2024年中考数学二轮专题复习-二次函数的最值问题

2024年中考数学二轮专题复习-二次函数的最值问题 1．如图所示的是小青同学设计的一个动画示意图，某弹球P（看作一点）从数轴上表示的点A处弹出后，呈抛物线状下落，落到数轴上后，该弹球继续呈现原抛物线状向右自由弹出，但是第二次弹出高度的最大值是第一次高度最大值的一半，第三次弹出的高度最大值是第二次高度最大值的一半，…，依次逐渐向右自由弹出． (1)根据题意建立平面直角坐标系，并计算弹球第一次弹出的最大高度． (2)当弹球P在数轴上两个相邻落点之间的距离为4时，求此时下落的抛物线的解析式． (3)若弹球经过n（n为正整数）次自由弹出后恰好落在数轴上的点B处，请用含n的代数式直接写出点B表示的数． 2．某超市试销一种新商品，在销售过程中，超市每天以每件100元的价格将当天所进该商品全部售出.一个月（按30天计算）后，对销售情况进行了统计：该商品第x天的进价y（元/件）与x（天）之间的相关信息如下表： 时间（天） 进价（元/件） 50 该商品在销售过程中，日销售量（件）与（天）之间的函数关系如图所示． (1)直接写出该商品的日销售量m（件）与x（天）之间的函数关系式；（不要求写出自变量取值范围） (2)此超市在销售该商品的过程中，第几天的日销售利润最大?最大日销售利润是多少? 3．如图在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P是边BC上由B向C运动（不与点B、C重合）的一动点，P点的速度是1cm/s，设点P的运动时间为t，过P点作AC的平行线交AB与点N，连接AP， （1）请用含有t的代数式表示线段AN和线段PN的长， （2）当t为何值时，△APN的面积等于△ACP面积的三分之一？ （3）在点P的运动过程中，是否存在某一时刻的t的值，使得△APN的面积有最大值，若存在请求出t的值并计算最大面积；若不存在，请说明理由． 4．近年来，国潮联名款产品层出不穷，大品牌通过在服饰中加入如“大闹天宫”，“故宫” 这样的传统中国元素，唤起年轻一代消费群体的记忆，与这些年轻消费者进行着价值沟通，逐渐构成“国潮力量”．某外贸公司经市场调研，整理出某爆款联名卫衣的售价每增加x元，日销售量的变化情况如下表： 售价(元/件) 日销售量(件) 已知该款卫衣的成本价为80元/件，设销售该卫衣的日销售利润为w元． (1)求w（元）与x（元）之间的函数关系式； (2)在销售过程中，该卫衣售价增加8元后的日销售利润能达到80000元吗，为什么？ (3)求该卫衣售价增加多少元时，日销售利润最大，最大日利润是多少？ 5．问题背景：为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉．的长为，．红、蓝、黄三种花卉的单价分别为元，元，元．    建立模型： 设的长为，购买花卉的总费用为元． （）用含的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积； （）求与之间的函数表达式； 方案决策： （）当购买花卉的总费用最少时，求的长． 6．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳，经空中飞行后落在着陆坡上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里表示起跳点A到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离x（单位：m）近似满足函数关系．已知m，m，落点P到的水平距离是，到地面的竖直高度是． (1)求y与x的函数表达式； (2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；当他在点P着陆时，飞行时间为； ①求x与t的函数表达式； ②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值． 7．某农作物的生长率P与温度t有如下关系：如图1，当时可近似用函数刻画，当时可近似用函数刻画．    (1)求h的值． (2)按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率P满足函数关系： 生长率P 0.2 0.3 0.4 0.5 提前上市的天数m（天） 0 5 10 15 ①请运用记学的知识，求m关于P的函数表达式； ②请用含t的代数式表示m； (3)天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大恒温时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w（元）与大棚温度t之间的关系如图2，提前上市增加的利润和节省的成本为M，问当时，提前上市多少天时M最大?并求此时M最大值（农作物上市售出后大棚暂停使用）． 8．某糖果经销商销售某种糖果，成本为每千克元，规定糖果每千克的售价不低于成本，且不高于元试销期间发现该糖果每天的销售量（千克）与每千克的售价（元）之间的函数关系如下表： x/元 y/千克 (1)求与之间的函数关系式． (2)当每天获得的总利润是元时，这种糖果每千克的售价是多少元？ (3)设每天获得的总利润是（元）．当这种糖果每千克的售价是多少元时，每天获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 9．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度为16米．现以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）． (1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明； (3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使点在抛物线上．点在地面线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 10．夏季即将到来，为满足大众需要，雪糕店推出了新款盒装雪糕（分A、B两种，不可拆开售卖）共50盒，两款雪糕的成本均为15元/盒，假设购进的所有雪糕均全部售出，且两款雪糕的销量均为正整数． 设A雪糕销售单价为x元（，x为整数），所获总利润为y（单位：元），已知当销售单价时，A雪糕的销量为40盒，在此基础之上，x每增加1元，销量就会减少2盒．B雪糕的销售单价恒为30元，设卖出B雪糕所获总利润s（单位：元） (1)用含x的代数式表示下列各量： ①卖出A雪糕所获利润___________； ②卖出B雪糕所获利润___________． (2)在此次销售中，雪糕店所获总利润为w（单位：元），则当x为多少时w有最大值，并求出该最大值， (3)每售出一盒B型雪糕，雪糕店的老板就向希望工程捐出a元（），若总利润的最大值为722元，求a的值． 11．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）求这个正方形零件的边长； （3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？ 12．以△ABC的边AC为直径的半圆交AB边于D点，∠A、∠B、∠C所对边长为a、b、c，且二次函数y＝(a＋c)x2-bx＋(c-a)顶点在x轴上，a是方程z2＋z-20＝0的根． (1)证明：∠ACB＝90°； (2)若设b＝2x，弓形面积S弓形AED＝S1，阴影面积为S2，求(S2-S1)与x的函数关系式； (3)在(2)的条件下，当BD为何值时，(S2-S1)最大？ 13．如图，二次函数y=-x2+(n-1)x+3的图像与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B(-2，0) (1)求二次函数的解析式； (2)点P是这个二次函数图像在第二象限内的一线，过点P作y轴的垂线与线段AB交于点C，求线段PC长度的最大值． 14．若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“最值差函数”． (1)函数①；②；③．其中函数______是在上的“最值差函数”；（填序号） (2)已知函数． ①当时，函数G是在上的“最值差函数”，求t的值； ②函数G是在（m为整数）上的“最值差函数”，且存在整数k，使得，求a的取值范围． 15．已知抛物线与轴的两个交点为，，与轴的交点为． (1)直接写出不等式的解集； (2)若点的纵坐标为． ①求a，b，c的值； ②若，求函数的最大值和最小值． 16．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于，C两点，交y轴于点，点P为y轴右侧抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)当P在下方时，求面积的最大值； (3)当时，的面积为___________； (4)点M为抛物线对称轴上的一点，点N为平面内一点，是否存点M、点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；如不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)16 (2) (3) 2．(1) (2)第17天的日销售利润最大，最大日销售利润为4418元 3．（1） PN=t，AN =5﹣t；（2）当t为s时，△APN的面积等于△ACP面积的三分之一；（3）t=2时，△PAN的面积最大，最大值为． 4．(1) (2)能 (3)售价增加30元时，日销售利润最大，最大日利润为98000元 5．（）红色花卉的种植面积为，蓝色花卉的种植面积为， 黄色花卉的种植面积为；（）；（）． 6．(1) (2)①；② 7．(1)． (2)①；② (3)5天， 1500元 8．(1) (2) (3)当这种糖果每千克的售价是元时，每天获得的总利润最大，最大总利润是元 9．(1)解析式，自变量x的取值范围为： (2)能， (3)20米 10．(1)①（且x为整数）；②（且x为整数）； (2)时，w有最大值，最大值为800元 (3) 11．（1）证明略；（2）48；（3）2400． 12．（1）证明略（2）S2-S1＝-x2＋4x；（3）BD＝． 13．（1）；（2） 14．(1)② (2)①，；② 15．(1)或 (2)①，，；②最小值为-4，最大值为12 16．(1) (2) (3)或 (4)存在，或或或 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$