18.2.1.1 矩形的定义和性质-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(人教版)

18. 2　 特殊的平行四边形 18. 2. 1　 矩形 第 1 课时　 矩形的定义和性质 【边学边练】 知识点一　 矩形的性质 1. 矩形有关对角线的性质是 (　 　 ) A. 相等且互相垂直 B. 相等且互相平分 C. 互相垂直且平分 D. 互相垂直且平分内角 2. 矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是 (　 　 ) A. 对角线互相平分 B. 邻角互补 C. 对边相等 D. 四个角都是直角 知识点二　 直角三角形斜边上的中线 3. 如图,公路 AC,BC 互相垂直,公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开. 若测得 AB 的长为 4. 8 km,则 M,C 两点间的距离为 (　 　 ) A. 2. 4 km B. 3. 6 km C. 4. 2 km D. 4. 8 km 第 3 题图 　 　 　 　 　 第 5 题图 4. 若直角三角形斜边上的高与中线的长分别为 5 和 6,则它的面积为 (　 　 ) A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 5. 如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,E 是 AB 的中点,点 D 在 BC 上,且 AD =BD,AD,CE 相交于点 F. 若∠B= 20°,则∠DFE 等于 (　 　 ) A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 【随堂小测】 1. 矩形 ABCD 的两条对角线的一个夹角为 120°,两条对角线的长度之和为 24 cm,则 这个矩形的一条短边的长为 (　 　 ) A. 6 cm B. 12 cm C. 24 cm D. 48 cm 33 2. 如图,在矩形 ABCD 中,AC,BD 交于点 O,DE⊥AC 于点 E. 若∠AOD= 110°,则∠CDE 的大小为 (　 　 ) A. 55° B. 40° C. 35° D. 20° 第 2 题图 　 　 第 3 题图 　 　 第 4 题图 　 　 第 5 题图 3. 如图,在△ABC 中,BC= 18,BD⊥AC 于点 D,CE⊥AB 于点 E,F,G 分别是 BC,DE 的 中点. 若 DE= 10,则 FG 的长为 (　 　 ) A. 2 14 B. 9 C. 10 D. 无法确定 4. 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 BC,AD 于点 E,F. 若 BE = 7 4 ,AF= 25 4 ,则 AC 的长为 . 5. 如图,在矩形 ABCD 中,AB = 6,AD = 8,P 是 AD 上的动点,PE⊥AC 于点 E,PF⊥BD 于点 F,则 PE+PF 的值为 . 6. 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,DE∥AC 交 BA 的延长线于点 E. (1)求证:DE=BD; (2)若∠AOB= 60°,BD= 4,求四边形 BCDE 的面积. 7. 如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在 BC 上,AE=AD,DF⊥AE,垂足为 F. (1)求证:DF=AB; (2)若∠FDC= 30°,且 AB= 4,求 AD 的长度. 43 7. 3 4 　 【解析】如图,取 BE 的中点H,连接 FH,CH. ∵ F 是 AE 的中点,H 是 BE 的中点,∴ FH 是 △ABE 的中位线. ∴ FH∥AB,FH= 1 2 AB. ∵ 四 边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CD,AB = CD. ∵ E 是 CD 的中点,∴ CE = 1 2 CD. ∴ FH∥ CE,FH=CE. ∴ 四边形 FHCE 是平行四边形. ∴ GE=GH= 1 2 EH. ∵ BE = 3,H 是 BE 的中点, ∴ EH= 1 2 BE= 3 2 . ∴ GE= 3 4 . 8.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ CD=AB,AD=BC,∠DAB= ∠BCD. ∵ △ADE 和△BCF 都是等边三角形, ∴ AD=AE=DE,BC =BF =CF,∠DAE = ∠BCF = 60°. ∴ DE=BF,CF=AE. ∵ ∠DCF = ∠BCD - ∠BCF, ∠BAE = ∠DAB - ∠DAE, ∴ ∠DCF= ∠BAE. ∵ CD=AB,CF=AE, ∴ △DCF≌△BAE(SAS) . ∴ DF=BE. ∵ DE=BF, ∴ 四边形 BEDF 是平行四边形. 9. (1)证明:∵ ∠D= ∠DCE, ∴ AD∥BC. 又∵ AD=BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. (2) 解:由 ( 1), 得四边形 ABCD 是平行四 边形. ∴ AB=CD= 2,BC=AD= 3. ∴ 四边形 ABCD 的周长为 AB+CD+BC+AD = 2+2+3+3 = 10. 10. (1)证明:∵ AD∥BC,∴ ∠OAD= ∠OCB. 在△AOD 和△COB 中, ∠OAD= ∠OCB, OA=OC, ∠AOD= ∠COB, { ∴ △AOD≌△COB(ASA) . ∴ AD=CB. 又∵ AD∥BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. (2)解:设∠ABE= x,则∠DBF= 2x. 由(1),得四边形 ABCD 是平行四边形. ∴ OB=OD. ∵ EF⊥BD,∴ BE=DE. ∴ ∠EBD= ∠EDB. ∵ AD∥BC,∴ ∠EDB= ∠DBF. ∴ ∠EBD= ∠EDB= ∠DBF= 2x. ∵ ∠AEB = ∠EBD+∠EDB,∠BAD+∠ABE+ ∠AEB= 180°, ∴ ∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB = 180°,即 100°+x+2x+2x= 180°. 解得 x= 16,即∠ABE= 16°. 18. 2　 特殊的平行四边形 18. 2. 1　 矩形 第 1 课时　 矩形的定义和性质 【边学边练】 1. B　 2. D 3. A　 【解析】∵ 公路 AC,BC 互相垂直,∴ ∠ACB = 90°. ∵ M 是 AB 的中点,∴ CM = 1 2 AB. ∵ AB = 4. 8 km,∴ CM = 2. 4 km,即 M,C 两点间的 距离为 2. 4 km. 故选 A. 4. D　 【解析】如图. ∵ 直角三角形斜边上的中 线 CD 的长为 6,∴ 斜边 AB 的长为 2CD= 2×6 = 12. ∵ 直角三角形斜边上的高 CE 的长为 5, ∴ 它的面积= 1 2 AB·CE= 1 2 ×12×5 = 30. 故选 D. 5. B　 【解析】∵ ∠ACB = 90°,E 是 AB 的中点, ∴ AE = CE = BE. ∴ ∠B = ∠ECB = 20°,∠ACE = ∠EAC. ∵ ∠ACE = 90° - ∠ECB = 70°, ∴ ∠EAC= 70°. ∵ BD = AD,∴ ∠BAD = ∠B = 20°. ∴ ∠CAD = ∠EAC - ∠BAD = 70° - 20° = 50°. ∴ ∠AFC = 180° -∠ACE-∠CAD = 180° - 70°-50° = 60°. ∴ ∠DFE= ∠AFC= 60°. 故选 B. 【随堂小测】 1. A　 【解析】如图,∵ 四边形 ABCD 是矩形,两 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 69 条对角线的长度之和为 24 cm,∴ AC = BD = 12 cm,OA= OB = 1 2 AC = 6 cm. 由题意可知, ∠AOD = 120°,∴ ∠AOB= 60°. ∴ △AOB 是等边 三角形. ∴ AB=OA= 6 cm. 故选 A. 2. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠ADC = 90°,OC = OD. ∴ ∠OCD = ∠ODC. ∵ ∠AOD = 110°,∴ ∠ODC = ∠OCD = 1 2 × 110° = 55°. ∵ DE⊥AC,∴ ∠DEC = 90°. ∴ ∠CDE = 90° - ∠OCD= 90°-55° = 35°. 故选 C. 3. A　 【解析】如图,连接 EF,DF. ∵ F 是 BC 的 中点,BD⊥AC,CE⊥AB,∴ EF = DF = 1 2 BC = 1 2 ×18 = 9. ∵ G 是 DE 的中点,∴ FG⊥DE,DG = 1 2 DE = 1 2 × 10 = 5. 在 Rt △DGF 中,FG = DF2 -DG2 = 92 -52 = 2 14 . 故选 A. 4. 10　 【解析】∵ EF 是 AC 的垂直平分线,∴ OA =OC. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD∥BC. ∴ ∠OAF = ∠OCE. 在 △AOF 和 △COE 中, ∠OAF=∠OCE, OA=OC, ∠AOF=∠COE, { ∴ △AOF ≌ △COE ( ASA ). ∴ AF= CE = 25 4 . ∵ EF 是 AC 的垂直平分线, ∴ AE=CE= 25 4 . 又∵ BE = 7 4 ,∴ BC =BE+CE = 7 4 +25 4 = 8. 在 Rt△ABE 中,AB= AE2 -BE2 = 25 4( ) 2 - 7 4( ) 2 = 6. 在 Rt△ABC 中, AC = AB2+BC2 = 62+82 =10. 5. 24 5 　 【解析】如图,连接 OP. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠DAB = 90°,AC = 2OA = 2OC,BD = 2OB= 2OD,AC = BD. ∴ OA = OD = OC = OB. ∴ S△AOD = S△COD = S△AOB = S△BOC = 1 4 S矩形ABCD = 1 4 AB·AD= 1 4 ×6×8 = 12. 在 Rt△ABD 中,由勾 股定理,得 BD = AB2 +AD2 = 62 +82 = 10. ∴ OA=OD = 5. ∵ S△APO +S△DPO =S△AOD,∴ 1 2 OA× PE+ 1 2 OD×PF = 12. ∴ 5PE+5PF = 24. ∴ PE+ PF= 24 5 . 6. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AC=BD,AB∥CD,即 AE∥CD. 又∵ DE∥AC,∴ 四边形 ACDE 是平行四边形. ∴ DE=AC. ∴ DE=BD. (2)解:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AB=CD,AC = BD = 4,OA = OC = 1 2 AC,OB = OD= 1 2 BD,∠BAD= 90°. ∴ OA=OB= 2. 又∵ ∠AOB= 60°,∴ △AOB 是等边三角形. ∴ AB=OA= 2. 由(1)知,四边形 ACDE 是平行四边形, ∴ CD=AE. ∴ AB=CD=AE= 2. ∴ AD= BD2 -AB2 = 16-4 = 2 3 . ∴ 四边形 BCDE 的面积= 1 2 AE×AD+AB×AD = 1 2 ×2×2 3 +2×2 3 = 6 3 . 7. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD∥BC,∠B= 90°. ∴ ∠DAF= ∠AEB. ∵ DF⊥AE, ∴ ∠DFA= 90°. ∴ ∠DFA= ∠B. 在△ADF 和△EAB 中, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 79 ∠DFA= ∠B, ∠DAF= ∠AEB, AD=EA, { ∴ △ADF≌△EAB(AAS) . ∴ DF=AB. (2)解:∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠ADC = 90°. ∴ ∠ADF + ∠FDC = 90°. 又 ∵ ∠DFA = 90°,∴ ∠DAF+∠ADF= 90°. ∴ ∠FDC= ∠DAF= 30°. ∴ AD= 2DF. ∵ DF=AB, ∴ AD= 2AB= 2×4 = 8. 第 2 课时　 矩形的判定 【边学边练】 1. C　 2. D　 3. B 【随堂小测】 1. B 2. C　 【解析】A. 两组对边分别相等的四边形是 平行四边形,故原说法正确;B. 一个角是直角 的平行四边形是矩形,故原说法正确;C. 对角 线互相平分且垂直的四边形不一定是矩形, 故原说法不正确;D. 对角线相等的平行四边 形是矩形,故原说法正确. 故选 C. 3. B 　 【解析】 ∵ DE ⊥ BC, ∴ ∠DEB = ∠A = ∠ABC= 90°. ∴ 四边形 ABED 是矩形. 故②正 确;∴ AD∥BC. ∴ ∠ADB = ∠CBD. ∵ DB 平分 ∠ADC, ∴ ∠ADB = ∠CDB. ∴ ∠CBD = ∠CDB. ∴ BC = CD. 故 ① 正确;∵ BD≠CD, ∴ E 不是 BC 的中点. 故③错误;由②知,四边 形 ABED 是矩形,∴ BE = AD = 2,BC = CD = 5. ∴ CE=BC-BE = 3. ∴ DE = AB = CD2 -CE2 = 4. 故④正确. 综上所述,正确的有①②④. 故选 B. 4. 1 ∶ 2　 【解析】∵ OA = OB = OC = OD,∴ AC = BD. ∴ 四边形 ABCD 是矩形. ∵ ∠AOB = 60°, OA=OB,∴ △AOB 是等边三角形. ∴ AB = OA =OB= 1 2 AC. ∴ AB ∶ AC= 1 ∶ 2. 5. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 6.证明:(1)在▱ABCD 中,AD=BC,AB=CD,AB∥ CD,则 BE∥CD. 又∵ AB=BE,∴ BE=CD. ∴ 四边形 BECD 是平行四边形. ∴ BD=EC. 在△ABD 和△BEC 中, AB=BE, BD=EC, AD=BC, { ∴ △ABD≌△BEC(SSS) . (2)由(1) 知,四边形 BECD 是平行四边形, ∴ OD=OE,OC=OB. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ ∠A= ∠BCD,即∠A= ∠OCD. 又∵ ∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC, ∴ 2∠OCD= ∠OCD+∠ODC. ∴ ∠OCD= ∠ODC. ∴ OC=OD. ∴ OB=OE. ∴ OC+OB=OD+OE,即 BC=ED. ∴ 四边形 BECD 是矩形. 7. (1)证明:∵ CE 平分∠ACB, ∴ ∠ACE= ∠BCE. ∵ MN∥BC, ∴ ∠BCE= ∠OEC. ∴ ∠ACE= ∠OEC. ∴ OC=OE. 同理可得 OC=OF. ∴ OE=OF. (2)解:∵ CE,CF 分别平分∠ACB,∠ACD, ∴ ∠ACE= 1 2 ∠ACB,∠ACF= 1 2 ∠ACD. ∴ ∠ACE + ∠ACF = ∠ECF = 1 2 ∠BCD = 1 2 × 180° = 90°. ∴ EF= CE2 +CF2 = 122 +52 = 13. 由(1),得 OE=OF. ∴ OC= 1 2 EF= 6. 5,即 OC 的长为 6. 5. (3)解:当点 O 在边 AC 上运动到中点时,四 边形 AECF 是矩形. 理由如下: 当 O 是边 AC 的中点时,有 OA=OC. 由(1)可知,OC=OE=OF. ∴ OA=OC=OE=OF. ∴ 四边形 AECF是平行四边形,OA+OC=OE+OF. ∴ AC=EF. ∴ 四边形 AECF 是矩形. 18. 2. 2　 菱形 第 1 课时　 菱形的定义和性质 【边学边练】 1. D　 【解析】 ∵ 平行四边形的对角线互相平 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 89