18.1.2.1 平行四边形的判定-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(人教版)

18. 1. 2　 平行四边形的判定 第 1 课时　 平行四边形的判定 【边学边练】 知识点　 平行四边形的判定 1. 在四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,能判定四边形 ABCD 是平行四边形 的是 (　 　 ) A. AB∥CD,AD=BC B. ∠A= ∠B,∠C= ∠D C. AB=AD,CB=CD D. OA=OC,OB=OD 2. 已知在四边形 ABCD 中,AB∥CD,添加下列一个条件后,一定能判定四边形 ABCD 是 平行四边形的是 (　 　 ) A. AD=BC B. AC=BD C. ∠A= ∠C D. ∠A= ∠B 3. 我们知道:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出“证明”过程. 已知:如图,在四边形 ABCD 中, . 求证: . 【随堂小测】 1. 如图,四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,则不能判定四边形 ABCD 是平行四 边形的是 (　 　 ) A. ∠ABC= ∠ADC,AD∥BC B. ∠ABD= ∠BDC,∠BAD= ∠BCD C. ∠ABD= ∠BDC,OA=OC D. ∠ABC= ∠ADC,AB=CD 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 2. 如图,点 A,B 在直线 l 上,D 为直线 l 外一点,连接 AD,分别以点 B,D 为圆心,以 AD,AB 的长为半径画弧,两弧交于点 C,连接 CD,BC,则四边形 ABCD 是平行四边形 的理由是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 72 3. 在四边形 ABCD 中,AD∥BC,再从下列四个条件①AB∥CD;②AB =CD;③∠A = ∠C; ④∠B=∠C 中任选一个,能使四边形 ABCD 为平行四边形的条件的序号是 . 4. 如图,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,∠B= 55°,∠1 = 85°,∠2 = 40°. (1)求∠D 的度数; (2)求证:四边形 ABCD 是平行四边形. 5. 如图,AC,BD 相交于点 O,AB∥CD,AD∥BC,E,F 分别是 OB,OD 的中点. 求证:四边 形 AFCE 是平行四边形. 6. 如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD = 12 cm,BC = 15 cm,点 P 自点 A 向点 D 以 1 cm / s 的速度运动,到点 D 即停止. 点 Q 自点 C 向点 B 以 2 cm / s 的速度运动,到点 B 即停止. 若点 P,Q 同时出发,设运动时间为 t s. (1)当 t 为何值时,四边形 APQB 是平行四边形? (2)当 t 为何值时,四边形 PDCQ 是平行四边形? 82 ∵ 点 A,B 的坐标分别为(2,0),(5,4),∴ 点 M(5,0)∴ OA = 2,AM= 5-2 = 3,BM = 4. ∴ AB = AM2 +BM2 = 32 +42 = 5. ∵ 四边形 OABC 是平行四边形,∴ OA = BC = 2,OC = AB = 5. ∴ ▱OABC 的周长为 2×2+5×2 = 14. 5. 145° 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边 形,∴ CD∥AB,∠D = ∠B = 110°. ∴ ∠DCE = ∠BEC. ∵ CE 平 分 ∠BCD, ∴ ∠DCE = ∠BCE. ∴ ∠BEC = ∠BCE. ∴ ∠BCE = 1 2 × (180° - ∠B ) = 1 2 × ( 180° - 110°) = 35°. ∴ ∠BEC=35°. ∴ ∠AEC=180°-∠BEC=145°. 6.证明:(1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ OB=OD. 在△BOE 和△DOF 中, OE=OF, ∠BOE= ∠DOF, OB=OD, { ∴ △BOE≌△DOF(SAS) . (2)由(1)知△BOE≌△DOF, ∴ ∠OBE= ∠ODF. ∴ BE∥DF. 7.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD,AD∥BC,AB∥CD. ∴ ∠B+∠C= 180°,∠ADF= ∠DEC. ∵ ∠AFE= ∠B,∠AFE+∠AFD= 180°, ∴ ∠AFD= ∠C. ∵ AF=AB, ∴ AF=DC. ∵ ∠ADF= ∠DEC,∠AFD= ∠C, ∴ △DFA≌△ECD(AAS) . ∴ AD=DE. 18. 1. 2　 平行四边形的判定 第 1 课时　 平行四边形的判定 【边学边练】 1. D　 【解析】A. ∵ AB∥CD,AD=BC,不符合“一 组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 的判定,∴ 四边形 ABCD 不一定是平行四边 形,也可能是等腰梯形. 故此选项不符合题 意;B. ∵ ∠A = ∠B,∠C = ∠D,是两组邻角相 等,不符合“两组对角分别相等的四边形是平 行四边形”的判定,∴ 四边形 ABCD 不一定是 平行四边形,也可能是等腰梯形. 故此选项不 符合题意;C. ∵ AB=AD,CB =CD,是两组邻边 相等,不符合“两组对边分别相等的四边形是 平行四边形”的判定,∴ 四边形 ABCD 不是平 行四边形. 故此选项不符合题意;D. ∵ OA = OC,OB=OD,符合“对角线互相平分的四边形 是平行四边形”的判定,∴ 四边形 ABCD 是平 行四边形. 故此选项符合题意. 故选 D. 2. C　 【解析】∵ AB∥CD,∴ ∠B+∠C = 180°. 当 ∠A= ∠C 时,∠A+∠B = 180°,故 AD∥BC,则 四边形 ABCD 是平行四边形. 故选 C. 3.解:AB=CD,AD=CB 四边形 ABCD 是平行四边形 证明:如图,连接 AC. 在△ABC 和△CDA 中, AB=CD, CB=AD, AC=CA, { ∴ △ABC≌△CDA(SSS) . ∴ ∠BAC= ∠DCA,∠ACB= ∠CAD. ∴ AB∥CD,AD∥CB. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 【随堂小测】 1. D　 【解析】A. ∵ AD∥BC,∴ ∠ABC+∠BAD = 180°. ∵ ∠ABC = ∠ADC,∴ ∠ADC + ∠BAD = 180°. ∴ AB∥CD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边 形. 故 此 选 项 不 符 合 题 意; B. ∵ ∠ABD = ∠BDC, ∠BAD = ∠BCD, ∴ 180° - ∠ABD - ∠BAD = 180° - ∠BDC - ∠BCD, 即 ∠ADB = ∠CBD. ∴ AD∥CB. ∵ ∠ABD = ∠BDC,∴ AB∥ CD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 故此选项 不符合题意;C. ∵ ∠ABD = ∠BDC,OA = OC, 又 ∵ ∠AOB = ∠COD, ∴ △AOB ≌ △COD (AAS) . ∴ OD=OB. ∴ 四边形 ABCD 是平行四 边形. 故此选项不符合题意;D. 因为∠ABC = ∠ADC,AB= CD,不能判断四边形 ABCD 是平 行四边形,故此选项符合题意. 故选 D. 2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3. ①③　 【解析】∵ AD∥BC,AB∥CD,∴ 四边形 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 39 ABCD 是平行四边形. 故①符合题意;由 AD∥ BC,AB= CD,不能得出四边形 ABCD 是平行 四边形. 故②不符合题意;∵ AD∥BC,∴ ∠A+ ∠B= 180°. . ∵ ∠A = ∠C,∴ ∠C+∠B = 180°. ∴ AB∥CD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 故 ③符合题意. 由 AD∥BC,∠B = ∠C,不能得出 四边形 ABCD 是平行四边形,故 ④ 不符合 题意. 4. (1)解:∵ ∠D+∠1+∠2 = 180°,∠1 = 85°,∠2 = 40°, ∴ ∠D= 180°-∠1-∠2 = 180°-85°-40° = 55°. (2)证明:∵ AB∥CD, ∴ ∠2+∠ACB+∠B= 180°. ∴ ∠ACB = 180° - ∠B - ∠2 = 180° - 55° - 40° = 85°. ∴ ∠1 = ∠ACB= 85°. ∴ AD∥BC. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 5.证明:∵ AB∥CD,AD∥BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∴ OA=OC,OB=OD. ∵ E,F 分别是 OB,OD 的中点, ∴ OE= 1 2 OB,OF= 1 2 OD. ∴ OE=OF. ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形. 6.解:根据题意,得 AP = t cm,CQ = 2t cm,DP = (12-t) cm,BQ= (15-2t) cm. (1)∵ AD∥BC, ∴ 当 AP = BQ 时, 四边形 APQB 是平行四 边形. ∴ t= 15-2t. 解得 t= 5. ∴ 当 t= 5 时,四边形 APQB 是平行四边形. (2)∵ AD∥BC,即 DP∥CQ, ∴ 当 DP = CQ 时, 四边形 PDCQ 是平行四 边形. ∴ 12-t= 2t. 解得 t= 4. ∴ 当 t= 4 时,四边形 PDCQ 是平行四边形. 第 2 课时　 三角形的中位线 【边学边练】 1.解:连接三角形两边中点的线段叫做三角形 的中位线. 2. C 　 【解析】∵ C,D 分别是 OA,OB 的中点, ∴ CD 是△OAB 的中位线. ∴ AB = 2CD. ∵ CD = 20 m,∴ AB= 40 m. 故选 C. 3. A　 【解析】∵ ∠A= 70°,∠AED= 65°, ∴ ∠ADE= 180°-∠A-∠AED = 180°-70°-65° = 45°. ∵ D,E 分别是边 AB,AC 的中点,∴ DE 是 △ABC 的 中 位 线. ∴ DE∥BC. ∴ ∠B = ∠ADE= 45°. 故选 A. 【随堂小测】 1. A　 【解析】∵ ∠B= 45°,AD⊥BC,∴ △ABD 是 等腰直角三角形. ∴ AD = BD = 6 . ∵ ∠C = 60°,∴ ∠DAC = 30°. ∴ CD = 1 2 AC. ∴ AD = AC2 -CD2 = 3 2 AC, 即 6 = 3 2 AC. ∴ AC = 2 2 . ∵ E,F 分别是 AB,BC 的中点,∴ EF 是 △ABC 的中位线. ∴ EF = 1 2 AC = 1 2 × 2 2 = 2 . 故选 A. 2. A　 【解析】如图,连接 AQ. ∵ Q 是边 BC 上的 定点,∴ AQ 的大小不变. ∵ E,F 分别是 AP, PQ 的中点,∴ EF 是△APQ 的中位线. ∴ EF = 1 2 AQ. ∴ 线段 EF 的长度保持不变. 故选 A. 3. A　 【解析】如图,连接 AC. ∵ E,F 分别是 CD,AD 的中点,∴ EF 是△ACD 的中位线. ∴ EF∥AC,EF = 1 2 AC. ∵ EF⊥AB, ∴ AC⊥AB. ∴ ∠BAC= 90°. 在 Rt△ABC 中,AC = BC2 -AB2 = 132 -52 = 12. ∴ EF = 1 2 AC = 6. 故选 A. 4. 3　 【解析】∵ △ABC 的周长为 26,BC=10,∴ AB+ AC=26-10=16. ∵ ∠ABC 的平分线垂直于 AE, ∴ ∠ABQ = ∠EBQ, ∠AQB = ∠EQB = 90°. ∵ BQ=BQ,∴ △ABQ≌△EBQ(ASA) . ∴ AQ = EQ,AB=EB. 同理,AP = DP,AC = DC. ∴ DE = BE+CD-BC= AB+AC-BC = 16-10 = 6. ∵ AQ = EQ,AP=DP,∴ PQ 是△ADE 的中位线. ∴ PQ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 49