衔接点01 运算与技巧-2024年小升初数学无忧衔接（通用版）

衔接点01 运算与技巧 小学阶段主要学习正有理数和零的加减乘除混合运算，培养的核心数学素养是学生的运算能力。 初中阶段较小学数学在数和运算方面主要变化有：数系扩大了，上升到有理数域，最后到实数域，这是对数的认识的一个飞跃。同时数的运算也相应的从小学中的正数的加、减、乘、除四则运算上升到了有理数和实数的混合运算，并且加入了乘方、开方运算。主要培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、应用意识等。 对于四则混合运算，我们要求学生熟练地掌握运算顺序和计算的正确率；到了初中后，只要弄懂符号法则，那有理数的运算教学也能达到事半功倍之效。 对于运算技巧（简便运算），希望大家能发自内心想要让运算简便，而不是题目要求要简便。通过本专题希望大家能同学们多观察、体会，勤总结，灵活运用简算方法，深刻理解简算的数学思想。 题型探究 题型1、活用运算定律和性质（凑整思想） 3 题型2、巧分组法 10 题型3、换元法 13 题型4、分数裂项计算 16 题型5、数列求和（等差、等比数列） 22 题型6、运用乘法公式运算 26 培优精练 A组（能力提升） 29 B组（培优拓展） 38 1．运算定律 1）加法交换律： 加法结合律： 2）乘法交换律： 乘法结合律： 3）乘法分配律： 乘法分配律的逆用： 2．运算性质 1）减法的性质： 2）除法的性质： 3）商的“不变性”，即若，则，； 3．裂项公式（补充）：把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。 第一类（“裂差”型运算）：或 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 4．数列求和公式（补充） 等差数列求和 等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1 等比数列求和 等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1） 5．乘法公式（补充） 平方差公式： 完全平方公式：， 题型1、活用运算定律和性质（凑整思想） 【解题技巧】“凑整”就是把“一些分数（或小数）凑成整数”，把“一些整数凑成10的整倍数”，使有理数式子容易计算出结果。在凑整过程中，常用添项、拆项、分解因数、提公因数等方法技巧。 一般情况下，小学阶段的凑整主要使用运算定律或减法的性质、除法的性质及商的不变性达到凑整的目的。 例1．（2023·四川成都·小升初真题）能简算的要简算。 （1）      （2） （3） （4）       （5） 【答案】（1）；（2）；（3）13；（4）66；（5） 【分析】（1）分数连乘，能约分的要先约分。 （2）利用乘法的分配律。 （3）括号里面的分数的分母恰好和括号外面的整数约分，则利用乘法的分配律计算。 （4）将看成1×，这样就可以利用乘法的分配律计算。 （5）将101看成100＋1，这样利用乘法的分配律，正好可以和分数约分。 【详解】（1） ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝7＋6 ＝13 （4） ＝ ＝ ＝ ＝66 （5） ＝ ＝ ＝99＋ ＝ 例2．（2023·河北邯郸·小升初真题）计算下列各题，能简算的要简算。 （1）       （2） （3） （4）  （5）   （6）（9＋7）÷（＋） 【答案】（1）；（2）40 ；（3）2023；（4）15；（5）1   （6）13 【分析】（1）62.5%化为分数是，把除法改写成乘法形式，再根据乘法分配律可进行简算； （2）根据除法的性质，把算式改写成连除形式可进行简算； （3）根据积不变的规律统一将其中一个因数转换为20.23，再根据乘法分配律进行简算。 （4），先根据带符号搬家，将算式变为，然后把化为0.2，根据减法的性质和括号的应用，将算式变为进行简算即可； （5）仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中2005×2006可变形为（2004＋1）×2006=2004×2006＋2006－1，同时发现2006－1=2005，这样就可以把原式转化成分子与分母相同，从而简化运算． （6）在本题中，被除数提取公因数65，除数提取公因数5，再把和的和作为一个数来参与运算，会使计算简便很多． 【详解】（1） （2） （3） （4） （5）原式= = =1 （6）原式=（＋）÷（＋） =[65×（＋）]÷[5×（＋）] =65÷5 =13 变式1．（2024·四川成都·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。 （1）     （2）     （3） （4）     （5）       （6） 【答案】（1）；（2）60；（3）15；（4）0.6；（5）；（6） 【分析】（1）先算括号里面的加法，再算括号外面的乘法。括号里面是异分母分数加法，先通分将分数转化为同分母加法。分数的乘法，能约分的要先约分。 （2）分数连乘能约分的先约分。 （3）运用乘法的分配律简便运算。 （4）先算括号里面的减法，再算括号外面的乘法。括号里面是异分母分数减法，先通分将分数转化为同分母减法。分数的乘法，能约分的要先约分。 （5）分数的乘除混合运算现将分数的除法转化成分数的乘法计算。除以一个数相当于乘这个数的倒数。 （6）先算括号里面的减法，再算括号外面的乘法。括号里面是整数减分数，先将整数转化为和另外一个分数同分母的分数，再根据同分母减法计算。分数的乘法，能约分的要先约分。 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 变式2．（2023·山东济南·小升初真题）脱式计算，能简算的要简算。 6.8×0.35＋408÷24     1.8×＋2.2×25%－0.25 （0.2＋）×÷8     【答案】19.38；0.75；； 【分析】（1）先算乘法和除法，再算加法； （2）根据乘法分配律进行简算； （3）先算小括号里面的加法，再算乘法，最后算除法； 【详解】（1）6.8×0.35＋408÷24 ＝2.38＋17 ＝19.38 （2）1.8×＋2.2×25%－0.25 ＝1.8×0.25＋2.2×0.25－0.25 ＝（1.8＋2.2－1）×0.25 ＝（4－1）×0.25 ＝3×0.25 ＝0.75 （3）（0.2＋）×÷8 ＝（＋）×÷8 ＝（＋）×÷8 ＝×÷8 ＝× ＝ 变式3．（2023春·广西·六年级培优）计算． （1）   （2）（＋1＋）÷（＋＋） 【答案】（1）1    （2）2 【详解】（1）    = = = =1 （2）（＋1＋）÷（＋＋） =（＋＋）÷（＋＋） =2×（＋＋）÷（＋＋） =2 变式4.（2023·福建泉州·小升初模拟）神机妙算。 （1）8×3÷[1÷（3－2.95）] （2）×39＋×25＋2× （3）2018÷2018＋ 【答案】；1680；1 【分析】（1）根据乘法交换律简算；（2）（3）根据乘法分配律简算； 【详解】（1）8×3÷[1÷（3－2.95）] ＝8××（3.2－2.95） ＝8××0.25 ＝8×0.25× ＝2× ＝ （2）×39＋×25＋2× ＝（1－）×39＋×25＋2× ＝39－×39＋×25＋2× ＝39－×（39－25－2） ＝39－×12 ＝39－9 ＝30 （3）2018÷2018 ＝2018÷＋ ＝2018÷＋ ＝2018÷＋ ＝2018×＋ ＝＋ ＝1 【点睛】在四则混合运算中，要仔细观察算式的特点，灵活运用一些定律进行简便计算。 题型2、巧分组法 【解题技巧】观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算。 例1．（2024·广东·小升初模拟）计算题，写出计算过程和结果。 （1）    （2） 【答案】（1）；（2）2050 【分析】（1）将带分数转化为整数和真分数相加，利用加法的交换律和结合律将整数和整数相加，分数和分数相加。（2）观察数据，把整数和整数先加起来。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝25＋ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2050 例2．（2024六年级·浙江·培优）计算。 （1） （2）2023-2020+2017-2014＋2011－2008＋……＋19－16+13－10+7－4+1 【答案】（1）（2）1012 【分析】（1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号搬家和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可。 （2）合理分组：（2023-2020）+（2017-2014）＋（2011－2008）＋……＋（13－10）＋（7－4）＋1 每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2）2023-2020+2017-2014＋2011－2008＋……＋13－10＋7－4+1 =（2023-2020）+（2017-2014）＋（2011－2008）＋……＋（13－10）＋（7－4）＋1 每两个数为一组，结果是3；一共有337组； =3×337+1 =1012 变式1．（2022·江苏南京·统考小升初真题）简算，并写出简算过程。 99－97＋95－93＋91－89＋…＋7－5＋3－1     【答案】50； 【分析】第四小题，通过观察，两组数字为一组，共分为25组，每组得数是2，进而计算即可； 【详解】99－97＋95－93＋91－89＋…＋7－5＋3－1 ＝（99－97）＋（95－93）＋（91－89）＋…＋（7－5）＋（3－1） ＝2＋2＋2＋…＋2＋2（25个2） ＝2×25 ＝50 变式2．（2024·江苏·六年级校考期中）计算：       【答案】21； 【分析】法1：把整数和整数部分相加，分数和分数部分相加，分数部分相加时，把写成1－，写成－，写成－，写成－，写成－，写成－，再进行简算即可； 法2：把整数和整数部分相加，分数和分数部分相加，分数部分相加时，添项，再减去，达到凑整的目的，再进行简算即可。 【详解】法1： ＝（1＋2＋3＋4＋5＋6）＋（） ＝21＋（1－＋－＋－＋－＋－＋－） ＝21＋（1－） ＝21＋ ＝21 【详解】法2： ＝（1＋2＋3＋4＋5＋6）＋（+－） ＝21＋（＋＋＋＋＋－） ＝21＋（＋＋＋＋－） ＝21＋（＋＋＋－） ＝21＋（＋＋－） ＝21＋（＋－） ＝21＋（1－） ＝21＋ ＝21 题型3、换元法 【解题技巧】从式子的整体角度考察，把部分式子用字母代替后，再进行化简求值。通过引入字母转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用。 例1．（2023·湖南湘潭·六年级自主招生）计算。 【答案】 【分析】令＝A，＝B，将原式改写成含字母A、B的式子，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c将式子化简，最后再把A、B换回原来的式子计算出结果。 【详解】令＝A，＝B； 原式＝A×（B＋）－（A＋）×B ＝AB＋A－AB－B ＝A－B ＝×（A－B） ＝×[（）－（）] ＝×[] ＝×1 ＝ 例2．（2024·成都市小升初模拟）计算（写出必要的计算过程）。 【答案】 【分析】假设＝a，则原式变形为：（1＋a）×（a＋）－a×（1＋a＋），化简后即可得解。 【详解】设＝a， 原式化为：（1＋a）×（a＋）－a×（1＋a＋） ＝a＋＋a2＋－a－ a2－ ＝ 【点睛】要仔细观察算式的特点，灵活运用一些定律进行简便计算，注意解题的关键是将的和设为a。 变式1．（2022·广东深圳·六年级校考期中）巧算。 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）2020÷，把带分数化成假分数，＝＝，原式化为：2020÷，把除法换成乘法，原式化为：2020×，约分，即可解答； （2）（＋＋＋）×（＋＋＋）－（＋＋＋＋）×（＋＋），把（＋＋＋）化为[（＋＋）＋]，（＋＋＋＋）化为[（＋＋＋）＋]；原式化为：（＋＋＋）×[（＋＋）＋]－[（＋＋＋）＋]×（＋＋），再根据乘法分配律，原式化为：（＋＋＋）×（＋＋）＋（＋＋＋）×－（＋＋＋）×（＋＋）－×（＋＋），原式化为：（＋＋＋）×－×（＋＋），再根据乘法分配律，原式化为：×（＋＋＋－－－），再进行计算。 【详解】（1）2020÷ ＝2020÷ ＝2020÷ ＝2020× ＝ （2）（＋＋＋）×（＋＋＋）－（＋＋＋＋）×（＋＋） ＝（＋＋＋）×[（＋＋）＋]－[（＋＋＋）＋]×（＋＋） ＝（＋＋＋）×（＋＋）＋（＋＋＋）×－（＋＋＋）×（＋＋）－×（＋＋） ＝（＋＋＋）×－×（＋＋） ＝×（＋＋＋－－－） ＝× ＝ 变式1.（2023·广东·校考小升初模拟）用简便方法计算。 【答案】 【分析】假设，，把字母代入原式化简含有字母的式子，最后再把a和b的值代入化简后的式子求出结果，据此计算。 【详解】假设， 原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 题型4、分数裂项计算 【解题技巧】把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。利用下面的拆项公式课化简一些有理数式子的计算 第一类（“裂差”型运算）：①或 ②。 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 例1．（2022·广西南宁·校考小升初真题）观察下列等式： ，，， 请将以上三个等式两边分别相加得： 。 （1）猜想并写出：（    ）。 （2）（    ）。 （3）探究并计算：（    ）。 （4）计算： 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】（1）先根据题中所给出的等式进行猜想，写出猜想结果即可；（2）根据（1）中的猜想计算出结果；（3）根据乘法分配律提取，再计算即可求解；（4）先拆项，再抵消结果即可求解。 【详解】（1） ＝ ＝ 【点睛】本题考查的是分数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键。 例2．（2024六年级下·山东·培优） 。 【答案】 【分析】对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即，这里我们把较小的数写在前面，即，那么就有。先将2006利用乘法的分配律提出来，剩下的加法算式中，可以利用上面的公式化简，即、……，再利用乘法的分配律提出，最后可以发现，可以抵消掉一部分的分数。 【详解】 【点睛】将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法。裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。 例3．（2023·四川成都·小升初真题）计算。       【答案】； 【分析】，根据带分数的意义以及带符号搬家，将算式变为，将每个分数变为，根据，将算式变为，然后计算出，再把括号去掉，将算式变为；能相互抵消掉的分数就互相抵消，据此算式变为，进而得出结果。 ，先把所有的假分数化为带分数，然后根据减法的性质，将算式变为，再根据带符号搬家，将算式变为，据此加上括号，将算式变为，计算第一个括号的结果为8，因为，所以算式等于，也就是，据此计算出，再去掉括号，将算式变为，最后计算出结果。 【详解】 变式1．（2024·湖北·六年级期中）计算题： （1） （2） （3） （4） 【答案】；；； 【分析】第一小题，观察算式可得“”，再利用公式“”，即可简算； 第二小题，利用公式“”，即可简算。 第三小题，利用公式“”，可以简算； 第四小题，先分别计算出整数部分和分数部分的和，再相加即可，整数部分的和是1023，观察分数部分发现：＝1－、＝－、＝－……，据此可知“”，等于“”，据此解题即可。 【详解】 ＝ ＝2×2012＋ ＝4024＋ ＝4024＋ ＝4024＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝5××（） ＝5××（） ＝5×× ＝ ＝（1＋2＋4＋…＋256＋512）＋（） ＝1023＋（） ＝1023＋ ＝ 变式2．（2022·湖南长沙·小升初真题）计算： 。 【答案】/0.9 【分析】因为1＋2＋3＋…＋n＝（1＋n）n÷2，将算式变为，然后根据分数的基本性质，将分数的分子和分母同时乘2，则算式变为，再计算出括号里面的加法，接着根据乘法分配律，将算式变为，根据，将算式变为，接着将算式化为，然后计算括号里面的减法，最后计算括号外面的乘法。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【点睛】解决本题关键是找出分母的规律，再进一步把算式进行化简。 变式3．（2024·浙江·六年级校考期中）计算：1－＋－＋－ 【答案】 【详解】1－＋－＋－ =（1+）-（+）+（+）-（+）+（+）-（+） =1+--++--++--=1-= 题型5、数列求和（等差、等比数列） 【解题技巧】 等差数列求和 等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1 等比数列求和 等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1） 例1．（2023·四川成都·小升初模拟）计算： 【答案】 【分析】观察分数的分子和分母发现它们是连续的奇数，相邻的两个数相差2，那么分子里数字的个数有（2013－1）÷2＋1＝1007个数，分子的数字和是（2013＋1）×1007÷2＝2014×1007÷2，分母里的数字的个数有（4027－2015）÷2＋1＝1007个数，分母的数字和是（4027＋2015）×1007÷2＝6042×1007÷2，最后进行约分。 【详解】 ＝ ＝＝ 故答案为： 【点睛】此题考查的是一个特殊的计算，注意计算是有规律可循的。 例2．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题：（1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据等比数列的定义即可求解；（2）根据公式推导过程即可求解； （3）根据例题的方法求得，然后错位相减法，即可求解． 【详解】解：（1）等比数列的公比为， 第四项为，第五项为， 故答案为：； （2）∵，，， ∴， 故答案为：； （3）设①， 则②， 得， ∴． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键． 变式1．（2024·四川成都·小升初真题）下列各题要写出主要计算过程。 （1）      （2） 【答案】（1）1001；（2） 【分析】（1）同分母相加，分母不变，分子相加。分子相加过后发现是连续的自然数相加，是一组等差数列，等差数列的求和为（第一个数＋最后一个数）×项数÷2。 （2）观察式子发现，越往后就是一组等差数列，等差数列的求和方式为（第一个数＋最后一个数）×项数÷2。将式子进行整理后发现规律。、 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ 变式2．（2024·广东·七年级期中）阅读材料：求的值. 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请你仿照此法计算：（1） （2） 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设M=，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案；（2）设N=，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案. 【详解】解：（1）根据材料，设M=①， ∴将等式两边同时乘以3，则3M=②， 由②①，得：，∴；∴. （2）根据材料，设N=③， ∴将等式两边同时乘以5，④， 由④③，得：，∴； ∴. 【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． 题型6、运用乘法公式运算 【解题技巧】平方差公式： 完全平方公式：， 例1．（2023·浙江·小升初模拟）计算： 【答案】。 【分析】分母可通过高斯求和公式进行巧算，分子可根据公式a²－b²＝（a－b）（a＋b）进行巧算。 【详解】 【点睛】此题为计算题，难度较大，但只需认真分析，化繁为简。灵活运用乘法分配律、分数裂项，高斯求和等一些方法达到更加简便的运算。 例2．（2022·四川绵阳·小升初真题）计算题：   【答案】330； 【分析】分母部分利用完全平方公式：化简；分子部分观察数字规律，将66×22改写成33×44，再提取公因数进行简便运算； 【详解】 例3．（2024·山东·六年级培优）利用乘法公式进行简便计算： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)9996(2)9801(3) 【分析】（1）根据，计算求解即可；（2）根据，计算求解即可． （3）处理数字以后再运用乘法的分配律和完全平方公式进行简算，； 【解析】 (1)解：． (2)解：． (3)原式 【点睛】本题考查平方差公式与完全平方公式的应用．解题关键在于熟练掌握平方差公式与完全平方公式． 变式1．（2022·重庆沙坪坝·小升初真题）计算：     【答案】2006； 【分析】把原式化为，然后化为，再进行计算即可； ＝ ＝ ＝ ＝2006 变式2.（1）（2022·四川青羊·八年级期中）计算：＝___． （2）（2022·湖南汉寿·七年级期中）计算：799×801﹣8002＝_____． 【答案】；-1 【分析】（1）根据式子的特点，将分母用平方差公式展开，再进行计算即可． （2）先将799×801转化为（800﹣1）×（800+1），再利用平方差公式，即可解答． 【详解】（1）．故答案为： （2）解：799×801﹣8002＝（800﹣1）×（800+1）﹣8002＝8002﹣1﹣8002＝﹣1，故答案为：-1 【点睛】本题考查了平方差公式的计算，掌握平方差公式是解题的关键． 变式3．（2022·广东·梅州市七年级阶段练习）简便计算：(1)20022 (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）将2022拆分为（2000+2），利用完全平方和公式计算； （2）将变形为，利用平方差公式计算． (1)解：； (2)解：． 【点睛】本题考查利用完全平方和公式和平方差公式简便计算，根据数字特点将原式变形为完全平方和以及平方差的形式是解题的关键． A组（能力提升） 1．（2022·广西贵港·小升初真题）有一个数字键“4”坏了的计算器，用这个计算器计算24×25时，下列按键方案中（    ）合适。 A．3×8×25 B．6×4×25 C．25×25－1 D．2×2×3×25 【答案】A 【分析】当计算器中数字键坏了后，可以运用加减乘除法将不能按出的数字转换成别的算式，再进行解答。 【详解】A．25×24＝3×8×25，所以可以用A选项的方法； B．25×24＝6×4×25，有4，不可以用B选项的方法； C．25×24＝25×（25－1）＝25×25－25，不相等，所以不可以用C选项的方法； D．25×24＝2×2×6×25，不相等，所以不可以用D选项的方法。 故答案为：A 【点睛】本题考查计算器的使用，结合乘法运算定律是解题的关键。 2．（2024六年级下·浙江·培优） 。 【答案】 【分析】先算括号里面的加法和减法，发现得出来的分数正好可以约分。在分数的巧算中，乘除法最主要的简便运算就是能约分。 【详解】 3．（2024六年级·成都市·外地生考试）计算： 。 【答案】2022 【分析】把应用乘法分配律展开，再把、、展开成整数和分数的和，然后整数和整数一起简算，分数和分数一起简算，再结合减法的性质解答。 【详解】 【点睛】本题考查分数四则运算的简算，灵活应用乘法分配律、减法性质是解题的关键。 4．（2023六年级下·江苏·培优）计算： 。 【答案】135 【分析】可以将分成，再利用乘法的分配律，通过约分恰好是整数。同理将可以分为，可以分为，最后利用分配律得出几个整数相加。 【详解】 5．（2024六年级下·重庆·模拟）计算。 。 【答案】 【分析】根据以下的公式的规律：，可以先算，再进行计算比较简便。 【详解】 6．（23-24六年级下·江西宜春·期中）用你喜欢的方法计算。                                   【答案】3；；1； 【分析】第一道题：先把分数、百分数化成小数，计算小括号里面的连减，再算括号外面的除法； 第二道题：先把小数化成分数，再应用乘法分配律计算比较简便； 第三道题：应用除法的性质计算比较简便； 第四道题：应用减法的性质计算比较简便。 【详解】 ＝ ＝0.9÷0.3 ＝3 ＝ ＝ ＝1 ＝ ＝ ＝2024÷2024 ＝1 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 7．（2022·四川成都·小升初真题）计算题。               【答案】100；90；2018；； 【分析】第1、2小题，按照带括号的四则混合运算法则，要先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的，有中括号和小括号的要先算小括号再算中括号。 第3小题，利用乘法分配律及乘法分配律的逆运算进行简便运算，注意计算过程中，根据数字40.36和20.18的特点，将40.36写成20.18×2的形式。 第4小题，观察数字特点结合数据之间的倍数关系，将改写成，将改写成，再利用乘法分配律的逆运算进行简便运算。 第5小题，观察数据，1＝2×＝2×，，……，可总结出规律①；又，，……则总结出规律②；据此计算即可。 【详解】 8．（2023·四川·小升初真题）看清题目，巧思妙算。                 【答案】；；；123 【分析】（1）（2）（3）小数、分数、整数的四则混合运算的法则都是有括号的先算括号，无括号的先算乘除后算加减。先将小数变成分数，带分数变成假分数，再将除法转换成乘法，除以一个数（0除外）相当于乘这个数的倒数。能约分的要约分。 （4）观察式子，将带分数转化成整数和假分数相加的形式。例，这样可以利用乘法的分配率计算。正好可以使得数全是整数相加。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＋1 ＝ 9．（2022·湖南株洲·小升初真题）能简算的要简算。    【答案】20010；；； 【分析】，将分数化成小数，将除法改写成乘法，将1375×2.001转化为1.375×2001，利用乘法分配律进行简算； ，将转化为，转化为，转化为，转化为，转化为，中间抵消，最后计算即可。 ，第一个小括号先算除法，交换减数和加数的位置再计算，优先算出两个小括号里的，再算中括号里的除法，最后算括号外的除法。 ，将拆成，根据假分数的分子＝带分数的整数部分×分母＋分子，将写成假分数的形式，先不计算，除以一个数等于乘这个数的倒数，将除法改写成乘法，利用乘法分配律进行简算，经过转化，最终左边算式结果是3，右边的除法算式得到，据此进行简算。 【详解】    B组（培优拓展） 1．（2023六年级上·湖北·专题练习）计算： 。 【答案】 【分析】将分数的分子与分母分别写成两个因数相乘的形式，通过先约分再进行计算。 【详解】 因此。 【点睛】解答本题的关键是找出算式的特征：把分子和分母改写成两个因数相乘的形式。 2．（2024·广东·六年级培优）计算： 【答案】 【分析】设＝a，＝b，则原式＝（1＋a）b－（1＋b）a，把这个式子化简即可解答。 【详解】设＝a，＝b，则 原式＝（1＋a）b－（1＋b）a ＝b＋ab－a－ab ＝b－a ＝（）－（） ＝ 3．（2023·四川成都·小升初真题）用灵活而合理的方法计算。 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）100；（3）1；（4）5050 【分析】（1）先根据带分数化为假分数的方法，将算式变为，再将算式变为，根据乘法分配律，将算式变为，然后计算出括号里面的加法，再将除法化为乘法，约分可得，然后将2003拆分为2002＋1，根据乘法分配律，将算式变为，约分可得，再根据带符号搬家，得，然后计算出结果即可； （2）先把带分数化为假分数，除法化为乘法，然后根据积不变性质，将算式变为，然后将1.25化为假分数，再根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； （3）先把382拆分为381＋1，然后根据乘法分配律，将算式变为，，加上括号，变为，然后计算出括号里面的减法，最后可得分子和分母都是相同的算式，约分可得结果为1。 （4）两个相邻的数的平方差等于这两个数的和，也就是（n为自然数），将算式变为100＋99＋98＋97＋96＋…＋1，然后首尾依次相加，将算式变为（100＋1）×50进行简算即可。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1 （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 4．（2024·广东·小升初模拟）脱式计算。            【答案】25.4；；； 【分析】（1）利用乘法的分配律，提出25.4。 （2）减法的简便计算，减去两个数的和相当于同时减这两个数。 （3）先将带分数转化为假分数。再分数的除法转化为乘法，除以一个分数等于乘这个数的倒数。能约分的要先约分。分母的数值太大，不需要算出来，可以进行化简转化，将能约分的进行约分后进行计算。 （4）对式子观察发现，可以将式子进行转化，例：发现可以利用乘法的分配律进行简便计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝25.4 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 5．（2023·北京·小升初模拟）计算。      【答案】1；9； 【分析】，先把把带分数化成假分数，用算式表示分子和分母，即，之后把假分数的分子用乘法分配律，变为，然后计算出括号里面的加法；再根据计算分数除法的计算方法，除以一个数相当于乘这个数的倒数，将算式变为，然后将2020和分母的2020用约分消去，最后算加法即可； ，把4.44化成分数，带分数化假分数，再根据分数除法的计算方法，除以一个数相当于乘这个数的倒数，即原式变为，之后再根据乘法分配律即可简便运算； ，从第二个分数开始，每个分数的分母可以拆分成2个数相乘，而分子是这2个数的和，据此将分数变为，然后将括号去掉进行简算即可。 【详解】 ＝ 6．（2024·四川成都·小升初真题）计算题。                     【答案】；； ；18； 【分析】（1）观察式子，先转化成假分数，但是不要将数的答案算出得数。这样就可以能约分的要约分。 （2）观察分子和分母，发现分子和分母经过分析和转化，可以先约分。 （3）根据式子将式子转化后进行计算。 （4）有小数、带分数、分数脱式计算将小数转化为分数，带分数转化为假分数计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝18 7．（2024·浙江七年级期中）求1+2+22+23+…+22016的值， 令S＝1+2+22+23+…+22016，则2S＝2+22+23+…+22016+22017， 因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1． 参照以上推理，计算5+52+53+…+52016的值． 【答案】 【分析】仿照例题可令，从而得出，二者做差后即可得出结论． 【详解】解：令，则， ∴∴． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，理解题意并能找出是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 第 2 页 共 46 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衔接点01 运算与技巧 小学阶段主要学习正有理数和零的加减乘除混合运算，培养的核心数学素养是学生的运算能力。 初中阶段较小学数学在数和运算方面主要变化有：数系扩大了，上升到有理数域，最后到实数域，这是对数的认识的一个飞跃。同时数的运算也相应的从小学中的正数的加、减、乘、除四则运算上升到了有理数和实数的混合运算，并且加入了乘方、开方运算。主要培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、应用意识等。 对于四则混合运算，我们要求学生熟练地掌握运算顺序和计算的正确率；到了初中后，只要弄懂符号法则，那有理数的运算教学也能达到事半功倍之效。 对于运算技巧（简便运算），希望大家能发自内心想要让运算简便，而不是题目要求要简便。通过本专题希望大家能同学们多观察、体会，勤总结，灵活运用简算方法，深刻理解简算的数学思想。 题型探究 题型1、活用运算定律和性质（凑整思想） 3 题型2、巧分组法 10 题型3、换元法 13 题型4、分数裂项计算 16 题型5、数列求和（等差、等比数列） 22 题型6、运用乘法公式运算 26 培优精练 A组（能力提升） 29 B组（培优拓展） 38 1．运算定律 1）加法交换律： 加法结合律： 2）乘法交换律： 乘法结合律： 3）乘法分配律： 乘法分配律的逆用： 2．运算性质 1）减法的性质： 2）除法的性质： 3）商的“不变性”，即若，则，； 3．裂项公式（补充）：把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。 第一类（“裂差”型运算）：或 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 4．数列求和公式（补充） 等差数列求和 等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1 等比数列求和 等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1） 5．乘法公式（补充） 平方差公式： 完全平方公式：， 题型1、活用运算定律和性质（凑整思想） 【解题技巧】“凑整”就是把“一些分数（或小数）凑成整数”，把“一些整数凑成10的整倍数”，使有理数式子容易计算出结果。在凑整过程中，常用添项、拆项、分解因数、提公因数等方法技巧。 一般情况下，小学阶段的凑整主要使用运算定律或减法的性质、除法的性质及商的不变性达到凑整的目的。 例1．（2023·四川成都·小升初真题）能简算的要简算。 （1）      （2） （3） （4）       （5） 例2．（2023·河北邯郸·小升初真题）计算下列各题，能简算的要简算。 （1）       （2） （3） （4）  （5）   （6）（9＋7）÷（＋） 变式1．（2024·四川成都·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。 （1）     （2）     （3） （4）     （5）       （6） 变式2．（2023·山东济南·小升初真题）脱式计算，能简算的要简算。 6.8×0.35＋408÷24     1.8×＋2.2×25%－0.25 （0.2＋）×÷8     变式3．（2023春·广西·六年级培优）计算． （1）   （2）（＋1＋）÷（＋＋） 变式4.（2023·福建泉州·小升初模拟）神机妙算。 （1）8×3÷[1÷（3－2.95）] （2）×39＋×25＋2× （3）2018÷2018＋ 题型2、巧分组法 【解题技巧】观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算。 例1．（2024·广东·小升初模拟）计算题，写出计算过程和结果。 （1）    （2） 例2．（2024六年级·浙江·培优）计算。 （1） （2）2023-2020+2017-2014＋2011－2008＋……＋19－16＋13－10＋7－4＋1 变式1．（2022·江苏南京·统考小升初真题）简算，并写出简算过程。 99－97＋95－93＋91－89＋…＋7－5＋3－1     变式2．（2024·江苏·六年级校考期中）计算：       题型3、换元法 【解题技巧】从式子的整体角度考察，把部分式子用字母代替后，再进行化简求值。通过引入字母转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用。 例1．（2023·湖南湘潭·六年级自主招生）计算。 例2．（2024·成都市小升初模拟）计算（写出必要的计算过程）。 变式1．（2022·广东深圳·六年级校考期中）巧算。 （1） （2） 变式1.（2023·广东·校考小升初模拟）用简便方法计算。 题型4、分数裂项计算 【解题技巧】把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。利用下面的拆项公式课化简一些有理数式子的计算 第一类（“裂差”型运算）：①或 ②。 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 例1．（2022·广西南宁·校考小升初真题）观察下列等式： ，，， 请将以上三个等式两边分别相加得： 。 （1）猜想并写出：（    ）。 （2）（    ）。 （3）探究并计算：（    ）。 （4）计算： 例2．（2024六年级下·山东·培优） 。 例3．（2023·四川成都·小升初真题）计算。       变式1．（2024·湖北·六年级期中）计算题： （1） （2） （3） （4） 变式2．（2022·湖南长沙·小升初真题）计算： 。 变式3．（2024·浙江·六年级校考期中）计算：1－＋－＋－ 题型5、数列求和（等差、等比数列） 【解题技巧】 等差数列求和 等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1 等比数列求和 等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1） 例1．（2023·四川成都·小升初模拟）计算： 例2．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题：（1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 变式1．（2024·四川成都·小升初真题）下列各题要写出主要计算过程。 （1）      （2） 变式2．（2024·广东·七年级期中）阅读材料：求的值. 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请你仿照此法计算：（1） （2） 题型6、运用乘法公式运算 【解题技巧】平方差公式： 完全平方公式：， 例1．（2023·浙江·小升初模拟）计算： 例2．（2022·四川绵阳·小升初真题）计算题：   例3．（2024·山东·六年级培优）利用乘法公式进行简便计算： (1)；(2)；(3)． 变式1．（2022·重庆沙坪坝·小升初真题）计算：     变式2.（1）（2022·四川青羊·八年级期中）计算：＝___． （2）（2022·湖南汉寿·七年级期中）计算：799×801﹣8002＝_____． 变式3．（2022·广东·梅州市七年级阶段练习）简便计算：(1)20022 (2) A组（能力提升） 1．（2022·广西贵港·小升初真题）有一个数字键“4”坏了的计算器，用这个计算器计算24×25时，下列按键方案中（    ）合适。 A．3×8×25 B．6×4×25 C．25×25－1 D．2×2×3×25 2．（2024六年级下·浙江·培优） 。 3．（2024六年级·成都市·外地生考试）计算： 。 4．（2023六年级下·江苏·培优）计算： 。 5．（2024六年级下·重庆·模拟）计算： 。 6．（23-24六年级下·江西宜春·期中）用你喜欢的方法计算。                                     7．（2022·四川成都·小升初真题）计算题。                 8．（2023·四川·小升初真题）看清题目，巧思妙算。                 9．（2022·湖南株洲·小升初真题）能简算的要简算。    B组（培优拓展） 1．（2023六年级上·湖北·专题练习）计算： 。 2．（2024·广东·六年级培优）计算： 3．（2023·四川成都·小升初真题）用灵活而合理的方法计算。 （1） （2） （3） （4） 4．（2024·广东·小升初模拟）脱式计算。            5．（2023·北京·小升初模拟）计算。      6．（2024·四川成都·小升初真题）计算题。                     7．（2024·浙江七年级期中）求1+2+22+23+…+22016的值， 令S＝1+2+22+23+…+22016，则2S＝2+22+23+…+22016+22017， 因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1． 参照以上推理，计算5+52+53+…+52016的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $$