18.1 平行四边形-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(人教版)

第十八章　 平行四边形 18. 1　 平行四边形 18. 1. 1　 平行四边形的性质 【边学边练】 知识点一　 平行四边形的概念 1. 如图,在△ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,AC 上的点,且 DE∥AC,EF∥AB,DF∥BC, 则图中平行四边形共有 (　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 知识点二　 平行四边形的性质 2. 如图,在▱ABCD 中,下列结论不一定成立的是 (　 　 ) A. AB=CD B. ∠1 = ∠2 C. AC⊥BD D. OA=OC 第 2 题图 　 　 　 　 　 第 3 题图 3. 如图,在平面直角坐标系中,▱ABCD 的顶点 A,B,D 的坐标分别为(0,0),(5,0), (2,3),则顶点 C 的坐标为 (　 　 ) A. (7,3) B. (8,2) C. (3,7) D. (5,3) 4. 在▱ABCD 中,2∠A+∠B= 225°,则∠C 的度数为 (　 　 ) A. 45° B. 75° C. 120° D. 135° 知识点三　 两条平行线之间的距离 5. 如图,已知直线 m∥n,下列哪条线段的长可以表示直线 m 与 n 之间的距离? (　 　 ) A. 只有 AB B. 只有 AE C. AB 和 CD 均可 D. AE 和 CF 均可 52 【随堂小测】 1. 如图,已知 AB∥CD,DE∥BC,AE∥BD,那么图中和△ABD 面积相等的三角形(不包括 △ABD)有 (　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 第 1 题图 　 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 　 第 5 题图 2. (易错题)在▱ABCD 中,∠A ∶ ∠B ∶ ∠C ∶ ∠D 的度数比可以为 (　 　 ) A. 1 ∶ 2 ∶ 3 ∶ 4 B. 1 ∶ 2 ∶ 2 ∶ 1 C. 1 ∶ 1 ∶ 2 ∶ 2 D. 2 ∶ 1 ∶ 2 ∶ 1 3. 如图,在▱ABCD 中,AB= 6,BC= 8,∠BCD 的平分线交 AD 于点 E,交 BA 的延长线于 点 F,则 AF 的长等于 (　 　 ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 在平面直角坐标系中,已知点 A(2,0),B(5,4) . 若四边形 OABC 是平行四边形,则 ▱OABC 的周长等于 . 5. 如图,在▱ABCD 中,∠D = 110°,CE 平分∠BCD,交 AB 于点 E,则∠AEC 的大小为 . 6. 如图,▱ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,且 OE=OF. 求证:(1)△BOE≌△DOF; (2)BE∥DF. 7. 如图,在▱ABCD 中,点 E,F 分别在 BC,DE 上,AF=AB,∠AFE= ∠B. 求证:AD=DE. 62 1. 2 米,∴ AE = AB-BE = 2. 2-1. 7 = 0. 5(米) . 在 Rt △ADE 中, 根 据 勾 股 定 理, 得 AD = AE2 +DE2 = 0. 52 +1. 22 = 1. 3(米) . 5. 13　 【解析】设 ON = OM′ = x 米,则 OM = ( x- 1)米. 在 Rt△OMN 中,根据勾股定理,得 ON2 =OM2 +MN2,即 x2 = (x-1) 2 +52 . 解得 x = 13, 即秋千 ON 的长度为 13 米. 6.解:在 Rt△AOC 中, ∠AOC= 90°-60° = 30°,OA= 1 000 米, ∴ AC= 1 2 OA=500 米,OC= OA2-AC2 =500 3米. 在 Rt△BOC 中,∠BOC= 90°-45° = 45°, ∴ Rt△BOC 是等腰直角三角形. ∴ BC=OC= 500 3米. ∴ AB=AC+BC= (500+500 3 )米. 答:此时快艇航行了(500+500 3 ) 米(即 AB 的长) . 7.解:在 Rt △ABD 中,BD2 = AD2 -AB2 = 92 - 62 = 45. 在△BCD 中,BC = 3 dm,CD = 6 dm,BC2 +CD2 = 32 +62 = 45, ∴ BC2 +CD2 =BD2 . ∴ ∠BCD= 90°. ∴ BC⊥CD. 故该车符合安全标准. 8.解:(1)∵ AC=300 km,BC=400 km,AB=500 km, 3002+4002 =5002,即 AC2+BC2 =AB2, ∴ △ABC 是直角三角形. ∴ ∠ACB= 90°. (2)如图,过点 C 作 CD⊥AB. ∴ S△ABC = 1 2 AC·BC= 1 2 CD·AB. ∴ 300×400 = 500×CD. 解得 CD= 240 km. ∵ 240 km < 250 km,以台风中心为圆心周围 250 km 以内为受影响区域, ∴ 海港 C 受台风影响. 当 CE= 250 km,CF = 250 km 时,正好影响海 港 C. ∵ DE = CE2 -CD2 = 2502 -2402 = 70( km), DF = CF2 -CD2 = 2502 -2402 = 70 ( km), ∴ EF=DE+DF= 140 km. ∵ 台风的速度为 20 km / h, ∴ 140÷20 = 7(h) . 答:台风影响该海港持续的时间有 7 h. 第十八章　 平行四边形 18. 1　 平行四边形 18. 1. 1　 平行四边形的性质 【边学边练】 1. C 2. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB = CD,AB∥CD,OA = OC. ∴ ∠1 = ∠2. ∴ 选项 A,B,D 不符合题意;AC⊥BD 不一定 成立,∴ 选项 C 符合题意. 故选 C. 3. A　 【解析】∵ 点 A(0,0),B(5,0),∴ AB = 5. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ CD∥AB, CD= AB = 5. ∵ ▱ABCD 的顶点 D 的坐标为 (2,3),∴ 点 C 的横坐标为 5+2 = 7,纵坐标与 点 D 的纵坐标相等,为 3. ∴ 顶点 C 的坐标为 (7,3) . 故选 A. 4. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ ∠A+∠B = 180°,∠A = ∠C. ∵ 2∠A+∠B = 225°,∴ ∠A = 225° - 180° = 45°. ∴ ∠C = 45°. 故选 A. 5. C 【随堂小测】 1. B　 【解析】∵ AB∥CD,∴ △ABC 与△ABD 的 面积相等. ∵ AE∥BD,∴ △BED 与△ABD 的 面积相等. DE∥BC,找不到与△ABD 等底等 高的三角形,∴ 和△ABD 面积相等的三角形 有△ABC,△BED,共 2 个. 故选 B. 2. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ ∠A= ∠C,∠B= ∠D. ∴ 选项 D 正确. 故选 D. 3. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD. ∴ ∠F = ∠FCD. ∵ CE 平分∠BCD, ∴ ∠BCE= ∠FCD. ∴ ∠F = ∠BCE. ∴ BF =BC = 8. ∴ AF=BF-AB= 8-6 = 2. 故选 A. 4. 14　 【解析】如图,过点 B 作 BM⊥x 轴于点 M,∴ ∠AMB= 90°. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 29 ∵ 点 A,B 的坐标分别为(2,0),(5,4),∴ 点 M(5,0)∴ OA = 2,AM= 5-2 = 3,BM = 4. ∴ AB = AM2 +BM2 = 32 +42 = 5. ∵ 四边形 OABC 是平行四边形,∴ OA = BC = 2,OC = AB = 5. ∴ ▱OABC 的周长为 2×2+5×2 = 14. 5. 145° 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边 形,∴ CD∥AB,∠D = ∠B = 110°. ∴ ∠DCE = ∠BEC. ∵ CE 平 分 ∠BCD, ∴ ∠DCE = ∠BCE. ∴ ∠BEC = ∠BCE. ∴ ∠BCE = 1 2 × (180° - ∠B ) = 1 2 × ( 180° - 110°) = 35°. ∴ ∠BEC=35°. ∴ ∠AEC=180°-∠BEC=145°. 6.证明:(1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ OB=OD. 在△BOE 和△DOF 中, OE=OF, ∠BOE= ∠DOF, OB=OD, { ∴ △BOE≌△DOF(SAS) . (2)由(1)知△BOE≌△DOF, ∴ ∠OBE= ∠ODF. ∴ BE∥DF. 7.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD,AD∥BC,AB∥CD. ∴ ∠B+∠C= 180°,∠ADF= ∠DEC. ∵ ∠AFE= ∠B,∠AFE+∠AFD= 180°, ∴ ∠AFD= ∠C. ∵ AF=AB, ∴ AF=DC. ∵ ∠ADF= ∠DEC,∠AFD= ∠C, ∴ △DFA≌△ECD(AAS) . ∴ AD=DE. 18. 1. 2　 平行四边形的判定 第 1 课时　 平行四边形的判定 【边学边练】 1. D　 【解析】A. ∵ AB∥CD,AD=BC,不符合“一 组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 的判定,∴ 四边形 ABCD 不一定是平行四边 形,也可能是等腰梯形. 故此选项不符合题 意;B. ∵ ∠A = ∠B,∠C = ∠D,是两组邻角相 等,不符合“两组对角分别相等的四边形是平 行四边形”的判定,∴ 四边形 ABCD 不一定是 平行四边形,也可能是等腰梯形. 故此选项不 符合题意;C. ∵ AB=AD,CB =CD,是两组邻边 相等,不符合“两组对边分别相等的四边形是 平行四边形”的判定,∴ 四边形 ABCD 不是平 行四边形. 故此选项不符合题意;D. ∵ OA = OC,OB=OD,符合“对角线互相平分的四边形 是平行四边形”的判定,∴ 四边形 ABCD 是平 行四边形. 故此选项符合题意. 故选 D. 2. C　 【解析】∵ AB∥CD,∴ ∠B+∠C = 180°. 当 ∠A= ∠C 时,∠A+∠B = 180°,故 AD∥BC,则 四边形 ABCD 是平行四边形. 故选 C. 3.解:AB=CD,AD=CB 四边形 ABCD 是平行四边形 证明:如图,连接 AC. 在△ABC 和△CDA 中, AB=CD, CB=AD, AC=CA, { ∴ △ABC≌△CDA(SSS) . ∴ ∠BAC= ∠DCA,∠ACB= ∠CAD. ∴ AB∥CD,AD∥CB. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 【随堂小测】 1. D　 【解析】A. ∵ AD∥BC,∴ ∠ABC+∠BAD = 180°. ∵ ∠ABC = ∠ADC,∴ ∠ADC + ∠BAD = 180°. ∴ AB∥CD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边 形. 故 此 选 项 不 符 合 题 意; B. ∵ ∠ABD = ∠BDC, ∠BAD = ∠BCD, ∴ 180° - ∠ABD - ∠BAD = 180° - ∠BDC - ∠BCD, 即 ∠ADB = ∠CBD. ∴ AD∥CB. ∵ ∠ABD = ∠BDC,∴ AB∥ CD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 故此选项 不符合题意;C. ∵ ∠ABD = ∠BDC,OA = OC, 又 ∵ ∠AOB = ∠COD, ∴ △AOB ≌ △COD (AAS) . ∴ OD=OB. ∴ 四边形 ABCD 是平行四 边形. 故此选项不符合题意;D. 因为∠ABC = ∠ADC,AB= CD,不能判断四边形 ABCD 是平 行四边形,故此选项符合题意. 故选 D. 2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3. ①③　 【解析】∵ AD∥BC,AB∥CD,∴ 四边形 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 39