上海市高一数学下学期期末模拟试卷01-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修二）

2023-2024学年高一数学下学期期末模拟试卷01 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：必修二 一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1．已知是虚数单位，复数　　． 【分析】根据复数的四则运算法则，直接计算即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题． 2．若的圆心角所对的弧长为，则扇形半径长为　4　． 【分析】由已知利用弧长公式即可求出扇形半径长． 【解答】解：由题意的圆心角所对的弧长为， 又， ． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了弧长公式和扇形面积公式，是基础题． 3．设为实数，点为角的终边上一点，且，则　　． 【分析】利用任意角的三角函数的定义即可求解． 【解答】解：点为角的终边上一点，且， 解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 4．已知，则的值为 　　． 【分析】利用诱导公式以及二倍角余弦公式展开即可． 【解答】解：，， 又， ． 故答案为：． 【点评】本题考查诱导公式即二倍角余弦公式的应用，属于基础题． 5．已知是实系数一元二次方程的一个根，则的值为 　　． 【分析】根据已知条件，推得是实系数一元二次方程的另一个根，再结合韦达定理，即可求解． 【解答】解：是实系数一元二次方程的一个根， 则是实系数一元二次方程的另一个根， 故，解得，， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的运算和实系数多项式虚根成对定理，属于基础题． 6．在复数范围内的平方根是 　　． 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解． 【解答】解：， 故在复数范围内的平方根是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题． 7．已知，则　　． 【分析】先根据诱导公式化简，再弦化切，即可求解． 【解答】解：因为， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角函数的同角公式，属于基础题． 8．函数的最小正周期是　　． 【分析】由二倍角的余弦公式化简函数解析式后，根据三角函数的周期性及其求法即可得解． 【解答】解：， 由三角函数的周期性及其求法可得：最小正周期， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二倍角的余弦公式，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查． 9．若，且与的夹角为，则　2　． 【分析】由向量模的公式计算即可． 【解答】解：， 故答案为：2． 【点评】本题考查平面向量数量积的运算，主要涉及向量模的公式应用，属于基础题． 10．点是三角形内一点，若，则　1　． 【分析】由题意得为的重心，根据重心性质即可求得结论． 【解答】解：设为中点，由，可得，故为的重心， 则，， 而，所以， 即． 故答案为：1． 【点评】本题考查平面向量的线性运算，考查三角形重心性质，属基础题． 11．在中，如果，则角等于　　． 【分析】首先对化简整理得代入余弦定理中即可求得，进而求得答案． 【解答】解： 故答案为 【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．解题的关键是求得与的关系． 12．设全集，，，，，若，则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为 　　． 【分析】根据题意可得，集合在复平面内表示的图形为圆及其内部，集合在复平面内表示的图形为直线的左侧，作出图象，可得复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分． 【解答】解：设． 由，，可知，即，即． 因为，，，所以， 则可化为，解得． 即集合在复平面内表示的图形为圆及其内部， 集合在复平面内表示的图形为直线的左侧， 集合在复平面内表示的图形为直线的右侧（包括直线， 如图所示： 所以，复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分， 弓形的面积为扇形的面积减去的面积，易知扇形的圆心角，圆的半径， 则扇形的面积，， 所以弓形的面积为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数几何几何意义，属于难题． 二、选择题（共18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13．已知函数的部分图象如下所示，其中，为了得到的图象，需将　　 A．函数的图象的横坐标伸长为原来的倍后，再向左平移个单位长度 B．函数的图象的横坐标缩短为原来的后，再向右平移个单位长度 C．函数的图象向左平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍 D．函数的图象向右平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍 【分析】根据已知条件可知，，即可求得，再代入点的坐标，根据已知条件的来确定解析式，最后根据伸缩平移法则即可求得． 【解答】解：依题意，，解得， 故，则， 而， 故， 而， 故， 将函数的图象向右平移个单位长度后， 得到，再将横坐标伸长为原来的倍，得到． 故选：． 【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于基础题． 14．已知复数为虚数单位）为纯虚数，则实数　　 A．2 B． C．或2 D． 【分析】直接由复数的实部等于0且虚部不等于0求解的值． 【解答】解：为虚数单位）为纯虚数， ，， 故选：． 【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件，是基础题． 15．设是的外心，若，则　　 A．2 B． C． D． 【分析】设，利用平面向量数量积的运算得到，即可求解． 【解答】解：设， 则， 可得， 故． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属于中档题． 16．设复数的共轭复数是，且，又复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时在复平面上以，，三点为顶点的图形是　　 A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【分析】根据复数的几何意义，结合复数模长公式进行计算即可 【解答】解：， 设， 则， 则， 当，即，时取得最大值， 最大值为，此时， ，，， 则， 则对应三角形为等腰三角形． 故选：． 【点评】本题主要考查复数的几何意义，利用三角函数的性质求出对应最值，结合复数模长公式是解决本题的关键，属于中档题． 三、解答题（共78分，第17、18、19题每题14分，第20、21题每题18分）． 17．设复数，，其中、、、． 现在复数系中定义一个新运算，规定：． （1）已知，求实数的值； （2）现给出如下有关复数新运算性质的两个命题： ①； ②若，则或． 请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由． 【分析】（1）根据新定义得到关于的方程，求出的值即可； （2）通过计算判断①，特殊值法判断②． 【解答】解：（1）由定义，有， 即，整理得，， 或． （2）①要证， 只需， ①是真命题． ②， ②是假命题． 【点评】本题考查了复数的运算，考查新定义问题，是基础题． 18．（1）指出函数的最大值，及函数取得最大值时所对应的的值，并画出该函数在一个最小正周期内的大致图像； （2）指出正弦函数的单调性，并以此为依据证明：余弦函数在区间，是严格增函数． 【分析】（1）首先利用倍角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质求最值，五点作图法作图． （2）利用正弦函数的单调性，结合诱导公式直接化为余弦函数，即可证明． 【解答】解：（1）由题意，， 当，即时，函数取得最大值2． 取，，列表如下： 0 0 2 0 0 该函数在一个最小正周期内的大致图象如右图所示． （2）正弦函数在上的单调增区间为， 单调减区间为， 证明：任取、，令，，则，， 由于是正弦函数的单调增区间， 所以，，即， 故余弦函数在区间，是严格增函数． 【点评】本题考查三角函数的化简，五点作图法，三角函数的图象和性质等知识，属中档题． 19．在中，角，，所对的边分别为，，，且，． （1）若，求； （2）若，求． 【分析】（1）依据余弦定理结合条件即得； （2）依据正弦定理结合条件即得． 【解答】解：（1）由余弦定理，得， 解得（负值舍去）， 故； （2）由正弦定理，得， ， 或， 当时，，； 当时，，． 综上，或． 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题． 20．如图，某人位于临河的公路上，已知公路两个相邻路灯、之间的距离是，为了测量点与河对岸一点之间的距离，此人先后测得，． （1）求、两点之间的距离； （2）假设你只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角的大小）．请你设计一个通过测量角可以计算出河对岸两点、之间距离的方案，用字母表示所测量的角的大小，并用其表示出的长． 【分析】（1）在中，利用三角形内角和定理，诱导公式以及正弦定理即可求解的值． （2）通过测量可得，，，在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可求的值． 【解答】解：（1）在中，，，， 由正弦定理可得， 即． 答：、两点之间的距离为． （2）通过测量可得，，． 在中，由正弦定理，有， 可得， 在中，由余弦定理有或． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，诱导公式以及正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于中档题． 21．已知集合，，，为坐标原点，若，，，，、，定义点、之间的距离为． （1）若，，，求的值； （2）记，若，，为常数），求的最大值，并写出一组此时满足条件的向量、； （3）若，，试判断“存在，使”是，，，”的什么条件？并证明． 【分析】（1）根据的定义可得关于的不等式，求解的取值范围，即可得到答案； （2）设，，，，，，，，利用绝对值三角不等式可求出的最大值，结合已知条件可取符合条件的一组向量的坐标即可； （3）判断出“存在，使”是，，，”的充分不必要条件，利用题中的定义、绝对值的运算性质以及特殊值法、充分条件和必要条件的定义证明即可． 【解答】解：（1）若，，， 则，即，解得， 又，所以的值为1，2，3． （2）设，，，，，，，， ，， 所以，，，， 可取； （3）“存在，使”是，，，”的充分不必要条件，证明如下： 取， 充分性：若存在，使，即，，， 则，， 故，，， 故充分性成立； 必要性：因为，，，，可取， 则，，， ， 则，，，， 但是，， 所以， 则不共线， 所以必要性不成立． 综上所述，“存在，使”是，，，”的充分不必要条件， 【点评】本题考查了平面向量的综合应用，绝对值三角不等式的应用，新定义问题的理解与应用，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学下学期期末模拟试卷01 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：必修二 一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1．已知是虚数单位，复数　　． 2．若的圆心角所对的弧长为，则扇形半径长为　　． 3．设为实数，点为角的终边上一点，且，则　　． 4．已知，则的值为 　　． 5．已知是实系数一元二次方程的一个根，则的值为 　　． 6．在复数范围内的平方根是 　　． 7．已知，则　　． 8．函数的最小正周期是　　． 9．若，且与的夹角为，则　　． 10．点是三角形内一点，若，则　　． 11．在中，如果，则角等于　　． 12．设全集，，，，，若，则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为 　　． 二、选择题（共18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13．已知函数的部分图象如下所示，其中，为了得到的图象，需将　　 A．函数的图象的横坐标伸长为原来的倍后，再向左平移个单位长度 B．函数的图象的横坐标缩短为原来的后，再向右平移个单位长度 C．函数的图象向左平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍 D．函数的图象向右平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍 14．已知复数为虚数单位）为纯虚数，则实数　　 A．2 B． C．或2 D． 15．设是的外心，若，则　　 A．2 B． C． D． 16．设复数的共轭复数是，且，又复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时在复平面上以，，三点为顶点的图形是　　 A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 三、解答题（共78分，第17、18、19题每题14分，第20、21题每题18分）． 17．设复数，，其中、、、． 现在复数系中定义一个新运算，规定：． （1）已知，求实数的值； （2）现给出如下有关复数新运算性质的两个命题： ①； ②若，则或． 请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由． 18．（1）指出函数的最大值，及函数取得最大值时所对应的的值，并画出该函数在一个最小正周期内的大致图像； （2）指出正弦函数的单调性，并以此为依据证明：余弦函数在区间，是严格增函数． 19．在中，角，，所对的边分别为，，，且，． （1）若，求； （2）若，求． 20．如图，某人位于临河的公路上，已知公路两个相邻路灯、之间的距离是，为了测量点与河对岸一点之间的距离，此人先后测得，． （1）求、两点之间的距离； （2）假设你只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角的大小）．请你设计一个通过测量角可以计算出河对岸两点、之间距离的方案，用字母表示所测量的角的大小，并用其表示出的长． 21．已知集合，，，为坐标原点，若，，，，、，定义点、之间的距离为． （1）若，，，求的值； （2）记，若，，为常数），求的最大值，并写出一组此时满足条件的向量、； （3）若，，试判断“存在，使”是，，，”的什么条件？并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$