小专题1 二次根式的计算-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(人教版)

小专题 1　 二次根式的计算 1. 化简(a-2) 1 2-a 的结果为 (　 　 ) A. -1 B. 1 C. 2-a D. - 2-a 2. 下列各式中,正确的是 (　 　 ) A. | 2 - 3 | = 3 - 2 B. 2 + 3 = 5 C. 6 - 3 = 2 D. -4 = -2 3. 下列各式的计算正确的是 (　 　 ) A. -4 -9 = -4 -9 B. 4 2 9 = 2 2 3 C. 3 4 = 2 3 D. 3 11 ÷ 3 2 3 = 3 11 ÷11 3 = 3 11 4. 若 a= 3 -2,则代数式 a2 +4a+6 的值等于 (　 　 ) A. 5 B. 9 C. 4 3 -3 D. 4 3 +5 5. 计算: ( 48 -6 13 ) ÷ 3 = . 6. 从- 2 , 3 , 6中任意选择两个数,分别填在算式(□+〇) 2 ÷ 2 里面的“□”与“〇” 中,计算该算式的结果是 . (只需写出一种结果) 7. 若 x= 1+ 7 ,则 x3 -3x2 +2x- 7 = . 8. (1)求代数式 a+ 1-2a+a2 的值,其中 a= 1 007,下图是小亮和小芳的解答过程: 的解法是错误的; (2)求代数式 a+2 a2 -6a+9的值,其中 a= -2 026. 31 9. (1)计算:( 7 - 13 )( 7 + 13 ) +( 3 +1) 2 - 6 × 3 2 + | - 3 | ; (2)已知 a<0,化简: 4- (a+ 1a ) 2 - 4+ (a- 1a ) 2 . 10. 阅读下列材料,然后回答问题. 在进行二次根式化简时,我们会碰上如 2 3 , 2 5 , 2 3 +1 这样的式子,其实我们还可以 将其进一步化简. ① 2 3 = 2× 3 3 × 3 = 2 3 3 ;② 2 5 = 2×5 5×5 = 10 5 ; ③ 2 3 +1 = 2×( 3 -1) ( 3 +1) ×( 3 -1) = 2×( 3 -1) ( 3 ) 2 -12 = 2( 3 -1) 2 = 3 -1. 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化. (1)化简: 3 6 = , 2 7 = , 2 5 - 3 = ; (2)计算: 1 1+ 3 + 1 3 + 5 +…+ 1 95 + 97 + 1 97 + 99 . 41 原式= 1 3 -1+1 - 3 = 3 3 - 3 = -2 3 3 . 7.解:如图,标注各字母. 由题意知 S正方形ABCH =HC2 = 9 cm2, S正方形EFLM =LM2 =LF2 =ME2 = 8 cm2 . ∴ HC= 3 cm,LM=LF=ME= 2 2 cm. ∴ S空白部分 =S长方形HLFG+S长方形MCDE =HL·LF+MC·ME=HL·LF+MC·LF = (HL+MC)·LF= (HC-LM)·LF = (3-2 2 )×2 2 =(6 2 -8)cm2 . ∴ 空白部分的面积为(6 2 -8)cm2 . 小专题 1　 二次根式的计算 1.D　 【解析】由题意,得 2-a>0. ∴ 原式=(a-2)· 2-a (2-a)(2-a) = a-2 -(a-2) 2-a = - 2-a . 故选 D. 2. A　 【解析】A. ∵ 2 < 3 ,∴ | 2 - 3 | = 3 - 2 . 正确,符合题意;B. 2 和 3 不是同类二次 根式,不能合并. 不正确,不符合题意;C. 6 和 3 不是同类二次根式,不能合并. 不正确,不 符合题意;D. -4< 0, -4 无意义. 不正确,不 符合题意. 故选 A. 3. D　 【解析】A. -4 -9 = 4 9 = 4 9 = 2 3 ,则该选 项计算错误;B. 4 2 9 = 38 9 = 38 3 ,则该选 项计算错误;C. 3 4 = 3 2 ,则该选项计算错 误;D. 3 11 ÷ 3 2 3 = 3 11 ÷11 3 = 3 11 × 3 11 = 3 11 ,则该选项计算正确. 故选 D. 4. A　 【解析】∵ a = 3 -2,∴ a2 +4a+6 =(a+2)2 + 2 =( 3 -2+2) 2 +2 = 3+2 = 5. 故选 A. 5. 2　 【解析】原式 = 4 3 -6× 3 3( ) ÷ 3 = (4 3 - 2 3 )÷ 3 = 2 3 ÷ 3 = 2. 6. 5 2 2 -2 3 (答案不唯一) 　 【解析】若“□”是 - 2 ,“〇” 是 3 ,则( - 2 + 3 ) 2 ÷ 2 = (5 - 2 6 )÷ 2 = 5 2 2 -2 3 ;若“□”是- 2 ,“〇”是 6 ,则(- 2 + 6 ) 2 ÷ 2 = (8 - 2 12 ) ÷ 2 = 4 2 -2 6 ;若“□”是 3 ,“〇”是 6 ,则( 3 + 6 ) 2 ÷ 2 =(9+2 18 )÷ 2 = 9 2 2 +6. (答案不 唯一) 7. 5 7 　 【解析】原式=(x3 -3x2)+2x- 7 = x2(x- 3)+2x- 7 . 当 x = 1+ 7 时,原式=(1+ 7)2(1+ 7 -3)+2(1+ 7)- 7 =(1+2 7 +7)( 7 -2)+2+ 2 7 - 7 =(8+2 7)( 7 -2)+2+ 7 =8 7 -16+14- 4 7 +2+ 7 = 5 7 . 8.解:(1)小亮 (2)∵ a= -2 026, ∴ 原式=a+2 (a-3) 2 = a+2 | a-3 | = a+2(3- a)= a+6-2a= -a+6 = 2 026+6 = 2 032. 9.解:(1)原式 = ( 7 )2 -( 13 )2 +( 3 )2 +2× 3 + 1- 6 ×3 2 + 3 = 7-13+3+2 3 +1-3+ 3 = -5+3 3 . (2)原式= 4-a2 -2- 1 a2 - 4+a2 -2+ 1 a2 = -a2 +2- 1 a2 - a2 +2+ 1 a2 = - (a- 1a ) 2 - (a+ 1a ) 2 . 要使 - (a- 1a ) 2 有意义,需- ( a- 1a ) 2 ≥0, ∴ a- 1 a = 0. 解得 a= ±1. ∵ a<0,∴ a= -1. 当 a= -1 时,原式= a- 1 a - a+ 1 a 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 78 = -1- 1-1 - -1+ 1-1 = 0-2 = -2. 10.解:(1) 3 6 = 3× 6 6 × 6 = 6 2 , 2 7 = 2×7 7×7 = 14 7 , 2 5 - 3 = 2×( 5 + 3 ) ( 5 - 3 ) ×( 5 + 3 ) = 2×( 5 + 3 ) ( 5 ) 2 -( 3 ) 2 = 2×( 5 + 3 ) 2 = 5 + 3 . 故答案为 6 2 , 14 7 , 5 + 3 . (2) 1 1+ 3 + 1 3 + 5 +…+ 1 95 + 97 + 1 97 + 99 = 1 2 ( 3 - 1) + 1 2 ( 5 - 3 ) +… + 1 2 ( 97 - 95 ) + 1 2 ( 99 - 97 ) = 1 2 ( 3 -1+ 5 - 3 +…+ 97 - 95 + 99 - 97 )= 99 -1 2 = 3 11 -1 2 . 小专题 2　 二次根式的应用 1. B　 【解析】方程两边同时除以 6,得 x= 2 6 = 1 3 = 3 3 .故选 B. 2. C　 【解析】∵ 在△ABC 中,AB = 3 + 2 ,BC = 3 - 2 ,∴ AB-BC<AC<AB+BC,即 3 + 2 - ( 3 - 2 )<AC< 3 + 2 + 3 - 2 . ∴ 2 2 <AC< 2 3 . ∵ 4<8<9<12<16,∴ 2<2 2 <3<2 3 <4. ∴ 四个选项中,只有 C 选项符合题意. 故选 C. 3. D　 【解析】∵ 两张正方形纸片的面积分别为 16 cm2 和 12 cm2,∴ 它们的边长分别为 16 = 4(cm), 12 = 2 3 (cm) . ∴ AB = 4 cm,BC = (2 3 +4)cm. ∴ 空白部分的面积 = (2 3 +4)× 4-12-16 = 8 3 +16-12-16 = (8 3 -12) cm2 . 故选 D. 4. C　 【解析】∵ 在△ABC 中,a = 3,b = 4,c = 5, ∴ p = a +b+c 2 = 3+4+5 2 = 6,S= p(p-a)(p-b)(p-c) = 6×(6-3)×(6-4)×(6-5)= 36 =6.故选 C. 5. x>- 3 - 2 　 【解析】移项,得 3x- 2 x>-1. 合 并同类项,得( 3 - 2)x>-1. 系数化为 1,得 x> - 1 3 - 2 .分母有理化,得 x>- 3 - 2 . 6. 3 2 2 　 【解析】由题意,得 72 = I2·8×2. ∴ I2 = 9 2 . 解得 I= 3 2 2 . 7. 解: ( 1) 该长方形土地的周长为 2 ( 343 + 224)= 2(7 7 +4 14)= (14 7 +8 14)m. (2) 该长方形土地的面积为 343 × 224 = 7 7 ×4 14 = 196 2 ≈276. 36(m2) . 在该长方形土地上全部种植草坪的总费用为 276. 36×160 = 44 217. 6≈44 218(元) . 8.解:(1)当 h= 98 时, t≈ 2 ×98 9. 8 = 20 = 2 5 . (2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行 人. 理由如下: 当 t= 4 时,4≈ 2h 9. 8 . 解得 h= 78. 4. ∵ 这个玩具产生的动能为 10 × 0. 1 × 78. 4 = 78. 4(焦),78. 4>65, ∴ 这个玩具产生的动能会伤害到楼下的 行人. 9.解:(1)由题意,得 14+6 5 = 9+2×3× 5 +5 = (3+ 5 ) 2 = 3+ 5 . 故答案为 5, 5 ,3+ 5 . (2)原式= 25-2×5× 3 +3 + 4+2×2× 3 +3 = (5- 3 ) 2 + (2+ 3 ) 2 = 5- 3 +2+ 3 = 7. 第十七章　 勾股定理 17. 1　 勾股定理 第 1 课时　 勾股定理 【边学边练】 1. C　 2. C 3. A　 【解析】∵ AB= 62 +42 = 2 13 ,AC= 4 13 3 ,∴ BC= AB-AC = 2 13 -4 13 3 = 2 13 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 88