期末重难点真题特训之压轴满分题型（50题10个考点）-2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

期末重难点真题特训之压轴满分题型（50题10个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、二次根式的化简求值压轴题型 1．已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．设，则的值为 ． 3．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 4．阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 5．已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 压轴满分题二、一元二次方程根与系数的关系压轴题型 1．若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　） ①； ②，； ③； ④关于的一元二次方程的两个根为，． A． B． C． D． 2．已知关于x的方程的两根均大于1且小于2，则的取值范围是 ． 3．阅读材料后解答问题∶ 材料1：已知一元二次方程的两个实数根分别为m， n，求的值． 解： ∵一元二次方程的两个实数根分别为m， n，    ∴，， 则． 材料2：已知实数a、b满足，，且，求的值． 解：依题意得：a与b为方程的两根， ∴，，∴ 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶ (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ， ． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 4．已知方程①，和方程② (1)若方程①的根为，，求方程②的根； (2)当方程①有一根为时，求证是方程②的根； (3)若，方程①的根是与，方程②的根是和，求的值． 5．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法，配方法是完全平方公式的逆用，即．例如二次三项式通过配方法可以变成三种形式：①（余常数项），②（余一次项），③（余二次项）． 诸根据阅读材料解决下列问题： (1)填空：将二次三项式配方为：______（余常数项），______（余一次项），______（余二次项）； (2)已知方程的两根是和，不解方程，求下列代数式的值； ①．     ②； (3)已知，求的值． 压轴满分题三、一元二次方程的应用压轴题型 1．某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（  ） A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 2．已知在长方形纸片中，，，现将两个边长分别为和的正方形纸片按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片中均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为；若时，则 ；若再在边长为大正方形的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图3），当时，则图3中阴影部分的面积 ． 3．教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生的劳动价值观和良好的劳动品质．东北育才学校生态园新一年也有了新的规划，请你根据素材完成任务． 东北育才学校生态园年春季规划 素材一 市场调研，两种型号的劳动工具价格． （1）型劳动工具的单价比型劳动工具少3元． （2）用元购买型劳动工具的数量与用元购买型劳动工具的数量相等． 素材二 计划购买，两种型号的劳动工具 （1），两种型号的劳动工具共个． （2）型劳动工具的数量不少于型劳动工具数量的一半． 素材三 新规划一块矩形苗圃 （1）苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，（2）如图所示，在两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，    问题解决 任务一 求，两种型号劳动工具的单价各是多少元． 任务二 求购买这批劳动工具的最少费用． 任务三 设苗圃的一边长为． （1）用含的代数式表示苗圃靠墙一边的长是________； （2）若苗圃的面积为，求的值； （3）苗圃的面积能否为．________（直接回答“能或不能”．） 4．有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为米的纵横小路（阴影部分），余下的场地建成草坪． (1)如图，在矩形场地上修筑两条的纵横小路． 请写出两条小路的面积之和______（用含、的代数式表示）； 若，且草坪的总面积为，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？ (2)如图，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中条水平方向的小路，条竖直方向的小路（为常数），若，且草坪的总面积为平方米，求的值． 5．正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． (1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ (2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 压轴满分题四、勾股定理压轴题型 1．如图，是等边边上的高，在、上分别取一点E、F，使，连接、．若，设，则的最小值为（    ）    A． B． C．2 D．3 2．如图，在中，，点E是边上一动点，过点E作交边于点D，将沿直线翻折，点A落在线段上的F处，连接，当为等腰三角形时，的长为 ．    3．如图1，在四边形中，，，，连接．求证：． (1)【思维探究】小明的思路是：延长到点，使，连接．根据，推得，从而得到，然后证明，从而可证，请你帮助小明写出完整的证明过程． (2)【思维延伸】如图2，四边形中，，，连接，猜想，之间的数量关系，并说明理由． (3)【思维拓展】在四边形中，，，与相交于点．若四边形中有一个内角是，请直接写出线段的长． 4．探索与发现 【操作发现】甲、乙两位同学对“三角形中的中点问题”进行了讨论，过程如下： 如图1，在中，点是的中点，点是边上一点，连接． 甲同学：延长至点，使，连接，如图2所示． 是的中点，． 又，，．（依据1：______） 乙同学：过点作的平行线交的延长线于点，如图3所示． ，． 又，，．（依据2：______） （1）上述过程中的依据1是______，依据2是______．（填“”“”或“”） 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【解决问题】如图4，在中，点是边的中点，点在边上，过点作，交边于点，连接． （2）求证：． （3）若，则线段、、之间的等量关系为______． 【拓展应用】 （4）如图5，在中，，，以为顶点作，使，，，连接，为线段的中点．将绕点在平面内旋转，当时，请直接写出线段的长． 5．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“半等边四边形”． (1)如图1，在四边形中，，，，求证：四边形是“半等边四边形”； (2)如图2，中，， ①求、的长； ②设是所在平面内一点，当四边形是“半等边四边形”时，请直接写出四边形的面积． 压轴满分题五、勾股定理的逆定理压轴题型 1．如图，在三角形，，，是上中点，是射线上一点．是上一点，连接，，，点在上，连接，，，，则的长为（   ） A． B．8 C． D．9 2．如图，在等腰直角的斜边上任取两点，使，记，则以为边长的三角形的形状是 ． 3．在正方形网格中，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下列问题． (1)的形状为______； (2)在图1中，将沿翻折得到，在图中画出； (3)在图2中，点在线段上任意一点，过点作射线，使． 4．我们定义：对角线相等的四边形为等对四边形． (1)尝试：如图1是方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为5的等对四边形，要求四个顶点均在格点上； (2)推理：如图2，已知中，以和为边在的外侧分别作等边三角形和，连接． 求证：四边形是等对四边形； (3)拓展：如图3，已知四边形是等对四边形，，，，求边的长． 5．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 压轴满分题六、勾股定理的应用压轴题型 1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为（  ） A． B． C． D． 2．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm． 3．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 4．如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： (1)将桥建在何处时，可以使得桥到村和村的距离和最小？请在图中画出此时点的位置； (2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求出当______时，的值最小，且最小值为______； (3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值： ①的最小值______； ②的最小值为______． 5．上午8点，某台风中心在A岛正南方向处由南向北匀速移动，同时在A岛正西方向处有一艘补给船向A岛匀速驶来，补给完后改变速度立即向A岛正北方向的C港匀速驶去，如图所示是台风中心、补给船与A岛的距离S和时间t的图象．已知台风影响的半径是（包含边界），请结合图象解答下列问题： （1）台风的速度是_________，补给船在到达A岛前的速度是_________，图中点P的实际意义是_______________； （2）从几点开始，补给船将受到台风的影响？ （3）设补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，出于安全考虑，补给船速度不超过、．求出图中补给船航行时间m的正整数值及此时补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间． 压轴满分题七、多边形的内角和压轴题型 1．如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 2．如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交AB于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 3．已知：在中，．过边上的点D作，垂足为点E．为的一条角平分线，为的平分线． (1)如图1，若，点G在边上且不与点B重合． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，若，点G在边BC上，DG与FB的延长线交于点H，用含的代数式表示∠H，并说明理由； (3)如图3，若，点G在边上，与交于点M，用含的代数式表示，则　　． 4．在中，．点D、E分别在的边上，且均不与的顶点重合，连接，将沿折叠，使点A的对称点始终落在四边形的外部，交边于点F，且点与点C在直线的异侧． (1)如图①，则_______． (2)如图②，则_______． (3)如图③，设图②中的．求的度数； (4)当的某条边与或垂直时，直接写出的度数． 5．已知，在中，，，，是射线，上的点，连接．分别过，作，外角的角平分线相交于点． (1)如图1，点，在线段，延长线上，若，求． (2)如图2，点在线段延长线上，点在线段上，与相交于点．若，求． (3)如图3，点在线段上运动（不与，重合），点在线段的延长线上运动，请直接写出的取值范围． 压轴满分题八、平行四边形的判定与性质压轴题型 1．如图，中，对角线相交于点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，，，，点M在上，且，点N在上．若平分四边形的面积，则的长度为 ．    3．定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点，在直线上，点，在直上，若，则四边形是半对角四边形．． (1)如图2，点是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，求平行四边形的面积； (2)如图3，以平行四边形的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，对角线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； (3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移4个单位成为四边形后，为平面上一点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 4．如图，为的对角线，，平分，点F为射线上一点． (1)如图1，当点F在的延长线上，且，连接与交于点G． ①求证：； ②若，求的长； (2)如图2，当点F在线段上，连接与交于点H，若，，试探究三条线段之间的数量关系． 5．如图，在四边形中，，且． (1)写出A，C，D三点的坐标． (2)点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点O运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． ①求t为多少时，． ②如图2，当时，点E为的中点，点F在上，，求点F的坐标． 压轴满分题九、特殊平行四边形的判定与性质压轴题型 1．如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，在正方形中，，为对角线上与不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接．则以下结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的是 ．（填写序号） 3．已知在正方形中，点是对角线上一点． (1)如图1连接，若，，求出的长． (2)如图2，过点作于点，交于点，点、分别在、上（不与端点重合），连接，，若，，求证：． (3)如图3，在（1）的条件下，线段上有一动点，当的值取得最小时，直接写出的值． 4．如图，已知矩形纸片，，（）． (1)如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点处，折痕交边于点E．求证：四边形是正方形． (2)将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在边上的点处，点B落在点处，折痕交边于点F，连结，如图2， ①求证：． ②若，，求折痕的长． ③当为等腰三角形时，直接写出a，b之间应满足的数量关系． 5．已知正方形中，点E是射线上一点，连接，作的垂直平分线交直线于点M，交直线于点N，交于点F． (1)如图1，当点E在正方形的边上时． ①依题意补全图形； ②求证：； (2)如图2，当点E在的延长线上时．连接并延长交的延长线于点P，连接． ①直接写出的度数为 　　； ②用等式表示线段，，之间的数量关系 压轴满分题十、三角形的中位线压轴题型 1．如图，平行四边形中，，点M，N分别为线段上的动点（含端点），点E，F，G分别为的中点，则长度的最大值为（　　）． A． B． C．3 D．5 2．四边形中，对角线，，点分别是的中点，连接，取中点，连接，则的值为 ． 3．【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在中，，，为中点，求的取值范围． (1)小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作边上的中点，连接，构造出的中位线，请你完成余下的求解过程． (2)如图②，在四边形中，，，、分别为、中点，求的取值范围． (3)变式：把图②中的、、变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则的取值范围为_________． (4)如图④，在中，，，为边的中点，是边上一点且正好平分的周长，则______． 4．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，在轴正半轴上取一点，使，连接． (1)求线段的长； (2)点为线段的中点，动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为个单位长度秒，连接，设的面积为，运动时间为秒，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在（2）的条件下，过点作，且，在线段的延长线上取一点，连接，过点作于点，连接交延长线于点，若，，求点的坐标． 5．【问题初探】 （1）李老师给出如下问题：中，，且，点是的中点，点为对角线上的点，且，连接线段．若，求的长． 小鹏同学考虑到点是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接与交于点．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题． 【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答． （2）如图3，中，平分于．求证：； 【学以致用】 （3）如图4，在，点在上，分别是的中点，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题特训之压轴满分题型（50题10个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、二次根式的化简求值压轴题型 1．已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性．根据二次根式的性质将变形为，配方得到，根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵m，n均为正实数， ∴可化为， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故选：B 2．设，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的混合运算-化简求值，直接利用混合运算法则化简，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】， ， ， ， ，， ∴ ， ∴ ， ∴原式， 故答案为：． 3．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化： （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小； （3）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）， ， 而，， ， ； （3）由，，得， ， 当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为． 4．阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． （1）根据题目中的例子可以写出答案； （2）根据例2，可以写出相应的猜想； （3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案； （4）结合例1，例2的规律进行计算即可； 【详解】（1） （2） ， ， ， 故答案为：； （3） ； （4） ， ， ， 故． 5．已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)，理由见详解 【分析】（1）结合题意，求得，然后代入求值即可； （2）将原式整理为，即可获得答案； （3）比较与的大小，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2） ． 故答案为：； （3），理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键． 压轴满分题二、一元二次方程根与系数的关系压轴题型 1．若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　） ①； ②，； ③； ④关于的一元二次方程的两个根为，． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断． 【详解】解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，所以①正确； ∵，， ∴，，所以②正确； ∵， ∴， 即， ∴，所以③错误； ∵， ∴方程化为， 即， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，所以④正确． 故选：． 【点睛】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若，是一元二次方程的两根，则，． 2．已知关于x的方程的两根均大于1且小于2，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查根与系数的关系和代数式取值范围问题，熟练进行解方程，解不等式，正确运算是解题的关键． 先化简分式方程得一元二次方程，再根据根与系数的关系列出两个根与a，b，的关系式，最后根据根的范围，求出的取值范围． 【详解】解：， 去分母得，， 设的两个根为，， 由根与系数的关系可知，，， ∴， ∵，均大于1且小于2， ∴，， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 3．阅读材料后解答问题∶ 材料1：已知一元二次方程的两个实数根分别为m， n，求的值． 解： ∵一元二次方程的两个实数根分别为m， n，    ∴，， 则． 材料2：已知实数a、b满足，，且，求的值． 解：依题意得：a与b为方程的两根， ∴，，∴ 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶ (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ， ． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【答案】(1)3； (2) (3) 【分析】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． （1）根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系可得：，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； （3）可把s与t看作是方程的两个实数根，则有，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，， ， 故答案为：3；． （2）解：一元二次方程的两根分别为m，n， ， ． （3）解：实数s，t满足，且， s，t是一元二次方程的两个实数根， ． ， ． 4．已知方程①，和方程② (1)若方程①的根为，，求方程②的根； (2)当方程①有一根为时，求证是方程②的根； (3)若，方程①的根是与，方程②的根是和，求的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程解得意义，当、是一元二次方程的两根时，，，解题的关键是掌握根与系数的关系． （1）根据一元二次方程的解的意义即可求得、的值，即可得到方程②，然后利用 配方法解方程②即可； （2）根据方程的定义得到，两边同时除以得：，即可得证； （3）根据题意得，利用根与系数的关系得到：，，进而得到，，可得，即可求解． 【详解】（1）的根为，， ， 解得：， 方程②为：， ，； （2）当方程①有一根为， ， 两边同时除以得：， 是的根， 是方程②的根； （3）， ， 方程①的根是与，方程②的根是和， ，，，， ，，， ， ． 5．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法，配方法是完全平方公式的逆用，即．例如二次三项式通过配方法可以变成三种形式：①（余常数项），②（余一次项），③（余二次项）． 诸根据阅读材料解决下列问题： (1)填空：将二次三项式配方为：______（余常数项），______（余一次项），______（余二次项）； (2)已知方程的两根是和，不解方程，求下列代数式的值； ①．     ②； (3)已知，求的值． 【答案】(1)；； (2)①；② (3)4 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程中根与系数的关系，熟记，掌握配方法是解题的关键． （1）仿照例题写出三种不同形式的配方； （2）利用根与系数的关系公式，求得的值，再利用完全平方公式进行变形，即可解答； （3）将式子的左边配方，根据非负数的性质求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：； ； ， 故答案为：；；； （2）解：由得： ，， ①根据完全平方公式可得； ②； （3）解：， 可得， 解得， ． 压轴满分题三、一元二次方程的应用压轴题型 1．某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（  ） A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，列出方程解出即可； 【详解】解：设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，由题意得： ， 解得：x=5, 所以一套驱蚊器的售价为：5×6=30（元），一套驱蚊器的利润元 设每套驱蚊器降价a元，由题意得： ， 解得： , （舍去）， 故选：A. 2．已知在长方形纸片中，，，现将两个边长分别为和的正方形纸片按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片中均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为；若时，则 ；若再在边长为大正方形的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图3），当时，则图3中阴影部分的面积 ． 【答案】 3 6.5/ 【分析】先将，，用用a，b表示，再分别根据与，计算即可． 【详解】解：在图1中，根据题意得：， ∴， 同理在图2中，， ∴ ∴， 又∵， ∴． 又∵，即， 将代入方程中得： 解得：（舍去）， ∴． 在图3中， ∴ 故答案为：3；． 【点睛】本题考查列代数式，整式的混合运算，解一元二次方程，掌握相关知识和技巧是解题的关键．本题难度较大，所列式子较复杂，需要较强的阅读理解能力和对数学思想的运用能力． 3．教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生的劳动价值观和良好的劳动品质．东北育才学校生态园新一年也有了新的规划，请你根据素材完成任务． 东北育才学校生态园年春季规划 素材一 市场调研，两种型号的劳动工具价格． （1）型劳动工具的单价比型劳动工具少3元． （2）用元购买型劳动工具的数量与用元购买型劳动工具的数量相等． 素材二 计划购买，两种型号的劳动工具 （1），两种型号的劳动工具共个． （2）型劳动工具的数量不少于型劳动工具数量的一半． 素材三 新规划一块矩形苗圃 （1）苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，（2）如图所示，在两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，    问题解决 任务一 求，两种型号劳动工具的单价各是多少元． 任务二 求购买这批劳动工具的最少费用． 任务三 设苗圃的一边长为． （1）用含的代数式表示苗圃靠墙一边的长是________； （2）若苗圃的面积为，求的值； （3）苗圃的面积能否为．________（直接回答“能或不能”．） 【答案】任务一：型号劳动工具的单价为元，种型号劳动工具的单价为元 任务二；购买这批劳动工具的最少费用为元 任务三；（1）；（2）8；（3）不能 【分析】任务一；设型号劳动工具的单价为元，则种型号劳动工具的单价为元，依题意得，，计算求解，然后作答即可； 任务二；设种型号的劳动工具个，则种型号的劳动工具 个，总费用为元，依题意得， ，可求，，根据一次函数的图象与性质求解作答即可； 任务三；（1）依题意得，的长是，计算求解即可；（2）由题意知，，可求，依题意得，，计算求出满足要求的解即可；（3）令，整理得，，由，判断作答即可． 【详解】任务一；解：设型号劳动工具的单价为元，则种型号劳动工具的单价为元， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴型号劳动工具的单价为元，种型号劳动工具的单价为元； 任务二；解：设种型号的劳动工具个，则种型号的劳动工具 个，总费用为元， 依题意得， ， 解得，， ， ∵， ∴当时，总费用最少，元， ∴购买这批劳动工具的最少费用为元； 任务三；（1）解：依题意得，的长是（）， 故答案为：； （2）解：由题意知，， 解得，， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴的值为8； （3）解：令，整理得，， ∵， ∴方程无实数解， 故答案为：不能． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 4．有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为米的纵横小路（阴影部分），余下的场地建成草坪． (1)如图，在矩形场地上修筑两条的纵横小路． 请写出两条小路的面积之和______（用含、的代数式表示）； 若，且草坪的总面积为，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？ (2)如图，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中条水平方向的小路，条竖直方向的小路（为常数），若，且草坪的总面积为平方米，求的值． 【答案】(1)①②长为米，宽为米 (2)或 【分析】（1）①②根据两条小路的面积之和两个长方形的面积重叠的正方形的面积表示即可；②根据草坪的总面积为，列一元二次方程，求解即可； （2）根据草坪的总面积为平方米，列方程求解，再进一步求出符合条件的和的值，即可求出的值． 【详解】（1）解：①根据题意，两条小路的面积之和平方米， 故答案为：平方米； ②根据题意，得， 又∵， ， 原方程化为， 解得（不符合题意，舍去），， （米）， 答：原来矩形场地的长为米，宽为米； （2）解：根据题意，得， 整理得， ，为正整数， 是正整数且是的约数，是正整数且是的约数， 当时，， ，， ； 当时，， ，， ； 当时，， ，， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 5．正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． (1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ (2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 【答案】(1)总共生产了袋手工汤圆 (2)促销时每袋应降价3元 【分析】（1）设总共生产了袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可； （2）设促销时每袋应降价元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可． 【详解】（1）设总共生产了袋手工汤圆， 依题意得， 解得， 经检验是原方程的解， 答：总共生产了袋手工汤圆 （2）设促销时每袋应降价元， 当刚好10天全部卖完时， 依题意得， 整理得： ， ∴方程无解 ∴10天不能全部卖完 ∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为 ∴依题意得， 解得 ∵要促销 ∴ 即促销时每袋应降价3元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论． 压轴满分题四、勾股定理压轴题型 1．如图，是等边边上的高，在、上分别取一点E、F，使，连接、．若，设，则的最小值为（    ）    A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】过点C作，且在上取点，使得，连接，根据等边三角形的性质可证得，得到，则．连接，则，当点B，F，共线时，m的值最小．根据等边三角形的性质与勾股定理即可解答． 【详解】解：如图1，过点C作，且在上取点，使得，连接．   是等边三角形，，， ，， ， ，， ， ， ∴． 连接，则， 共线时，m的值最小，为，如图2，． ∵在等边三角形中，，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴在中，， 即m的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的三边关系，勾股定理，正确作出辅助线，将线段进行转化是解题的关键． 2．如图，在中，，点E是边上一动点，过点E作交边于点D，将沿直线翻折，点A落在线段上的F处，连接，当为等腰三角形时，的长为 ．    【答案】1或或 【分析】先由折叠的性质得到，由勾股定理求出，设，则，分三种情况讨论：①当时，列出方程，解方程即可；②当时，F在的垂直平分线上，得出，列出方程，解方程即可；③当时，作于G，则，由三角形面积求出，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：由翻折变换的性质得：， ， ． 设，则． 分三种情况讨论： ①当时，， 解得：， ； ②当时，F在的垂直平分线上， 为的中点， ， ， 解得：， ； ③当时，作于G，如图：    则， ， 在中，, ， 解得： ， 综上所述，当为等腰三角形时，的长为1或或， 故答案为：1或或． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，本题有一定难度，进行分类讨论是解题关键． 3．如图1，在四边形中，，，，连接．求证：． (1)【思维探究】小明的思路是：延长到点，使，连接．根据，推得，从而得到，然后证明，从而可证，请你帮助小明写出完整的证明过程． (2)【思维延伸】如图2，四边形中，，，连接，猜想，之间的数量关系，并说明理由． (3)【思维拓展】在四边形中，，，与相交于点．若四边形中有一个内角是，请直接写出线段的长． 【答案】(1)；理由见详解； (2)；理由见详解； (3)或 【分析】（1）如图1中，延长到点，使，连接．证明，推出，，推出的等边三角形，可得结论； （2）结论：，如图2中，过点作于点，交的延长线于点．证明，推出，，证明，推出，可得结论； （3）分两种情形：如图中，当时，过点作于点，于点．如图中，当时，分别求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中，延长到点，使，连接．    ∵， ∴， ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴的等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：结论：． 理由：如图2中，过点作于点，交的延长线于点．    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴ （3）解：如图3-1中，当时，过点作于点，于点．    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 如图3-2中，当∠时，    同法可证，， 综上所述，满足条件的的长为或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 4．探索与发现 【操作发现】甲、乙两位同学对“三角形中的中点问题”进行了讨论，过程如下： 如图1，在中，点是的中点，点是边上一点，连接． 甲同学：延长至点，使，连接，如图2所示． 是的中点，． 又，，．（依据1：______） 乙同学：过点作的平行线交的延长线于点，如图3所示． ，． 又，，．（依据2：______） （1）上述过程中的依据1是______，依据2是______．（填“”“”或“”） 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【解决问题】如图4，在中，点是边的中点，点在边上，过点作，交边于点，连接． （2）求证：． （3）若，则线段、、之间的等量关系为______． 【拓展应用】 （4）如图5，在中，，，以为顶点作，使，，，连接，为线段的中点．将绕点在平面内旋转，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；；（2）证明见解析；（3）；（4）或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质等等： （1）解读证明过程，即可知道依据1是；依据2是，进行作答即可． （2）延长到E使得，连接，证明，得到；再证明垂直平分，得到，在中，，则； （3）由全等三角形的性质得到，进而证明，在中，由勾股定理得，即可得到； （4）先证明是等腰直角三角形，得到；再分如图6所示，当点D在线段上时， ②如图7所示，当点D在的延长线上时，延长、交于点G，通过证明转换线段之间的关系进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）由证明过程可知依据1是，依据2是， 故答案为：；； （2）如图所示，延长到E使得，连接， ∵是的中点， ． 又∵，， ∴， ∴； ∵， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：； （4）如图5所示，在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ①如图6所示，当点D在线段上时，延长交于点G，连接， ∵， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点G在上， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴点G为的中点， ∴， ∴； ②如图7所示，当点D在的延长线上时，延长、交于点G， 同理可证明， ∴，， ∴， 又∵ ． ． 综上所述，当时，线段的长为或． 5．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“半等边四边形”． (1)如图1，在四边形中，，，，求证：四边形是“半等边四边形”； (2)如图2，中，， ①求、的长； ②设是所在平面内一点，当四边形是“半等边四边形”时，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①，；；②或或 【分析】（1）由四边形内角和定理求出，由，即可得出结论； （2）①如图1，过点作，交延长线于，设，求出，由直角三角形的性质得出，，构建方程求出，进而得出和的长； ②根据“半等边四边形”的定义分三种情况进行讨论，利用面积和可计算四边形的面积． 【详解】（1）（1）证明：在四边形中，， ，， ， ， 四边形是“半等边四边形”； （2）解：①如图1，过点作，交延长线于，则， ，， 是等腰直角三角形，， ，， ， 设，则，， ， ， ， ，； ②分三种情况： 如图2，，， 是等边三角形， 过点作于，过点作于， ，， ， 四边形的面积 ； 如图3，，， 过点作于， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形的面积 ； 如图4，，， 连接，过点作于，过点作于，则是等边三角形， ，，， ， ， 中，，， ，， 四边形的面积 ； 综上所述，四边形的面积是或或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了“半等边四边形”的判定与性质，等边三角形的性质和判定，四边形的内角和定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握半等边四边形的判定与性质和直角三角形的性质是解题的关键． 压轴满分题五、勾股定理的逆定理压轴题型 1．如图，在三角形，，，是上中点，是射线上一点．是上一点，连接，，，点在上，连接，，，，则的长为（   ） A． B．8 C． D．9 【答案】D 【分析】延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，先由勾股定理的逆定理可以得到△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠ACB=∠ABC=45°，由BF=FE，得到∠FBE=∠FEB，设∠BFE=x，则，然后证明CB=FC=FE，得到∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC则，即可证明，推出；设，证明△ABG≌△ACK，得到，，即可推出∠ECK=∠K，得到EK=EC，则，由此即可得到答案． 【详解】解：延长EA到K，是的AK=AG，连接CK， ∵在三角形，，， ∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， ∴∠ACB=∠ABC=45°， ∵BF=FE， ∴∠FBE=∠FEB， 设∠BFE=x，则， ∵H是BC上中点，F是射线AH上一点， ∴AH⊥BC， ∴AH是线段BC的垂直平分线，∠FAC=45°， ∴CB=FC=FE， ∴∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵AG=AK，AB=AC，∠KAC=∠GAB=90°， ∴△ABG≌△ACK（SAS）， ，， ∴， ∴∠ECK=∠K， ∴EK=EC， ∵， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键． 2．如图，在等腰直角的斜边上任取两点，使，记，则以为边长的三角形的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，难度较大，注意掌握旋下列情形常实施旋转变换：（1）图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为、；(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转，构造中心对称全等三角形；（3）图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合． 把绕点逆时针旋转，得，这样就集中成一个与相等的角，在一条直线上的、、集中为，只需判定的形状即可． 【详解】解：如图：把绕点逆时针旋转，得， 则， ， 又， ∴， ， 又， ， ∴以、、为边长的三角形的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 3．在正方形网格中，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下列问题． (1)的形状为______； (2)在图1中，将沿翻折得到，在图中画出； (3)在图2中，点在线段上任意一点，过点作射线，使． 【答案】(1)直角三角形 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可证得； （2）根以为边作正方形，以和作平行四边形，，取格点G，则，可得，连接交即为点，即可得到答案； （3）以为边作等腰直角三角形，找到斜边的中点O，连接和交于点G，连接交于点F，连接，利用等腰直角三角形的轴对称即可． 【详解】（1）解：根据图形可得，，， ∴， ∴为直角三角形， 故答案为：直角三角形； （2）解：以为边作正方形，以和作平行四边形，取格点G连接交即为点，连接、，如下图所示， （3）以为边作等腰直角三角形，找到斜边的中点O，连接和交于点G，连接交于点F，连接，则． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理、平行四边形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质和等腰直角三角形的轴对称． 4．我们定义：对角线相等的四边形为等对四边形． (1)尝试：如图1是方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为5的等对四边形，要求四个顶点均在格点上； (2)推理：如图2，已知中，以和为边在的外侧分别作等边三角形和，连接． 求证：四边形是等对四边形； (3)拓展：如图3，已知四边形是等对四边形，，，，求边的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据网格的特点以及勾股定理，画出的相交线段，进而即可求解； （2）连接，根据是等边三角形，得出，，进而证明，根据全等三角形的性质可得，即可得证； （3）分别以、为底作等腰、等腰，顶点均为点．证明，进而证明是等边三角形，勾股的逆定理得出，进而可得，延长交于点，可得，，，进而在中，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∴四边形即为所求 （2）证明：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴ ∴ 即 在中， ∴ ∴； ∴四边形是等对四边形； （3）解：如图3，分别以、为底作等腰、等腰，顶点均为点． ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 同理，也是等边三角形． ，， ∵， ∴ ∴ ∴ 延长交于点，如图所示， 则 ∴ ∴，， ∴ 在中，． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理．理解并掌握等线四边形的定义是解题的关键． 5．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 压轴满分题六、勾股定理的应用压轴题型 1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度． 【详解】解：如图，由题意可得： AD2=0.72+2.42=6.25， 在Rt△ABC中， ∵∠ABC=90°，BC=1.5米，BC2+AB2=AC2，AD=AC， ∴AB2+1.52=6.25， ∴AB=±2， ∵AB＞0， ∴AB=2米， ∴小巷的宽度为：0.7+2=2.7（米）． 故选：D. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 2．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm． 【答案】17 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 3．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）（千米）； 知识迁移：20． 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，    ， ， ， 有勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，过作点的对称点，连接交于点， 过作，    根据对称性：， 设，则，有勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 4．如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： (1)将桥建在何处时，可以使得桥到村和村的距离和最小？请在图中画出此时点的位置； (2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求出当______时，的值最小，且最小值为______； (3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值： ①的最小值______； ②的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)①；② 【分析】（1）直接根据两点之间线段最短，连接，交于点即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得出的长度，根据勾股定理求出即为最小值； （3）①根据题意可知的最小值，计算即可； ②将转换为，然后根据上述规律求最小值即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所作： ； （2）过点作，交与点, 则，， ， 设为，则， 则， 即， 解得， ，当时，最小值为， 故答案为：；； （3）①的最小值， 故答案为：； ② 的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，考查了数形结合的思想，读懂题意，将已知式子转换为相应的图形进行解答是本题的关键． 5．上午8点，某台风中心在A岛正南方向处由南向北匀速移动，同时在A岛正西方向处有一艘补给船向A岛匀速驶来，补给完后改变速度立即向A岛正北方向的C港匀速驶去，如图所示是台风中心、补给船与A岛的距离S和时间t的图象．已知台风影响的半径是（包含边界），请结合图象解答下列问题： （1）台风的速度是_________，补给船在到达A岛前的速度是_________，图中点P的实际意义是_______________； （2）从几点开始，补给船将受到台风的影响？ （3）设补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，出于安全考虑，补给船速度不超过、．求出图中补给船航行时间m的正整数值及此时补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间． 【答案】（1）20，60，补给船与台风中心分别在A岛正北与正南方向，且到A岛的距离相等；（2）8点12分；（3）补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间为小时． 【分析】（1）首先根据图像为台风中心、补给船与A岛的距离S和时间t的图象，台风在上午8点距离A岛100km，即可得出线段DE为台风中心距离A岛的距离S和时间t的图象；补给船上午8点距离A岛40km，即可得出线段FG为补给船与A岛的距离S和时间t的图象，从图像获取信息即可求得各自的速度；由题目可知，补给船到达A岛后，还要去C港，此时与台风的图像相交，结合各自的速度，即可得出点P的实际意义； （2）由台风影响的半径是（包含边界），即可画出此情况下的图形，利用勾股定理列出方程，求解即可得出答案； （3）根据补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，即可列出方程，解出a，根据题目要求，补给船速度不超过且，列出不等式，再根据m为正整数，即可求出m；补给船受台风影响总时间为驶向C港受影响的时间加上驶向A岛受影响的时间，即可求得答案． 【详解】（1）由题分析得，线段DE为台风中心与A岛之间的距离S与时间t的图像， ∴台风的速度, 线段FG是补给船与A岛的距离S与时间t的图像， ∴补给船的速度， ∴点P表示：补给船与台风中心分别在A岛正北与正南方向，且到A岛的距离相等； （2）如图所示开始受影响，即BH=100km， 设t小时后补给船开始受台风影响， 则 在中，由勾股定理得， ， 解得，（不合题意，舍去）， ∴补给船出发（分钟），开始受台风影响， ∴从8点12分开始补给船开始受台风影响； （3）由图可得，补给船离开A岛时，台风已经移动了1小时， 台风中心距离A岛的距离为： ， 由图可知，补给船离开A岛驶向C港的路程为120km，时间为， 故补给船离开A岛驶向C港的速度为：(km/h)， ∵补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时， ∴ 解得， ∵ ∴， 由图可知， 去分母得， 解得：， 又∵补给船速度不超过， ∴ 由图可知， 去分母得， 解得： ∴ ∵m为正整数， ∴ 当 即补给船驶出A岛到驶到C港之前受台风影响的时间为， 在补给船出发驶向A岛的过程中，有没有受台风影响， ∴补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间． 【点睛】本题考查了从函数图像获取信息，勾股定理，一元二次方程的应用，解不等式组，解题关键是正确理解题意，能从函数图像中获取需要信息进行求解． 压轴满分题七、多边形的内角和压轴题型 1．如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接，，，，根据全等三角形的判定与性质可得，则当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，分别求出和的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：连接，，，， ∵正五边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小， 过点E作于H，交于， 同理可求， ∴， 即当的值最小时，． 故选：C． 2．如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交AB于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，多边形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，设，证明，可得①符合题意；连接，求解，证明，可得②符合题意；过作交于，截取，而，证明，可得③符合题意；作，连接，证明，可得，，再证明，可得④符合题意；从而可得答案． 【详解】解：如图，设， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，故①符合题意； 连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； 过作交于，截取，而， ∴，为等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③符合题意； 作，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：①②③④ 3．已知：在中，．过边上的点D作，垂足为点E．为的一条角平分线，为的平分线． (1)如图1，若，点G在边上且不与点B重合． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，若，点G在边BC上，DG与FB的延长线交于点H，用含的代数式表示∠H，并说明理由； (3)如图3，若，点G在边上，与交于点M，用含的代数式表示，则　　． 【答案】(1)①，见解析；②，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）①利用角平分线的定义及直角三角形的性质即可解答；②利用三角形外角的性质可求得，即可证明与的位置关系； （2）根据三角形外角的性质先得到，，，再利用角平分线的定义和四边形内角和等于进行等量代换即可求出． （3）根据四边形内角和等于可求出，，根据角平分线的定义可得出，，进而得到，再进行等量代换即可． 【详解】（1）解：①，理由如下 ∵，， ∴． 又∵， ∴，即， ∴． ②，理由如下 ∵，， ∴， ∴． （2），理由如下 ∵，， ∴， ∴． ∵，，， ∴． 又∵，， ∴， 整理得， ∴． 将其代入， 得． （3）∵， ∴． 又∵，，， ∴， ∴． 将其代入， 得． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，四边形内角和，平行线的性质和判定，角平分线的定义，直角三角形的性质，解答本题的关键是找到各相关角之间的等量关系进行等量代换． 4．在中，．点D、E分别在的边上，且均不与的顶点重合，连接，将沿折叠，使点A的对称点始终落在四边形的外部，交边于点F，且点与点C在直线的异侧． (1)如图①，则_______． (2)如图②，则_______． (3)如图③，设图②中的．求的度数； (4)当的某条边与或垂直时，直接写出的度数． 【答案】(1)48 (2)222 (3) (4)或 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，四边形的内角和定理，平行的性质和折叠的性质，熟悉相关性质并能熟练应用是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得的度数； （2）根据四边形内角和定理可得的度数； （3）由（2）的结论可得，由折叠可得，由三角形内角和定理可得，两式相减，可得答案； （4）分两种情况：或或时，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：48； （2）解：， ， 故答案为：222； （3）解：由（2）知， ， 由折叠知， ， ， 得：； （4）解：如图，当时， ， ， ， 由（3）知， ， 由折叠知， ； 如图，当时， ； 如图，当时，点与点C在直线的同侧，不合题意； 综上可知，的度数为或． 5．已知，在中，，，，是射线，上的点，连接．分别过，作，外角的角平分线相交于点． (1)如图1，点，在线段，延长线上，若，求． (2)如图2，点在线段延长线上，点在线段上，与相交于点．若，求． (3)如图3，点在线段上运动（不与，重合），点在线段的延长线上运动，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，结合邻补角的概念和角平分线的定义可求得，，根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据邻补角的定义求出，根据三角形的外角性质可得。根据角平分线的定义可求得，，根据四边形内角和即可求解； （3）设，根据三角形的外角性质可得，结合邻补角的概念和角平分线的定义可得，，求得，，根据三角形的内角和求得，根据四边形内角和即可出的值，结合题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∵，外角的角平分线交于点， 故，， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，外角的角平分线交于点，， ∴，， 又∵， ∴； （3）设， ∵， ∴， ∴， ∵，外角的角平分线交于点，， ∴，， ∴， ， ∵，， ∴， 故； ∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的相关计算，三角形内角和定理，三角形外角性质，邻补角的概念等，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 压轴满分题八、平行四边形的判定与性质压轴题型 1．如图，中，对角线相交于点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，过点作于，过点作的延长线于，由可得，由勾股定理得，由平行四边形性质得，，进而得到，，，即可得到，，即得，由勾股定理即可求出的长，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，过点作的延长线于，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，在平行四边形中，，，，点M在上，且，点N在上．若平分四边形的面积，则的长度为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质，先作出辅助线，根据平行四边形的性质以及边长得到的长，再根据面积平分可得到，再根据证明出平行四边形以及直角三角形的勾股定理可得到结果，数形结合，作辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点O，连接并延长交于点N，过A作于点G，过M作于点H，如图所示：   ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分四边形的面积， ∴经过平分四边形的中心O， ∵在平行四边形中，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：． 3．定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点，在直线上，点，在直上，若，则四边形是半对角四边形．． (1)如图2，点是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，求平行四边形的面积； (2)如图3，以平行四边形的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，对角线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； (3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移4个单位成为四边形后，为平面上一点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，或，或 【分析】（1）根据半对角四边形的定义可得出，进而可得出，由等角对等边可得出，结合即可求出的长，过点作的垂线交于，利用勾股定理求出，从而求出平行四边形的面积； （2）由平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出，再结合半对角四边形的定义即可证出四边形是半对角四边形； （3）点的坐标为，，点的坐标为，点的坐标为．当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，画出图形，作出符合要求的的点、、，根据平行四边形的性质以及中点坐标公式即可求解． 【详解】（1）解：四边形为半对角四边形， ， ， ， ， 过点作的垂线交于，如图： ， ， ， ， 由勾股定理得：， ． （2）证明：四边形为平行四边形， ，， ， ， 又， 四边形是半对角四边形； （3）解： ，，四边形为平行四边形， ，， ，， 为的中点， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 如图3，将四边形向左平移4个单位成为四边形后，点的坐标为，，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 轴，， 当为对角线时，构成平行四边形， 平行四边形的对角线互相平分， 的中点坐标为，， 的坐标为：，； 当为对角线时，构成平行四边形， ，且， 的坐标为：，； 当为对角线时，构成平行四边形， ，且， 的坐标为：，； 当为对角线时，构成平行四边形， ，且， 的坐标为：； 综上，点的坐标为，或，或． 【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用半对角四边形的定义及矩形的性质，求出；（2）利用等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及平行四边形的性质，找出；（3）分点，落在反比例函数图象上和点，落在反比例函数图象上两种情况，求出的值． 4．如图，为的对角线，，平分，点F为射线上一点． (1)如图1，当点F在的延长线上，且，连接与交于点G． ①求证：； ②若，求的长； (2)如图2，当点F在线段上，连接与交于点H，若，，试探究三条线段之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①由，可得，，，则，，由，可得，则，由平分，可得，则，进而可证；②由勾股定理得，，如图1，过G作于，证明，则，，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解然后作答即可； （2）由，可得，由，可求，，由，可得，则，，如图2，以为顶点作，交的延长线于，则，，，由，，可得，即，可得． 【详解】（1）①证明：∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②解：由勾股定理得，， 如图1，过G作于， 由①可知，平分， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，以为顶点作，交的延长线于， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的判定，角平分线，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，平行线的判定，角平分线，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键． 5．如图，在四边形中，，且． (1)写出A，C，D三点的坐标． (2)点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点O运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． ①求t为多少时，． ②如图2，当时，点E为的中点，点F在上，，求点F的坐标． 【答案】(1)，， (2)①或时，；② 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质等，解题关键是熟练运用平行四边形的性质与判定得出线段之间的关系，列出方程． （1）根据非负数的性质求出字母的值，写出坐标即可； （2）①分和两种情况，根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质列出方程即可； ②延长交于点M，过Q作于H，证明，设，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴A，C，D三点的坐标为，，； （2）解：①∵，， ∴轴． 当时，四边形为平行四边形，此时， ∴，解得． 当时，过C作交于E， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，过C作于H，则， ∵，， ∴， ∵． ∴，解得． 综上：或时，．   ②当时四边形为平行四边形． 由①可知此时， ∴，，则， 延长，交于点M，过Q作于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，即：， ∴， ∴． 设，则，，，， ∵， 即， 解得：， ∴， ∴． 压轴满分题九、特殊平行四边形的判定与性质压轴题型 1．如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明，可得，求出，从而判断出①正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出②正确；求出，，证明，可得，判断出③正确；判断出不是等边三角形，从而得到，即，得到④错误． 【详解】解：在矩形中，平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 平分，故①正确； ，， ， ， ，， ， ， ， ，故②正确； ， ， 又，， 在和中， ， ， ，，故③正确； ，， 不是等边三角形， ， 即，故④错误； 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 2．如图，在正方形中，，为对角线上与不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接．则以下结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】连接，交于点，由题意得，即可得四边形为矩形，得，用即可得，即可判断①；根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质得，即可判断②，延长，交于，交于点，由①得，，根据题意和角之间的关系得，即可判断③，根据垂线段最短得当时，最小，根据勾股定理得，即可得的最小值为，即可判断④． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ，即①正确； ， ， ， ， 即②正确， 延长，交于，交于点， 由①得，， ， ， ， ， ， ， 即， ，即③正确； ∵为对角线上的一个动点， 当时，最小， ， ， ， 由①知，， ∴的最小值为，即④正确， 综上，①②③④正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握矩形的对角线相等． 3．已知在正方形中，点是对角线上一点． (1)如图1连接，若，，求出的长． (2)如图2，过点作于点，交于点，点、分别在、上（不与端点重合），连接，，若，，求证：． (3)如图3，在（1）的条件下，线段上有一动点，当的值取得最小时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)当的值取得最小时，． 【分析】（1）连接，可求得和的长，进而得出和的长，进而得出的长，进一步得出结果； （2）延长，交于，连接，，可证得，从而，进而证明，从而，从而得出，进一步得出结论； （3）作，作于，作于，交于，作于，可推出，从而，从而得出当点在处时，最小，可得出，进而得出，设，则，，从而得出，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1，连接， 四边形是正方形， ，，，，，， ， ，，， ， ； （2）证明：如图2，延长，交于，连接，， ， ， 由（1）知：， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图3， 作，作于，作于，交于，作于， ， ， 当点在处时，最小， ，， ， ， 设，则，， ， ， 当的值取得最小时，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 4．如图，已知矩形纸片，，（）． (1)如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点处，折痕交边于点E．求证：四边形是正方形． (2)将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在边上的点处，点B落在点处，折痕交边于点F，连结，如图2， ①求证：． ②若，，求折痕的长． ③当为等腰三角形时，直接写出a，b之间应满足的数量关系． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解；②；③当为等腰三角形时，或 【分析】（1）由题意易得四边形是矩形，然后根据折叠的性质可求证； （2）①由（1）可得，然后可得，进而可得，最后问题可求证；②过点E作于点D，由题意可得，则有，，设，则，然后根据勾股定理可求解；③由题意可分当时，当时，当时，然后分类求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）①证明：由（1）可知， 在矩形中，， 由折叠的性质可知， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：过点E作于点D，如图所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴； ③解：∵， ∴， 由题意可分： Ⅰ、当时，过点E作于点N，连接，如图所示：    由折叠可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得：； Ⅱ、当时， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 在矩形中，， ∴点与点A重合， 由折叠的性质可知与点C重合， ∴四边形是正方形，即，与矛盾； Ⅲ、当时，连接，交于点O，如图所示：    ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知垂直平分，即， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， 解得：； 综上所述：当为等腰三角形时，或． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、正方形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、正方形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 5．已知正方形中，点E是射线上一点，连接，作的垂直平分线交直线于点M，交直线于点N，交于点F． (1)如图1，当点E在正方形的边上时． ①依题意补全图形； ②求证：； (2)如图2，当点E在的延长线上时．连接并延长交的延长线于点P，连接． ①直接写出的度数为 　　； ②用等式表示线段，，之间的数量关系 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①；② 【分析】（1）①根据题意画图即可； ②证明四边形是矩形，得出，，证明，得出即可； （2）①过P作交BA延长线于T，过E作于K， 证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，证明是等腰直角三角形，得出； ②根据是等腰直角三角形，，得出，求出，根据，得出，即可得出结论． 【详解】（1）①解：补全图形如下： ②证明：过N作于H， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：①过P作交BA延长线于T，过E作于K，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 故答案为：； ②由①可知，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 同（1）可得， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，解题的关键是作出图形，熟练掌握相关的判定和性质． 压轴满分题十、三角形的中位线压轴题型 1．如图，平行四边形中，，点M，N分别为线段上的动点（含端点），点E，F，G分别为的中点，则长度的最大值为（　　）． A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识点，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．如图：连接，根据三角形的中位线得到，由图形可知当N在B点处时，最大，即最大． 【详解】解：如图：连接，过点G作交于点H， ∵平行四边形中,， ∴， ∵G是的中点，， ∴ ∵点E，F分别为的中点， ∴， ∴最大时，最大， ∴N与B重合时最大， 在中，，则， ∴，， ∴ ∴ ∴，即长度的最大值为． 故选：A． 2．四边形中，对角线，，点分别是的中点，连接，取中点，连接，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，延长至，使，连接，过点作于，过点作的延长线于点，则，，由三角形中位线性质可得，，由，可得四边形是平行四边形，得到，，，进而证明，得到，，设，，则，，在、、分别可得，，，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至，使，连接，过点作于，过点作的延长线于点，则，， ∵点分别是的中点， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设，，则，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在中，，，为中点，求的取值范围． (1)小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作边上的中点，连接，构造出的中位线，请你完成余下的求解过程． (2)如图②，在四边形中，，，、分别为、中点，求的取值范围． (3)变式：把图②中的、、变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则的取值范围为_________． (4)如图④，在中，，，为边的中点，是边上一点且正好平分的周长，则______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）通过取边上中点，连接，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解； （2）连接，取中点，连接、，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解； （3）连接，取中点，连接、，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解； （4）在上截取，连接，取的中点，连接，，过点作于，先根据三角形中位线定理推出，由平分的周长推得，再根据等腰三角形的“三线合一”、含的直角三角形特征即可得到． 【详解】（1）解：如图，取边上的中点，连接， 为中点，为中点， ， ，， ，， 在中，， 即． （2）解：如图，连接，取中点，连接、， 又、分别为、中点， ，， ，， ，， 在中，， 即． （3）解：如图，连接，取中点，连接、， 又、分别为、中点， ，， ，， ，， 在中，， 即． 故答案为：． （4）解：如图，在上截取，连接，取的中点，连接，，过点作于， ，点是中点，点是的中点， ，，，， ，， ， ， ， 正好平分的周长， ， 又，点是中点， ， ， 又，， ，， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是三角形中位线定理、三角形三边关系、等腰三角形的“三线合一”、含的直角三角形特征，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理解三角形的三边关系． 4．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，在轴正半轴上取一点，使，连接． (1)求线段的长； (2)点为线段的中点，动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为个单位长度秒，连接，设的面积为，运动时间为秒，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在（2）的条件下，过点作，且，在线段的延长线上取一点，连接，过点作于点，连接交延长线于点，若，，求点的坐标． 【答案】(1)线段的长为 (2)； (3)点坐标为， 【分析】本题考查了一次函数的应用，勾股定理，三角形中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定； （1）先求得点的坐标，进而得出，根据勾股定理，即可求解； （2）根据（1）可得线段的长为，则点从点运动到点的时间为秒，进而分，和两种情况讨论，即可求解； （3）根据已知条件导角得出，则，根据是直角三角形，取的中点，连接得出则是的中位线，设，则，，在中，根据，勾股定理求得，进而可得，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：当时，，故点，， ∴， ∴， （2）当时，，解得：， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为个单位长度/秒，设的面积为，运动时间为秒， ∴， 当时，，， 当时，点与点重合，不存在， 当时，，， （3）解：如图所示， ∵，， ∴， 又∵ ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形，取的中点，连接， 则是的中位线， ∴， ∵， 又， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是上的点， 设， ∴， 解得：， ∴点坐标为， 5．【问题初探】 （1）李老师给出如下问题：中，，且，点是的中点，点为对角线上的点，且，连接线段．若，求的长． 小鹏同学考虑到点是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接与交于点．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题． 【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答． （2）如图3，中，平分于．求证：； 【学以致用】 （3）如图4，在，点在上，分别是的中点，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）连接，交于点，易得，勾股定理求出的长，即可； （2）延长交的延长线于点，先证明，得到，取的中点，连接，利用中位线定理，得到，且，证明，得到即可得出结论； （3）连接，取中点，连接，利用中位线定理，得到是等边三角形，是等边三角形，设，进而利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的值，进一步求解即可． 【详解】（1）连接，交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴； （2）如图1， 延长交的延长线于点， 平分 ∴， 又， ∴， ， 取的中点，连接，则有，且， ∴， ，在和中，， ， ， ； （3）连接，取中点，连接， 分别为和中点， 和分别为和的中位线， 且且， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， 设，则，在中，由勾股定理得，，解得， 即． ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是构造中位线． 学科网（北京）股份有限公司 $$