线于点 E,交△ABC 的外角∠ACD 的平分线于点 F,连接 AE,AF. (1)求证:OE=OF; (2)若 CE= 12,CF= 5,求 OC 的长; (3)当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时,四边形 AECF 是矩形? 请说明理由. 63 ∠DFA= ∠B, ∠DAF= ∠AEB, AD=EA, { ∴ △ADF≌△EAB(AAS) . ∴ DF=AB. (2)解:∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠ADC = 90°. ∴ ∠ADF + ∠FDC = 90°. 又 ∵ ∠DFA = 90°,∴ ∠DAF+∠ADF= 90°. ∴ ∠FDC= ∠DAF= 30°. ∴ AD= 2DF. ∵ DF=AB, ∴ AD= 2AB= 2×4 = 8. 第 2 课时　 矩形的判定 【边学边练】 1. C　 2. D　 3. B 【随堂小测】 1. B 2. C　 【解析】A. 两组对边分别相等的四边形是 平行四边形,故原说法正确;B. 一个角是直角 的平行四边形是矩形,故原说法正确;C. 对角 线互相平分且垂直的四边形不一定是矩形, 故原说法不正确;D. 对角线相等的平行四边 形是矩形,故原说法正确. 故选 C. 3. B 　 【解析】 ∵ DE ⊥ BC, ∴ ∠DEB = ∠A = ∠ABC= 90°. ∴ 四边形 ABED 是矩形. 故②正 确;∴ AD∥BC. ∴ ∠ADB = ∠CBD. ∵ DB 平分 ∠ADC, ∴ ∠ADB = ∠CDB. ∴ ∠CBD = ∠CDB. ∴ BC = CD. 故 ① 正确;∵ BD≠CD, ∴ E 不是 BC 的中点. 故③错误;由②知,四边 形 ABED 是矩形,∴ BE = AD = 2,BC = CD = 5. ∴ CE=BC-BE = 3. ∴ DE = AB = CD2 -CE2 = 4. 故④正确. 综上所述,正确的有①②④. 故选 B. 4. 1 ∶ 2　 【解析】∵ OA = OB = OC = OD,∴ AC = BD. ∴ 四边形 ABCD 是矩形. ∵ ∠AOB = 60°, OA=OB,∴ △AOB 是等边三角形. ∴ AB = OA =OB= 1 2 AC. ∴ AB ∶ AC= 1 ∶ 2. 5. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 6.证明:(1)在▱ABCD 中,AD=BC,AB=CD,AB∥ CD,则 BE∥CD. 又∵ AB=BE,∴ BE=CD. ∴ 四边形 BECD 是平行四边形. ∴ BD=EC. 在△ABD 和△BEC 中, AB=BE, BD=EC, AD=BC, { ∴ △ABD≌△BEC(SSS) . (2)由(1) 知,四边形 BECD 是平行四边形, ∴ OD=OE,OC=OB. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ ∠A= ∠BCD,即∠A= ∠OCD. 又∵ ∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC, ∴ 2∠OCD= ∠OCD+∠ODC. ∴ ∠OCD= ∠ODC. ∴ OC=OD. ∴ OB=OE. ∴ OC+OB=OD+OE,即 BC=ED. ∴ 四边形 BECD 是矩形. 7. (1)证明:∵ CE 平分∠ACB, ∴ ∠ACE= ∠BCE. ∵ MN∥BC, ∴ ∠BCE= ∠OEC. ∴ ∠ACE= ∠OEC. ∴ OC=OE. 同理可得 OC=OF. ∴ OE=OF. (2)解:∵ CE,CF 分别平分∠ACB,∠ACD, ∴ ∠ACE= 1 2 ∠ACB,∠ACF= 1 2 ∠ACD. ∴ ∠ACE + ∠ACF = ∠ECF = 1 2 ∠BCD = 1 2 × 180° = 90°. ∴ EF= CE2 +CF2 = 122 +52 = 13. 由(1),得 OE=OF. ∴ OC= 1 2 EF= 6. 5,即 OC 的长为 6. 5. (3)解:当点 O 在边 AC 上运动到中点时,四 边形 AECF 是矩形. 理由如下: 当 O 是边 AC 的中点时,有 OA=OC. 由(1)可知,OC=OE=OF. ∴ OA=OC=OE=OF. ∴ 四边形 AECF是平行四边形,OA+OC=OE+OF. ∴ AC=EF. ∴ 四边形 AECF 是矩形. 18. 2. 2　 菱形 第 1 课时　 菱形的定义和性质 【边学边练】 1. D　 【解析】 ∵ 平行四边形的对角线互相平 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 89