第4讲 基本不等式（求最值）讲义-2024届高三数学一轮复习

2025高考一轮复习 第4讲 基本不等式（1） 高二数学备课组 2024.5 一、考情分析 高考对基本不等式的考查比较稳定,考查内容、频率、题型难度均变化不大,主要考查利用基本不等式求最值、求参数的取值范围等,题型以选择题、填空题为主,也可作为工具出现在解答题中. 二、知识点填空 1.重要不等式 ,(当且仅当 时等号成立)． 2.基本不等式 (1)基本不等式成立的条件: (2)等号成立的条件:当且仅当 时等号成立． (3)其中叫做正数的 ,叫做正数的 . 3.利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果且(定值), 那么当 时,有 .(简记:“积定和最小”) (2)如果,且(定值), 那么当 时,有 .(简记:“和定积最大”) 注:利用基本不等式求最值应满足三个条件:“一正、二定、三相等” 4.常用的几个重要不等式 ① ② ③ ④ ⑤ 以上不等式等号成立的条件均为. ⑥柯西不等式: 当且仅当时等号成立. 二、预习自测 1.若,且,则的最大值为 ,的最小值为 . 2.已知,求的最小值 . 3.已知,求的最小值 . 4.已知则的最大值为 ． 三、考点探究 精准突破 命题点1　配凑法 例1 已知,则的最小值为 . 变式1 已知则的最大值为 . 变式2 求的最小值 . 变式3 当求函数的最小值 . 【方法总结】 1.一般两个因式相加时,两个因式未知数部分（不含系数）成为倒数关系. 2.一般两个因式相乘时,两个因式的因式部分成相反数（含系数）关系. 命题点2　常数代换法 例2 已知,则的最小值为（ ） A.2 B.6 C.9 D.3 变式1 若是正实数,且则的最小值为 . 变式2 若正数满足求的最小值（ ） A. B. C. D.2 【方法总结】 第一步:根据已知条件或其变形确定定值(常数); 第二步:把确定的定值(常数)变形为1; 第三步:把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式; 第四步:利用基本不等式求最值． 命题点3　消元法 例3 已知正数满足,则的最小值是 . 变式 本例条件不变,求的最大值. 【方法总结】 换元消元法:将条件等式转化为只含目标代数式和常数的不等式,再换元求解. 代入消元法:先将一个变量用另一个变量表示出来,再代入要求的代数式中,最后利用基本不等式求解. 四、课堂检测 1.若正数满足,则的最大值为（ ） A.2 B.1 C. D. 2.函数的最小值为 . 3.设,则的最小值为 . 4.已知正数满足的最小值是 . 5.已知正数满足,则的最小值是 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$