衔接点02 式与方程-2024年小升初数学无忧衔接（通用版）

衔接点02 式与方程 小学阶段主要学习了字母表示数（能用字母表示常见数量关系、运算定律、常见几何体的公式等）、简单的一元一次方程及解法，培养的核心数学素养是学生的符号意识和运算能力。 初中阶段较小学数学在式与方程方面主要变化有：“数与式”是代数的基本语言，初中阶段重点关注代数式的运算与规律探究，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性；“方程与不等式”揭示了数学中最基本的数量关系（相等关系和不等关系），是初中应用广泛的数学工具，初中一元一次方程的解法与小学的方法有所区别。培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、推理能力等。 其实小学数学与初中数学实际上是有很多关联的。只要从小六到初一的过度在老师的引导下，找出“数”与“式”之间的内在联系以及区别，在知识间架起衔接的桥梁，也为后面的更多内容打下坚实的基础，这样才能在初中众多的考试面前不乱阵脚，游刃有余。 题型探究 题型1、 字母表示数 3 题型2、探究与表达规律 3 题型3、等量代换 5 题型4、等式与方程的概念辨析 6 题型5、等式的性质及其运用 7 题型6、方程的解及其运用 8 题型7、解方程 9 培优精练 A组（能力提升） 11 B组（培优拓展） 12 1．用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 1）用字母表示数和数量关系 （1）一班有男生a人，女生b人，一共有（a＋b）人；（2）每袋面粉重25千克，x袋面粉共重25x干克； （3）路程＝速度×时间，用字母表示s＝vt；（4）正比例：（一定），反比例：x×y＝k（一定）。 2）用字母表示计算公式及运算定理 长方形周长：C＝2（a＋b）； 长方形面积：S＝ab； 长方体体积：V＝abh或V＝Sh。 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 乘法交换律：ab＝ba 乘法结合律：（ab）c＝a（bc） 乘法分配律：（a＋b）c=ac＋bc 注意：①数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面；②两个相同的字母相乘时，可写成这个字母的平方，如a×a可以写作a2。 2．等式与方程 1）等式与方程的意义及关系 意义 关系 等式 表示相等关系的式子叫作等式 所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程 方程 含有未知数的等式叫作方程 2）等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 （2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 3）解方程 （1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 （2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。 （3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。 （4）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立；③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。 题型1、 字母表示数 【解题技巧】1）字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明的将数量关系表示出来。 2）用字母表示数的意义：有助于揭示概念的本质特征，能使数量之间的关系更加简明，更具有普遍意义。使思维过程简约化，易于形成概念系统。 例1．（2024·辽宁·小升初模拟）学校买来20个足球，每个a元，又买来b个篮球，每个58元。20a＋58b表示( )；当，，则( )元。 例2．（2024·浙江·小升初模拟）已知每个人做某项工作的效率相同，个人做天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（    ）。 A． B． C． D． 例3．（2022·湖南怀化·小升初真题）小刚在测试中，语文、数学和英语三科的平均分是a分，语文和英语一共得b分，数学得（    ）分。 A．3a－b B．a÷3－b C．a÷3－2b 变式1．（2023·四川成都·小升初真题）夏明今年岁了，爸爸比夏明大21岁，则6年后，爸爸比夏明大（    ）岁。 A． B．21 C． D．6 变式2．（2023·江苏·小升初模拟）如果把一个长、宽、高分别为a厘米、b厘米和h厘米的长方体的高增加3厘米，那么这个长方体的表面积比原来增加（    ）平方厘米。 A．3ab B．3（a＋b） C．6（a＋b） D．6ab 题型2、探究与表达规律 【解题技巧】观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 例1．（2024·六年级·山西·期中）根据下面图形的规律，第11个图中有（    ）个。 A．33 B．36 C．39 例2．（2022·浙江温州·小升初真题）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。 从上图中可以发现： 任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如4＝1＋3。把“正方形数”36写成两个相邻的“三角形数”之和，正确的是（    ）。 A．36＝10＋26 B．36＝12＋24 C．36＝15＋21 D．36＝16＋20 变式1．（2023·江苏·小升初模拟）用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：第七个图案中有白色地砖 块。 变式2．（23-24六年级·陕西咸阳·期末）把黑色三角形按如图所示的规律拼成下列图案，其中第1个图中有4个黑色三角形，第2个图中有7个黑色三角形，第3个图中有10个黑色三角形，……，按此规律排列下去，则第6个图中有( )个黑色三角形，第( )个图中有100个黑色三角形。    变式3．（23-24六年级·河南·期末）为庆祝亚运会的成功召开，学校举行了“展少年英姿为亚运喝彩”的队列队形展示活动，淘气发现队列中也藏着数学秘密。 队形 1 2 3 4 … 图示 …… (1)观察点子图，补充下面等式。 2＝1×2 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝( )×( ) (2)照这样，第8个队形需要( )人；第n个队形需要( )人；第( )个队形有56人。 题型3、等量代换 【解题技巧】等量代换是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。．如果能应用等量代换思考问题，不仅有助于学生找到锯决问题的便捷方法，而且有助于锻炼学生的思维，提高学生解决实际问题的能力。 例1．（2022·山西临汾·六年级统考期末）根据如图，＝（    ）克。 A．50 B．48 C．64 例2．（2022·重庆沙坪坝·小升初真题）某款手机充电5分钟，能够通话2小时，或者玩游戏1.5小时，某人将一部完全没电的手机充电4分钟，之后打了20分钟的电话。这部手机还能玩( )分钟的游戏。 例3．（2023·四川成都·小升初真题）已知，求的值。 变式1．（2022·湖南长沙·小升初真题）如果△＋△＋△＋△＋□＝270，□＋△＋△＋△＋□＝290，那么，□＋△＝( )。 变式2．（2022·江苏南京·小升初真题）1瓶水倒满7个大杯和6个小杯后，还余30克的水，或倒满9个大杯和4个小杯后，还余10克的水，这瓶水可以倒满( )个大杯和( )个小杯后，没有剩余。 变式3．（2024·山东·小升初模拟）若，则的值是( )。 题型4、等式与方程的概念辨析 【解题技巧】 1）等式：表示相等关系的式子叫作等式。 2）方程：含有未知数的等式。 3）方程一定是等式，等式不一定是方程。 注意：如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 例1．（2024六年级下·江苏·专题练习）等式和方程的关系可以用如图表示，下面（    ）的关系也可以用这样的图来表示。 A．质数和合数 B．奇数和偶数 C．四边形和三角形 D．长方形和正方形 例2．（2024六年级下·辽宁·专题练习）下面的式子中，是方程的是（    ）。 A．3x＋5 B．3y－7＜8 C． D．81÷9＝9 变式1．（2023春·浙江·六年级专题练习）下列各式中，不属于方程的是（    ）。 A．21＝y＋5 B．8＋x＝12 C．13＋6－9＝10 变式2．（2024·河南·六年级统考期中）小学阶段学的很多数学知识之间有着密切联系。下面不能正确表示他们之间关系的是（    ）。 A． B． C． D． 变式3．（2022·湖南湘西·统考小升初真题）小学阶段我们学习了很多知识，知识之间有着密切的联系。下图中： 如果A表示长方形，那么B可以表示正方形； 如果A表示等腰三角形，那么B表示( )； 如果B表示方程，那么A可以表示( )。 题型5、等式的性质及其运用 【解题技巧】等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 （2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 例1．（2023春·湖南长沙·六年级统考期末）如果，根据等式的性质填空。 ( )                ( ) ( )            ( ) 例2．（2023春·北京·六年级统考学业考试）根据下图天平平衡的状态，求出一杯水的质量。 例3．（22-23六年级上·陕西西安·期末）（－）÷－（□－）＝，求□内应填的数。 变式1．（2023春·江苏南通·六年级专题练习）数学知识之间都有着有密切的联系，下面（    ）与众不同。 A．等式的性质 B．分数的基本性质 C．比的基本性质 D．商不变的规律 变式2．（2023春·天津红桥·六年级统考期末）若，则下列选项中错误的是（    ）。 A． B． C． D． 变式3．（22-23六年级下·河南郑州·期末）如图，两条直线相交形成四个角。为了说明图中的∠2＝∠4，晓晓的理由是：因为：∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠4＝180°（平角等于180°），所以：∠1＋∠2＝∠1＋∠4，也就得出：∠2＝∠4。这里运用了（    ）。 A．加法交换律 B．等式的性质 C．减法的性质 题型6、方程的解及其运用 【解题技巧】1)方程的解：使方程两边相等的未知数的值；2）解方程：求方程的解的过程；3）会利用方程的解，求字母的数值。 例1．（22-23六年级下·山东·期末）x＝6是下面方程（    ）的解。 A．24÷x＝6 B．5x＝35 C．4x＋5＝29 D．4x÷8＝6 例2．（2023春·江苏·六年级小升初模拟）已知方程的解是，则k的值是（    ）。 A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．（2022·四川乐山·五年级期末）是下列（       ）方程的解。 A． B． C． D． 变式2．（2022·江苏徐州·五年级期中）若x＝2是方程3x＋4a＝22的解，则a的值为（       ）。 A．4 B．7 C．10 题型7、解方程 【解题技巧】1）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。 2）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立；③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。 例1．（2024·江苏·小升初模拟）解方程：         例2．（2024·重庆·小升初模拟）解方程。            例3．（2023·浙江·小升初模拟）解方程或比例。      变式1．（2024·辽宁·小升初模拟）解方程。                     变式2．（2023·四川成都·小升初真题）解方程。 （1） （2） 变式3．（2023·绵阳市·六年级小升初模拟）解方程或比例。      A组（能力提升） 1．（23-24六年级下·四川·期中）下面说法正确的是（    ）。 A．方程5x＋5＝5的解是5 B．5x＋5＜5是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 2．（23-24六年级·江苏常州·期末）小学阶段学了很多数学知识，它们之间有密切的联系。下列不能正确表示它们之间关系的是（    ）。 A． B． C． 3．（2022春·广东梅州·六年级统考期末）是下面方程（    ）的解。 A． B． C． 4．（2022·河南三门峡·小升初真题）鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，换算关系是：b＝2a－10（b表示码数，a表示厘米数）。37码的鞋用厘米作单位是（    ）厘米。 A．64 B．23.5 C．28.5 5．（2024·四川成都·小升初真题）（比较大小）（）是一个真分数，下面各分数中最大的一个是（    ）。 A． B． C． D． 6．（2022·山东济宁·小升初真题）4a＋8错写成4×（a＋8），结果比原来（    ）。 A．多4 B．少4 C．多24 7．（2022·陕西西安·小升初真题）某水果店运来苹果x千克，运来梨的质量是苹果的1.5倍，该水果店运来苹果和梨一共( )千克。如果该水果店运来的梨比苹果多50千克，那么运来苹果( )千克，运来梨( )千克。 8．（2023·四川成都·小升初真题）王恒出生于20世纪，他把他出生的月份乘2后加上5，把所得的结果乘50后加上出生年份再减去250，最后得到2088，则王恒出生在( )年( )月。 9．（2023·四川成都·小升初真题）（图形找规律）观察下图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色的三角形有( )个。 10．（2023·湖北·小升初模拟）求未知数x。 （1）    （2） （3）     （4）  B组（培优拓展） 1．（23-24六年级上·江苏徐州·期末）将图①正方形做如下操作：分别连接对边中点如图②，得到5个正方形（1个大正方形加上4个中等正方形）；第2次，将图②左上角的正方形按上述方法再分割如图③，得到9个正方形…像这样操作8次，可以得到（    ）个正方形。 A．29 B．30 C．32 D．33 2．（2023·四川成都·小升初真题）A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A，B，C，D，E五队分别比赛了5，4，3，2，1场球，则还没有与B队比赛的球队是（    ）。 A．C队 B．D队 C．E队 D．F队 3．（2022·浙江宁波·小升初真题）按照下面的方式堆放小球，第5堆有( )个小球，第n堆有( )个小球。 4．（2023·四川成都·小升初真题）小敏购买4种教学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数如下表： 品名 件数 计算器 圆规 三角板 量角器 总钱数 第一次购买件数 1 3 4 5 78 第二次购买件数 1 5 7 9 98 则4种教学用品各买一件共需要( )元。 5．（2023·四川成都·小升初真题）数轴上10个点所表示的数分别为。，，…，，当i为奇数时，，当i为偶数时，，那么( )。 6．（2022·四川成都·小升初真题）如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，图③中有13个点，图④中有21个点，按此规律，图⑩中有( )个点。 …… 7．（2024六年级·重庆·培优）方程：的解为 。 8．（2022·重庆·小升初真题）将自然数列按照如图方式排列，如果2算作是第一次拐弯，那么第50次拐弯的数是 。 9．（2023·四川成都·小升初真题）如果，，那么( )。 10．（2022·辽宁·六年级专题练习）解方程。                                －（－2.5）＝18                   11．（2023·江苏·六年级期中）数学中规定：连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线。 正多边形 …… 边数 4 5 6 … 一个顶点可画对角线数量 1 2 3 … 对角线总数量 2 5 9 … 聪聪是个喜欢思考的学生，他发现正多边形的对角线数量和正多边形的边数存在某种规律（如图），照这样的规律，正七边形共有( )条对角线，正n边形共有( )条对角线。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 第 14 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衔接点02 式与方程 小学阶段主要学习了字母表示数（能用字母表示常见数量关系、运算定律、常见几何体的公式等）、简单的一元一次方程及解法，培养的核心数学素养是学生的符号意识和运算能力。 初中阶段较小学数学在式与方程方面主要变化有：“数与式”是代数的基本语言，初中阶段重点关注代数式的运算与规律探究，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性；“方程与不等式”揭示了数学中最基本的数量关系（相等关系和不等关系），是初中应用广泛的数学工具，初中一元一次方程的解法与小学的方法有所区别。培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、推理能力等。 其实小学数学与初中数学实际上是有很多关联的。只要从小六到初一的过度在老师的引导下，找出“数”与“式”之间的内在联系以及区别，在知识间架起衔接的桥梁，也为后面的更多内容打下坚实的基础，这样才能在初中众多的考试面前不乱阵脚，游刃有余。 题型探究 题型1、 字母表示数 3 题型2、探究与表达规律 5 题型3、等量代换 8 题型4、等式与方程的概念辨析 11 题型5、等式的性质及其运用 14 题型6、方程的解及其运用 17 题型7、解方程 19 培优精练 A组（能力提升） 26 B组（培优拓展） 33 1．用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 1）用字母表示数和数量关系 （1）一班有男生a人，女生b人，一共有（a＋b）人；（2）每袋面粉重25千克，x袋面粉共重25x干克； （3）路程＝速度×时间，用字母表示s＝vt；（4）正比例：（一定），反比例：x×y＝k（一定）。 2）用字母表示计算公式及运算定理 长方形周长：C＝2（a＋b）； 长方形面积：S＝ab； 长方体体积：V＝abh或V＝Sh。 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 乘法交换律：ab＝ba 乘法结合律：（ab）c＝a（bc） 乘法分配律：（a＋b）c=ac＋bc 注意：①数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面；②两个相同的字母相乘时，可写成这个字母的平方，如a×a可以写作a2。 2．等式与方程 1）等式与方程的意义及关系 意义 关系 等式 表示相等关系的式子叫作等式 所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程 方程 含有未知数的等式叫作方程 2）等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 （2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 3）解方程 （1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 （2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。 （3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。 （4）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立；③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。 题型1、 字母表示数 【解题技巧】1）字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明的将数量关系表示出来。 2）用字母表示数的意义：有助于揭示概念的本质特征，能使数量之间的关系更加简明，更具有普遍意义。使思维过程简约化，易于形成概念系统。 例1．（2024·辽宁·小升初模拟）学校买来20个足球，每个a元，又买来b个篮球，每个58元。20a＋58b表示( )；当，，则( )元。 【答案】 买20个足球和个篮球一共的价钱 1480 【分析】根据单价数量总价，确定、分别表示的意义，再根据加法的意义，得出这个代数式表示的含义；把、的值代入代数式，求出结果即可。 【详解】表示买20个足球的价钱； 表示买个篮球的价钱； 表示买20个足球和个篮球一共的价钱。 当，时， 表示买20个足球和个篮球一共的价钱。当，，则元。 例2．（2024·浙江·小升初模拟）已知每个人做某项工作的效率相同，个人做天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设每个人做某项工作的效率为1，则这项工作总量为，若增加人，现在总人数是人，用工作总量除以总人数，即可求出完成工作所需的天数。 【详解】设每个人做某项工作的效率为1，则这项工作总量为，若增加人，则完成工作所需的天数为。故答案为：D 例3．（2022·湖南怀化·小升初真题）小刚在测试中，语文、数学和英语三科的平均分是a分，语文和英语一共得b分，数学得（    ）分。 A．3a－b B．a÷3－b C．a÷3－2b 【答案】A 【分析】根据“平均分×科数＝总分”，用3a表示出语文、数学和英语三科的总分，用b表示出语文和英语的总分，然后用语文、数学和英语三科的总分减去语文和英语的总分，即可得出数学的分数。 【详解】根据分析得，语文、数学和英语三科的总分是3a，则数学得分是（3a－b）分。 故答案为：A 【点睛】此题主要考查用字母表示数，根据平均数的含义进行解答。 变式1．（2023·四川成都·小升初真题）夏明今年岁了，爸爸比夏明大21岁，则6年后，爸爸比夏明大（    ）岁。 A． B．21 C． D．6 【答案】B 【分析】根据夏明今年岁了，爸爸比夏明大21岁，分别用含有字母的式子表示出爸爸今年的岁数、夏明6年后的岁数、爸爸6年后的岁数，用减法即可计算出爸爸6年后比夏明大的岁数。 【详解】爸爸今年：（a＋21）岁； 6年后，夏明（a＋6）岁； 爸爸：a＋21＋6＝（a＋27）岁； 爸爸比夏明大：（a＋27）－（a＋6） ＝ a＋27－a－6 ＝21（岁） 故答案为：B 【点睛】本题还可以根据“年龄差不变”直接得出答案。 变式2．（2023·江苏·小升初模拟）如果把一个长、宽、高分别为a厘米、b厘米和h厘米的长方体的高增加3厘米，那么这个长方体的表面积比原来增加（    ）平方厘米。 A．3ab B．3（a＋b） C．6（a＋b） D．6ab 【答案】C 【分析】由题意知：增加的表面积实际上就是长为a厘米，宽为b厘米，高为3厘米的长方体的侧面积，利用侧面积＝底面周长×高，代入数据计算即可。 【详解】（a＋b）×2×3 ＝（a＋b）×6 ＝6（a＋b）平方厘米 表面积增加6（a＋b）平方厘米。 故答案为：C。 【点睛】理解增加的表面积就是长为a厘米，宽为b厘米，高为3厘米的长方体的侧面积是解答本题关键。 题型2、探究与表达规律 【解题技巧】观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 例1．（2024·六年级·山西·期中）根据下面图形的规律，第11个图中有（    ）个。 A．33 B．36 C．39 【答案】B 【分析】 根据题意，图形1，有6个，可以写成：3×1＋3； 图形2，有9个，可以写成：3×2＋3； 图形3，有12个，可以写成：3×3＋3；… 图形n，有（3n＋3）个，由此可知，当n＝11时 ，即可求出的个数。 【详解】根据分析可知，图形n，有（3n＋3）个。 当n＝11时：3×11＋3＝33＋3＝36（个） 所以第11个图中有36个。故答案为：B 例2．（2022·浙江温州·小升初真题）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。 从上图中可以发现： 任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如4＝1＋3。把“正方形数”36写成两个相邻的“三角形数”之和，正确的是（    ）。 A．36＝10＋26 B．36＝12＋24 C．36＝15＋21 D．36＝16＋20 【答案】C 【分析】观察图形和等式，发现正方形数是1、4、9、16、25、36、49…；都是平方数； 三角形数是1、3、6、10、15、21、28…；相邻两个数的差依次增加1； 从“三角形数”中找出哪两个相邻的数相加，和是“正方形数”36即可。 【详解】图1：正方形数是4，4＝1＋3 图2：正方形数是9，9＝3＋6 图3：正方形数是16，16＝6＋10 图4：正方形数是25，25＝10＋15 图5：正方形数是36，36＝15＋21故答案为：C 【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 变式1．（2023·江苏·小升初模拟）用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：第七个图案中有白色地砖 块。 【答案】30 【分析】第一个图案有白色地面砖6块，第二个有10块，第三个有14块……即第n个图案中白色地砖数有（2＋4n）块，利用这个规律即可求解。 【详解】因为第一个图案有白色地面砖6块，第二个有10块，第三个有14块……据此总结出规律，第n个图案中白色地砖数有（2＋4n）块 所以第7个图案中有白色地面砖数为：2＋4×7＝2＋28＝30（块） 即第七个图案中有白色地砖30块。 【点睛】此题主要考查了图形的变化规律，学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。 变式2．（23-24六年级·陕西咸阳·期末）把黑色三角形按如图所示的规律拼成下列图案，其中第1个图中有4个黑色三角形，第2个图中有7个黑色三角形，第3个图中有10个黑色三角形，……，按此规律排列下去，则第6个图中有( )个黑色三角形，第( )个图中有100个黑色三角形。    【答案】 19 33 【分析】看图，第一个图有4个黑色三角形，之后每幅图都在上一幅图的基础上增加3个黑色三角形。第二个图有4＋3＝7（个）黑色三角形，第三个图有4＋3×2＝10（个）黑色三角形，那么可以推测第n个图黑色三角形的个数为（4＋3×（n－1））个。将n＝6代入式子中，求出第一空。n未知，将整个式子等于100，列出方程解出n，求出第二空。 【详解】4＋3×（6－1） ＝4＋3×5 ＝4＋15 ＝19（个） 解：设第n个图中有100个黑色三角形。 4＋3×（n－1）＝100 3n＋1＝100 3n＋1－1＝100－1 3n＝99 3n÷3＝99÷3 n＝33 所以，第6个图中有19个黑色三角形，第33个图中有100个黑色三角形。 【点睛】本题考查了数与形、简易方程的应用，能从图形排列变化中找出规律是解题的关键。 变式3．（23-24六年级·河南·期末）为庆祝亚运会的成功召开，学校举行了“展少年英姿为亚运喝彩”的队列队形展示活动，淘气发现队列中也藏着数学秘密。 队形 1 2 3 4 … 图示 …… (1)观察点子图，补充下面等式。 2＝1×2 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝( )×( ) (2)照这样，第8个队形需要( )人；第n个队形需要( )人；第( )个队形有56人。 【答案】(1) 4 5 (2) 72 n（n＋1） 7 【分析】通过观察发现，第1个点子图是用1×（1＋1），第2个点子图是用2×（2＋1），第3个点子图是用3×（3＋1），则第4个点子图是用4×（4＋1），第8个点子图是用8×（8＋1），第n个点子图是用n×（n＋1）。也就是两个连续的自然数相乘，小的那个数就是第几个图形，56＝7×8，则56人是在第7个队形。 【详解】（1）2＋4＋6＋8＝4×5 （2）8×9＝72（人） 56＝7×8 则第8个队形需要72人；第n个队形需要n（n＋1）人；第7个队形有56人。 题型3、等量代换 【解题技巧】等量代换是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。．如果能应用等量代换思考问题，不仅有助于学生找到锯决问题的便捷方法，而且有助于锻炼学生的思维，提高学生解决实际问题的能力。 例1．（2022·山西临汾·六年级统考期末）根据如图，＝（    ）克。 A．50 B．48 C．64 【答案】C 【分析】先由图1可以得到一个较大圆＝24克，再由图2可知，一个小圆为24×2÷3＝16（克），由图3可知，最大圆为16×4＝64（克），据此解答即可。 【详解】图1可以得到一个较大圆是24克 由图2可知，一个小圆是24×2÷3＝48÷3＝16（克） 由图3可知，最大圆是16×4＝64（克）故答案为：C 【点睛】由图1可以得到一个较大圆＝24克，再求出小圆的值，是解答此题的关键。 例2．（2022·重庆沙坪坝·小升初真题）某款手机充电5分钟，能够通话2小时，或者玩游戏1.5小时，某人将一部完全没电的手机充电4分钟，之后打了20分钟的电话。这部手机还能玩( )分钟的游戏。 【答案】57 【分析】已知手机充电5分钟，能够通话2小时，也就是120分钟，如果只充4分钟，则只能通话120分钟的，根据分数乘法的意义，用120×即可求出充电4分钟后能通话的时间，减去20分钟通话时间后，即可求出剩下通话的时间；1.5小时＝90分钟，则能够通话120分钟相当于玩游戏90分钟，则通话1分钟相当于玩游戏分钟，用剩下通话的时间×即可求出剩下通话的时间相当于玩游戏多少时间。 【详解】2小时＝120分钟 120×＝96（分钟） 96－20＝76（分钟） 1.5小时＝90分钟 76×＝57（分钟） 这部手机还能玩57分钟的游戏。 【点睛】本题主要考查了等量代换以及分数乘法的应用，注意统一单位。 例3．（2023·四川成都·小升初真题）已知，求的值。 【答案】3 【分析】479749这个数比较大，我们可以用暂时一个字母表示这个数。，根据分数和除法的关系，＝＝k，则＝3k，同理，。通过计算发现最后的结果和这个复杂的数字没有关系。 【详解】根据分析 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝3 变式1．（2022·湖南长沙·小升初真题）如果△＋△＋△＋△＋□＝270，□＋△＋△＋△＋□＝290，那么，□＋△＝( )。 【答案】120 【分析】首先利用第二个式子减去第一个式子得出口和△的关系，用其中一个表示另一个，再代入任何一个式子求出一个，进一步求出另一个解决问题。 【详解】△＋△＋△＋△＋□＝270① □＋△＋△＋△＋□＝290② ②－①得： □－△＝290－270＝20 □＝20＋△，③ 把③代入①得： △＋△＋△＋△＋△＋20＝270 △＝50 所以□＝20＋△＝70 所以□＋△＝120 【点睛】注意利用代换的方式把其中一个数用另一个数表示，两个未知数就成了一个未知数，进一步解决问题即可。 变式2．（2022·江苏南京·小升初真题）1瓶水倒满7个大杯和6个小杯后，还余30克的水，或倒满9个大杯和4个小杯后，还余10克的水，这瓶水可以倒满( )个大杯和( )个小杯后，没有剩余。 【答案】 10 3 【分析】把第二次倒的方法乘3，也就是说看成3瓶水，3瓶可以倒27个大杯和12个小杯还剩30克，减去第一次倒的除以2后可得： 2瓶水可以倒20个大杯和6个小杯， 所以1瓶可以倒10个大杯和3个小杯。 【详解】倒满9个大杯和4个小杯后，还余10克的水，所以当为3瓶水时，可以倒27个大杯和12个小杯还剩30克， 减去第一次倒的除以2后可得： 2瓶水可以倒20个大杯和6个小杯， 所以1瓶水可以倒10个大杯和3个小杯。 【点睛】此题的关键是根据第二次倒完后剩的10克，乘3，也就是看成是3瓶，然后和第一次倒的进行整体相减，从而求解。 变式3．（2024·山东·小升初模拟）若，则的值是( )。 【答案】1 【分析】将先乘4，可转化出，带入24，求出结果再除以4即可。 【详解】 4÷4＝1 【点睛】本题考查了等量代换和含有字母的式子求值，关键是将所求的式子转化出已知的算式。 题型4、等式与方程的概念辨析 【解题技巧】 1）等式：表示相等关系的式子叫作等式。 2）方程：含有未知数的等式。 3）方程一定是等式，等式不一定是方程。 注意：如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 例1．（2024六年级下·江苏·专题练习）等式和方程的关系可以用如图表示，下面（    ）的关系也可以用这样的图来表示。 A．质数和合数 B．奇数和偶数 C．四边形和三角形 D．长方形和正方形 【答案】D 【分析】含有未知数的等式叫方程，等式包含方程； 除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数，质数和合数是并列关系； 整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数，奇数和偶数是并列关系； 三角形和四边形都是多边形； 正方形是特殊的长方形，长方形包含正方形，据此分析。 【详解】等式和方程的关系是包含与被包含的关系： A．质数和合数是并列关系，不是包含与被包含的关系； B．奇数和偶数是并列关系，不是包含与被包含的关系； C．三角形和四边形都是多边形，是并列关系，不是包含与被包含的关系； D．正方形是特殊的长方形，长方形包含正方形，是包含与被包含的关系。 故答案为：D 例2．（2024六年级下·辽宁·专题练习）下面的式子中，是方程的是（    ）。 A．3x＋5 B．3y－7＜8 C． D．81÷9＝9 【答案】C 【分析】含有未知数的等式叫做方程；据此解答。 【详解】A．3x＋5，含有未知数，但不是等式，不是方程； B．3y－7＜8，含有未知数，但不是等式，不是方程； C．，含有未知数，是等式，是方程； D．81÷9＝9，是等式，但不含有未知数，不是方程；故答案为：C 变式1．（2023春·浙江·六年级专题练习）下列各式中，不属于方程的是（    ）。 A．21＝y＋5 B．8＋x＝12 C．13＋6－9＝10 【答案】C 【分析】含有未知数的等式就是方程。据此判断即可。 【详解】A．21＝y＋5含有未知数且是等式，所以是方程； B．8＋x＝12含有未知数且是等式，所以是方程； C．13＋6－9＝10是等式，但不含未知数，所以不是方程。故答案为：C 【点睛】本题考查方程，明确方程的定义是解题的关键。 变式2．（2024·河南·六年级统考期中）小学阶段学的很多数学知识之间有着密切联系。下面不能正确表示他们之间关系的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平行四边形两组对边分别平行，梯形只有一组对边平行，所以梯形不属于平行四边形；三角形按角分为锐角三角形、直角三角形及钝角三角形；方程是含有未知数的等式，所以方程是等式；一个非0的自然数最大的因数和最小的倍数都是它本身。 【详解】A．图一表示错误，梯形不是平行四边形； B．图二表示的是三角形的按角分类，表示方法正确； C．方程是等式，图示表示正确； D．a的最大因数和最小倍数相等，图四表示正确。故答案为：A 【点睛】本题考查了四边形的分类、三角形的分类、方程的意义及因数倍数的意义。 变式3．（2022·湖南湘西·统考小升初真题）小学阶段我们学习了很多知识，知识之间有着密切的联系。下图中： 如果A表示长方形，那么B可以表示正方形； 如果A表示等腰三角形，那么B表示( )； 如果B表示方程，那么A可以表示( )。 【答案】 等边三角形 等式 【分析】长方形和正方形的关系是长方形包括正方形，正方形是特殊的长方形；等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包含等边三角形；方程是含有未知数的等式，等式是含有等号的式子。据此解答。 【详解】根据分析得，如果A表示等腰三角形，那么B表示等边三角形；如果B表示方程，那么A可以表示等式。 【点睛】此题主要考查长方形与正方形、等边三角形与等腰三角形、方程与等式之间的关系，应熟练理解并掌握它们的意义与联系。 题型5、等式的性质及其运用 【解题技巧】等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 （2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 例1．（2023春·湖南长沙·六年级统考期末）如果，根据等式的性质填空。 ( )                ( ) ( )            ( ) 【答案】 5 m 0.5 【分析】等式的性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式； （2）等式两边同时乘以或除以同一个不为0点数，所得结果还是等式。 【详解】5                m             0.5 【点睛】关键是掌握等式的性质。 例2．（2023春·北京·六年级统考学业考试）根据下图天平平衡的状态，求出一杯水的质量。 【答案】1.5kg 【分析】1杯水为单位“1”，由图可知1杯水的重量＝杯水的重量＋kg，我们可以根据等式的基本性质，两边同时减去杯水的重量，即（1－）杯水的重量＝kg。据此一杯水的重量＝kg÷（1－）杯水。 【详解】÷（1－）＝÷＝×＝1.5（kg） 答：这杯水的质量为1.5kg。 【点睛】此题需掌握等式的基本性质，通过数形结合的思想进行转化。 例3．（22-23六年级上·陕西西安·期末）（－）÷－（□－）＝，求□内应填的数。 【答案】 【分析】（－）÷－（□－）＝，把□看作是未知数，先计算出小括号里的－的差，－＝，再计算除以的商；÷＝，原式化为：－（□－）＝，根据减法性质，原式化为：－□＋＝，再根据等式的性质1，算式两边同时加上□，再减去，即可解答。 【详解】（－）÷－（□－）＝ （－）÷－（□－）＝ ×－（□－）＝ －□＋＝ □＝＋－ □＝＋－ □＝－ □＝ 变式1．（2023春·江苏南通·六年级专题练习）数学知识之间都有着有密切的联系，下面（    ）与众不同。 A．等式的性质 B．分数的基本性质 C．比的基本性质 D．商不变的规律 【答案】A 【分析】分数的分子可以看作比的前项，也可以看作除法算式的被除数；分数的分母可以看作比的后项，也可以看作除法算式的除数，所以分数的基本性质、比的基本性质、商不变的规律实质是一样的。等式的性质指等式的两边同时除以一个不为0的数，等式仍然成立，据此解题。 【详解】分数的基本性质、比的基本性质、商不变的规律实质是一样的，等式的性质与它们不同。 故答案为：A 【点睛】熟练掌握等式的性质、分数的基本性质、比的基本性质、商不变的规律，是解答此题的关键。 变式2．（2023春·天津红桥·六年级统考期末）若，则下列选项中错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式的性质：1．在等式两边同时加或减去一个相同的数，等式仍然成立。 2．在等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立。据此判断即可。 【详解】A．因为，根据等式的性质1，在等式两边同时加上3，等式仍然成立，所以，原题干说法正确； B．因为，根据等式的性质2，在等式两边同时乘5，所以5a＝5b，再根据等式的性质1，在等式的两边同时加上4，则5a＋4＝5b＋4，原题干说法错误； C．因为，根据等式的性质2，在等式两边同时乘，所以a＝b，原题干说法正确； D．因为，根据等式的性质2，在等式两边同时乘，所以a＝b，再根据等式的性质1，在等式的两边同时减去5，则a－5＝b－5，原题干说法正确。故答案为：B 【点睛】本题考查等式的性质，熟记等式的性质是解题的关键。 变式3．（22-23六年级下·河南郑州·期末）如图，两条直线相交形成四个角。为了说明图中的∠2＝∠4，晓晓的理由是：因为：∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠4＝180°（平角等于180°），所以：∠1＋∠2＝∠1＋∠4，也就得出：∠2＝∠4。这里运用了（    ）。 A．加法交换律 B．等式的性质 C．减法的性质 【答案】B 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式。 【详解】∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠4＝180°（平角等于180°），所以：∠1＋∠2＝∠1＋∠4，两边同时减去∠1，∠1＋∠2－∠1＝∠1＋∠4－∠1（运用了等式的性质1），得∠2＝∠4。这里运用了等式的性质。故答案为：B 【点睛】关键是掌握并灵活运用等式的性质。 题型6、方程的解及其运用 【解题技巧】1)方程的解：使方程两边相等的未知数的值；2）解方程：求方程的解的过程；3）会利用方程的解，求字母的数值。 例1．（22-23六年级下·山东·期末）x＝6是下面方程（    ）的解。 A．24÷x＝6 B．5x＝35 C．4x＋5＝29 D．4x÷8＝6 【答案】C 【分析】把x＝6代入到各个方程中，若方程的左边等于方程的右边，则x＝6是该方程的解，反之则不是。 【详解】A．方程的左边＝24÷x ＝24÷6 ＝4 ≠方程的右边 则x＝6不是方程24÷x＝6的解； B．方程的左边＝5x ＝5×6 ＝30 ≠方程的右边 则x＝6不是方程5x＝35的解； C．方程的左边＝4x＋5 ＝4×6＋5 ＝24＋5 ＝29 ＝方程的右边 则x＝6是方程4x＋5＝29的解； D．方程的左边＝4x÷8 ＝4×6÷8 ＝24÷8 ＝3 ≠方程的右边 则x＝6不是方程4x÷8＝6的解。 故答案为：C 【点睛】本题考查方程的检验，明确检验的方法是解题的关键。 例2．（2023春·江苏·六年级小升初模拟）已知方程的解是，则k的值是（    ）。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】把代入到方程中，然后根据等式的性质解方程即可。 【详解】当时 解： 故答案为：A 【点睛】本题考查解方程，熟练运用等式的性质是解题的关键。 变式1．（2022·四川乐山·五年级期末）是下列（       ）方程的解。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义，把x＝6代入方程进行检验即可。 【详解】A．把x＝6代入方程，左边＝6，右边＝0，左边≠右边，故选项错误； B．把x＝6代入方程，左边＝9，右边＝9，左边＝右边，故选项正确； C．把x＝6代入方程，左边＝1.2，右边＝3，左边≠右边，故选项错误； D．把x＝6代入方程，左边＝0.6，右边＝1.5，左边≠右边，故选项错误。故答案为：B 【点睛】本题主要考查了方程解的定义，解答此题应注意采取代入法。 变式2．（2022·江苏徐州·五年级期中）若x＝2是方程3x＋4a＝22的解，则a的值为（       ）。 A．4 B．7 C．10 【答案】A 【分析】将方程的解带入方程3x＋4a＝22，求出含a的式子，进而得出a的值。 【详解】将x＝2带入方程3x＋4a＝22得：6＋4a＝22 所以a＝（22－6）÷4＝16÷4＝4故答案为：A 【点睛】本题主要考查学生依据等式的性质解方程的能力。 题型7、解方程 【解题技巧】1）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。 2）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立；③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。 例1．（2024·江苏·小升初模拟）解方程。          【答案】；； 【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时加上3x，再同时减，最后同时除以3求解； （2）解比例，根据比例的性质先把比例式转化成两外项积等于两内项积的形式：，然后再根据 等式的性质，方程两边同时乘，再同时除以2.5求解。 （3）先计算方程左边的式子，然后再根据等式的性质，方程两边同时减去，再同时乘求解。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 例2．（2024·重庆·小升初模拟）解方程。            【答案】； 【分析】先应用乘法分配律把计算出来，方程两边再同时加减73.5，化简后得到方程，对化简后的方程两边再同时加12后除以6，可以解出未知数； 把和分别看作整体，方程两边同时加和，化简后含和的项分别在等号两边，再逆用分配律，分别提出和进行化简后，方程两边同时乘6去掉分母后，运用等式的性质解方程。 【详解】 解： 解： 例3．（2023·浙江·小升初模拟）解方程或比例。      【答案】； 【分析】 ，依据比例的基本性质，先写成的形式，根据等式的性质1和2，两边同时×，再同时＋1即可。 ，等式左边的部分，依据分数的基本性质，将小数化成整数，然后根据等式的形式1和2，两边同时×6，去分母，再将能合并的合并起来，解方程即可； 【详解】 解： 解： 变式1．（2024·辽宁·小升初模拟）解方程。                     【答案】；； 【分析】①根据等式的性质解答即可；先在方程两边同时加，再在方程两边同时减2.4，最后在方程两边同时除以4即可解答； ②根据比例的基本性质，内项积等于外项积，再在方程两边同时除以4即可解答； ③在比例里，两个内项之积等于两个外项之积，再在方程两边同时除以，最后在方程两边同时加1即可解答。 【详解】 解： 解： x＝ 解： 变式2．（2023·四川成都·小升初真题）解方程。 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据带符号搬家，将变为，计算出，然后根据根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时加上0.2，再同时除以9即可； （2）先将方程左右两边分别化为分母是2的分数相加减，也就是，然后将左右两边分别合并，也就是，据此根据等式的性质2，左右两边同时乘2，可得，然后将左右两边分别合并，也就是，根据等式的性质1，将左右两边同时减去x，方程变为，再根据根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时加上1，再同时除以4即可。 【详解】（1） 解： （2） 解： 变式3．（2023·绵阳市·六年级小升初模拟）解方程或比例。      【答案】； 【分析】，依据比例的基本性质，先写成的形式，根据等式的性质1和2，两边同时×，再同时＋1即可。 ，等式左边的部分，依据分数的基本性质，将小数化成整数，然后根据等式的形式1和2，两边同时×6，去分母，再将能合并的合并起来，解方程即可； 【详解】 解： 解： A组（能力提升） 1．（23-24六年级下·四川·期中）下面说法正确的是（    ）。 A．方程5x＋5＝5的解是5 B．5x＋5＜5是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 【答案】D 【分析】根据方程的概念：含有未知数的等式。所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。 【详解】A．方程5x＋5＝5的解是x＝5，该选项的说法是错误的，不符合题意； B．5x＋5＜5，含有未知数，但不是等式，因此不是方程，该选项的说法是错误的，不符合题意； C．等式不一定含有未知数，只有含有未知数的等式才是方程，该选项的说法是错误的，不符合题意； D．方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式，因此方程一定是等式，该选项的说法是正确的，符合题意。故答案为：D 2．（23-24六年级·江苏常州·期末）小学阶段学了很多数学知识，它们之间有密切的联系。下列不能正确表示它们之间关系的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】合数：除了1和它本身，还有其它因数的数是合数；偶数：能被2整除的数是偶数；等腰三角形：两条边相等的三角形是等腰三角形；正三角形：三条边相等的三角形是正三角形；正三角形是特殊的等腰三角形；方程：含有未知数的等式就是方程；方程是等式，等式不是方程，据此即可逐项分析。 【详解】A．偶数和合数不是包含关系，2是偶数，但不是合数，所以选项A不能表示它们之间的关系。 B．等腰三角形两腰相等，两个底角相等，当三条边都相等时，就变成了正三角形，所以B能表示它们之间的关系。C．方程是等式，是含有未知数的等式，所以选项C能表示它们之间的关系。故答案为：A 【点睛】解答本题需熟练掌握分类标准，明确分类方法。 3．（2022春·广东梅州·六年级统考期末）是下面方程（    ）的解。 A． B． C． 【答案】A 【分析】根据等式的性质，分别计算3个选项里方程的解，即可选择出正确的答案。 【详解】A．2x＋9＝15 解：2x＋9－9＝15－9 2x＝6 2x÷2＝6÷2 x＝3 B．3x＝4.5 解：3x÷3＝4.5÷3 x＝1.5 C．3x÷2＝18 解：3x÷2×2＝18×2 3x＝36 3x÷3＝36÷3 x＝12 所以，解是x＝3的方程是：2x＋9＝15。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查方程的解，关键是利用等式的性质解方程。 4．（2022·河南三门峡·小升初真题）鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，换算关系是：b＝2a－10（b表示码数，a表示厘米数）。37码的鞋用厘米作单位是（    ）厘米。 A．64 B．23.5 C．28.5 【答案】B 【分析】根据题意，“b＝2a－10（b表示码数，a表示厘米数）”，37码的鞋，可把“b＝37”带入“b＝2a－10”，利用等式的性质，据此可以求出a的值。 【详解】把b＝37带入b＝2a－10中可得， 37＝2a－10 解：37＋10＝2a＋10 47＝2a 2a÷2＝47÷2 a＝23.5 所以37码的鞋用厘米作单位是23.5厘米。 故答案为：B 【点睛】本题考查了含有字母式子的求值以及利用等式的性质解方程，关键是弄清楚字母所表示的意义，再解答。 5．（2024·四川成都·小升初真题）（比较大小）（）是一个真分数，下面各分数中最大的一个是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。所以选项A、C的分数与原分数相等。假设真分数是，分别写出选项B、D的分数，并比较大小（分子除以分母化成小数，从高位到低位比较每个数位的数字大小），据此解答。 【详解】根据分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，所以；假设真分数是，，；因为，所以，最大的分数是。 故答案为：D 【点睛】本题考查分数的基本性质，及比较分数的大小。 6．（2022·山东济宁·小升初真题）4a＋8错写成4×（a＋8），结果比原来（    ）。 A．多4 B．少4 C．多24 【答案】C 【分析】将算式4（a＋8）去括号，计算出结果，再求与4a＋8的差即可。 【详解】4（a＋8）－（4a＋8） ＝4a＋32－4a－8 ＝32－8 ＝24 则结果比原来多24。 故答案为：C 【点睛】本题考查了用乘法分配律计算含字母的算式，要熟记运算律并能灵活使用。 7．（2022·陕西西安·小升初真题）某水果店运来苹果x千克，运来梨的质量是苹果的1.5倍，该水果店运来苹果和梨一共( )千克。如果该水果店运来的梨比苹果多50千克，那么运来苹果( )千克，运来梨( )千克。 【答案】 2.5x 100 150 【分析】根据运来的梨的质量＝苹果的质量×1.5，运来的梨和苹果的总质量＝运来的梨的质量＋苹果的质量； 根据梨比苹果多的质量＝运来的梨的质量－苹果的质量，列方程，即可苹果、梨的重量。 【详解】1.5x＋x＝2.5x（千克） 该水果店运来苹果和梨一共2.5x千克。 如果运来的梨比苹果多50千克，则： 解：1.5x－x＝50 0.5x＝50 x＝100 100＋50＝150（千克） 运来苹果100千克，运来梨150千克。 【点睛】考查了用字母表示数，本题的关键是得到运来的梨的质量。 8．（2023·四川成都·小升初真题）王恒出生于20世纪，他把他出生的月份乘2后加上5，把所得的结果乘50后加上出生年份再减去250，最后得到2088，则王恒出生在( )年( )月。 【答案】 1988 1 【分析】王恒出生于20世纪，出生的年份在1901年到2000年所有的整数，月份在1到12之间。根据题目的要求可以设王恒出生在x年y月，则。将式子进行化简。得出当y＝1时，x＝1988符合条件。 【详解】设王恒出生在x年y月。 当y＝1时， 则王恒出生在1988年1月。 9．（2023·四川成都·小升初真题）（图形找规律）观察下图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色的三角形有( )个。 【答案】121 【分析】用n表示第几个三角形时， 当n＝1时，白色的三角形有1个； 当n＝2时，白色的三角形有（1＋3＝4）个； 当n＝3时，白色的三角形有（1＋3＋3×3＝13）个 观察发现： 当n＝4时，白色的三角形有（1＋3＋3×3＋3×3×3＝40）个； 当n＝5时，白色的三角形有（1＋3＋3×3＋3×3×3＋3×3×3×3＝121）个； 【详解】据分析： 1＋3＋3×3＋3×3×3＋3×3×3×3 ＝1＋3＋9＋27＋81 ＝121（个） 所以第5个三角形中白色的三角形为121个。 10．（2023·湖北·小升初模拟）求未知数x。 （1）    （2） （3）     （4）  【答案】（1）；（2）；（3）；（4）x＝1 【分析】（1）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时减去7，再同时减去5x，最后同时除以2即可；（2）先按照比例的基本性质变为，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以，再同时减去2即可。 （3）运用乘法分配律化为，然后根据等式的性质，在方程两边同时减去4，再在方程两边同时除以5即可； （4）根据等式的性质，在方程两边同时乘6，再在方程两边同时加12，再在方程两边同时减去x，最后在方程两边同时除以5即可。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： B组（培优拓展） 1．（23-24六年级上·江苏徐州·期末）将图①正方形做如下操作：分别连接对边中点如图②，得到5个正方形（1个大正方形加上4个中等正方形）；第2次，将图②左上角的正方形按上述方法再分割如图③，得到9个正方形…像这样操作8次，可以得到（    ）个正方形。 A．29 B．30 C．32 D．33 【答案】D 【分析】根据题意可知，将图①操作1次得到个正方形，操作2次得到个正方形，每操作1次增加4个正方形，由此得到规律，操作次得到个正方形，据此解答。 【详解】由分析可知，像这样操作8次，可以得到个正方形， （个） 即像这样操作8次，可以得到33个正方形； 故答案为：D 2．（2023·四川成都·小升初真题）A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A，B，C，D，E五队分别比赛了5，4，3，2，1场球，则还没有与B队比赛的球队是（    ）。 A．C队 B．D队 C．E队 D．F队 【答案】C 【分析】可以画图分析，六个点代表六个队，两点之间的线段代表1场比赛。A分别和B、C、D、E、F比赛了5场，E队只比赛了1场就是和A进行比赛的。B比赛了4场，那么除了和A比赛，分别和C、D比赛了2场，还有一场是和F赛的。这样D就分别是A、B赛了2场。C比赛了3场，分别已经和A、B赛了2场，还有1 场是和F赛的。 【详解】根据分析画出图。 所以还没有与B队比赛的球队是E队。 故答案为：C 3．（2022·浙江宁波·小升初真题）按照下面的方式堆放小球，第5堆有( )个小球，第n堆有( )个小球。 【答案】 15 （1＋n）×n÷2 【分析】第一堆1层1个；第二堆2层3个；第三堆3层6个；第四堆4层10个；根据每一堆的层数和个数，发现可以用梯形的面积公式来计算出个数，上底是1，下底与它的堆数相同，高与底相同，据此求出第5堆和第n堆小球的个数即可。 【详解】第五堆小球共有： （1＋5）×5÷2 ＝6×5÷2 ＝15（个） 第n堆小球共有：[（1＋n）×n÷2]个 【点睛】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。 4．（2023·四川成都·小升初真题）小敏购买4种教学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数如下表： 品名 件数 计算器 圆规 三角板 量角器 总钱数 第一次购买件数 1 3 4 5 78 第二次购买件数 1 5 7 9 98 则4种教学用品各买一件共需要( )元。 【答案】58 【分析】根据题意可知，计算器×1＋圆规×3＋三角板×4＋量角器×5＝78元；计算器×1＋圆规×5＋三角板×7＋量角器×9＝98元；据此可知，圆规×（5－3）＋三角板×（7－4）＋量角器×（9－5）＝圆规×2＋三角板×3＋量角器×4＝（98－78）元，再用78－（98－78）即可求出计算器×1＋圆规×1＋三角板×1＋量角器×1。 【详解】98－78＝20（元） 78－20＝58（元） 4种教学用品各买一件共需要58元。 【点睛】本题主要考查了等量代换，通过等式间数量上的加减找到对应要求的数量。 5．（2023·四川成都·小升初真题）数轴上10个点所表示的数分别为。，，…，，当i为奇数时，，当i为偶数时，，那么( )。 【答案】6 【分析】能被2整除的自然数是偶数，不能被2整除的自然数是奇数。当时，是奇数，则，当，是偶数，则，…将几个式子加起来观察。 【详解】时， 时， 时， 时， 则 6．（2022·四川成都·小升初真题）如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，图③中有13个点，图④中有21个点，按此规律，图⑩中有( )个点。 …… 【答案】111 【分析】根据给出的几幅图的点数，我们可以得到：第②比第①多4；第③比第②多6；第④比第③多8…由此可得，从第②幅图开始，每一幅图比前一幅多的点数分别为4、6、8… 据此总结规律求解即可。 【详解】观察题图可知： 图①中点的个数为； 图②中点的个数为； 图③中点的个数为； 图④中点的个数为； 图n中点的个数为； 当时，图中点的个数有（个）点。 【点睛】考查数与形，能总结出一般规律是解题关键。 7．（2024六年级·重庆·培优）方程：的解为 。 【答案】2022 【分析】把x提取出来，并提取公因数，分母应用等差数列求和公式求和，转化成分数裂项求解。 【详解】 解： 【点睛】本题考查了分数裂项，如何构造出分数裂项的基本形式是解题的关键。 8．（2022·重庆·小升初真题）将自然数列按照如图方式排列，如果2算作是第一次拐弯，那么第50次拐弯的数是 。 【答案】651 【分析】第一拐弯处是2，第二次拐弯处是3，第三次拐弯处是5，第四次拐弯处是7，第五次拐弯处是10…可以得到n个拐弯处的数。当n为奇数时，1＋（1＋3＋5＋…＋n）；当n为偶数时，1＋2×（1＋2＋3＋…＋）。第50次为偶数，代入即可计算出此处拐弯处的数。 【详解】由分析可知，第50次拐弯处的数为： 1＋2×（1＋2＋3＋…＋） ＝1＋2×（1＋2＋3＋…＋50÷2） ＝1＋2×（1＋2＋3＋…＋25） ＝651 【点睛】解答此题的关键是根据图找出拐弯外数的数与次数的规律，然后再根据规律解答。 9．（2023·四川成都·小升初真题）如果，，那么( )。 【答案】34 【分析】观察等式得：x比y大12，y比z大5，那么x比z大17。再将式子用乘法的分配律化简。 【详解】 10．（2022·辽宁·六年级专题练习）解方程。                                －（－2.5）＝18                   【答案】x＝7.25；x＝10；x＝2 x＝21.875；x＝；x＝2.25 【分析】解方程主要运用等式的性质，等式两边同时加上或者减去同一个数，等式不变。等式两边同时乘或者除以一个不为0的数，等式不变。把含有x的放在等号的一侧，不含x的放在等号的另一侧，然后把x前的系数除过去，就能得出x是多少。 【详解】 解：8.5－4x＋24＝ 32.5－＝4x 4x＝29 x＝29÷4 x＝7.25 解：1.2x－0.4x＝0.1x＋7 0.8x－0.1x＝7 0.7x＝7 x＝7÷0.7 x＝10 解：10－2×（2x－4）＝5x 10－4x＋8＝5x 18＝4x＋5x 9x＝18 x＝18÷9 x＝2 －（－2.5）＝18 解：x－x＋×2.5＝18 0.8x＋0.5＝18 0.8x＝18－0.5 x＝17.5÷0.8 x＝21.875 解：＝ 6×（x－2）＝2×（13－5x） 6x－12＝26－10x 6x＋10x＝26＋12 16x＝38 x＝ 解：x－0.25＝÷ x－0.25＝2 x＝2＋0.25 x＝2.25 11．（2023·江苏·六年级期中）数学中规定：连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线。 正多边形 …… 边数 4 5 6 … 一个顶点可画对角线数量 1 2 3 … 对角线总数量 2 5 9 … 聪聪是个喜欢思考的学生，他发现正多边形的对角线数量和正多边形的边数存在某种规律（如图），照这样的规律，正七边形共有( )条对角线，正n边形共有( )条对角线。 【答案】 4 【分析】观察题意可知，根据n边形从一个顶点出发可引出（n－3）条对角线，从n个顶点出发每个引出（n－3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为n（n－3）÷2（n≥3，且n为整数）。 【详解】根据分析可知，n边形从一个顶点出发可引出（n－3）条对角线，7－3＝4（条） 所以从正七边形的一个顶点出发则有4条对角线， n（n－3）÷2＝（条） 正n边形共有条对角线。 【点睛】此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握计算公式。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 第 37 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $$