专题06计数原理（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020选修一）

专题06计数原理（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读） 知识点一　分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法． 知识点二　分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法． 知识点三　两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点 针对的是“分类”问题 不同点 各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事 各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事 知识点四　两个计数原理的应用 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点： 一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步． (1)分类要做到“ ”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理 ，得到总数． (2)分步要做到“ ”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数 ，得到总数． 知识点五　排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 知识点六　排列相同的条件 两个排列相同的充要条件： (1)两个排列的 完全相同． (2)元素的排列 也相同． 知识点七　排列数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． 知识点八　排列数公式及全排列 1．排列数公式的两种形式 (1)A＝ ，其中m，n∈N*，并且m≤n. (2)A＝ . 2．全排列：把n个不同的元素 取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝ 知识点九　组合及组合数的定义 1．组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示． 知识点十　排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 关系 组合数C与排列数A间存在的关系 A＝CA 知识点十一　组合数公式 组合数 公式 乘积 形式 C＝ ， 其中m，n∈N*，并且m≤n 阶乘 形式 C＝ 规定：C＝ 知识点十二　组合数的性质 性质1：C＝ 性质2：C＝C＋C. 知识点十三　二项式定理 (a＋b)n＝ (n∈N*)． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有 项． (3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 知识点十四　二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝ 知识点十五　二项式系数的性质 对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝ 增减性 与最 大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐 ；当k>时，二项式系数是逐渐 ．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数 最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数 ， 相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝ 一．古典概型及其概率计算公式（共12小题） 1．（2024春•杨浦区校级期中）将封投入个信封，其中封信恰好投入同一个信箱的概率是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•宝山区校级期末）先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是2，3，4的概率依次是，，，则　　 A． B． C． D． 3．（2024春•长宁区校级月考）将编号为1，2，3，4，5的小球放入编号为1，2，3，4，5的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有1个小球与所在盒子编号相同的概率为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•崇明区校级期末）先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为，，则，，5能够构成等腰三角形的概率是　　 A． B． C． D． 5．（2024•嘉定区校级模拟）已知集合，，，，0，1，2，，任取，则为偶函数的概率为 　　． 6．（2024春•龙华区校级期中）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是 　　． 7．（2024•浦东新区二模）某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为、和，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 　　． 8．（2024春•徐汇区校级期中）如图8只小猫围绕在的单位正方形的交叉点上，随机选取两只，它们之间距离为1的概率是 　　． 9．（2024春•虹口区校级期中）如图所示，已知蚂蚁从正方体的顶点出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点爬行到相邻的另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为，沿正方体的侧棱爬行的概率为，若蚂蚁爬行3次，则蚂蚁在下底面顶点的概率为 　　． 10．（2023秋•长宁区校级期末）掷黑、白两枚质地均匀的骰子． （1）写出事件：“点数都是偶数”所对应的子集并求其概率； （2）验证事件“点数和为7”与事件“白色骰子的点数为1”是独立的． 11．（2023秋•嘉定区校级期末）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”，阅读会让精神世界闪光，某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示： （1）求的值； （2）根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到（单位：分钟）； （3）为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，、，和，的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于，的概率． 12．（2024春•杨浦区校级期中）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数．设集合，，，，集合是集合的非空子集，则中所有元素之和为奇数的概率为 　　． 二．分类加法计数原理（共3小题） 13．（2020•上海）已知，，，0，1，2，，、，则的情况有 种． 14．（2023春•闵行区月考）小张同学计划从6本历史类读本、5本军事类读本和3本哲学类读本中任选1本阅读，则不同的选法共有 　　种． 15．（2022•崇明区二模）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定： （1）每位学生每天最多选择1项； （2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 课后服务 音乐、阅读、 体育、编程 口语、阅读、 编程、美术 手工、阅读、 科技、体育 口语、阅读、 体育、编程 音乐、口语、 美术、科技 若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有 　　种．（用数值表示） 三．分步乘法计数原理（共4小题） 16．（2023秋•松江区校级月考）设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有种，则为　　 A．， B．， C．， D．， 17．（2023春•嘉定区校级期中）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有　　 A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 18．（2020春•徐汇区校级期中）从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走，从甲地到丁地有4条路可走，从丁地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地共有　　种不同的走法． 19．（2022春•长宁区校级期末）将3封不同的信投入4个不同的邮箱，则有 　　种不同投法． 四．计数原理的应用（共8小题） 20．（2024•浦东新区校级模拟）如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有2个元素，那么符合条件的点有　　 A．4个 B．6个 C．10个 D．14个 21．（2024•闵行区二模）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有　 　． 22．（2023秋•杨浦区校级期末）记为一个位正整数，其中，，，都是正整数，，，3，，．若对任意的正整数，至少存在另一个正整数，使得，则称这个数为“位重复数”．根据上述定义，“四位重复数”的个数为．　　． 23．（2023春•闵行区月考）五名旅客在三家旅店投宿的方法有 　　种． 24．（2023春•浦东新区校级期中）书架上某层有8本书，新买2本插进去，要保持原有8本书的顺序，则有 　　种不同的插法．（具体数字作答） 25．（2023春•徐汇区校级期中）已知，，，，，六个字母以随机顺序排成一行，若小明每次操作可以互换2个字母的位置，则小明必须进行5次操作才能将六个字母排成的顺序的排列情况有 　　种． 26．（2023春•浦东新区校级期末）某校高二年级共有10个班级，5位数学教师，每位教师教两个班级，其中姜老师一定教1班，张老师一定教3班，王老师一定教8班，秋老师至少教9班和10班中的一个班，曲老师不教2班和6班，王老师不教5班，则不同的排课方法种数　　． 27．（2023秋•长宁区校级期末）某市春晚原有10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是救灾节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目顺序不变，则该晚会共有　 　种节目顺序单（用数字作答）． 五．排列及排列数公式（共6小题） 28．（2024春•宝山区校级期中）可以表示为　　 A． B． C． D． 29．（2023秋•杨浦区校级期末）若，则　　． 30．（2024春•宝山区校级期中）已知为正整数，且，则　　． 31．（2024•杨浦区校级三模）若排列数，则　　． 32．（2023秋•普陀区校级期末）求有 　　组，，，，，，均为正整数），满足等式． 33．（2023秋•杨浦区校级期末）对于任意正整数，定义“的双阶乘”如下：对于是偶数时，；对于是奇数时，．现有如下四个命题： ①； ②； ③的个位数是0； ④的个位数是5． 正确的命题序号为 　　． 六．组合及组合数公式（共7小题） 34．（2023秋•浦东新区校级期末）若，则的值为　　 A．9 B．8 C．7 D．6 35．（2024•闵行区校级模拟）已知，关于的方程有且仅有一个解，则实数　　． 36．（2024春•徐汇区校级期中）已知，则　　． 37．（2024春•浦东新区校级期中）关于的方程的正整数解是 　　． 38．（2024•浦东新区校级模拟）若，则正整数的值为 　　． 39．（2024春•浦东新区校级期中）（1）已知：，求； （2）解不等式：，其中． 40．（2024春•浦东新区校级月考）规定，其中，是正整数，且这是组合数，是正整数，且的一种推广． （1）的值； （2）组合数的两个性质：；是否都能推广到的情形？若能推广，则写出推广的形式并给予证明，或不能则说明理由； （3）已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，． 七．排列、组合及简单计数问题（共10小题） 41．（2024春•宝山区校级月考）对于定义域为的函数，若对任意的，，当时都有，则称函数为“增函数”，若函数的定义域，2，3，4，，值域为，7，，则函数为“增函数”的有　　种． A．4 B．5 C．6 D．7 42．（2024春•浦东新区校级期中）某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有　　 A．120种 B．240种 C．216种 D．256种 43．（2024春•宝山区校级期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”，为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有　　 A．120种 B．240种 C．480种 D．720种 44．（2024•黄浦区二模）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为　　 A． B． C． D． 45．（2024春•宝山区校级期中）小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦．若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有 　　种．（结果用数字作答） 46．（2024•闵行区三模）4名志愿者全部分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有 　　种． 47．（2024春•浦东新区校级期中）建平中学“9.30”活动需要4个不同节目的志愿者服务队，有7名志愿者被分配到这4个服务队，7人中有5名高二学生和2名高一学生，1名高一学生至少需要1名高二学生进行工作的传授，每个服务队至少需要1名高二学生，且2名高一学生不能分配到同一个服务队，则不同的分配方案种数是 　　． 48．（2024•黄浦区校级三模）用这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数共有 　　个． 49．（2024春•徐汇区校级期中）在《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 　　种． 50．（2024春•黄浦区校级期中）上海国际电影节影片展映期间，某影院准备在周日的某放映厅安排放映4部电影，两部纪录片和两部悬疑片，当天白天有5个时段可供放映个连续的场次），则两部悬疑片不相邻（中间隔空场也叫不相邻），且当天最先放映的一定是悬疑片的排片方法有 　　种（结果用数字表示）． 八．二项式定理（共8小题） 51．（2024春•松江区校级期中）的展开式中，系数最大的项是　　 A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 52．（2024春•杨浦区校级期中）设，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 53．（2024•黄浦区校级三模）若，则　　． 54．（2024•嘉定区校级模拟）设，则　　． 55．（2024春•浦东新区校级期中）在的二项展开式中，第四项是 　　． 56．（2024•松江区校级模拟）若、为正整数）的二项展开式中关于的一次项系数之和为11，则项系数的最小值为 　　． 57．（2024春•虹口区校级期中）已知数列的通项公式为． （1）分别求的二项展开式中的二项式系数之和与系数之和； （2）求的二项展开式中的系数最大的项； （3）记，求集合，的元素个数（写出具体的表达式）． 58．（2024春•闵行区校级期中）已知，，求： （1）的值； （2）的值； （3）的展开式中系数绝对值最大的项． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06计数原理（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读） 知识点一　分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 知识点二　分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 知识点三　两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点 针对的是“分类”问题 不同点 各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事 各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事 知识点四　两个计数原理的应用 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点： 一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步． (1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． (2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数． 知识点五　排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 知识点六　排列相同的条件 两个排列相同的充要条件： (1)两个排列的元素完全相同． (2)元素的排列顺序也相同． 知识点七　排列数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． 知识点八　排列数公式及全排列 1．排列数公式的两种形式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n. (2)A＝. 2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1. 知识点九　组合及组合数的定义 1．组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 知识点十　排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 关系 组合数C与排列数A间存在的关系 A＝CA 知识点十一　组合数公式 组合数 公式 乘积 形式 C＝， 其中m，n∈N*，并且m≤n 阶乘 形式 C＝ 规定：C＝1. 知识点十二　组合数的性质 性质1：C＝C. 性质2：C＝C＋C. 知识点十三　二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 知识点十四　二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 知识点十五　二项式系数的性质 对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 与最 大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 一．古典概型及其概率计算公式（共12小题） 1．（2024春•杨浦区校级期中）将封投入个信封，其中封信恰好投入同一个信箱的概率是　　 A． B． C． D． 【分析】先求出将封投入个信封，基本事件总数，满足题意的基本事件个数，因为是封信恰好投入同一个信箱，那么可能是个信箱中的任意一个，所以有种可能，由此能求出结果． 【解答】解：将封投入个信封，基本事件总数为， 封信恰好投入同一个信箱包含的基本事件个数为， 封信恰好投入同一个信箱的概率． 故选：． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 2．（2023秋•宝山区校级期末）先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是2，3，4的概率依次是，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】列出先后抛掷两枚骰子出现的点数的所有的基本事件，再分别求出点数之和是2、3、4的基本事件个数，进而求出点数之和是2、3、4的概率，，，即可得到它们的大小关系． 【解答】解：先后抛掷两枚骰子，出现的点数共有： ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共36种， 其中点数之和是2的有1种，故， 点数之和是3的有2种，故， 点数之和是4的有3种，故， 所以． 故选：． 【点评】本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．（2024春•长宁区校级月考）将编号为1，2，3，4，5的小球放入编号为1，2，3，4，5的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有1个小球与所在盒子编号相同的概率为　　 A． B． C． D． 【分析】求出任意放球共有种方法，再求出恰有一个小球与所在盒子编号相同的方法总数，最后利用古典概型的概率公式求解． 【解答】解：由题得任意放球共有种方法， 如果有一个小球与所在盒子的编号相同， 第一步，先从5个小球里选一个编号与所在盒相同，有5种选法； 第二步，假设选的是1号球，再对后面的2，3，4，5进行排列，且四个小球的编号与盒子的编号一个都不相同， 假设2号盒放3号球，则有，2，4，，，5，2，，，4，5，三种， 后面的小球的排列共有种方法， 剩下的四个球共有种排法， 由古典概型的概率公式得恰有一个小球与所在盒子编号相同的概率为． 故选：． 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4．（2023秋•崇明区校级期末）先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为，，则，，5能够构成等腰三角形的概率是　　 A． B． C． D． 【分析】利用乘法原理求出基本事件总数，然后按照分类讨论的方法求出，，5能够构成等腰三角形的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求解即可． 【解答】解：由乘法原理可知，基本事件的总数是36， 结合已知条件可知， 当时，符合要求，有1种情况； 当时，符合要求，有1种情况； 当时，，5符合要求，有2种情况； 当时，，5符合要求，有2种情况； 当时，，2，3，4，5，6均符合要求，有6种情况； 当时，，6符合要求，有2种情况， 所以能构成等腰三角形的共有14种情况， 故，，5能够构成等腰三角形的概率． 故选：． 【点评】本题考查古典概型的概率公式，属于基础题． 5．（2024•嘉定区校级模拟）已知集合，，，，0，1，2，，任取，则为偶函数的概率为 　　． 【分析】求出集合，进而求出，0，1，2，，任取，基本事件总数，使得为偶函数包含的基本事件个数，由此能求出为偶函数的概率． 【解答】解：集合， ，，，0，1，2，， ，0，1，2，， 任取，基本事件总数， 使得为偶函数包含的基本事件个数， 则为偶函数的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查集合的运算、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6．（2024春•龙华区校级期中）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是 　　． 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可． 【解答】解：两次抽取的试验的样本空间，12，13，14，21，22，23，24，31，32，33，34，41，42，43，，共16个， 两次抽取的卡片数字之和大于6的事件，43，，共3个， 所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题． 7．（2024•浦东新区二模）某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为、和，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 　0.18　． 【分析】设这三门体育类选修课的选修人数分别为，，，分别求出三门体育类选修课考核优秀的人数，再利用古典概型的概率公式求解， 【解答】解：设这三门体育类选修课的选修人数分别为，，， 则所求概率为． 故答案为：0.18． 【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题． 8．（2024春•徐汇区校级期中）如图8只小猫围绕在的单位正方形的交叉点上，随机选取两只，它们之间距离为1的概率是 　　． 【分析】先求出从8只小猫中随机选取两只和两只之间距离为1的方法总数，再由古典概率可得出答案． 【解答】解：从8只小猫中随机选取两只，共有种方法， 它们之间距离为1的情况有：，，，，，，，， 共8种，所以从8只小猫中随机选取两只，它们之间距离为1的概率是：． 故答案为：． 【点评】本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9．（2024春•虹口区校级期中）如图所示，已知蚂蚁从正方体的顶点出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点爬行到相邻的另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为，沿正方体的侧棱爬行的概率为，若蚂蚁爬行3次，则蚂蚁在下底面顶点的概率为 　　． 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式求解． 【解答】解：由题意得蚂蚁在下底面顶点的概率为： ． 故答案为：． 【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10．（2023秋•长宁区校级期末）掷黑、白两枚质地均匀的骰子． （1）写出事件：“点数都是偶数”所对应的子集并求其概率； （2）验证事件“点数和为7”与事件“白色骰子的点数为1”是独立的． 【分析】（1）列举出所有事件数和满足题意的事件数即可； （2）设事件“点数和为7”与事件“白色骰子的点数为1”分别为，，根据独立事件的判定方法分别计算（B），（C），即可． 【解答】解：（1）掷黑、白两枚质地均匀的骰子，基本事件总数， 两个点都是偶数的基本事件有： ，，，，，，，，，共9个， 事件：“点数都是偶数”所对应的子集为： ，，，，，，，，， 事件的概率为（A）． （2）证明：设事件“点数和为7”与事件“白色骰子的点数为1”分别为，， 事件包含的基本事件有：，，，，，，共6个， 事件包含的基本事件有：，，，，，，共6个， 事件包含的基本事件有：，只有1 个， （B）（C），， （B）（C）， 事件“点数和为7”与事件“白色骰子的点数为1”是独立的． 【点评】本题考查列举法、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11．（2023秋•嘉定区校级期末）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”，阅读会让精神世界闪光，某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示： （1）求的值； （2）根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到（单位：分钟）； （3）为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，、，和，的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于，的概率． 【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出的值． （2）由频率分布直方图能估计该校大一新生每天阅读时间的平均数． （3）采用分层抽样的方法求出，中抽取1人，，中抽取2人，，中抽取2人，再从中任选2人进行调查，基本事件总数，其中恰好有1人每天阅读时间位于，包含的基本事件个数，由此能求出其中恰好有1人每天阅读时间位于，的概率． 【解答】解：（1）由频率分布直方图得： ， 解得． （2）由频率分布直方图估计该校大一新生每天阅读时间的平均数为： （分钟）． （3）该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，，和，的学生中抽取5人， 则，中抽取人， ，中抽取人， ，中抽取人， 再从中任选2人进行调查，基本事件总数， 其中恰好有1人每天阅读时间位于，包含的基本事件个数， 其中恰好有1人每天阅读时间位于，的概率． 【点评】本题考查频率、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 12．（2024春•杨浦区校级期中）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数．设集合，，，，集合是集合的非空子集，则中所有元素之和为奇数的概率为 　　． 【分析】寻找规律，写出数列的递推公式，进而知集合中奇数和偶数的个数，再分析可得中的奇数共有奇数个，偶数的个数可以随意，然后结合二项式系数的性质与古典概型，求解即可． 【解答】解：由题意得，该蜜蜂爬到1号蜂房的路线数为1，第2号蜂房的路线数为2，第3号蜂房的路线数为3，第4号蜂房的路线数为5，第5号蜂房的路线数为8，则第号蜂房的路线数为， 所以，，，， 即数列为1，2，3，5，8，13，21，34，， 其中，，，，为偶数， 所以在，，，中偶数项共有675项，奇数项为1349项， 由，，，得，中有个非空子集， 若中元素之和为奇数，则中的奇数共有奇数个，偶数的个数可以随意， 所以满足条件的的个数为， 所以中所有元素之和为奇数的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查数列与概率的综合应用，熟练掌握数列的递推公式，古典概型，集合子集个数的计算方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题． 二．分类加法计数原理（共3小题） 13．（2020•上海）已知，，，0，1，2，，、，则的情况有 　18　种． 【分析】先讨论的取值，得到对应的值，再整体求和即可． 【解答】解：当，0种， 当，2种， 当，4种； 当，6种， 当，4种； 当，2种， 当，0种， 故共有：． 故答案为：18． 【点评】本题主要考查分类讨论思想在概率中的应用，属于基础题目． 14．（2023春•闵行区月考）小张同学计划从6本历史类读本、5本军事类读本和3本哲学类读本中任选1本阅读，则不同的选法共有 　14　种． 【分析】根据分类加法计数原理可解决此题． 【解答】解：根据分类加法计数原理可知，小张同学计划从6本历史类读本、5本军事类读本和3本哲学类读本中任选1本阅读，共有种不同的选法． 【点评】本题考查分类加法计数原理应用，考查数学运算能力及抽象能力，属于基础题． 15．（2022•崇明区二模）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定： （1）每位学生每天最多选择1项； （2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 课后服务 音乐、阅读、 体育、编程 口语、阅读、 编程、美术 手工、阅读、 科技、体育 口语、阅读、 体育、编程 音乐、口语、 美术、科技 若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有 　14　种．（用数值表示） 【分析】根据题意，由表可知周一至周四都可选阅读，周一，周三和周四可选体育，周一，周二和周四可选编程，由此分4种情况讨论，由加法原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，由表可知周一至周四都可选阅读，周一，周三和周四可选体育，周一，周二和周四可选编程， 故分4种情况讨论： 当周一选阅读，若体育选周三，编程有2种方法，若体育选周四，编程有1种方法，共3种选法， 当周二选阅读，若编程选周一，体育有2种方法，若编程选周四，体育有2种方法，共4种选法， 当周三选阅读，若体育选周一，编程有2种方法，若体育选周四，编程有2种方法，共4种选法， 当周四选阅读，若体育选周一，编程有1种方法，若体育选周三，编程有2种方法，共3种选法， 再由分类加法计数原理可得不同的选课方案共有种． 故答案为：14． 【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题． 三．分步乘法计数原理（共4小题） 16．（2023秋•松江区校级月考）设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有种，则为　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】本题是一个分步乘法问题，每名学生报名有3种选择，有4名学生根据分步计数原理知共有种选择，同理三项冠军的结果数也有类似的做法． 【解答】解：由题意知本题是一个分步乘法问题， 首先每名学生报名有3种选择， 有4名学生根据分步计数原理知共有种选择， 每项冠军有4种可能结果， 3项冠军根据分步计数原理知共有种可能结果． 故选：． 【点评】本题考查分步乘法原理，考查计数原理的应用，是一个简单的应用分步计数原理的题目，没有同分类原理结合，也没有排列组合问题的应用，是一个基础题． 17．（2023春•嘉定区校级期中）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有　　 A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 【分析】每位同学参加课外活动小组的方法数都是2种，5名同学，用分步计数原理求解． 【解答】解：5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有种． 故选：． 【点评】本题要和5名同学争夺2个项目的冠军，冠军不并列的方法数加以区别． 18．（2020春•徐汇区校级期中）从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走，从甲地到丁地有4条路可走，从丁地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地共有　14　种不同的走法． 【分析】两条路线可选：甲地乙地丙地；甲地丁地丙地，再由分类计数原理，得解． 【解答】解：从甲地到丙地有两条路线可选： 路线一：甲地乙地丙地，共有种； 路线二：甲地丁地丙地，共有种， 由分类计数原理知，共有种不同的走法． 故答案为：14． 【点评】本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于基础题． 19．（2022春•长宁区校级期末）将3封不同的信投入4个不同的邮箱，则有 　64　种不同投法． 【分析】根据题意可知每封信都有4种不同的投法，由分步计数原理可得结果． 【解答】解：因为第一封信有4种投法，第二封信有4种投法，第三封信有4种投法， 所以由分步乘法计数原理知，共有不同投法（种． 故答案为：64． 【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，属基础题． 四．计数原理的应用（共8小题） 20．（2024•浦东新区校级模拟）如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有2个元素，那么符合条件的点有　　 A．4个 B．6个 C．10个 D．14个 【分析】根据分类计数加法原理可得，由题意符合条件的点只有两类，一在棱的中点，二在面的中心，问题得以解决． 【解答】解：符合条件的点有两类：（1）6条棱的中点；（2）4个面的中心．共10个点． 故集合中有且只有2个元素，那么符合条件的点有． 故选：． 【点评】本题主要考查了分类计数原理，关键是理解几何图形，属于基础题． 21．（2024•闵行区二模）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有　96　． 【分析】依题意，优先分析甲甲工程队，除1号子项目外有4种方法，其他4个工程队分别对应4个子项目，由排列公式可得其情况数目，根据乘法原理，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，甲工程队不能承建1号子项目，则有4种方法， 其他4个工程队分别对应4个子项目，有种情况， 根据乘法原理，分析可得有种情况； 故答案为：96． 【点评】本题考查排列、组合的应用，注意优先分析受到限制的元素． 22．（2023秋•杨浦区校级期末）记为一个位正整数，其中，，，都是正整数，，，3，，．若对任意的正整数，至少存在另一个正整数，使得，则称这个数为“位重复数”．根据上述定义，“四位重复数”的个数为．　252　． 【分析】根据题意，首先分析四位数的个数，再由排列公式计算出其中4个数字均不相同的四位数的个数，进而得到至少有1个数字发生重复的数的个数，即可得到答案． 【解答】解：由题意，对于“ 位重复数”，任意数位上的数字都必然有另一个数位上也是相同的数字． （1）四个数位上的数字相同，有9 共 个． （2）两个数位上的数字相同，另两个数位上同为另外一个数字．若千位、百位相同（不能为，十位、个位相同，故有 个． 同理，若千位、十位相同（不能为，百位、个位相同，也有 81个． 若千位、个位相同（不能为，百位、十位相同，也有81个． 综上，“四位重复数”的个数为． 故答案为：252 【点评】本题主要考查排列、组合的应用，关键是正确理解题中所给的定义，再运用正难则反的解题方法，分析解决问题． 23．（2023春•闵行区月考）五名旅客在三家旅店投宿的方法有 　243　种． 【分析】根据题意，分析可得：完成这件事，可分成五个步骤：每一步依次安排一名旅客，都各自有3种方法，由分步计数原理，计算可得答案． 【解答】解：完成这件事，可分成五个步骤： 第一步安排一名旅客，有3种投宿方法， 同理第二步，第三步，第四步，第五步依次安排一名旅客，都各自有3种方法， 根据分步计数原理，得到五名旅客在三家旅店投宿的方法有（种； 故答案为：243． 【点评】本题考查分步计数原理的运用，解题时首先要分析题意，明确题目中的关系，是分步问题还是分类问题． 24．（2023春•浦东新区校级期中）书架上某层有8本书，新买2本插进去，要保持原有8本书的顺序，则有 　90　种不同的插法．（具体数字作答） 【分析】根据题意分析可得，分2次放入，第一次放入有9种情况，而放入第2本时，有10个空位，即10种情况，由乘法计数原理可得答案． 【解答】解：根据题意，分2次放入，第一次放入有9种情况， 而放入第2本时，有10个空位，即10种情况， 故不同的放法有种， 故答案为：90． 【点评】本题考查分步乘法计数原理，做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 25．（2023春•徐汇区校级期中）已知，，，，，六个字母以随机顺序排成一行，若小明每次操作可以互换2个字母的位置，则小明必须进行5次操作才能将六个字母排成的顺序的排列情况有 　120　种． 【分析】利用题设条件，先假设有一个字母已排在正确位置上，经过分析判断得出不符合题意，从而得到每个字母均不在正确的位置上，再利用分步计数原理能求出结果． 【解答】解：小明必须经过5次操作才能将六个字母排列成的顺序， 这里研究排序混乱到什么程度才需要“必须经过5次操作”排列成的顺序， 不妨记，，，，，六个字母对应的位次分别为1，2，3，4，5，6， 首先，考虑一种情况： 假设字母“”已经排在自己的位置，即排在1号位， 其他字母均不在自己位置，由题意得把其他五个字母调到自己的位置，至少需要经过4次操作， 即第一次让“”归位，第二次让“”归位，第三次让“”归位，第四次将“”与“”同时归位， 这样仅需进行4次操作，不满足情况， 要满足“必须进行5次操作”的情况，则每个字母均不在自己位置， 这样1号位有5种选择， 放在1号的那个字母对应的位次有4种选择， 以此类推，总的排序方法有5！种选法． 故答案为：120． 【点评】本题考查排列组合的应用，考查运算求解能力，属于中档题． 26．（2023春•浦东新区校级期末）某校高二年级共有10个班级，5位数学教师，每位教师教两个班级，其中姜老师一定教1班，张老师一定教3班，王老师一定教8班，秋老师至少教9班和10班中的一个班，曲老师不教2班和6班，王老师不教5班，则不同的排课方法种数　236种　． 【分析】按照特殊元素优先处理原则，分类讨论秋老师教9班，秋老师教10班的排课方法种数，但是这两种重复了秋老师同时教9班和10班的排课方法种数，减去重复的种数，即可得到答案． 【解答】解：（1）秋老师教9班，曲老师可在4，5，7，10班中选两个班，再分两类： ①曲老师不教5班，则曲老师可选种；王老师可选种；剩余的3个班3个老师全排列，有种， 由分步计数原理可得种； ②曲老师教5班，则曲老师可选种；剩余的4个班4个老师全排列，有种， 由分步计数原理可得种． 由分类计数原理可得，秋老师教9班共有种； （2）秋老师教10班，同理也是126种； （3）秋老师同时教9班和10班，则曲老师可在4，5，7班中选两个班，再分两类： ①曲老师不教5班，则曲老师教4班和7班，王老师再从2，6班中选一个，有种， 剩余的2个班2个老师全排列，有种， 由分步计数原理可得种； ②曲老师教5班，则曲老师可选种，剩余的3个班3个老师全排列，有种， 由分步计数原理可得种． 由分类计数原理可得，秋老师同时教9班和10班共有种， 因为秋老师同时教9班和10班的排课方法重复， 所以不同的排课方法种数为种． 故答案为：236． 【点评】本题考查了分类计数原理与分步计数原理的应用，排列组合知识的应用，此类问题一般运用特殊元素优先处理原则进行求解，考查了逻辑推理能力，属于中档题． 27．（2023秋•长宁区校级期末）某市春晚原有10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是救灾节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目顺序不变，则该晚会共有　990　种节目顺序单（用数字作答）． 【分析】原准备的节目表中10个节目，可产生9个空位（不包含两端），第一个救灾节目可插入到其中的任何一个位置，再经行插入第二个，第三个救灾节目，由乘法原理即可解决问题． 【解答】解：原准备的节目表中10个节目，可产生9个空位（不包含两端），救灾节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目顺序不变，第一个救灾节目可插入到其中的任何一个位置，有9种方法， 当第一个救灾节目插入后，11个节目会产生10个空位（不包含两端），第二个救灾节目可插入到其中的任何一个位置，有10种方法， 当第二个救灾节目插入后，12个节目会产生11个空位（不包含两端），第三个救灾节目可插入到其中的任何一个位置，有11种方法， 根据乘法原理，不同的节目表可排出种． 故答案为：990． 【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，关键是对题意的正确理解及分步计数原理的正确应用，属于中档题． 五．排列及排列数公式（共6小题） 28．（2024春•宝山区校级期中）可以表示为　　 A． B． C． D． 【分析】根据排列数的公式分析即可． 【解答】解：为排列数，可以表示为， 故选：． 【点评】本题考查排列数公式，属于基础题． 29．（2023秋•杨浦区校级期末）若，则　7　． 【分析】直接根据排列数公式求解即可． 【解答】解：， ， 又，解得． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查排列数公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 30．（2024春•宝山区校级期中）已知为正整数，且，则　8　． 【分析】根据已知条件，结合排列数公式，即可求解． 【解答】解：为正整数，且， 则，化简整理可得，，解得或（舍去）． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查排列数公式，属于基础题． 31．（2024•杨浦区校级三模）若排列数，则　3　． 【分析】由排列数的运算公式计算即可得解． 【解答】解：由得： 因， 则， 解得， 故答案为：3． 【点评】本题考查了排列数的运算，属基础题． 32．（2023秋•普陀区校级期末）求有 　18　组，，，，，，均为正整数），满足等式． 【分析】根据阶乘的公式，可知的最小值是3，由此对加以讨论，找出使等式成立的各种情况，从而利用排列组合公式算出答案． 【解答】解：由于、、均为正整数，所以的最小值是3，正整数有以下情况： 当时，，不存在、、，使成立； 当时，由，可知有组、、、，使等式成立； 当时，由，可知有组、、、，使等式成立； 当时，，不能写成的形式，故不存在、、、，使等式成立； 当时，由，可知有组、、、，使等式成立； 当时，，不能写成的形式，故不存在、、、，使等式成立； 当时，由，可知有组、、、，使等式成立； 当时，找不出正整数、、、，使等式成立． 综上所述，满足条件的正整数、、、共有组． 故答案为：18． 【点评】本题主要考查排列组合数公式的应用、阶乘的运算等知识，考查了计算能力、分类讨论的数学思想，属于中档题． 33．（2023秋•杨浦区校级期末）对于任意正整数，定义“的双阶乘”如下：对于是偶数时，；对于是奇数时，．现有如下四个命题： ①； ②； ③的个位数是0； ④的个位数是5． 正确的命题序号为 　①②③④　． 【分析】利用新定义，结合阶乘的定义依次判断即可． 【解答】解：由的双阶乘的定义知， ，故①正确； ，故②正确； 的因数中有10，故其个位数是0，故③正确； 的因数中有5，且没有偶数，故其个位数是5，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查了排列组合公式的变形应用，属于中档题． 六．组合及组合数公式（共7小题） 34．（2023秋•浦东新区校级期末）若，则的值为　　 A．9 B．8 C．7 D．6 【分析】根据组合数公式可解． 【解答】解：根据题意，由组合数计算公式， 解得或舍去）． 故选：． 【点评】本题考查组合数公式，属于基础题． 35．（2024•闵行区校级模拟）已知，关于的方程有且仅有一个解，则实数　252　． 【分析】由题意可知， 【解答】解：因为关于的方程有且仅有一个解， 所以， 所以． 故答案为：252． 【点评】本题主要考查了组合数的计算，属于基础题． 36．（2024春•徐汇区校级期中）已知，则　8　． 【分析】根据组合数性质有，再由即可得解． 【解答】解：由组合数性质知，，因为，所以， 所以，得． 故答案为：8． 【点评】本题考查了组合数的性质及运算，是基础题． 37．（2024春•浦东新区校级期中）关于的方程的正整数解是 　8　． 【分析】根据组合数的性质及排列数转化为的方程，解得即可． 【解答】解：因为，且， 所以， 所以， 解得． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了组合数和排列数公式，属于基础题． 38．（2024•浦东新区校级模拟）若，则正整数的值为 　5或7　． 【分析】由组合数的性质得到，列出方程，求出答案． 【解答】解：由组合数性质：，可得，则， 所以或，解得或． 故答案为：5或7． 【点评】本题主要考查组合数公式，属于基础题． 39．（2024春•浦东新区校级期中）（1）已知：，求； （2）解不等式：，其中． 【分析】（1）根据定义对等式进行展开而后求解； （2）根据定义对等式进行展开而后求解． 【解答】解：（1）对原式展开得， 化简得， 即， 解得或（舍去）， 所以； （2）由题意得， 化简得， 即， 解得， 因为且， 所以或3， 所以不等式的解集为， 【点评】本题主要考查排列组合的公式运算，属中档题． 40．（2024春•浦东新区校级月考）规定，其中，是正整数，且这是组合数，是正整数，且的一种推广． （1）的值； （2）组合数的两个性质：；是否都能推广到的情形？若能推广，则写出推广的形式并给予证明，或不能则说明理由； （3）已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，． 【分析】（1）根据所给的组合数公式，写出的值，这里与平常所做的题目不同的是组合数的下标是一个负数，在本题的新定义下，按照一般组合数的公式来用． （2）不能推广到的情形，举出两个反例，能推广到的情形，可以利用组合数的公式来证明，证明的方法同没有推广之情况相同． （3）分，和，根据组合数公式计算即可． 【解答】解：（1）：（1）； （2）性质：不能推广到的情形不能推广，例如时，有定义，但无意义； 性质：能推广到的情形，它的推广形式为，，， 证明如下： 当时，有； 当时，有 （3）当时，组合数； 当时，， ． 【点评】本题考查组合数公式，不是在一般的情况下应用组合数公式，而是对于组合数公式推广使用，是一个中档题，题目解起来容易出错．这种题目对于学生帮助不大． 七．排列、组合及简单计数问题（共10小题） 41．（2024春•宝山区校级月考）对于定义域为的函数，若对任意的，，当时都有，则称函数为“增函数”，若函数的定义域，2，3，4，，值域为，7，，则函数为“增函数”的有　　种． A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据题意，将定义域的元素从小到大排列为：1、2、3、4、5，利用挡板法将其分为3组，由“增函数”的定义，让第一组对应中的元素6，第二组对应中的元素7，第三组对应中的元素8即可，由组合数公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，将定义域的元素从小到大排列为：1、2、3、4、5，不含两端，共有4个空位， 在其中任选2个，插入挡板，可以将集合的元素分为3组，有种分法， 第一组对应中的元素6，第二组对应中的元素7，第三组对应中的元素8，此时函数为“增函数”， 故函数为“增函数”的情况有6种． 故选：． 【点评】本题考查排列组合的应用，注意函数的定义，属于基础题． 42．（2024春•浦东新区校级期中）某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有　　 A．120种 B．240种 C．216种 D．256种 【分析】利用“捆绑法”求解． 【解答】解：利用捆绑法，把甲和乙看成一个整体，与其他4人进行全排列， 所以不同排法有种． 故选：． 【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了“捆绑法”的应用，属于基础题． 43．（2024春•宝山区校级期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”，为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有　　 A．120种 B．240种 C．480种 D．720种 【分析】利用捆绑法即可求解． 【解答】解：“射”和“御”两次相邻，两者捆绑，与剩下的四艺排列， 则“六艺”讲座不同的次序共有． 故选：． 【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题． 44．（2024•黄浦区二模）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为　　 A． B． C． D． 【分析】先确定初中部和高中部各抽取的人数，再利用组合数即可得． 【解答】解：由题意，初中部和高中部总共有人， 按照分层随机抽样的原理，应从初中部抽取 人，从高中部抽取． 从初中部抽取25人，有种方法，从高中部抽取15人，有种方法， 根据分步乘法计数原理，一共有种抽样结果． 故选：． 【点评】本题考查分层抽样，考查组合数的应用，属于基础题． 45．（2024春•宝山区校级期中）小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦．若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有 　2520　种．（结果用数字作答） 【分析】根据题意，将10颗冰糖葫芦编号，进而原问题可以转化为在10个位置上10个元素的定序排列问题，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，如图，将串在一起的两颗冰糖葫芦从上向下编号为、， 将串在一起的三颗冰糖葫芦从上向下编号为、、， 将串在一起的五颗冰糖葫芦从上向下编号为、、、、， 原问题可以转化为在10个位置上安排、、、、、、、、、，共10个元素， 要求、，、、，、、、、的先后顺序不变， 可以先在10个位置中选5个，按从左到右的顺序安排、、、、等5个元素，有种安排方法， 再在剩下的5个位置中选3个，按从左到右的顺序安排、、个元素，有种安排方法， 最后在剩下的2个位置中，按从左到右的顺序安排、两个元素，有1种安排方法， 则有种安排方法． 故答案为：2520． 【点评】本题考查分类与分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 46．（2024•闵行区三模）4名志愿者全部分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有 　36　种． 【分析】先把4名志愿者分成3组，再将三组分到三所学校即可． 【解答】解：根据题意，4名志愿者分为1，1，2三组有种分法， 再将三组分到三个学校有种方法， 故不同的分法有种． 故答案为：36． 【点评】本题考查接排列组合问题，属于中档题． 47．（2024春•浦东新区校级期中）建平中学“9.30”活动需要4个不同节目的志愿者服务队，有7名志愿者被分配到这4个服务队，7人中有5名高二学生和2名高一学生，1名高一学生至少需要1名高二学生进行工作的传授，每个服务队至少需要1名高二学生，且2名高一学生不能分配到同一个服务队，则不同的分配方案种数是 　2880　． 【分析】先安排高一2人，然后把高二5人分4组，排列即可． 【解答】解：由题意可得不同的分配方案种数是：（种． 故答案为：2880． 【点评】本题考查排列组合的简单应用，是中档题． 48．（2024•黄浦区校级三模）用这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数共有 　840　个． 【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理及分类加法计数原理求解． 【解答】解：用这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数可分为2类： ①当数位上数字为奇数且个数为2时， 则有个； ②当数位上数字为奇数且个数为4时， 则有个， 则各个数位上数字和为偶数的奇数共有个． 故答案为：840． 【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理及分类加法计数原理，属中档题． 49．（2024春•徐汇区校级期中）在《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 　12　种． 【分析】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，共有4个元素排顺序，由特殊元素优先和分步计数原理计算可求解． 【解答】解：将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，与其他3种原料一起共有4个元素排顺序， 茄子净肉在鸡脯肉后下锅，有种顺序， 剩下两个元素放入最后2个位置，有种顺序， 则有种下锅顺序． 故答案为：12． 【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了特殊元素优先和分步计数原理，属中档题． 50．（2024春•黄浦区校级期中）上海国际电影节影片展映期间，某影院准备在周日的某放映厅安排放映4部电影，两部纪录片和两部悬疑片，当天白天有5个时段可供放映个连续的场次），则两部悬疑片不相邻（中间隔空场也叫不相邻），且当天最先放映的一定是悬疑片的排片方法有 　44　种（结果用数字表示）． 【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分步计数乘法原理求解． 【解答】解：两部悬疑片不相邻（中间隔空场也叫不相邻），且当天最先放映的一定是悬疑片， 当第一场不空场时， 排片方法有种； 当第一场空场时， 排片方法有种， 则排片方法有44种． 故答案为：44． 【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步计数乘法原理，属中档题． 八．二项式定理（共8小题） 51．（2024春•松江区校级期中）的展开式中，系数最大的项是　　 A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 【分析】根据二项展开式的通项公式结合组合数的性质即可求解． 【解答】解：因为的展开通项公式为， 又当时，取最大值， 则系数最大的项是第13项． 故选：． 【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 52．（2024春•杨浦区校级期中）设，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】分别令和即可判断，选项； 令和即可判断，选项． 【解答】解：对于：令，解得，错误； 对于：令，得到，再结合，得到，错误； 对于，：令，得到，再结合到，可得，，故正确；错误． 故选：． 【点评】本题主要考查二项式定理，属于中档题． 53．（2024•黄浦区校级三模）若，则　　． 【分析】直接利用赋值法和二项式的展开式求出结果． 【解答】解：， 令，解得， 根据二项式的展开式，1，2，3，，， 当时，， 令时，，整理得， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，赋值法，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 54．（2024•嘉定区校级模拟）设，则　4096　． 【分析】采用赋值法，令即可求出结果． 【解答】解：令，则， 即， 故答案为：4096． 【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，赋值法，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 55．（2024春•浦东新区校级期中）在的二项展开式中，第四项是 　　． 【分析】直接利用二项式定理写出结果即可． 【解答】解：在的二项展开式中，第四项为：． 故答案为：． 【点评】本题考查二项式定理，考查运算能力，属于中档题． 56．（2024•松江区校级模拟）若、为正整数）的二项展开式中关于的一次项系数之和为11，则项系数的最小值为 　25　． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中含的一次项系数和，列出方程求出，的关系；利用二项展开式的通项公式求出含项的系数，通过等量代换转化成二次函数的最值，求出二次函数的最值． 【解答】解：由题意、为正整数）的二项展开式中关于的一次项系数之和为11，知， 即， 又展开式中含项的系数为， 当或时，含项的系数最小，最小值为25． 故答案为：25． 【点评】本题考查二项展开式的通项公式的应用，等量代换，二次函数的最值的求法，是中档题． 57．（2024春•虹口区校级期中）已知数列的通项公式为． （1）分别求的二项展开式中的二项式系数之和与系数之和； （2）求的二项展开式中的系数最大的项； （3）记，求集合，的元素个数（写出具体的表达式）． 【分析】（1）直接利用数列的通项公式求出二项式的表达式，进一步利用赋值法求出二项式的系数的和； （2）利用不等式组求出二项式的展开式的最大系数； （3）利用二项式的展开式和组合数求出结果． 【解答】解：（1）数列 的通项公式为，所以，故即为， 所以二项展开式中的二项式系数之和为，令，则二项展开式中的系数之和为； （2）因为，所以，故展开式的通项公式为， 设二项展开式中的系数最大的项数为，，，， 则有，解得 又，，，所以二项展开式中的系数最大的项为． （3）由题意： ，， 所以． 综上所述，元素的个数为的整数部分． 【点评】本题考查的知识点：赋值法，二项式的展开式，组合数，二项式系数的最大项，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 58．（2024春•闵行区校级期中）已知，，求： （1）的值； （2）的值； （3）的展开式中系数绝对值最大的项． 【分析】； （1）令，可求导答案； （2）对等号两边同时求导，再对赋值2，可得答案； （3）二项式的展开式，设第项的系数最大，由，布列不等式组可得答案． 【解答】解：由于，故． 故， （1）令，则； （2）对等号两边同时求导， 得， 令，得：； （3）根据二项式的展开式，设第项的系数最大，则， 即， 解得，， 故或4，即的展开式中系数绝对值最大的项为第4项或第5项． 【点评】本题考查二项式定理及其应用，考查运算求解能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$