17.1.2 勾股定理的证明-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(人教版)

第 2 课时　 勾股定理的证明 【边学边练】 知识点一　 赵爽弦图证明勾股定理 1. (核心素养·抽象能力)观察“赵爽弦图”(如图),若图中四个全等的直角三角形的 两直角边分别为 a,b,a>b,根据图中图形面积之间的关系及勾股定理,可直接得到 等式 (　 　 ) A. a(a-b)= a2 -ab B. (a+b)(a-b)= a2 -b2 C. (a-b) 2 =a2 -2ab+b2 D. (a+b) 2 =a2 +2ab+b2 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 2. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲. 如图所 示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方 形. 设直角三角形的较长直角边长为 a,较短直角边长为 b. 若 ab = 168,大正方形的 面积为 625,则小正方形的边长为 (　 　 ) A. 7 B. 24 C. 17 D. 25 知识点二　 勾股定理的其他证明 3. (易混题)勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,这是历史上第一 个把数与形联系起来的定理,其证明是论证几何的开端. 下面四幅图中,不能证明勾 股定理的是 (　 　 ) A. B. C. D. 【随堂小测】 1. 如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法,该方法运用了祖冲之的出入相补原 理. 若图中空白部分的面积为 15,整个图形(连同空白部分)的面积为 39,则大正方 形的边长为 (　 　 ) A. 2 6 B. 3 3 C. 5 D. 4 2 91 2. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正 方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式,后人借助这种分割方法所得的图 形证明了勾股定理. 如图所示的长方形由两个这样的图形拼成. 若 a = 3,b = 4,则该 长方形的面积为 (　 　 ) A. 20 B. 24 C. 99 4 D. 53 2 第 2 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 3 题图 3. 如图,在“赵爽弦图”中,△ABH,△CDF,△BCG 和△ADE 是四个全等的直角三角形, 四边形 ABCD 和四边形 EFGH 都是正方形. 若 AH= 6,EF= 2,则 AB 等于 . 4. (易错题)如图,已知∠C = ∠D = 90°,D,E,C 三点共线,各边长如图所示,请利用面 积法证明勾股定理. 5. 如图,在△ABD 中,AC⊥BD 于点 C,E 是 AC 上一点,连接 BE,DE,DE 的延长线交 AB 于点 F. 已知 DE=AB,∠CAD= 45°. (1)求证:DF⊥AB; (2)已知:如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,BC=a,AC= b,AB= c. 求证:a2 +b2 = c2 . 利用 图中阴影部分面积完成勾股定理的证明. 02 故选 A. 4. B　 【解析】∵ OB = 12 +12 = 2 ,∴ OA =OB = 2 . ∵ 点 A 在 x 轴的负半轴上,∴ x 的值为- 2 . 故选 B. 5. -1- 2 　 2 2 　 【解析】由题意可知 OA = 1,由 勾股定理可知 AM = AN = 12 +12 = 2 . ∴ MN =AM+AN= 2 + 2 = 2 2 ,点 M 在数轴上表示 的数为-1- 2 . 【随堂小测】 1. A　 【解析】设另一条直角边的长为 x. ∵ 斜边 的长为 13,一条直角边的长为 5,∴ x= 132 -52 = 12. ∴ S= 1 2 ×5×12 = 30. 故选 A. 2. C　 【解析】∵ 数轴上点 A 表示的数为-2,点 B 表示的数为 1,∴ AB = 1-(-2)= 3. ∵ BC = 2, BC⊥AB,∴ AC = 22 +32 = 13 . ∴ AC = AD = 13 . ∴ 点 D 到原点的距离为 13 -2. ∴ 点 D 表示的数为 13 -2. 故选 C. 3. A　 【解析】∵ 点 P 的坐标为(-4,6),∴ OP = (-4) 2 +62 = 2 13 . ∵ 点 A,P 均在以点 O 为 圆心,以 OP 的长为半径的弧上,∴ OA =OP = 2 13 . ∵ 12. 25<13<16,∴ 3. 5< 13 <4. ∴ 7< 2 13 <8. ∵ 点 A 在 x 轴的负半轴上,∴ 点 A 的横坐标介于-8 和-7 之间. 故选 A. 4. D　 【解析】当 AD 在△ABC 内部时,如图 1. ∵ AD⊥BC,AD = 2,AB = 7 ,AC = 4,∴ BD = AB2 -AD2 = 3 ,CD= AC2 -AD2 = 2 3 . ∴ BC =BD+CD= 3 3 . 图 1 　 　 图 2 当 AD 在△ABC 外部时,如图 2. 同理可得 BD = 3 ,CD= 2 3 . ∴ BC =CD-BD = 3 . ∴ BC 的 长为 3 或 3 3 . 故选 D. 5.解:∵ CD⊥AB, ∴ ∠ADC= ∠BDC= 90°. 在 Rt△CDB 中,由勾股定理,得 BC= CD2 +BD2 = 122 +92 = 15. 在 Rt△ADC 中,由勾股定理,得 AD= AC2 -CD2 = 202 -122 = 16. ∴ AB=AD+BD= 16+9 = 25. 故 AB 的长为 25,BC 的长为 15. 6.解:如图,点 E,F 即为所求. OA= OB2 +AB2 = 22 +32 = 13 , 则图中点 E 和点 F 均为到原点的距离为 13 的点. 第 2 课时　 勾股定理的证明 【边学边练】 1. C　 【解析】如图,标注各点. ∵ S正方形PQMN = S正方形ABCD -4SRt△ABN,∴ (a-b) 2 = a2 +b2 -4× 1 2 ab=a2 -2ab+b2 . 故选 C. 2. C　 【解析】由题意可知中间小正方形的边长 为 a-b. ∵ 每一个直角三角形的面积为 1 2 ab, 从图形中可得大正方形的面积是 4 个直角三 角形的面积与中间小正方形的面积之和,∴ 4× 1 2 ab+(a-b) 2 = 625. ∵ ab = 168,∴ (a-b) 2 = 625-2×168 = 289. ∵ a-b>0,∴ a-b= 17. 故选 C. 3. D　 【解析】A. ∵ 1 2 ab+ 1 2 c2 + 1 2 ab = 1 2 (a+b)· (a+b),∴ 整理,得 a2 +b2 = c2,即能证明勾股 定理,故本选项不符合题意;B. ∵ 4× 1 2 ab+c2 =(a+b) 2,∴ 整理,得 a2 +b2 = c2,即能证明勾 股定理,故本选项不符合题意;C. ∵ 4× 1 2 ab+ (b-a) 2 = c2,∴ 整理,得 a2 +b2 = c2,即能证明 勾股定理,故本选项不符合题意;D. 根据图形 不能证明勾股定理,故本选项符合题意. 故选 D. 【随堂小测】 1. B　 【解析】设四个全等的直角三角形的两条 直角边长分别为 a,b,斜边为 c. 根据题意,得 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 98 c2 - 1 2 ab×2 = 15, c2 + 1 2 ab×2 = 39. ì î í ï ï ï ï 解得 c2 = 27. ∴ c = 3 3 或 -3 3 (舍去) . ∴ 大正方形的边长为 3 3 . 故选 B. 2. B　 【解析】如图,设小正方形的边长为 x. ∵ a = 3,b=4,∴ AB=3+4=7.在 Rt△ABC 中,AC2 +BC2 = AB2,即(3+x)2+(x+4)2 =72.整理,得 x2+7x-12=0, 即 x2+7x=12.∴ 该长方形的面积=(3+x)(4+x)= x2+7x+12=12+12=24.故选 B. 3. 10　 【解析】∵ △ABH 和△BCG 全等,四边形 EFGH 是正方形,AH= 6,EF= 2,∴ BG =AH= 6, GH=EF = 2. ∴ BH =GH+BG = 8. ∴ 在 Rt△ABH 中,由勾股定理,得 AB = AH2+BH2 = 62+82 =10. 4.证明:在△ADE 和△ECB 中, AD=EC=a, ∠D= ∠C, DE=CB= b, { ∴ △ADE≌△ECB(SAS) . ∴ ∠AED= ∠EBC. ∵ ∠EBC+∠BEC= 90°, ∴ ∠AED+∠BEC= 90°. ∴ ∠AEB= 90°. ∴ 梯形的面积= 1 2 (a+b)(a+b)= 2× 1 2 ab+ 1 2 c2 . 整理,得 a2 +b2 = c2 . 5.证明:(1)∵ AC⊥BD,∠CAD= 45°, ∴ ∠ACB= ∠DCE= 90°,AC=DC. 在 Rt△ABC 和 Rt△DEC 中, AC =DC, AB=DE,{ ∴ Rt△ABC≌Rt△DEC(HL) . ∴ ∠BAC= ∠EDC. ∵ ∠EDC+∠CED= 90°,∠CED= ∠AEF, ∴ ∠BAC+∠AEF= 90°. ∴ ∠AFE= 90°. ∴ DF⊥AB. (2)由(1)知 Rt△ABC≌Rt△DEC. ∴ EC=BC=a,DC=AC= b,DE=AB= c. ∵ S△BCE+S△ACD =S△ABD-S△ABE, ∴ 1 2 BC·EC+ 1 2 AC·DC= 1 2 AB·DF- 1 2 AB· EF,即 1 2 a2 + 1 2 b2 = 1 2 ·c·DF- 1 2 ·c·EF = 1 2 ·c·(DF-EF)= 1 2 ·c·DE= 1 2 c2 . ∴ a2 +b2 = c2 . 17. 2　 勾股定理的逆定理 【边学边练】 1. C　 【解析】A. 3 不是正整数,该组数不是勾 股数,不符合题意;B. 1. 5,2. 5 不是正整数, 该组数不是勾股数,不符合题意;C. 因为 92 + 122 = 152,所以该组数是勾股数,符合题意; D. 由于 42 +52 ≠62,所以该组数不是勾股数, 不符合题意. 故选 C. 2. B　 【解析】A. ∵ 22 +32 ≠42,∴ 以 2,3,4 为边 不能构成直角三角形. 故本选项不符合题意; B. ∵ 62 +82 = 102,∴ 以 6,8,10 为边能构成直 角三角形. 故本选项符合题意;C. ∵ 52 +122≠ 142,∴ 以 5,12,14 为边不能构成直角三角形. 故本选项不符合题意;D. ∵ 12 + 22 ≠22,∴ 以 1,2,2 为边不能构成直角三角形. 故本选项不 符合题意. 故选 B. 3. D　 【解析】A. ∵ ∠C-∠B = ∠A,∴ ∠C = ∠A+ ∠B. ∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180°,∴ 2 ∠C = 180°. ∴ ∠C = 180° ÷2 = 90°. ∴ △ABC 是直角三角 形. 故该选项说法正确,不符合题意;B. ∵ ( c+ a) ( c - a) = b2,∴ c2 - a2 = b2 . ∴ c2 = b2 + a2 . ∴ △ABC 是直角三角形. 故该选项说法正确, 不符合题意;C. ∵ ∠A ∶ ∠B ∶ ∠C = 5 ∶ 2 ∶ 3, ∴ ∠A= 180°× 5 5+2+3 = 90°. ∴ △ABC 是直角 三角形. 故该选项说法正确,不符合题意;D. ∵ c2 = b2 -a2,∴ b2 = a2 +c2 . ∴ △ABC 是直角三 角形,且∠B = 90°. 故该选项说法不正确,符 合题意. 故选 D. 4. C　 【解析】如图,连接 EF. ∵ AE2 = 22 +12 = 5, EF2 = 22 +12 = 5,AF2 = 32 +12 = 10,∴ AE = EF, AE2 +EF2 =AF2 . ∴ △AEF 是等腰直角三角形. ∴ ∠EAF= 45°. 故选 C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 09