18.1.2.2 三角形的中位线-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(人教版)

第 2 课时　 三角形的中位线 【边学边练】 知识点一　 三角形中位线的定义 1. 阅读下列材料,然后回答问题. 材料:如图,在△ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 的中点,把线段 DE 叫做△ABC 的中 位线. 问题:请叙述三角形中位线的定义. 知识点二　 三角形中位线的定理 2. 如图,为了测量位于一水塘旁的 A,B 两点间的距离,在地面上确定点 O,分别取 OA, OB 的中点 C,D,量得 CD= 20 m,则 A,B 两点之间的距离为 (　 　 ) A. 10 m B. 20 m C. 40 m D. 80 m 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 3. 如图,在△ABC 中,D,E 分别是边 AB,AC 上的中点. 若∠A= 70°,∠AED= 65°,则∠B 的度数为 (　 　 ) A. 45° B. 55° C. 65° D. 75° 【随堂小测】 1. 如图,在△ABC 中,∠B = 45°,∠C = 60°,AD⊥BC 于点 D,BD = 6 . 若 E,F 分别是 AB,BC 的中点,则 EF 的长为 (　 　 ) A. 2 B. 6 2 C. 6 3 D. 3 92 2. 如图,在四边形 ABCD 中,P 是边 CD 上的动点,Q 是边 BC 上的定点,连接 AP,PQ, E,F 分别是 AP,PQ 的中点,连接 EF. 点 P 在由点 C 到点 D 的运动过程中,线段 EF 的长度 (　 　 ) A. 保持不变 B. 逐渐变小 C. 先变大,再变小 D. 逐渐变大 第 2 题图 　 　 第 3 题图 　 　 第 4 题图 3. 如图,在四边形 ABCD 中,E,F 分别是 CD,AD 的中点,EF⊥AB. 若 BC= 13,AB= 5,则 EF 的长度为 (　 　 ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 如图,△ABC 的周长为 26,点 D,E 都在边 BC 上,∠ABC 的平分线垂直于 AE,垂足为 Q,∠ACB 的平分线垂直于 AD,垂足为 P. 若 BC= 10,则 PQ 的长为 . 5. 如图,在△ABC 中,AB= 8,AC= 6,AD,AE 分别是其角平分线和中线,过点 C 作 CG⊥ AD 于点 F,交 AB 于点 G,连接 EF. 求线段 EF 的长. 6. 如图,在四边形 ABCD 中,P 是对角线 BD 的中点,E,F 分别是 AB,CD 的中点,AD = BC,∠PEF= 20°. 求∠PFE 的度数. 03 ABCD 是平行四边形. 故①符合题意;由 AD∥ BC,AB= CD,不能得出四边形 ABCD 是平行 四边形. 故②不符合题意;∵ AD∥BC,∴ ∠A+ ∠B= 180°. . ∵ ∠A = ∠C,∴ ∠C+∠B = 180°. ∴ AB∥CD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 故 ③符合题意. 由 AD∥BC,∠B = ∠C,不能得出 四边形 ABCD 是平行四边形,故 ④ 不符合 题意. 4. (1)解:∵ ∠D+∠1+∠2 = 180°,∠1 = 85°,∠2 = 40°, ∴ ∠D= 180°-∠1-∠2 = 180°-85°-40° = 55°. (2)证明:∵ AB∥CD, ∴ ∠2+∠ACB+∠B= 180°. ∴ ∠ACB = 180° - ∠B - ∠2 = 180° - 55° - 40° = 85°. ∴ ∠1 = ∠ACB= 85°. ∴ AD∥BC. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 5.证明:∵ AB∥CD,AD∥BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∴ OA=OC,OB=OD. ∵ E,F 分别是 OB,OD 的中点, ∴ OE= 1 2 OB,OF= 1 2 OD. ∴ OE=OF. ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形. 6.解:根据题意,得 AP = t cm,CQ = 2t cm,DP = (12-t) cm,BQ= (15-2t) cm. (1)∵ AD∥BC, ∴ 当 AP = BQ 时, 四边形 APQB 是平行四 边形. ∴ t= 15-2t. 解得 t= 5. ∴ 当 t= 5 时,四边形 APQB 是平行四边形. (2)∵ AD∥BC,即 DP∥CQ, ∴ 当 DP = CQ 时, 四边形 PDCQ 是平行四 边形. ∴ 12-t= 2t. 解得 t= 4. ∴ 当 t= 4 时,四边形 PDCQ 是平行四边形. 第 2 课时　 三角形的中位线 【边学边练】 1.解:连接三角形两边中点的线段叫做三角形 的中位线. 2. C 　 【解析】∵ C,D 分别是 OA,OB 的中点, ∴ CD 是△OAB 的中位线. ∴ AB = 2CD. ∵ CD = 20 m,∴ AB= 40 m. 故选 C. 3. A　 【解析】∵ ∠A= 70°,∠AED= 65°, ∴ ∠ADE= 180°-∠A-∠AED = 180°-70°-65° = 45°. ∵ D,E 分别是边 AB,AC 的中点,∴ DE 是 △ABC 的 中 位 线. ∴ DE∥BC. ∴ ∠B = ∠ADE= 45°. 故选 A. 【随堂小测】 1. A　 【解析】∵ ∠B= 45°,AD⊥BC,∴ △ABD 是 等腰直角三角形. ∴ AD = BD = 6 . ∵ ∠C = 60°,∴ ∠DAC = 30°. ∴ CD = 1 2 AC. ∴ AD = AC2 -CD2 = 3 2 AC, 即 6 = 3 2 AC. ∴ AC = 2 2 . ∵ E,F 分别是 AB,BC 的中点,∴ EF 是 △ABC 的中位线. ∴ EF = 1 2 AC = 1 2 × 2 2 = 2 . 故选 A. 2. A　 【解析】如图,连接 AQ. ∵ Q 是边 BC 上的 定点,∴ AQ 的大小不变. ∵ E,F 分别是 AP, PQ 的中点,∴ EF 是△APQ 的中位线. ∴ EF = 1 2 AQ. ∴ 线段 EF 的长度保持不变. 故选 A. 3. A　 【解析】如图,连接 AC. ∵ E,F 分别是 CD,AD 的中点,∴ EF 是△ACD 的中位线. ∴ EF∥AC,EF = 1 2 AC. ∵ EF⊥AB, ∴ AC⊥AB. ∴ ∠BAC= 90°. 在 Rt△ABC 中,AC = BC2 -AB2 = 132 -52 = 12. ∴ EF = 1 2 AC = 6. 故选 A. 4. 3　 【解析】∵ △ABC 的周长为 26,BC=10,∴ AB+ AC=26-10=16. ∵ ∠ABC 的平分线垂直于 AE, ∴ ∠ABQ = ∠EBQ, ∠AQB = ∠EQB = 90°. ∵ BQ=BQ,∴ △ABQ≌△EBQ(ASA) . ∴ AQ = EQ,AB=EB. 同理,AP = DP,AC = DC. ∴ DE = BE+CD-BC= AB+AC-BC = 16-10 = 6. ∵ AQ = EQ,AP=DP,∴ PQ 是△ADE 的中位线. ∴ PQ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 49 = 1 2 DE= 3. 5.解:∵ AD 是∠BAC 的平分线, ∴ ∠GAF= ∠CAF. ∵ CG⊥AD,∴ ∠AFG= ∠AFC= 90°. 在△AGF 和△ACF 中, ∠GAF= ∠CAF, AF=AF, ∠AFG= ∠AFC, { ∴ △AGF≌△ACF(ASA) . ∴ AG=AC= 6,GF=CF. ∴ BG=AB-AG= 8-6 = 2. ∵ AE 是△ABC 的中线,∴ BE=CE. ∴ EF 是△BCG 的中位线. ∴ EF= 1 2 BG= 1. 6.解:∵ P 是 BD 的中点,E 是 AB 的中点, ∴ PE 是△ABD 的中位线. ∴ PE= 1 2 AD. 同理可得 PF= 1 2 BC. ∵ AD=BC, ∴ PE=PF. ∴ ∠PFE= ∠PEF= 20°. 小专题 4　 平行四边形性质和判定的综合运用 1. A 2. A　 【解析】∵ EF∥AB,DF∥AC,∴ 四边形 AEFD 是平行四边形. ∴ AD = EF,DF = AE. ∵ DF∥ AC,∴ ∠DFB = ∠C. ∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C. ∴ ∠B = ∠DFB. ∴ DB = DF. 同理可得 EF = EC. ∴ 四边形 AEFD 的周长 =AD+DF+EF+AE =AD+DB+EC+AE=AB+AC= 5+5 = 10. 故选 A. 3. A　 【解析】如图,连接 EF 交 BD 于点 O,连接 AC. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD = BC,AD∥BC. ∴ ∠EDH = ∠FBG. ∵ E,F 分别 是边 AD,BC 的中点,∴ AE = 1 2 AD,BF = 1 2 BC. ∴ AE=BF.又∵ AE∥BF,∴ 四边形 AEFB 是平行 四边形. ∴ EF∥AB. ∵ E 是 AD 的中点,∴ O 是 BD 的中点. 根据平行四边形的对角线互相平 分,故 O 也是 AC 的中点,也是 EF 的中点, ∴ EF 与 AC 互相平分. 故 C 正确;∵ DE = AD- AE,BF = BC-BF,∴ DE = BF. 又∵ DH = BG, ∴ △DEH≌△BFG(SAS) . ∴ FG = EH. 故 B 正 确; ∵ △DEH ≌ △BFG. ∴ ∠DHE = ∠BGF. ∴ ∠GHE= ∠HGF. 又∵ HG = GH,∴ △EHG≌ △FGH(SAS) . ∴ EG= FH. 故 D 正确;不能判 断 FG⊥FH. 故 A 不正确. 故选 A. 4. D　 【解析】A. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC, AB ∥CD. ∴ DE ∥BC, ∠ABD = ∠CDB. ∵ ∠ABD = ∠DCE, ∴ ∠DCE = ∠CDB. ∴ BD∥CE. ∴ 四边形 BCED 是平行四 边形. 故该选项不符合题意;B. ∵ AE∥BC, ∴ ∠AEC+ ∠BCE = ∠BDE + ∠CBD = 180°. ∵ ∠AEC= ∠CBD,∴ ∠BDE = ∠BCE. ∴ 四边 形 BCED 是平行四边形. 故该选项不符合题 意;C. ∵ DE∥BC,∴ ∠DEF= ∠CBF. 在△DEF 和△CBF 中, ∠DEF= ∠CBF, EF=BF, ∠DFE= ∠CFB, { ∴ △DEF≌ △CBF(ASA) . ∴ DF=CF. ∵ EF = BF,∴ 四边形 BCED 是平 行四边形. 故该选项不符合题意;D. ∵ AE∥ BC, ∴ ∠AEB = ∠CBF. ∵ ∠AEB = ∠BCD, ∴ ∠CBF= ∠BCD. ∴ CF =BF. 同理,EF =DF. ∴ 不能判定四边形 BCED 是平行四边形. 故 该选项符合题意. 故选 D. 5. 52°　 【解析】如图,∵ ∠DAC = ∠BCA,∠DCA = ∠BAC,∴ AD∥BC,CD∥AB. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∴ ∠B= ∠D= 52°. 6. 6 　 【解析】 ∵ AD∥BC,AE∥CD,∴ 四边形 AECD 是平行四边形. ∴ AE = CD,AD = CE. 又 ∵ △ABE 的周长 = AB+BE+AE = 25 cm,四边 形 ABCD 的周长 = AB+BC+CD+AD = AB+BE+ CE+CD+AD = 37 cm,∴ AD = 1 2 (四边形 ABCD 的周 长 - △ABE 的 周 长) = 1 2 × ( 37 - 25) = 6(cm) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 59