《第6章 反比例函数》期末复习 课件 -2023-2024学年浙教版八年级数学下册

《反比例函数》期末复习 第6章 反比例函数 浙教版 八年级下册 知识整理 反比例函数 专题一 反比例函数的图象与性质 (一)反比例函数的图象 归纳 归纳 归纳 归纳 归纳 归纳 易错专训 防误区 【答案】 A 【例1】　(2023春·杭州市西湖区期末)若反比例函数y＝(k≠0)的图象过点(m，m)，则该图象在 (　　) A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 1.反比例函数y＝(k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当k＞0时，图象位于第一、三象限；当k＜0时，图象位于第二、四象限. 2.反比例函数y＝(k≠0)的图象关于平面直角坐标系的原点成中心对称. 3.反比例函数y＝(k≠0)的图象的两个分支关于直线y＝x或直线y＝－x成轴对称. 【跟踪训练1­1】　(2022春·金华市东阳市期末改编)已知反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则a的取值范围是(　　) A. a＝1　　 B. a≠1　　 C. a＞1　　　 D. a＜1 【答案】 D 【跟踪训练1­2】　(2023春·绍兴市上虞区期末)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的两直角边分别与坐标轴平行，直角顶点C的坐标为(1，1)，AB＝3.若该三角形的顶点在反比例函数y＝的图象上，则k＝________. (跟踪训练1­2) 【答案】 1或4 (二)反比例函数中k的几何意义 【例2】　(2023春·杭州市滨江区期末)如图，已知动点P在反比例函数y＝－(x＜0)的图象上，PA⊥x轴于点A，动点B在y轴的正半轴上，当点A的横坐标逐渐变小时，△PAB的面积将会 (　　) A. 越来越小 B. 越来越大 C. 不变 D. 先变大后变小 【解析】 连结OP.∵PA⊥x轴，∴S△OPA＝|k|＝1.∵PA∥y轴，∴S△PAB＝S△OPA＝1，∴当点A的横坐标逐渐变小时，△PAB的面积不变，始终等于1. 【答案】 C 　　过反比例函数y＝(k≠0)的图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，它们与坐标轴围成的矩形的面积为|k|，该点和原点的连线把矩形分成两个面积都为|k|的三角形，据此可以求解与图形面积有关的问题或者求反比例函数的表达式.求反比例函数的表达式时需要注意比例系数k的正负性. 【跟踪训练2】　(2023春·湖州市吴兴区期末)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，▱OBAD的顶点A在反比例函数y＝－的图象上，顶点B在反比例函数y＝的图象上，顶点D在x轴的负半轴上.若▱OBAD的面积是5，则k的值是 (　　) A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 【答案】 D (三)反比例函数的增减性 【例3】　(2023春·宁波市余姚市期末)已知点A(x1，－4)，B(x2，8)，C(x3，5)都在反比例函数y＝－的图象上，则下列大小关系一定正确的是 (　　) A. x1＜x3＜x2 B. x1＜x2＜x3 C. x3＜x2＜x1 D. x2＜x3＜x1 【答案】 C 　　在反比例函数中，y随x的变化而变化的情况，应分不同的分支(象限)来考虑，即分x>0与x<0两种情况讨论，而不能笼统地说成“当k<0时，y随x的增大而增大”.当反比例函数图象上的点在同一个象限内时，y随x的变化是一致的，但就不同象限内的两个点比较函数值的大小时，不能按这个规律进行判断. 【跟踪训练3】　(2023春·杭州市上城区期末)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在反比例函数y＝的图象上，下列说法中，正确的是 (　　) A. 若x1＜x2，则y1＜y2 B. 若x1＜x2，则y2＜y1 C. 若x1＜0＜x2，则y1＜y2 D. 若x1＜0＜x2，则y2＜y1 【答案】 C 【例4】　(2023春·宁波市余姚市期末)如图，一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝的图象交于点A(1，3)，B(m，－1). (1)求反比例函数和一次函数的表达式. (2)根据图象，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 专题二 反比例函数与一次函数、方程、不等式的综合应用 【解析】 (1)将点A(1，3)代入y＝得k＝3，则反比例函数的表达式为y＝，将点B(m，－1)代入y＝，得m＝－3，∴点B(－3，－1).将点A，B的坐标代入y＝ax＋b中，得解得∴一次函数的表达式为y＝x＋2. (2)观察图象，当－3＜x＜0或x＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值. 　　解答此类题目的关键是充分利用数形结合的思想和函数的图象及性质，通过观察、分析解决问题. 【跟踪训练4­1】　(2023春·杭州市滨江区期末)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，及函数y1＝，y2＝cx＋b(a，b，c为常数，且ac≠0)，则 (　　) A. 若方程ax2＋bx＋c＝0有解，则函数y1，y2的图象一定有交点 B. 若方程ax2＋bx＋c＝0有解，则函数y1，y2的图象一定没有交点 C. 若方程ax2＋bx＋c＝0无解，则函数y1，y2的图象一定有交点 D. 若方程ax2＋bx＋c＝0无解，则函数y1，y2的图象一定没有交点 【解析】 令＝cx＋b，整理，得cx2＋bx－a＝0.若Δ＝b2－4c·(－a)＝b2＋4ac≥0，函数y1，y2的图象有交点，若Δ＝b2－4c·(－a)＝b2＋4ac＜0，没有交点，若方程ax2＋bx＋c＝0有解，则b2－4ac≥0，无法判定b2＋4ac的正负性，故A，B不合题意.若方程ax2＋bx＋c＝0无解，则b2－4ac＜0，∴0≤b2＜4ac，∴b2＋4ac＞0，∴函数y1，y2的图象一定有交点，故C符合题意，D不合题意. 【答案】 C 【跟踪训练4­2】　(2023春·湖州市德清县期末)如图，一次函数y＝k1x＋b(k1和b均为常数且k1＞0)与反比例函数y＝(k2为常数且k2＜0)的图象交于A，B两点，其横坐标为1和2.5，则关于x的不等式－k1x－b＞0的解是____________. 【答案】 x＜0或1＜x＜2.5 【例5】　(2023春·湖州市德清县期末)如图①，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(k＞0，k为常数，x＞0)的图象经过正方形ABCO的顶点B，点A的坐标是(0，1).点D在线段OA上，点E在射线OC上，以BD，DE为边的▱BDEF的顶点F恰好在该反比例函数的图象上. (1)求k的值. (2)若点D的坐标是(0，)，求点E的坐标. (3)如图②，当点E在OC的延长线上时，连结BE，若BD⊥BE，BD＝BE，求点D的坐标. 专题三 反比例函数与几何的综合 【解析】 (1)1. (2)如解图①，过点F作FG⊥x轴于点G.∵四边形ABCO是正方形，∴∠BAD＝∠EGF＝90°，AO∥BC∥FG，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵四边形BDEF是平行四边形，∴BD∥EF，BD＝EF，∴∠2＝∠3，∴∠4＝∠1.在△BAD和△EGF中， ∵∴△BAD≌ △EGF(AAS)，∴FG＝AD＝1－＝，EG＝AB＝1.当y＝时，＝，解得x＝，∴OG＝，∴OE＝－1＝，即点E的坐标为(，0). (3)如解图②，过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△BAD和Rt△BCE中， ∵∴△BAD≌△BCE(HL).易证△BCE≌△EGF(AAS)，则AB＝BC＝EG＝1，AD＝CE＝FG.设AD＝a，则点F(2＋a，a)，将其代入反比例函数，得a＝，解得a＝－1，a2＝－－1(不符合题意，舍去)，∴OD＝1－(－1)＝2－，即点D(0，2－). (例5解②) 　　解答此类题目的关键是充分利用图中几何图形的性质，抓住反比例函数图象上点的特征，结合数形结合、分类讨论、方程等数学思想. 【跟踪训练5】　(2023春·绍兴市上虞区期末)如图，一次函数y＝－x＋b与反比例函数y＝(x＞0)的图象相交于A，B两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点，连结OA，OB，过点A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F.设点A的横坐标为m.若S△OAF＋S四边形EFBC＝4，则m的值为 (　　) A. 1 B. C. 2 D. 4 【解析】 过点A作AM⊥OD于点M，过点B作BN⊥OC于点N.∵一次函数y＝－x＋b与反比例函数y＝(x＞0)的图象都关于直线y＝x对称，∴AD＝BC，OD＝OC，DM＝AM＝BN＝CN.记△AOF的面积为S，则△OEF的面积为2－S，四边形EFBC的面积为4－S，∴△OBC和△OAD的面积都是6－2S，△ADM的面积为4－2S＝2(2－S)， ∴S△ADM＝2S△OEF，∴EF＝AM＝NB，∴EF是△OBN的中位线，∴点N(2m，0)，∴点B的坐标为(2m，)，将点B(2m，)代入直线y＝－x＋m＋，∴＝－2m＋m＋.整理，得m2＝2.∵m＞0，∴m＝. 【答案】 B 【例6】　已知近视眼镜的度数D(度)与镜片焦距f(米)成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米.小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为 0.4米的眼镜了，则小慧所戴眼镜的度数降低了________度. 专题四 反比例函数的实际应用 【答案】 150 　　以实际情境为模型的反比例函数，自变量的取值范围必须符合题目条件且具有实际意义.因此，此时的图象可能是反比例函数图象的一部分. 【跟踪训练6】　(2022春·衢州市江山市期末)如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 桌面所受压强p(Pa) 400 500 800 1000 1250 受力面积S(m2) 0.5 0.4 a 0.2 0.16 (1)根据表中数据，求出压强p(Pa)关于受力面积S(m2)的函数表达式及a的值. (2)如图②，将另一长、宽、高分别为60 cm，20 cm， 10 cm，且与原长方体质量相同的长方体放置于该水平玻璃桌面上.若玻璃桌面能承受的最大压强为2000 Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由. 【解析】 (1)由表中数据可知，S·p＝400×0.5＝200，∴p＝(S＞0).当p＝800时，800＝，解得a＝0.25. (2)不安全.理由如下：此时S＝0.1×0.2＝0.02(m2)，∴p＝＝10000＞2000，∴这种摆放方式不安全. 本章易错点主要有： ①反比例函数的定义(第1，4题)； ②反比例函数的图象与性质(第2，3，5题)； ③反比例函数的应用(第6，7题). 1.已知x与y成反比例函数关系，z与x成正比例函数关系，则y与z的函数关系是 (　　) A. 成正比例　 B. 成反比例 C. 既成正比例也成反比例 D. 以上都不是 【答案】 B 2.(2023春·湖州市德清县期末)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象经过△AOB的顶点B.若AB∥y轴，点A的坐标为(3，2)，△OAB的面积为3.5，则k的值为 (　　) A. 6.5 B. 7 C. 13 D. 14 【解析】 ∵AB∥y轴，点A的坐标为(3，2)，则设点B的坐标为(3，b).∵点B在反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象上，∴b＝，∴B(3，).∵AB∥y轴，∴|AB|＝－2，∴S△OAB＝×|AB|×3＝3.5，∴|AB|＝－2＝，解得k＝13. 【答案】 C 3.(2023春·杭州市西湖区期末)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在反比例函数y＝(k＞0)的图象上，x1＜x2＜x3，则下列结论中，一定成立的是 (　　) A. 若x1x3＜0，则y2＜y3 B. 若x2x3＜0，则y1y3＞0 C. 若x1x3＞0，则y2＞y3 D. 若x2x3＞0，则y1y3＞0 【解析】 ∵k＞0，∴反比例函数y＝(k＞0)的图象在第一、三象限.∵x1＜x2＜x3，A.若x1x3＜0，则点A(x1，y1)在第三象限，C(x3，y3)在第一象限，∴当 点B在第三象限时，y2＜y3，当点B在第一象限时，y2＞y3，故A不一定成立. B.若x2x3＜0，则x1＜x2＜0，x3＞0，∴点A(x1，y1)在第三象限，C(x3，y3)在第一象限，∴y1y3＜0，故B一定不成立.C.若x1x3＞0，则点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在同一象限，∴y2＞y3，故C一定成立.D.若x2x3＞0，则点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在同一象限或B(x2，y2)，C(x3，y3)在第一象限，点A(x1，y1)在第三象限，∴y1y3＞0或y1y3＜0，故D不一定成立. 【答案】 C 4.若函数y＝mxm2＋3m－1是反比例函数，则m＝________. 【答案】 －3 5.反比例函数y＝在第二象限内的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，且S△AOB＝2，则k的值为________. 【答案】 －4 6.(2022春·绍兴市柯桥区期末)已知一次函数y＝x＋b与反比例函数y＝中，x与y的对应值如下表所示： x … －4 －3 －2 －1 1 2 3 … y＝x＋b … －1 － 0 2 … y＝ … －1 － －2 －4 4 2 … x＋b＜的解为________. 【解析】 由表可得一次函数y＝x＋b与反比例函数y＝图象的交点坐标为(－4，－1)和(2，2).如解图. 由图象可知，当x＜－4或0＜x＜2时，不等式x＋b＜. 【答案】 x＜－4或0＜x＜2 7.(2022春·温州市苍南县期末)某数学兴趣小组发现杆秤的提纽位置会影响称重，提纽位置离秤钩的远近与所称重物之间存在函数关系，为了进行进一步研究，设计了如下实验：准备一根100 cm长的匀质木杆AB，B处挂2 kg的秤砣，当A处挂不同质量的钩码时，改变提纽O的位置使木杆保持平衡，记录此时钩码的质量m(kg)和AO的长度x(cm)的值.根据实验结果可得mx＝2(100－x).设钩码与秤砣的质量和为m＋2＝y，则y关于x的函数表达式为________. 【解析】 ∵m＋2＝y，∴m＝y－2.∵mx＝2(100－x)，∴(y－2)x＝2(100－x)，∴y＝. 【答案】 y＝ $$