专题05 幂函数与二次函数4题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测

【解题秘籍】备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测 专题05 幂函数与二次函数4题型分类 1、幂函数的定义 一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1；        ②的底数是自变量；    ③指数为常数. （3）幂函数的图象和性质 3、常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 4、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 5、二次函数的图像 二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为. （1）单调性与最值 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，； ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时， （2）与轴相交的弦长 当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，. 6、二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则. （一） 幂函数的定义及其图像 1、幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． 题型1：幂函数的定义及其图像 1-1．（2024·江西·模拟预测）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．5 1-2．（2024高三·河北·学业考试）已知幂函数的图象过点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 1-3．（2024高一下·湖北宜昌·期中）已知函数 且 的图象经过定点， 若幂函数 的图象也经过该点， 则 ． 1-4．（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 1-5．（2024高一上·陕西西安·期中）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（    ） A． B． C． D． （二） 幂函数性质的综合应用 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 题型2：幂函数性质的综合应用 2-1．（2024高一上·上海杨浦·期末）已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则 . 2-2．（2024高三上·宁夏固原·期中）已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（    ） A． B．或 C． D． 2-3．（2024·海南·模拟预测）已知为幂函数，则（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 2-4．（2024·江苏）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 . 2-5．（2024高三·全国·课后作业）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围． （三） 二次方程的实根分布及条件 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 题型3：二次方程的实根分布及条件 3-1．（2024高三·全国·阶段练习）方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3-2．（2024高三·全国·专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3-3．（2024高一·江苏·课后作业）设a为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（    ）. A． B． C． D． （四） 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论. （2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负. 题型4：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 4-1．（2024高一上·海南·期中）已知在区间 上的值域为. (1)求实数的值； (2)若不等式  当上恒成立，求实数k的取值范围. 4-2．（2024·浙江）设函数. （1）当时，求函数在上的最小值的表达式； （2）已知函数在上存在零点，，求的取值范围. 4-3．（2024高一上·海南·期末）已知函数在区间上有最大值2和最小值1. (1)求的值； (2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 4-4．（2024·浙江）已知函数，记是在区间上的最大值. （1）证明：当时，； （2）当，满足，求的最大值. 4-5．（2024高一上·浙江·阶段练习）已知函数． (1)当时，解方程； (2)当时，记函数在上的最大值为，求的最小值． 一、单选题 1．（2024高一·全国·假期作业）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（    ） A． B． C．或1 D．或4 2．（2024·山东）关于函数，以下表达错误的选项是（    ） A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 3．（2024·浙江）若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值 A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 4．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南娄底·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·海南·模拟预测）已知函数，，的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024高三·河北·专题练习）设，二次函数的图象为下列之一，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．（2024高三下·河南新乡·开学考试）已知函数若的最小值为6，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·全国·模拟预测）已知x，，满足，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 11．（2024·贵州毕节·二模）已知，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（2024高三·全国·专题练习）已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），则（    ） A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0 C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0 13．（2024·浙江）已知函数f(x)=x2+bx，则“b＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（2024高三·全国·专题练习）如果函数在区间上单调递减，则的最大值为（    ） A．16 B．18 C．25 D． 15．（2024·陕西）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结 论是错误的，则错误的结论是 A．是的零点 B．1是的极值点 C．3是的极值 D．点在曲线上 16．（2024·四川乐山·一模）已知幂函数和，其中，则有下列说法： ①和图象都过点； ②和图象都过点； ③在区间上，增长速度更快的是； ④在区间上，增长速度更快的是. 则其中正确命题的序号是（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 17．（2024·河北衡水·模拟预测）已知幂函数是定义在区间上的奇函数，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 18．（2024·北京东城·一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 19．（2024·江苏·模拟预测）若函数，且，则（    ） A． B． C． D． 20．（2024·吉林长春·模拟预测）已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 21．（2024高一上·重庆·阶段练习）已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（    ） A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9} B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0} C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1} D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1} 22．（2024高一上·湖南长沙·期中）设二次函数的值域为，下列各值（或式子）中一定大于的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 23．（2024高一上·全国·期末）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为 . 24．（2024高一上·四川眉山·期中）下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②图象是一条直线；③若函数的定义域是，则它的值域是；④若函数的定义域是，则它的值域是；⑤若函数的值域是，则它的定义域一定是．其中不正确命题的序号是 ． 25．（2024高三上·河北衡水·周测）已知，，若对，，，则实数的取值范围是 . 26．（2024高三上·福建三明·期中）已知，则实数的取值范围是 27．（2024高三下·上海嘉定·阶段练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 28．（2024高三·全国·专题练习）不等式的解集为： ． 29．（2024高一上·全国·课后作业）已知幂函数，若，则a的取值范围是 . 30．（2024·上海闵行·一模）已知二次函数的值域为，则函数的值域为 ． 31．（2024·贵州毕节·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的非常值函数 . ①在上恒成立；②是偶函数；③. 32．（2024·新疆阿勒泰·一模）已知二次函数（a，b为常数）满足，且方程有两等根，在上的最大值为，则的最大值为 . 33．（2024·湖北）为实数，函数在区间上的最大值记为. 当 时，的值最小. 四、解答题 34．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）已知. (1)若，，解关于的不等式； (2)若，在上的最大值为，最小值为，求证：. 35．（2024高一下·贵州黔东南·开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，且时，，. (1)求在区间上的解析式； (2)若对，则，使得成立，求的取值范围. 36．（2024高一上·河南平顶山·期末）已知函数． (1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 37．（2024高一上·贵州毕节·期末）已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值． 38．（2024高一上·辽宁大连·期中）已知值域为的二次函数满足，且方程的两个实根满足． (1)求的表达式； (2)函数在区间上的最大值为，最小值为，求实数的取值范围． 39．（2024高三上·全国·阶段练习）已知函数为偶函数. （1）求的值； （2）设函数，是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 40．（2024高一上·湖南衡阳·期末）二次函数为偶函数，，且恒成立． (1)求的解析式； (2)，记函数在上的最大值为，求的最小值． 41．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，当时，设的最大值为，求的最小值． 42．（2024高一上·广东·期中）已知函数， (1)当时，①求函数单调递增区间；②求函数在区间的值域； (2)当时，记函数的最大值为，求的最小值． 43．（2024高一上·山东潍坊·阶段练习）已知是一元二次方程的两个实数根. (1)是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)求使的值为整数的实数的整数值. 44．（2024高一上·安徽·阶段练习）已知函数，且函数的值域为. （1）求实数a的值； （2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； （3）若关于x的方程有三个不同的实数根，求实数k的取值范围. 45．（2024高三上·江西鹰潭·阶段练习）已知幂函数的定义域为R. (1)求实数的值； (2)若函数在上不单调，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$【解题秘籍】备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测 专题05 幂函数与二次函数4题型分类 1、幂函数的定义 一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1；        ②的底数是自变量；    ③指数为常数. （3）幂函数的图象和性质 3、常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 4、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 5、二次函数的图像 二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为. （1）单调性与最值 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，； ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时， （2）与轴相交的弦长 当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，. 6、二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则. （一） 幂函数的定义及其图像 1、幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． 题型1：幂函数的定义及其图像 1-1．（2024·江西·模拟预测）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据幂函数的形式及过定点即可求解. 【详解】解：因为为幂函数 所以 又的图象过点 即 解得 所以 故选：C. 1-2．（2024高三·河北·学业考试）已知幂函数的图象过点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】设幂函数为，代入点计算得到，计算得到答案. 【详解】设幂函数为，图象过点，故，故， ，. 故选：B 1-3．（2024高一下·湖北宜昌·期中）已知函数 且 的图象经过定点， 若幂函数 的图象也经过该点， 则 ． 【答案】 【分析】根据对数型函数的性质，结合幂函数的定义进行求解即可. 【详解】因为，所以，设幂函数， 因为幂函数 的图象经过， 所以， 因此， 故答案为： 1-4．（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 【答案】D 【分析】根据函数的单调性可判断出；根据函数的奇偶性及，互质可判断出为偶数，为奇数. 【详解】因为函数的定义域为，且在上单调递减， 所以0， 因为函数的图象关于y轴对称， 所以函数为偶函数，即p为偶数， 又p、q互质，所以q为奇数， 所以选项D正确， 故选：D. 1-5．（2024高一上·陕西西安·期中）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案. 【详解】当时，定义域和值域均为，符合题意； 时，定义域为，值域为，故不合题意； 时，定义域为，值域为，符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意； 时，定义域为R，值域为，不符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意. 故选：C （二） 幂函数性质的综合应用 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 题型2：幂函数性质的综合应用 2-1．（2024高一上·上海杨浦·期末）已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则 . 【答案】-1 【分析】根据幂函数在上为严格减函数，可得，再由幂函数奇函数即可得答案. 【详解】解：因为幂函数在上为严格减函数， 所以， 所以， 又因为幂函数奇函数，且， 所以， 故答案为：-1 2-2．（2024高三上·宁夏固原·期中）已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数定义以及性质即可求出. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或，又因为在上单调递减，则. 故选：A 2-3．（2024·海南·模拟预测）已知为幂函数，则（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】B 【分析】首先根据幂函数的定义求出参数的值，即可得到函数解析式，再分析其性质. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 所以或， 对于，函数在上单调递增，在上单调递减； 对于，函数在上单调递减，且为奇函数，故在上单调递减； 故只有B选项“在上单调递减”符合这两个函数的性质． 故选：B 2-4．（2024·江苏）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 . 【答案】 【分析】先求，再根据奇函数求 【详解】，因为为奇函数，所以 故答案为： 【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 2-5．（2024高三·全国·课后作业）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围． 【答案】 【分析】根据函数为幂函数以及函数的性质，可确定参数m的取值，结合幂函数的单调性，分类讨论求解不等式，可得答案. 【详解】因为函数在上是严格减函数，所以，解得． 由m为正整数，则或, 又函数的图像关于y轴对称，得是偶函数， 而当时，，为奇函数，不符题意， 当时，，为偶函数，于是． 因为为奇函数，在与上均为严格减函数， 所以等价于或或， 解得或，即. （三） 二次方程的实根分布及条件 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 题型3：二次方程的实根分布及条件 3-1．（2024高三·全国·阶段练习）方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由二次函数根的分布性质有，，，求得的取值范围. 【详解】令，由二次函数根的分布性质，若一根在区间内， 另一根在区间（3，4）内， 只需，即， 解不等式组可得，即的取值范围为， 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数根的分布性质，属于中档题. 3-2．（2024高三·全国·专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】说明时，不合题意，从而将化为，令，结合其与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案. 【详解】当时，即为，不符合题意； 故，即为， 令， 由于关于的方程有两个不相等的实数根，且， 则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧， 故时，，即，解得，故， 故选：D 3-3．（2024高一·江苏·课后作业）设a为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程根的分布结合二次函数的图象列出不等式组求解即可. 【详解】令， 由方程在区间上有两个不相等的实数解可得 ，即或， 解得， 故选：C （四） 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论. （2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负. 题型4：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 4-1．（2024高一上·海南·期中）已知在区间 上的值域为. (1)求实数的值； (2)若不等式  当上恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据区间 讨论 的对称轴 的位置，满足值域是 ，求出a； （2）运用换元法构造函数根据单调性求解. 【详解】（1）函数 是开口向上，对称轴为 的二次函数，根据 的图像有： 当 时， 在 上的最小值 ， 不符合 ，舍； 当 时， 在 上的最小值 或 （舍）， ， ，满足题意； 当 时， 在 上的最小值 （舍）， ； （2）由(1)， ，不等式为 ， 即 ，令 ，则 ，  在 时恒成立， 令 ，是对称轴为 开口向上的抛物线，在 时单调递减， ， ，即k的取值范围是 ； 综上， . 4-2．（2024·浙江）设函数. （1）当时，求函数在上的最小值的表达式； （2）已知函数在上存在零点，，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）将函数进行配方，利用对称轴与给定区间的位置关系，通过分类讨论确定函数在给定区间上的最小值，并用分段函数的形式进行表示；（2）设定函数的零点，根据条件表示两个零点之间的不等关系，通过分类讨论，分别确定参数的取值情况，利用并集原理得到参数的取值范围. 试题解析：（1）当时，，故其对称轴为. 当时，. 当时，. 当时，. 综上， （2）设为方程的解，且，则. 由于，因此. 当时，， 由于和， 所以. 当时，， 由于和，所以. 综上可知，的取值范围是. 考点：1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想. 4-3．（2024高一上·海南·期末）已知函数在区间上有最大值2和最小值1. (1)求的值； (2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据二次函数的性质，分类讨论函数的单调性，结合已知列出方程组，即可得出； （2）由已知可转化为在上恒成立.根据基本不等式即可求出实数的取值范围； （3）由已知可推得有三个不同的实数解.令，作出的函数图象，可得.结合函数图象，该方程一个根大于0小于1，一个根大于等于1.令，根据二次函数的性质与图象，即可得出不等关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】（1）由已知可得. 当时，在上为增函数，所以，解得； 当时，在上为减函数，所以，解得. 由于，所以. （2）由（1）知， 所以在上恒成立，即， 因为，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又，当且仅当时取等号. 所以，即. 所以求实数的范围为. （3）方程化为， 化为，且. 令，则方程化为. 作出的函数图象 因为方程有三个不同的实数解， 所以有两个根， 且一个根大于0小于1，一个根大于等于1. 设， 记， 根据二次函数的图象与性质可得 ，或， 解得. 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：根据构成复合函数的函数特性，即可得出零点的分布情况. 4-4．（2024·浙江）已知函数，记是在区间上的最大值. （1）证明：当时，； （2）当，满足，求的最大值. 【答案】（1）详见解析；（2）. 【详解】（1）分析题意可知在上单调，从而可知 ，分类讨论的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知 ，再由可得， ，即可得证. 试题解析：（1）由，得对称轴为直线，由，得 ，故在上单调，∴，当时，由 ，得，即，当时，由 ，得，即，综上，当时， ；（2）由得，，故，，由，得，当，时，，且在上的最大值为，即，∴的最大值为.. 考点：1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想. 4-5．（2024高一上·浙江·阶段练习）已知函数． (1)当时，解方程； (2)当时，记函数在上的最大值为，求的最小值． 【答案】(1)和1 (2) 【分析】（1）分与两种情况，结合二次方程求解即可； （2）根据分段函数中的二次函数性质，分析可得最大值在中取得，再根据区间端点与对称轴的关系分情况讨论，数形结合分析函数的最大值，进而求得的解析式，从而得到最小值即可. 【详解】（1）当时，令． 当时，，解得： 当时，，解得： 故方程的解为：和1； （2），其中， 因为对称轴为，开口向下；对称轴为，开口向上，于是最大值在中取得． 当，即时，在上单调递减．； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递减，上单调递增，在上单调递减， ； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 一、单选题 1．（2024高一·全国·假期作业）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（    ） A． B． C．或1 D．或4 【答案】A 【分析】，利用韦达定理可得答案. 【详解】关于x的方程有两个实数根， ， 解得：， 关于x的方程有两个实数根，， ，， ，即， 解得：或舍去 故选：A. 2．（2024·山东）关于函数，以下表达错误的选项是（    ） A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像与性质，直接进行求解即可. 【详解】，最大值是1，A正确； 对称轴是直线，B正确； 单调递减区间是，故C错误； 令的，故在函数图象上，故D正确， 故选：C 3．（2024·浙江）若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值 A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 【答案】B 【详解】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B． 【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值． 4．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可知 图像与的图像关于轴对称，由 的图像即可得出结果. 【详解】因为，所以 图像与的图像关于轴对称， 由解析式，作出的图像如图 从而可得图像为B选项. 故选：B. 5．（2024·湖南娄底·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数在区间上单调递增，转化为且在区间上恒成立可求解. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以且在区间上恒成立， 所以，解得或. 故选：B 6．（2024·海南·模拟预测）已知函数，，的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数图象可确定大小关系，结合指数函数单调性可得结果. 【详解】由图象可知：，. 故选：C. 7．（2024高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合二次函数和分段函数性质，研究给定函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答. 【详解】因为开口向下的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减； 为开口向上的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减，且，因此函数在R上单调递减，则，即， 解得或， 所以实数的取值范围是。 故选：D 8．（2024高三·河北·专题练习）设，二次函数的图象为下列之一，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数的性质得该函数的对称轴不能为轴，当开口向上时，对称轴，进而得该函数图象，进而结合函数图象过坐标原点且开口向下即可得答案. 【详解】由题知，， 所以二次函数的图象不关于轴对称，故排除第一、二个函数图象， 当时，该二次函数的对称轴为，故第四个图象也不满足题意， 当时，该二次函数的对称轴为，开口向下，故第三个函数图象满足题意. 此时函数图象过坐标原点，故，解得， 由于，故. 故选：B 9．（2024高三下·河南新乡·开学考试）已知函数若的最小值为6，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式求得在时的最小值是6，因此时函数的最小值不小于6，根据二次函数性质分类讨论求解． 【详解】因为当时，，当且仅当时，等号成立， 所以当时，，当时，的最小值大于或等于6. 当时，在上单调递减，则. 由得； 当时，. 由得. 综合可得. 故选：C． 10．（2024·全国·模拟预测）已知x，，满足，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】令，，易得为奇函数且为增函数，再由和，变形得到，求解． 【详解】解：令，，则， ∴为奇函数． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，． 又∵在R上单调递增， ∴，即． 故选：B． 11．（2024·贵州毕节·二模）已知，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数，幂函数，对数函数的单调性即可解出的范围. 【详解】，根据指数函数在上单调递减得， ，根据幂函数在上单调递增知，则， ，根据对数函数在上单调递减得， 综上. 故选：D. 12．（2024高三·全国·专题练习）已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），则（    ） A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0 C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0 【答案】A 【分析】由已知得f (x)的图象的对称轴为x＝2且f (x)先减后增，可得选项. 【详解】由f (0)＝f （4），得f (x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0， 又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x)先减后增，于是a>0， 故选：A. 【点睛】本题考查二次函数的对称轴，单调性，属于基础题. 13．（2024·浙江）已知函数f(x)=x2+bx，则“b＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】试题分析：由题意知，最小值为． 令，则， 当时，的最小值为，所以“”能推出“的最小值与的最小值相等”； 当时，的最小值为0，的最小值也为0，所以“的最小值与的最小值相等”不能推出“”．故选A． 考点：充分必要条件． 14．（2024高三·全国·专题练习）如果函数在区间上单调递减，则的最大值为（    ） A．16 B．18 C．25 D． 【答案】B 【分析】分，，，结合二次函数的单调性与基本不等式即可求解. 【详解】当时，在区间上单调递减，则， 所以，没有最大值，舍去； 当时，抛物线的对称轴为. 当时，据题意，可得，即. . 当且仅当且，得，等号成立； 当时，抛物线开口向下，据题意得，，即.. 当且仅当且，得，故应舍去. 要使得取得最大值，应有. 因为在上单调递减. 所以. 综上所述，的最大值为18. 故选：B. 15．（2024·陕西）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结 论是错误的，则错误的结论是 A．是的零点 B．1是的极值点 C．3是的极值 D．点在曲线上 【答案】A 【详解】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A． 【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值． 16．（2024·四川乐山·一模）已知幂函数和，其中，则有下列说法： ①和图象都过点； ②和图象都过点； ③在区间上，增长速度更快的是； ④在区间上，增长速度更快的是. 则其中正确命题的序号是（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】A 【分析】由幂函数的性质进行分析判断即可 【详解】幂函数的图象过定点，①正确， 在区间上，越大增长速度更快，③正确， 故选：A. 17．（2024·河北衡水·模拟预测）已知幂函数是定义在区间上的奇函数，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由奇函数定义域的对称性得，然后可得函数解析式，计算函数值． 【详解】因为幂函数在上是奇函数，所以，所以，所以， 故选：A． 18．（2024·北京东城·一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数和反比例函数的性质判断. 【详解】A. 函数的定义域为，值域为R； B. 函数的定义域为R，值域为； C. 函数的定义域为R，值域为R； D. 函数的定义域为，值域为， 故选：C 二、多选题 19．（2024·江苏·模拟预测）若函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用幂函数的性质及函数的单调性的性质，结合特殊值法及构造函数法即可求解. 【详解】由幂函数的性质知， 在上单调递增. 因为,所以，即，， 所以．故A正确； 令，则，故B错误； 令，则 由函数单调性的性质知，在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，所以，即，于是有，故C正确； 令，则， 所以因为，故D错误． 故选：AC. 20．（2024·吉林长春·模拟预测）已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，可判断A，B，由，可判断C， 假设，对不等式进行证明，即可判断D. 【详解】将点代入函数得：，则. 所以，显然在定义域上为减函数，所以A错误； ，所以为偶函数，所以B正确； 当时，，即，所以C错误； 当若时， 假设，整理得 ，化简得，， 即证明成立， 利用基本不等式，，因为，故等号不成立，成立； 即成立，所以D正确. 故选：BD. 21．（2024高一上·重庆·阶段练习）已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（    ） A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9} B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0} C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1} D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1} 【答案】BCD 【分析】根据二次方程根与系数的关系和充要条件和必要条件的定义，依次判断每个选项的正误得到答案. 【详解】方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是，解得，A错误； 方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是，解得，B正确； 方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是，解得，C正确； 方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的充要条件是，解得， ，故必要条件是m∈{m|m>1}，故D正确. 故选：BCD. 22．（2024高一上·湖南长沙·期中）设二次函数的值域为，下列各值（或式子）中一定大于的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由二次函数的性质与基本不等式求解即可 【详解】因为二次函数的值域为， 所以，所以，解得， 所以 ， 由于，，当且仅当时取等号， 所以， 对于A：，故A 错误； 对于B：，故B正确； 对于C：令，则，故C错误； 对于D：， ，故D正确； 故选：BD 三、填空题 23．（2024高一上·全国·期末）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用幂函数的定义及性质求出m值，再解一元二次不等式即可得解. 【详解】因函数是幂函数，则，解得或， 当时，是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知的图象关于原点对称矛盾， 当时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得， 不等式化为：，即，解得：， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 24．（2024高一上·四川眉山·期中）下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②图象是一条直线；③若函数的定义域是，则它的值域是；④若函数的定义域是，则它的值域是；⑤若函数的值域是，则它的定义域一定是．其中不正确命题的序号是 ． 【答案】②③④⑤ 【分析】根据函数的性质以及函数定义域值域等性质分别进行判断即可． 【详解】解：幂函数图象不过第四象限，①正确；图象是直线上去掉点，②错误；函数的定义域是，则它的值域是，③错误；函数的定义域是，则它的值域是，④错误；若函数的值域是，则它的定义域也可能是，⑤错误， 故答案为：②③④⑤． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，利用函数的性质以及函数定义域，值域，单调性的性质是解决本题的关键，属于基础题． 25．（2024高三上·河北衡水·周测）已知，，若对，，，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据，，，由求解. 【详解】因为对，，， 所以只需即可， 因为，， 所以，， 由， 解得 故答案为：. 【点睛】本题主要考查不等式恒能成立问题以及函数的最值的求法，属于中档题. 26．（2024高三上·福建三明·期中）已知，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性，求出实数的取值范围． 【详解】已知，或①； ，②； ，③． 综合①②③，求得实数的取值范围为． 故答案为：﹒ 27．（2024高三下·上海嘉定·阶段练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断单调递增，讨论或，根据分段函数的值域可得且，解不等式即可求解. 【详解】由函数单调递增， ①当时，若，有， 而，此时函数的值域不是； ②当时，若，有，而， 若函数的值域为，必有，可得． 则实数的取值范围为． 故答案为： 28．（2024高三·全国·专题练习）不等式的解集为： ． 【答案】 【分析】不等式变形为，即，构造函数，判断出函数得单调性，再根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】不等式变形为， 所以， 令，则有， 因为函数在R上单调递增， 所以在R上单调递增， 则，解得， 故不等式的解集为． 故答案为：. 29．（2024高一上·全国·课后作业）已知幂函数，若，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得到幂函数的定义域和单调性，得到不等式的等价不等式组，即可求解. 【详解】由幂函数， 可得函数的定义域为，且是递减函数， 因为，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 30．（2024·上海闵行·一模）已知二次函数的值域为，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由二次函数的值域为，分析求出参数，然后代入中求出值域即可 【详解】由二次函数的值域为得： 解得：或（舍去） 所以 因为 所以函数的值域为： 故答案为：. 31．（2024·贵州毕节·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的非常值函数 . ①在上恒成立；②是偶函数；③. 【答案】（答案不唯一，形如均可） 【分析】结合①②可联想到函数是奇函数，再由③结合联想幂函数写出解析式作答. 【详解】由②知，函数可以是奇函数，由①知，函数在上可以是减函数， 由③结合①②，令，显然，满足①；是偶函数，满足②； ，满足③， 所以. 故答案为： 32．（2024·新疆阿勒泰·一模）已知二次函数（a，b为常数）满足，且方程有两等根，在上的最大值为，则的最大值为 . 【答案】1 【分析】由有两等根，可得得，由可得 为对称轴，可得，则可得到的解析式，对分类讨论，利用函数单调性可得的最大值. 【详解】解：已知方程有两等根，即有两等根， ，解得； ，得，是函数图象的对称轴. 而此函数图象的对称轴是直线，， 故， 若在上的最大值为， 当时，在上是增函数，， 当时，在上是增函数，在上是减函数，， 综上，的最大值为1. 故答案为：1. 33．（2024·湖北）为实数，函数在区间上的最大值记为. 当 时，的值最小. 【答案】． 【详解】因为函数，所以分以下几种情况对其进行讨论： ①当时，函数 在区间上单调递增，所以； ②当时，此时 ，，而，所以； ③当 时，在区间上递增，在上递减．当时，取得最 大值； ④当时，在区间上递增，当时，取得最 大值， 则在上递减，上递增，即当 时，的值最小． 故答案为：． 考点：本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题． 四、解答题 34．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）已知. (1)若，，解关于的不等式； (2)若，在上的最大值为，最小值为，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意求出，将用表示，然后再把分类讨论，结合一元二次不等式的解法即可得出答案； （2）利用反证法证明，若等于0，得到也等于0，所以等于，得到（2）与互为相反数，不合题意；若不为0，由，解得，代入中，求出二次函数的对称轴，假设对称轴小于或大于2，即可得到对称轴在区间的左外侧或右外侧，得到为单调函数，函数的最值在，取到，把2和代入得到最值互为相反数，不合题意，所以假设错误，综上，得证； 【详解】（1）解：因为， 所以， 又因，所以， 所以， 则不等式即为， 即， 若，则不等式的解集为； 若，则不等式的解集为； 若， 当时，则不等式的解集为； 当时，则不等式的解集为； 当时，则不等式的解集为； （2）解：若，则，， 当时， 则无解， 所以； 若时，由，得， 对称轴为，假设，，， 区间，在对称轴的左外侧或右外侧，所以在，上是单调函数， 则的最值必在，处取到， ，，， 所以假设错误，则， 综上，得到. 35．（2024高一下·贵州黔东南·开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，且时，，. (1)求在区间上的解析式； (2)若对，则，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设，由奇函数的定义可得出，即可得出函数在区间上的解析式； （2）求得函数在区间上的值域为，分析函数在区间上的单调性，可得出，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：设，则，， 即当时，. （2）解：当时，；当时，； 又因为，所以，函数在上的值域为， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，，， 因为，则，使得成立，则，解得. 36．（2024高一上·河南平顶山·期末）已知函数． (1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用单调性的定义，取值、作差、整理、定号、得结论，即可得证. （2）令，根据x的范围，可得t的范围，原式等价为，，只需即可，分别讨论、和三种情况，根据二次函数的性质，计算求值，分析即可得答案. 【详解】（1）由已知可得的定义域为， 任取，且， 则， 因为，，， 所以，即， 所以在上是单调递增函数． （2）， 令，则当时，， 所以． 令，， 则只需． 当，即时，在上单调递增， 所以，解得，与矛盾，舍去； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 当即时，在上单调递减， 所以，解得，与矛盾，舍去． 综上，实数的取值范围是． 37．（2024高一上·贵州毕节·期末）已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）代入解不等式组可得答案； （2）由题意，结合最大值为0最小值是分、数形结合可得答案. 【详解】（1）当时，不等式， 即为， 即，所以， 所以或， 所以原不等式的解集为． （2）， 由题意或，这时解得， 若，则，所以； 若，即， 所以，则， 综上，或． 38．（2024高一上·辽宁大连·期中）已知值域为的二次函数满足，且方程的两个实根满足． (1)求的表达式； (2)函数在区间上的最大值为，最小值为，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据可以判断函数的对称轴，再根据函数的值域可以确定二次函数的顶点坐标，则可设，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知进行求解，求出的值，即可得出的表达式； （2）根据题意，可以判断出函数在区间上的单调性，由，求得，进而可知的对称轴方程为，结合二次函数的图象与性质以及单调性，得出，即可求出的取值范围. 【详解】（1）解：由，可得的图象关于直线对称， 函数的值域为，所以二次函数的顶点坐标为， 所以设， 根据根与系数的关系，可得，， 因为方程的两个实根满足 则， 解得：，所以. （2）解：由于函数在区间上的最大值为，最小值为， 则函数在区间上单调递增， 又，即， 所以的对称轴方程为，则，即， 故的取值范围为. 39．（2024高三上·全国·阶段练习）已知函数为偶函数. （1）求的值； （2）设函数，是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，. 【分析】（1）根据题意得出，代入函数解析式，从而求出的值； （2）根据（1）得出，利用换元得出二次函数，讨论对称轴与区间的关系即可求出的值. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 因为为偶函数，所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以，解得. （2）由（1）知所以， 令，则，其对称轴为， ①当，即时，在上单调递减， 所以， 由， 解得，此时不满足，此时不存在符合题意的值； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，解得或，又，所以； ③当，即时，在上单调递增， 所以， 由，解得，不满足，此时不存在符合题意的值. 综上所述，存在，使得函数在区间上的最小值为. 40．（2024高一上·湖南衡阳·期末）二次函数为偶函数，，且恒成立． (1)求的解析式； (2)，记函数在上的最大值为，求的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】(1) 设，由，恒成立，列出不等式组，求解即可； (2)分，，和，求出的解析式，即可得的最小值. 【详解】（1）解：依题设， 由，得， ，得恒成立， ∴， 得， 所以，又， 所以， ∴； （2）解：由题意可得：，， 若，则，则在[0,1]上单调递增， 所以； 若，当，即时，在[0,1]上单调递增， 当，只须比较与的大小， 由，得：，此时， 时，，此时， 综上，， 时，， 时，， 时，， 综上可知：的最小值为． 41．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，当时，设的最大值为，求的最小值． 【答案】最小值为． 【分析】根据绝对值三角不等式可得，结合不等式即可确定等号成立的条件，即可求解. 【详解】令，分别取，1，2，可得， ，． 由，利用绝对值三角不等式可得 ，因此 当，时，，当且仅当时取等号，而，得在上的最大值为，说明等号能成立． 故的最小值为． 42．（2024高一上·广东·期中）已知函数， (1)当时，①求函数单调递增区间；②求函数在区间的值域； (2)当时，记函数的最大值为，求的最小值． 【答案】(1)①函数单调递增区间为和；②； (2) 【分析】（1）由已知，将代入原函数，去掉绝对值，分别在和两种情况下讨论二次函数的单调区间，根据得到的函数的单调性，在区间上可确定最值点，从而确定值域； （2）分别在，以及三种情况下，结合二次函数的对称轴与端点值的大小即可确定函数的最大值，从而求解出的解析式，然后根据函数的单调性，再求解的最小值. 【详解】（1）当时，函数， 当时，函数， 此时，函数在上单调递增， 当时，函数， 此时，函数在上单调递增， 所以函数单调递增区间为和； 因为函数单调递增区间为和， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，， 因为，， ，， 所以函数在区间的值域为； （2）由已知可得，， 当时，即时，，对称轴为， 当时，即时，函数在区间上单调递增， 所以， 当时，即时， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 当时，即时，若，，若，， 因为当时，，对称轴为， 所以函数在区间上单调递增，所以， 当，即时，此时， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以 若，即时，， 若，即时，， 综上所述，， 函数在区间上单调递减， 函数在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增， 所以. 【点睛】在涉及二次函数有关的函数单调性、最值和值域的求解问题时，解题的关键是能够够结合对称轴的位置，分段函数分段处对参数进行讨论，在参数不同范围的情况下确定最值点的位置. 43．（2024高一上·山东潍坊·阶段练习）已知是一元二次方程的两个实数根. (1)是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)求使的值为整数的实数的整数值. 【答案】(1)不存在，理由见解析； (2) 【分析】（1）利用反证法先假设存在实数，使得成立，根据一元二次方程有两个实数根可得，因此原假设不成立，故不存在； （2）根据题意，可得能被整除，即可求出的值. 【详解】（1）假设存在实数，使得成立， 一元二次方程的两个实数根， ，(不要忽略判别式的要求)， 由韦达定理得， ， 但， 不存在实数，使得成立. （2）， 要使其值是整数，只需要能被整除， 故，即， ， . 44．（2024高一上·安徽·阶段练习）已知函数，且函数的值域为. （1）求实数a的值； （2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； （3）若关于x的方程有三个不同的实数根，求实数k的取值范围. 【答案】（1）1；（2）；（3）. 【分析】（1）由题意知，，计算可得； （2）依题意参变分离可得在恒成立；令则在上恒成立，记，利用二次函数的性质计算可得； （3）依题意可化为有三个不同根，令，设有两个不同的实数根且. 原方程有3个不同实数根等价于或.根据二次函数根的分布问题求出参数的取值范围； 【详解】解：（1）由题意知，，即，解得. （2）由在上恒成立，可化为在恒成立； 令，由，可得， 则在上恒成立. 记，函数在上单调递减，所以. 所以，解得，所以实数m的取值范围是. （3）方程有三个不同的实数根， 可化为有三个不同根. 令，则.当时，且递减， 当时，且递增，当时，， 当时，且递增. 设有两个不同的实数根且. 原方程有3个不同实数根等价于或. 记，则或 解得. 综上，实数k的取值范围是. 【点睛】含参不等式恒成立问题常用方法：1.转化为有关函数的最值的不等式关系；2．分离参数，转化为参数与函数最值关系. 45．（2024高三上·江西鹰潭·阶段练习）已知幂函数的定义域为R. (1)求实数的值； (2)若函数在上不单调，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由幂函数定义求得参数值； （2）由二次函数的单调性知对称轴在开区间上，再由指数函数性质，对数的定义得结论． 【详解】（1）由题意且，解得； （2）由（1），的对称轴 ， 因为在上不单调，所以， 解得． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$