17.2 勾股定理的逆定理-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(人教版)

17. 2　 勾股定理的逆定理 【边学边练】 知识点一　 勾股数 1. 下列各组数中,能称为勾股数的是 (　 　 ) A. 1, 3 ,2 B. 1. 5,2. 5,2 C. 9,12,15 D. 4,5,6 知识点二　 勾股定理的逆定理 2. 下列各组数分别为一个三角形三边的长,其中能构成直角三角形的一组是 (　 　 ) A. 2,3,4 B. 6,8,10 C. 5,12,14 D. 1,2,2 3. 在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,则下列说法中不正确的是 (　 　 ) A. 如果∠C-∠B= ∠A,那么△ABC 是直角三角形 B. 如果(c+a)(c-a)= b2,那么△ABC 是直角三角形 C. 如果∠A ∶ ∠B ∶ ∠C= 5 ∶ 2 ∶ 3,那么△ABC 是直角三角形 D. 如果 c2 = b2 -a2,那么△ABC 是直角三角形,且∠C= 90° 4. 如图,正方形 ABCD 是由 9 个边长为 1 的小正方形组成的,点 E,F 均在格点(每个小 正方形的顶点都是格点)上,连接 AE,AF,则∠EAF 的度数为 (　 　 ) A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° 【随堂小测】 1. 已知命题“能被 2 整除的数是偶数”,则其逆命题为 (　 　 ) A. 能被 2 整除的数不是偶数 B. 不能被 2 整除的数是偶数 C. 偶数是能被 2 整除的数 D. 偶数不是能被 2 整除的数 2. 要做一个直角三角形的木架,以下面各组木棒为三边,刚好能做成的是 (　 　 ) A. 5,6,7 B. 10,4,8 C. 10,26,24 D. 9,15,17 12 3. 给出下列四个说法:①因为 0. 3,0. 4,0. 5 不是勾股数,所以以 0. 3,0. 4,0. 5 为边长 的三角形不是直角三角形;②因为以 0. 5,1. 2,1. 3 为边长的三角形是直角三角形, 所以 0. 5,1. 2,1. 3 是勾股数;③若 a,b,c 是勾股数,且 c 最大,则一定有 a2 +b2 = c2; ④若三个整数 a,b,c 是直角三角形的三边长,则 2a,2b,2c 一定是勾股数. 其中正确 的是 (　 　 ) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 4. 在△ABC 中,若 a2 +b2 = 25,a2 -b2 = 7,c= 5,则△ABC 是 三角形. 5. 若 A,B,C,D,E 是如图所示的正方形网格中网格线的交点,则∠BAC+ ∠CDE= °. 6. 如图,在四边形 ABCD 中,AB = BC = 1,CD = 3 ,AD = 1,且∠B = 90°,试求∠BAD 的 度数. 7. 如图,四边形 ABCD 的三边(AB,BC,CD)和 BD 的长度都为 5 厘米,动点 P 从点 A 出 发沿 A→B→D 的路线到点 D,速度为 2 厘米 /秒,动点 Q 从点 D 出发沿 D→C→B→ A 的路线到点 A,速度为 2. 8 厘米 /秒,5 秒时点 P,Q 相距 3 厘米,试确定 5 秒时 △APQ 的形状. 22 c2 - 1 2 ab×2 = 15, c2 + 1 2 ab×2 = 39. ì î í ï ï ï ï 解得 c2 = 27. ∴ c = 3 3 或 -3 3 (舍去) . ∴ 大正方形的边长为 3 3 . 故选 B. 2. B　 【解析】如图,设小正方形的边长为 x. ∵ a = 3,b=4,∴ AB=3+4=7.在 Rt△ABC 中,AC2 +BC2 = AB2,即(3+x)2+(x+4)2 =72.整理,得 x2+7x-12=0, 即 x2+7x=12.∴ 该长方形的面积=(3+x)(4+x)= x2+7x+12=12+12=24.故选 B. 3. 10　 【解析】∵ △ABH 和△BCG 全等,四边形 EFGH 是正方形,AH= 6,EF= 2,∴ BG =AH= 6, GH=EF = 2. ∴ BH =GH+BG = 8. ∴ 在 Rt△ABH 中,由勾股定理,得 AB = AH2+BH2 = 62+82 =10. 4.证明:在△ADE 和△ECB 中, AD=EC=a, ∠D= ∠C, DE=CB= b, { ∴ △ADE≌△ECB(SAS) . ∴ ∠AED= ∠EBC. ∵ ∠EBC+∠BEC= 90°, ∴ ∠AED+∠BEC= 90°. ∴ ∠AEB= 90°. ∴ 梯形的面积= 1 2 (a+b)(a+b)= 2× 1 2 ab+ 1 2 c2 . 整理,得 a2 +b2 = c2 . 5.证明:(1)∵ AC⊥BD,∠CAD= 45°, ∴ ∠ACB= ∠DCE= 90°,AC=DC. 在 Rt△ABC 和 Rt△DEC 中, AC =DC, AB=DE,{ ∴ Rt△ABC≌Rt△DEC(HL) . ∴ ∠BAC= ∠EDC. ∵ ∠EDC+∠CED= 90°,∠CED= ∠AEF, ∴ ∠BAC+∠AEF= 90°. ∴ ∠AFE= 90°. ∴ DF⊥AB. (2)由(1)知 Rt△ABC≌Rt△DEC. ∴ EC=BC=a,DC=AC= b,DE=AB= c. ∵ S△BCE+S△ACD =S△ABD-S△ABE, ∴ 1 2 BC·EC+ 1 2 AC·DC= 1 2 AB·DF- 1 2 AB· EF,即 1 2 a2 + 1 2 b2 = 1 2 ·c·DF- 1 2 ·c·EF = 1 2 ·c·(DF-EF)= 1 2 ·c·DE= 1 2 c2 . ∴ a2 +b2 = c2 . 17. 2　 勾股定理的逆定理 【边学边练】 1. C　 【解析】A. 3 不是正整数,该组数不是勾 股数,不符合题意;B. 1. 5,2. 5 不是正整数, 该组数不是勾股数,不符合题意;C. 因为 92 + 122 = 152,所以该组数是勾股数,符合题意; D. 由于 42 +52 ≠62,所以该组数不是勾股数, 不符合题意. 故选 C. 2. B　 【解析】A. ∵ 22 +32 ≠42,∴ 以 2,3,4 为边 不能构成直角三角形. 故本选项不符合题意; B. ∵ 62 +82 = 102,∴ 以 6,8,10 为边能构成直 角三角形. 故本选项符合题意;C. ∵ 52 +122≠ 142,∴ 以 5,12,14 为边不能构成直角三角形. 故本选项不符合题意;D. ∵ 12 + 22 ≠22,∴ 以 1,2,2 为边不能构成直角三角形. 故本选项不 符合题意. 故选 B. 3. D　 【解析】A. ∵ ∠C-∠B = ∠A,∴ ∠C = ∠A+ ∠B. ∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180°,∴ 2 ∠C = 180°. ∴ ∠C = 180° ÷2 = 90°. ∴ △ABC 是直角三角 形. 故该选项说法正确,不符合题意;B. ∵ ( c+ a) ( c - a) = b2,∴ c2 - a2 = b2 . ∴ c2 = b2 + a2 . ∴ △ABC 是直角三角形. 故该选项说法正确, 不符合题意;C. ∵ ∠A ∶ ∠B ∶ ∠C = 5 ∶ 2 ∶ 3, ∴ ∠A= 180°× 5 5+2+3 = 90°. ∴ △ABC 是直角 三角形. 故该选项说法正确,不符合题意;D. ∵ c2 = b2 -a2,∴ b2 = a2 +c2 . ∴ △ABC 是直角三 角形,且∠B = 90°. 故该选项说法不正确,符 合题意. 故选 D. 4. C　 【解析】如图,连接 EF. ∵ AE2 = 22 +12 = 5, EF2 = 22 +12 = 5,AF2 = 32 +12 = 10,∴ AE = EF, AE2 +EF2 =AF2 . ∴ △AEF 是等腰直角三角形. ∴ ∠EAF= 45°. 故选 C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 09 【随堂小测】 1. C 2. C　 【解析】A. 52 +62 ≠72,故不能作为直角三 角形的三边长度;B. 42 +82 ≠102,故不能作为 直角三角形的三边长度;C. 102 +242 = 262,故 能作为直角三角形的三边长度;D. 92 +152 ≠ 172,故不能作为直角三角形的三边长度. 故选 C. 3. C　 【解析】①因为 0. 32 +0. 42 = 0. 52,所以以 0. 3,0. 4,0. 5 为边长的三角形是直角三角形. 但是 0. 3,0. 4,0. 5 不是整数,所以 0. 3,0. 4, 0. 5 不是勾股数. 故该说法错误;② 虽然以 0. 5,1. 2,1. 3 为边长的三角形是直角三角形, 但是 0. 5,1. 2,1. 3 不是整数,所以 0. 5,1. 2, 1. 3 不是勾股数. 故该说法错误;③若 a,b,c 是勾股数,且 c 最大,则一定有 a2 +b2 = c2 . 故 该说法正确;④若三个整数 a,b,c 是直角三 角形的三边长,则 2a,2b,2c 一定是勾股数. 故该说法正确. 综上所述,正确的是③④. 故选 C. 4. 直角 5. 45　 【解析】如图,连接 AD. 设图中每个小正 方形的边长为 x,则 AD = 10 x,CD = 10 x, AC= 2 5 x. ∴ AD2 +CD2 =AC2,AD=CD. ∴ ∠ADC= 90°. ∴ ∠DAC = ∠ACD = 45°. 由题 意,得 AB∥DE. ∴ ∠BAD + ∠ADE = 180°. ∴ ∠BAC+ ∠DAC + ∠ADC + ∠CDE = ∠BAC + 45° + 90° + ∠CDE = 180°. ∴ ∠BAC + ∠CDE = 45°. 6.解:如图,连接 AC. ∵ AB=BC= 1,∠B= 90°, ∴ △ABC 是等腰直角三角形. ∴ AC= AB2 +BC2 = 2 ,∠BAC= 45°. 又∵ CD= 3 ,AD= 1, ∴ AD2 +AC2 =CD2 . ∴ △ACD 是直角三角形. ∴ ∠CAD= 90°. ∴ ∠BAD= ∠BAC+∠CAD= 135°. 7.解:∵ AB=BD= 5 厘米,动点 P 从点 A 出发沿 A→B→D 的路线到点 D,速度为 2 厘米 /秒, ∴ 5 秒时点 P 的运动路程为 2×5 = 10(厘米) . ∵ AB+BD= 10 厘米, ∴ 此时点 P 与点 D 重合. ∵ AB=BC= CD = 5 厘米,动点 Q 从点 D 出发 沿 D→C→B→A 的路线到点 A,速度为 2. 8 厘 米 /秒, ∴ 5 秒时点 Q 的运动路程为 2. 8×5=14(厘米). ∵ DC+CB+BA= 15 厘米, ∴ 点 Q 在边 AB 上,且 BQ= 4 厘米. 如图. 在△BPQ 中,∵ BQ = 4 厘米,PQ = 3 厘米,BP = 5 厘米,∴ BQ2 +PQ2 =BP2 . ∴ △BPQ 是直角三角形,且∠BQP= 90°. ∴ ∠AQP= 180°-∠BQP= 90°. ∴ 5 秒时△APQ 是直角三角形. 小专题 3　 勾股定理及其逆定理的应用 1. B 　 【解析】 由勾股定理,得 AC = 82+62 = 10(m). ∴ 同学们少走了 8+6-10=4(m). 故选 B. 2. A　 【解析】如图,过点 A 作 AB⊥BC 于点 B. ∴ ∠ABC = 90°. ∵ 下底面半径为 5,高为 12, ∴ AB = 12, BC = 5. ∴ AC = AB2 +BC2 = 122 +52 = 13. ∴ a 的长度的取值范围是 12≤ a≤13. 故选 A. 3. 16　 【解析】由题意,得 BC = 6 米,AC = 8 米. 在 Rt △ABC 中, 根 据 勾 股 定 理, 得 AB = BC2+AC2 = 62+82 =10(米). 所以大树断裂之 前的高度为 AB+BC=10+6=16(米). 4. 1. 3　 【解析】如图,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E. ∵ AB= 2. 2 米,BE =CD = 1. 7 米,DE =BC = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 19