专题05导数及其应用全章复习攻略（考点清单，知识导图+9个考点清单&题型解读）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020选修一）

专题05导数及其应用全章复习攻略（考点清单，知识导图+9个考点清单&题型解读） 知识点一　瞬时速度 瞬时速度的定义 (1)物体在 的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，的 是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ . 知识点二　函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝ ．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 知识点三　函数在某点处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 ，即f′(x0)＝ ＝ . 知识点四　导数的几何意义 1．割线斜率与切线斜率 设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝. 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的 ．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝ ＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 相应地，切线方程为 知识点五　导函数的定义 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的 (简称导数)．y＝f(x)的导函数记作 即f′(x)＝y′＝ . 特别提醒： 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值 f′(x) f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数 知识点六　几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝ f(x)＝x f′(x)＝ f(x)＝x2 f′(x)＝ f(x)＝x3 f′(x)＝ f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ 知识点七　基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝ f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝ f(x)＝sin x f′(x)＝ f(x)＝cos x f′(x)＝ f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ex f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 知识点八　导数的运算法则 已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0. (1)[f(x)±g(x)]′＝ (2)[f(x)·g(x)]′＝ ，特别地，[cf(x)]′＝ (3)′＝. 知识点九　复合函数的导数 1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝ ． 2．复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝ ，即y对x的导数等于 ． 知识点十　函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递 f′(x)<0 单调递 知识点十一　利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 知识点十二　函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 比较“ ”(向上或向下) 越小 比较“ ”(向上或向下) 知识点十三　函数极值的定义 1．极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝ ，而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数y＝f(x)的极小值点， 叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数y＝f(x)的极大值点， 叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为 ；极大值、极小值统称为 ． 知识点十四　函数极值的求法与步骤 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是 ； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是 ． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程 的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 知识点十五　函数最值的定义 1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x) f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x) f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 知识点十六　求函数的最大值与最小值的步骤 函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数f(x)在区间(a，b)上的 ； (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 一．变化的快慢与变化率（共10小题） 1．（2023春•静安区期末）已知物体的位移（单位：与时间（单位：满足函数关系，则物体在时的瞬时速度为　　 A． B． C． D． 2．（2023春•杨浦区校级月考）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积（单位：与直径（单位：的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为　　 A． B． C． D． 3．（2023春•浦东新区校级期末）若函数在处导数为，则等于　　 A． B． C． D． 4．（2023春•浦东新区校级月考）函数在到之间的平均变化率为 　　． 5．（2023春•杨浦区校级月考）若（2），则　　． 6．（2024春•徐汇区校级期中）物体的运动位移方程，则它的初始速度是 　　． 7．（2024春•青浦区校级月考）从桥上将一小球掷向空中，小球相对于地面的高度（单位：和时间（单位：，近似满足函数关系．问小球在到这段时间内的平均速度是 　　． 8．（2023春•徐汇区校级期末）已知，则 的值是　 　． 9．（2024•静安区二模）已知物体的位移（单位：与时间（单位：满足函数关系，则在时间段内，物体的瞬时速度为的时刻　　（单位：． 10．（2023春•普陀区校级期末）已知函数， （1）若时，取得极值，求实数的值； （2）当时，求在，上的最小值； （3）若对任意，直线都不是曲线的切线，求实数的取值范围． 二．导数及其几何意义（共4小题） 11．（2024春•宝山区校级期中）函数的图像在点处的切线的倾斜角为 　　． 12．（2023春•杨浦区校级期中）已知，则　　． 13．（2023春•浦东新区校级期中）已知曲线在点，处的瞬时变化率为，则点的坐标为　 　． 14．（2023春•杨浦区校级月考）已知函数． （1）设，是函数的图象上相异的两点，证明：直线的斜率大于0； （2）求实数的取值范围，使不等式在上恒成立． 三．导数的运算（共6小题） 15．（2024春•徐汇区校级期中）函数的导数是　　 A． B． C． D． 16．（2024春•浦东新区校级期中）已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，给出下列四个函数： （1） （2） （3） （4） 其中没有“巧值点”的函数是　　 A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 17．（2024春•静安区校级期中）已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．设，则在区间上的“新驻点”为 　　． 18．（2024春•静安区校级期中）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：与时间（单位：满足关系，其中． （1）求的导数； （2）计算（3），并解释它的实际意义． 19．（2024春•崇明区校级期中）求下列函数的导数． （1）； （2）． 20．（2024春•青浦区校级月考）计算下列函数的导数： （1） （2） 四．导数的加法与减法法则（共1小题） 21．（2023春•杨浦区校级月考）设函数的导函数为，若函数的图象关于直线对称，且（1）． （1）求实数、的值； （2）若函数恰有三个零点，求实数的取值范围． 五．导数的乘法与除法法则（共1小题） 22．（2023春•青浦区期中）设函数，则（1）　　． 六．利用导数研究函数的单调性（共8小题） 23．（2024春•宝山区校级期中）下列命题正确的有　　个． （1）函数在上存在导函数．且在上为严格增函数．则对所有的恒成立 （2）周期函数在上存在导函数，则导函数也为周期函数 （3）定义在上的函数，满足且对所有的恒成立，则对所有恒成立 A．3 B．2 C．1 D．0 24．（2024春•浦东新区校级期中），，，均有成立，则的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 25．（2024春•浦东新区校级期中）已知函数，的定义域是，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法中错误的是　　 A． B．（1）（2）（3） C．若存在使在，上严格增，在，上严格减，则2024是的极小值点 D．若为偶函数，则满足题意的唯一，不唯一 26．（2024春•宝山区校级期中）设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为 　　． 27．（2024春•宝山区校级期中）已知函数． （1）若，求函数的严格减区间； （2）若方程在实数集上有四个解，求实数的取值范围； （3）若，数列满足．是否存在使得数列严格递减？存在的话．求出所有这样的；不存在的话，说明理由． 28．（2024春•徐汇区校级期中）已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间； （Ⅱ）设函数在区间，内是减函数，求的取值范围． 29．（2024春•浦东新区校级期中）已知函数，，是自然对数的底数． （1）讨论函数的单调性； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值． 30．（2024春•浦东新区校级期中）已知y＝f（x）与y＝g（x）都是定义在（0，+∞）上的函数，函数f（x）图像上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），记kAB表示此两点连线的斜率．当x1＜x2时，都有g（x1）≤kAB≤g（x2），则称y＝g（x）是y＝f（x）的一个“T函数”． （1）判断y＝3x2是否为函数y＝x3（x＞0）的一个T函数，并说明理由； （2）设f（x）＝ex的导数为f'（x），A（a，f（a）），B（b，f（b）），0＜a＜b，求证：关于x的方程kAB＝f'（x）在区间（a，b）上有实数解； （3）函数y＝f（x），f（x）的导函数存在记为h（x），即h（x）＝f'（x），h（x）导函数存在记为h'（x），当x∈（0，+∞）都有h'（x）＞0，函数y＝f（x）是否存在T函数？若存在，请求出y＝f（x）的所有T函数；若不存在，请说明理由． 七．利用导数研究函数的极值（共5小题） 31．（2024春•浦东新区校级期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则　　 A．有2个极值点 B．在处取得极小值 C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减 32．（2023春•宝山区校级期中）已知函数有极大值和极小值，则的取值范围是　　 A． B．或 C． D．或 33．（2024春•宝山区校级月考）已知函数，其导函数的图像经过点、．如图，则下列说法正确的是 　　． ①当时，函数取得最小值； ②有两个极值点； ③当时函数取得极小值； ④当时函数取得极大值． 34．（2024春•普陀区校级期中）函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是　　 A．函数，上单调递增 B．函数在，上单调递减 C．函数存在两个极值点 D．函数有最小值，但是无最大值 35．（2024春•杨浦区校级期中）已知函数，为常数． （1）若在处有极值，求的值并判断是极大值点还是极小值点； （2）若在，上是增函数，求实数的取值范围． 八．利用导数研究函数的最值（共9小题） 36．（2024春•浦东新区校级期中）已知函数f（x）＝2lnx﹣1，g（x）＝a（x﹣m），若存在实数a＞0使y＝f（x）﹣g（x）在上有2个零点，则m的取值范围为 　 　． 37．（2024春•青浦区校级月考）函数在区间上的最小值是 　　． 38．（2024•黄浦区校级三模）已知，，是自然对数的底数． （1）当时，求函数的极值； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，若满足，求证：． 39．（2024春•宝山区校级期中）已知函数，其图象在点处的切线方程为． （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最值． 40．（2024春•宝山区校级期中）已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在区间，上恰有一个零点，求的取值范围． 41．（2024春•松江区校级期中）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线在上）．经测量，左侧曲线上任一点到的距离（米与到的距离（米之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离（米与到的距离（米之间满足关系式．已知点到的距离为40米． （1）求桥的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为80米，其中，在上（不包括端点）．桥墩每米造价（万元）、桥墩每米造价（万元），问为多少米时，桥墩与的总造价最低？ 42．（2024•浦东新区校级模拟）设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断是否为上的（1）函数，说明理由； （2）若实数满足：为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值．对于： ：对任意，与恒成立， ：对任意正整数，都是上的函数， 问：是否为的充分条件？是否为的必要条件？证明你的结论． 43．（2024春•宝山区校级期中）已知函数． （1）若直线是曲线的切线，求实数的值； （2）若对任意实数恒成立，求的取值范围； （3）若，且，求实数的最大值． 44．（2024春•闵行区校级月考）设函数，，其中，、，若对任意，均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对所有的函数取最小值定义为． （1）若，，试问是否为的“控制函数”； （2）若，使得直线是曲线在处的切线，求证：函数是为函数的“控制函数”，并求的值； （3）若曲线在处的切线过点，且，，求证：当且仅当或时，（c）（c）． 九．利用导数研究曲线上某点切线方程（共6小题） 45．（2024春•浦东新区校级期中）函数的图象在点，（2）处的切线方程为 　　． 46．（2024春•浦东新区校级月考）已知、为实数，函数在处的切线方程为，则的值 　　． 47．（2024春•宝山区校级期中）设点在曲线上，点在直线上，平面上一点满足，则到坐标原点的距离的最小值为 　　． 48．（2024春•黄浦区校级期中）设函数，函数在点，（3）处的切线方程为． （1）求的解析式； （2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． 49．（2024春•松江区校级期中）已知函数． （1）求曲线在点，（1）处的切线方程； （2）求证：函数的图像位于直线的下方； （3）若函数在区间上无零点，求的取值范围． 50．（2024•闵行区校级模拟）若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中，，则称为曲线的“切线”． （1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求（1）的值； （2）求曲线所有切线的方程； （3）设，是否存在，使得曲线在点，处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05导数及其应用全章复习攻略（考点清单，知识导图+9个考点清单&题型解读） 知识点一　瞬时速度 瞬时速度的定义 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ . 知识点二　函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 知识点三　函数在某点处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ . 知识点四　导数的几何意义 1．割线斜率与切线斜率 设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝. 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 知识点五　导函数的定义 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ . 特别提醒： 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值 f′(x) f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数 知识点六　几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝x3 f′(x)＝3x2 f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ 知识点七　基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 知识点八　导数的运算法则 已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0. (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)． (3)′＝. 知识点九　复合函数的导数 1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 2．复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积． 知识点十　函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 知识点十一　利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 知识点十二　函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 知识点十三　函数极值的定义 1．极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 知识点十四　函数极值的求法与步骤 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 知识点十五　函数最值的定义 1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 知识点十六　求函数的最大值与最小值的步骤 函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 一．变化的快慢与变化率（共10小题） 1．（2023春•静安区期末）已知物体的位移（单位：与时间（单位：满足函数关系，则物体在时的瞬时速度为　　 A． B． C． D． 【分析】可求出导函数，然后求出时的导数即可． 【解答】解：， 时，． 故选：． 【点评】本题考查了基本初等函数和复合函数的单调性，导数的物理意义，考查了计算能力，属于基础题． 2．（2023春•杨浦区校级月考）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积（单位：与直径（单位：的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为　　 A． B． C． D． 【分析】直接根据瞬时变化率的定义求解即可． 【解答】解：气球体积在，△内平均变化率为△△， 所以当时，气球体积的瞬时变化率为△△． 故选：． 【点评】本题考查了瞬时变化率，属于基础题． 3．（2023春•浦东新区校级期末）若函数在处导数为，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题． 4．（2023春•浦东新区校级月考）函数在到之间的平均变化率为 　4　． 【分析】根据题意，由平均变化率公式计算可得答案． 【解答】解：在到之间的平均变化率为：． 故答案为：4． 【点评】本题考查函数的平均变化率的概念及的求法，注意平均变化率的计算，是基础题． 5．（2023春•杨浦区校级月考）若（2），则　6　． 【分析】根据题意，由极限的性质以及导数的定义可得（2），即可得答案． 【解答】解：根据题意，（2）； 故答案为：6． 【点评】本题考查极限的计算，涉及导数的定义，属于基础题． 6．（2024春•徐汇区校级期中）物体的运动位移方程，则它的初始速度是 　1　． 【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解． 【解答】解：， 则， ，即它的初始速度是1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题． 7．（2024春•青浦区校级月考）从桥上将一小球掷向空中，小球相对于地面的高度（单位：和时间（单位：，近似满足函数关系．问小球在到这段时间内的平均速度是 　　． 【分析】根据题意，由平均变化率公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，，则小球在到这段时间内的平均速度． 故答案为：． 【点评】本题考查平均变化率的计算，注意平均变化率的计算公式，属于基础题． 8．（2023春•徐汇区校级期末）已知，则 的值是　　． 【分析】根据瞬时变化率即可求出答案 【解答】解：△（2）， ， （2）， 故答案为：． 【点评】本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意导数概念及性质的合理运用． 9．（2024•静安区二模）已知物体的位移（单位：与时间（单位：满足函数关系，则在时间段内，物体的瞬时速度为的时刻　　（单位：． 【分析】可求出导函数，然后求出时的导数即可． 【解答】解：由题可得：， 可得， 又， 可得． 故答案为：． 【点评】本题考查了基本初等函数和复合函数的单调性，导数的物理意义，考查了计算能力，属于基础题． 10．（2023春•普陀区校级期末）已知函数， （1）若时，取得极值，求实数的值； （2）当时，求在，上的最小值； （3）若对任意，直线都不是曲线的切线，求实数的取值范围． 【分析】（1）利用（1），再验证在的左右两侧的符号是否异号即可； （2）对于分类讨论当时与时，利用的单调性即可得出； （3）任意，直线都不是曲线的切线，对恒成立，即的最小值大于，解出即可． 【解答】解：（1），又时取得极值， （1），解得． ． 当时，； 当时，． 在时取得极小值，故符合． （2）当时，对，恒成立，在，上单调递增， ， 当时，由解得， 若，则， 在上单调递减． 若，则， 在上单调递增． 在时取得极小值，也是最小值，即． 综上所述，． （3）任意，直线都不是曲线的切线， 对恒成立， 即的最小值大于， 而的最小值为， ，故． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题． 二．导数及其几何意义（共4小题） 11．（2024春•宝山区校级期中）函数的图像在点处的切线的倾斜角为 　　． 【分析】先求导，再由导数的几何意义可得，再结合倾斜角的范围求解即可． 【解答】解：因为，所以， 则， 设直线的倾斜角为，则，， 又， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题． 12．（2023春•杨浦区校级期中）已知，则　　． 【分析】先求出（2），然后代入中求解即可． 【解答】解：因为， 所以， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查导数及其几何意义，属于基础题． 13．（2023春•浦东新区校级期中）已知曲线在点，处的瞬时变化率为，则点的坐标为　　． 【分析】求导函数，令其值为，即可求得结论． 【解答】解：，， 令，则，， 点的坐标是， 故答案为：． 【点评】本题考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题． 14．（2023春•杨浦区校级月考）已知函数． （1）设，是函数的图象上相异的两点，证明：直线的斜率大于0； （2）求实数的取值范围，使不等式在上恒成立． 【分析】（1）先利用导数研究函数的单调性，然后设，，，，根据斜率的定义建立关系式，从而可知可证结论； （2）设，然后利用导数研究函数的最小值，使得即可． 【解答】解：（1） 函数在上单调递增 设，，，则，即 直线的斜率大于0； （2）依题意得，设， 当时，恒成立；（8分） 当时，，（10分） ①时，，在上单调递减， 所以恒成立；（12分） ②时，注意到当时，， 于是， 必存在，使得当时，有，不能使恒成立． 综上所述，实数的取值范围为．（16分） 【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数学结合、分类讨论的思想进行探究、分析与解决问题的能力． 三．导数的运算（共6小题） 15．（2024春•徐汇区校级期中）函数的导数是　　 A． B． C． D． 【分析】由已知结合函数的求导公式及求导法则即可求解． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数的求导公式及求导法则的应用，属于基础题． 16．（2024春•浦东新区校级期中）已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，给出下列四个函数： （1） （2） （3） （4） 其中没有“巧值点”的函数是　　 A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【分析】求导函数，然后解方程，方程有解说明有巧值点，否则没有． 【解答】解：（1），不存在使得，没有巧值点； （2），解得，或2，，有巧值点； （3），如图， 由图象知有解，有巧值点； （4），满足，有巧值点． 故选：． 【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，巧值点的定义，是基础题． 17．（2024春•静安区校级期中）已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．设，则在区间上的“新驻点”为 　　． 【分析】可求出，根据新驻点的定义，解在上的解即为所求的驻点． 【解答】解：， 解，，得， 在区间上的“新驻点”为． 故答案为：． 【点评】本题考查了新驻点的定义，三角函数的求导公式，是基础题． 18．（2024春•静安区校级期中）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：与时间（单位：满足关系，其中． （1）求的导数； （2）计算（3），并解释它的实际意义． 【分析】（1）利用复合函数的求导法则即可得解； （2）将代入（1）中导数，再利用导数的意义解释即可． 【解答】解：（1）因为， 令，则可以看作和的复合函数， 根据复合函数的求导法则，有 ； （2）由（1）得， 它表示当时，弹簧振子振动的瞬时速度为． 【点评】本题考查了复合函数的求导公式，导数的物理意义，是基础题． 19．（2024春•崇明区校级期中）求下列函数的导数． （1）； （2）． 【分析】（1）利用基本函数的导数及求导法则，即可求出结果； （2）利用基本函数的导数及复合函数的求导法则，即可求出结果． 【解答】解：（1）因为，所以． （2）因为， 所以． 【点评】本题主要考查了函数的求导公式及求导法则的应用，属于基础题． 20．（2024春•青浦区校级月考）计算下列函数的导数： （1） （2） 【分析】由已知结合函数的求导公式，求导法则及复合函数的求导法则即可分别求解． 【解答】解：（1）； （2） ． 【点评】本题主要考查了函数的求导公式及求导法则的应用，属于基础题． 四．导数的加法与减法法则（共1小题） 21．（2023春•杨浦区校级月考）设函数的导函数为，若函数的图象关于直线对称，且（1）． （1）求实数、的值； （2）若函数恰有三个零点，求实数的取值范围． 【分析】（1）求出原函数的导函数，导函数为二次函数，根据其对称轴为直线得到的值，再由（1）求出的值； （2）在（1）求出和的前提下，函数解析式中仅含有变量，求出函数的极大值和极小值，由函数恰有三个零点，则函数的极大值大于0，且同时满足极小值小于0，联立可求的取值范围． 【解答】解：（1）由， 得： 则其对称轴为， 因为函数的图象关于直线对称， 所以，，所以 则， 又由（1）可得，． （2）由（1）得： 所以， 当时，，时，，时，． 故函数在，上是增函数，在上是减函数， 所以，函数的极大值为，极小值为（1）． 而函数恰有三个零点，故必有，解得：． 所以，使函数恰有三个零点的实数的取值范围是． 【点评】本题考查了导数的运算法则和二次函数的性质，考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了数学转化思想，解答此题的关键是把函数恰有三个零点转化为函数极值的范围问题，此题是中档题． 五．导数的乘法与除法法则（共1小题） 22．（2023春•青浦区期中）设函数，则（1）　1　． 【分析】利用求导法则，先求出，再求（1）． 【解答】解：，（1） 故答案为：1 【点评】本题考查函数求导运算，属于基础题． 六．利用导数研究函数的单调性（共8小题） 23．（2024春•宝山区校级期中）下列命题正确的有　　个． （1）函数在上存在导函数．且在上为严格增函数．则对所有的恒成立 （2）周期函数在上存在导函数，则导函数也为周期函数 （3）定义在上的函数，满足且对所有的恒成立，则对所有恒成立 A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】结合导数与单调性关系检验①； 结合函数的求导公式检验②； 结合导数分析函数单调性，利用单调性即可求解不等式． 【解答】解：（1）函数在上存在导函数．且在上为严格增函数．则对所有的恒成立，①错误； （2）周期函数在上存在导函数，则， 因为， 所以， 即导函数也为周期函数，正确； （3）定义在上的函数，满足且对所有的恒成立， 令，则恒成立， 所以在上单调递增， 因为， 所以， 则即， 所以， 所以，正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了单调性在不等式求解中的应用，属于中档题． 24．（2024春•浦东新区校级期中），，，均有成立，则的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】设，则，由可得，令，则，则在区间，上单调递减，则对于，恒成立，可得，，，即可得出答案． 【解答】解：不妨设，则， 由可得， 所以， 即， 所以， 令，则， 因为，所以在区间，上单调递减， 所以对于，恒成立， 所以对于，恒成立， 可得对于，恒成立，所以， 因为在区间，上单调递减， 所以，所以． 故选：． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于中档题． 25．（2024春•浦东新区校级期中）已知函数，的定义域是，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法中错误的是　　 A． B．（1）（2）（3） C．若存在使在，上严格增，在，上严格减，则2024是的极小值点 D．若为偶函数，则满足题意的唯一，不唯一 【分析】利用求导证明是奇函数，从而可得，由已知及赋值法即可判断；利用赋值法可得（1）（3），（2），（4），推出与的周期，进而计算可判断；利用周期性和对称性即可判断；由题意可取时，，此时可取任意常数，不唯一，从而判断． 【解答】解：因为为偶函数，所以，所以， 是奇函数，所以， 因为，所以， 所以，故正确； ，， 所以，所以（1）（3），（2），（4）， 又，所以是周期为4的函数，也是周期为4的函数， 所以（1）（2）（3），正确； 在，上严格增，在，上严格减，由可知在，上严格减，在，上严格增， 又周期为4，所以在，上严格增，所以在，上严格减，，上严格减， ，所以0是的极大值点，是周期为4的函数，所以2024也是的极大值点，错误； 若为偶函数，由于是奇函数，，所以时，，此时可取任意常数，不唯一，所以正确． 故选：． 【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，导数的应用，考查运算求解能力，属于逻辑推理能力，属于中档题． 26．（2024春•宝山区校级期中）设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为 　或　． 【分析】设，求导得，根据题意得在上单调递增，再根据函数的奇偶性和函数零点即可得到不等式解集． 【解答】解：设， 则， 当时，有恒成立， 当时，，在上单调递增， 是定义在上的偶函数， ， 即是定义在，，上的奇函数， 在上也单调递增． 又， ， ． 不等式的解可等价于的解， 或． 故答案为：或． 【点评】本题考查函数与导数的综合运用，考查不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题． 27．（2024春•宝山区校级期中）已知函数． （1）若，求函数的严格减区间； （2）若方程在实数集上有四个解，求实数的取值范围； （3）若，数列满足．是否存在使得数列严格递减？存在的话．求出所有这样的；不存在的话，说明理由． 【分析】（1）将代入函数的解析式中，对函数进行求导，令，解不等式即可； （2）易知是方程的一个解，此时问题转化成有三个解，即函数与有3个不同的交点，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和极值，进而即可求解； （3）假设存在使得数列严格递减，举出反例即可． 【解答】解：（1）当时，，函数的定义域为， 可得， 令， 解得， 则函数的单调递减区间为； （2）易知是方程的一个解， 此时方程有三个解， 不妨设，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又，， 当时，；当时，， 此时函数与有3个不同的交点， 即， 解得， 则实数的取值范围为； （3）假设 严格递减， 因为， 此时对任意正整数，记， 则， 所以， 则且， 所以， 解得， 此时对每个都有，对每个都有， 即， 则， 记， 可得，， 整理得， 所以， 此时， 则， 不妨设， 可得，，单调递减， 因为， 所以， 则， 此时， 所以， 因为， 所以， 故恒成立， 但当时，该表达式不成立， 所以假设不成立， 故不存在所求的满足条件． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 28．（2024春•徐汇区校级期中）已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间； （Ⅱ）设函数在区间，内是减函数，求的取值范围． 【分析】由于是高次函数，所以用导数法，先求导，令分二种情况讨论：当判别式△时为增函数，当△时，由两个不同的根，则为单调区间的分水岭． 先由函数求导，再由“函数在区间，内是减函数”转化为“在，恒成立”，进一步转化为最值问题：在，恒成立，求得函数的最值即可． 【解答】解：（Ⅰ）， 当时，即时，△，，在上递增． 当时，即或时，△， 求得两根为， 即在，，上递增， 在，递减． （Ⅱ）在，恒成立． 即在，恒成立， 令，，， 则， 令，解得：，令，解得：， 故在，上为减函数，在，上为增函数， 而， 故，所以，故， 即的取值范围是，． 【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题． 29．（2024春•浦东新区校级期中）已知函数，，是自然对数的底数． （1）讨论函数的单调性； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值． 【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论和两种情况，求函数的单调性； （2）方程，转化为，利用导数分析函数的图象，再利用数形结合，求参数的取值范围； （3）首先参变分离为，再令，，利用导数求函数的单调区间，并求函数的最小值的取值范围，即可求解的最大值． 【解答】解：（1）， 若，则恒成立，所以在上单调递增， 若，，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上可知，时，的增区间是， 当时，的减区间是，增区间是； （2）方程，显然当时，方程不成立，则，， 若方程有两个不等实根，即与有2个交点， 则， 当，，时，，在区间和单调递减， 并且时，，当时，； 当时，，单调递增， 时，当时，取得最小值，（1）， 画出函数的大致图象，如图所示： 由与有2个交点，得，所以的取值范围是； （3）当时，，， 所以， 当时，，， 令，， 则， 由（1）可知，在单调递增，且（1），（2）， 所以在上存在唯一的零点，即在上存在唯一的零点， 设此零点为，则，且， 当时，，单调递减， 当，时，，单调递增， 所以的最小值为， 所以， 所以整数的最大值为2． 【点评】本题考查了导数的综合应用问题，解题的关键是运用参变分离，转化为函数图象的交点问题，是难题． 30．（2024春•浦东新区校级期中）已知y＝f（x）与y＝g（x）都是定义在（0，+∞）上的函数，函数f（x）图像上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），记kAB表示此两点连线的斜率．当x1＜x2时，都有g（x1）≤kAB≤g（x2），则称y＝g（x）是y＝f（x）的一个“T函数”． （1）判断y＝3x2是否为函数y＝x3（x＞0）的一个T函数，并说明理由； （2）设f（x）＝ex的导数为f'（x），A（a，f（a）），B（b，f（b）），0＜a＜b，求证：关于x的方程kAB＝f'（x）在区间（a，b）上有实数解； （3）函数y＝f（x），f（x）的导函数存在记为h（x），即h（x）＝f'（x），h（x）导函数存在记为h'（x），当x∈（0，+∞）都有h'（x）＞0，函数y＝f（x）是否存在T函数？若存在，请求出y＝f（x）的所有T函数；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意结合T函数的定义，即可得出结论； （2）先证引理：对连续可导函数y＝f（x），x＞0，对任意0＜a＜b，均存在x0∈（a，b），使得，结合引理即可证明； （3）根据（2）种引理可证y＝h（x）为T函数，再通过导数证明唯一性可得解． 【解答】解：（1）y＝3x2是函数y＝x3（x＞0）的一个T函数，理由如下： 因为＝＝+x1x2+， 若0＜x1＜x2，则， 即，可知y＝3x2是函数y＝x3（x＞0）的一个T函数． （2）先证引理：对连续可导函数y＝f（x），x＞0，对任意0＜a＜b，均存在x0∈（a，b），使得． 构建，则， 可知F（a）＝F（b）＝0，且F（x）在区间（a，b）上连续不断， 反证：若函数在区间（a，b）上没有零点， 则F′（x）＞0（或F′（x）＜0）在区间（a，b）内恒成立， 可知F（x）在（a，b）内单调递增（减）， 则F（x）＞F（a）＝0（或F（x）＞F（b）＝0），这与F（a）＝F（b）＝0相矛盾， 所以假设不成立， 即函数在区间（a，b）上有零点， 设为x0∈（a，b），可知，即． 由题意可知：f′（x）＝ex， 由引理可知：存在x0∈（a，b），使得， 即关于x的方程kAB＝f′（x）在区间（a，b）上有实数解． （3）由引理可知：存在x0∈（x1，x2），使得，即h（x0）＝kAB， 又因为h′（x）＞0在（x1，x2）内恒成立，可知h（x）在（x1，x2）内单调递增， 可知h（a）＜h（x0）＜h（b），即h（a）＜kAB＜h（b）， 所以h（x）为y＝f（x）的一个T函数； 下证T函数的唯一性：假设y＝f（x）存在T函数y＝g（x）， 对任意x1，x2∈（0，+∞）， 当x1＜x2时，均存在x0∈（x1，x2），使得， 因为g（x1）≤kAB≤g（x2），即g（x1）≤h（x0）≤g（x2）， 下证：g（x）＝h（x），x∈（0，+∞）， 若存在t1∈（0，+∞）使得g（t1）＞h（t1）， 因为h（x）在（0，+∞）的严格增函数， 故存在t2＞t1使得h（t2）＝g（t1）， 可知存在c0∈（t1，t2）使得g（t1）≤h（c0）≤g（t2）， 则h（c0）≥g（t1）＝h（t2），由h（x）的单调性知c0≥t2，矛盾， 故对任意x∈（0，+∞）都有g（x）≤h（x）， 同理可证：对任意x∈（0，+∞）都有g（x）≥h（x），从而g（x）＝f′（x）； 综上所述：函数y＝f（x）存在唯一Т函数y＝h（x）． 【点评】本题考查导数的综合应用，属于难题． 七．利用导数研究函数的极值（共5小题） 31．（2024春•浦东新区校级期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则　　 A．有2个极值点 B．在处取得极小值 C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减 【分析】通过导函数图象分析函数的单调性即可得出结论． 【解答】解：由题意及图得， 在上单调递增，在上单调递减， 有一个极大值，没有极小值， ，，错误，正确， 故选：． 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于基础题． 32．（2023春•宝山区校级期中）已知函数有极大值和极小值，则的取值范围是　　 A． B．或 C． D．或 【分析】根据函数有极大值和极小值，可以判断导数有两个零点，然后求的取值范围即可． 【解答】解：函数， 则， 函数有极大值和极小值， 所以其导函数有两个不同的解，△， 所以或． 故选：． 【点评】本题考查导数在求函数极值的应用，将函数有极大值和极小值，转化为方程有两个不相等的实数根是解题的关键，属于基础题． 33．（2024春•宝山区校级月考）已知函数，其导函数的图像经过点、．如图，则下列说法正确的是 　②③④　． ①当时，函数取得最小值； ②有两个极值点； ③当时函数取得极小值； ④当时函数取得极大值． 【分析】由导函数的图像判断出函数的单调性，从而得到极值情况，即可得到正确答案． 【解答】解：，， 由图象可知，当时，， 当时，， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 对于①：的草图，得无最值， 故①错； 对于②③④：有两个极值点1和2，且当时函数取得极小值，当时函数取得极大值，故②③④正确． 故答案为：②③④． 【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题． 34．（2024春•普陀区校级期中）函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是　　 A．函数，上单调递增 B．函数在，上单调递减 C．函数存在两个极值点 D．函数有最小值，但是无最大值 【分析】根据的图象判断出的单调性、极值点、最值对选项进行分析，从而确定正确答案． 【解答】解：根据的图象可知， 函数在和上，单调递增，选项正确． 函数在和上，单调递减，选项正确． 所以的极小值点为，3，极大值点为1，选项错误． 由上述分析可知，函数的最小值是和（3）两者中较小的一个，没有最大值，选项正确． 故选：． 【点评】本题主要考查利用导函数研究函数的单调性、极值点或最值，属于中档题． 35．（2024春•杨浦区校级期中）已知函数，为常数． （1）若在处有极值，求的值并判断是极大值点还是极小值点； （2）若在，上是增函数，求实数的取值范围． 【分析】（1）函数，为常数，，根据在处有极值，可得（1），解得，可得函数的单调性，进而判断出结论． （2）由在，上是增函数，可得，通过分离参数，结合二次函数的单调性即可得出结论． 【解答】解：（1）函数，为常数，， ， 在处有极值， （1），解得， ， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 是函数的极小值点． （2）在，上是增函数， ， 化为， ， ． 实数的取值范围是，． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、二次函数的单调性、分离参数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 八．利用导数研究函数的最值（共9小题） 36．（2024春•浦东新区校级期中）已知函数f（x）＝2lnx﹣1，g（x）＝a（x﹣m），若存在实数a＞0使y＝f（x）﹣g（x）在上有2个零点，则m的取值范围为 　　． 【分析】由题意可知：原题意等价于f（x）＝2lnx﹣1与g（x）＝a（x﹣m）在内有2个交点，求y＝f（x）在x＝e处的切线方程，结合图象分析求解． 【解答】解：令y＝f（x）﹣g（x）＝0，可得f（x）＝g（x）， 原题意等价于f（x）＝2hx﹣1与g（x）＝a（x﹣m）在内内有2个交点，且a＞0， g（x）＝a（x﹣m）的横截距为m， 因为，则f（c）＝1.，即切点坐标为（e，1），切线斜率， 则切线方程为，即，即y＝f（x）在x＝c处的切线方程为， 该切线的横截距为， 结合图象可知：若f（x）＝2hx﹣1与g（x）＝a（x﹣m）在内有2个交点，则， 即m的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查了利用函数的图象研究函数零点的方法，同时考查了利用函数思想、数形结合思想解题的能力．属于中档题． 37．（2024春•青浦区校级月考）函数在区间上的最小值是 　0　． 【分析】先对函数求导，然后结合导数分析函数的单调性，进而求解即可． 【解答】解：令，则， 所以当时，；当，时，， 所以函数在上单调递增，在，上单调递减， 又因为， 所以当时，函数取得最小值0． 故答案为：0． 【点评】本题主要考查利用导数研究最值，属于中档题． 38．（2024•黄浦区校级三模）已知，，是自然对数的底数． （1）当时，求函数的极值； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，若满足，求证：． 【分析】（1）当时，，求出，根据的正负得到的单调性，进而求出的极值； （2）关于的方程有两个不等实根，等价于与有2个交点，求导得到函数的单调性和极值，画出的大致图象，数形结合求解即可； （2）求出，得到在上单调递减，在上单调递增，所以，，要证，只需证，只需证，即证，令，对求导证明即可． 【解答】解：（1）当时，，定义域为， 则， 令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取到极小值0，无极大值； （2）方程， 显然当时，方程不成立，则，， 若方程有两个不等实根，即与有2个交点， 则， 当或时，，在区间和上单调递减， 并且时，，当时，， 当时，，严格增，时，当时，取得最小值，（1）， 作出函数的图象，如下图所示： 与有2个交点， 则， 即的取值范围为； （3）证明：， 令，可得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 由题意，则，， 要证，只需证， 而，且函数在上单调递减， 故只需证， 又，所以只需证， 即证， 令， 即，， 由均值不等式可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以函数在上严格增， 由，可得，即， 所以， 又函数在上严格减， 所以， 即得证． 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了函数的零点与方程根的关系，属于中档题． 39．（2024春•宝山区校级期中）已知函数，其图象在点处的切线方程为． （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最值． 【分析】（1）对求导，利用导数的几何意义可得关于，的方程组，可得，的值，从而可得解析式； （2）对求导，从而可得函数的单调区间，求出极值及端点值，比较大小即可得函数的最值． 【解答】解：（1）由，得， 所以在点处切线的斜率为（1）， 因为在点处切线方程为，所以切线的斜率为0，且（1）， 所以，即，解得，， 所以． （2）由（1）得， 则， 令，得或3， 所以在上，，单调递增， 在上，，单调递减，在上，，单调递增， 所以在处，取得极大值（1）， 在处取得极小值（3）． 又因为， （5）（1）， 所以在上的最大值为22，最小值为2． 【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题． 40．（2024春•宝山区校级期中）已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在区间，上恰有一个零点，求的取值范围． 【分析】（1）把代入函数解析式，对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解； （2）结合导数与单调性关系对的范围进行分类讨论，然后结合函数零点存在条件即可求解． 【解答】解：（1）当时，，， ， 令得或1， 所以在上，单调递增， 在，上，单调递减， 在上，单调递增， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，． （2）， 当，即时，，，，函数在，上单调递增， 由函数在区间，上恰有一个零点，得，解得， 因此， 当，即时，当时，，即函数在，上递减， 又（1）， 要函数在区间，上恰有一个零点， 当且仅当（e），则与矛盾， 所以的取值范围是． 【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数零点存在条件的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题． 41．（2024春•松江区校级期中）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线在上）．经测量，左侧曲线上任一点到的距离（米与到的距离（米之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离（米与到的距离（米之间满足关系式．已知点到的距离为40米． （1）求桥的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为80米，其中，在上（不包括端点）．桥墩每米造价（万元）、桥墩每米造价（万元），问为多少米时，桥墩与的总造价最低？ 【分析】（1）设，，，都与垂直，，，，是相应垂足．结合已知条件，转化求解即可． （2）以为原点，为轴建立平面直角坐标系（如图所示）．设，，推出，，和的总造价为，得到函数的解析式，利用函数的导数转化求解最小值即可． 【解答】解：（1）设，，，都与垂直，，，，是相应垂足． 由条件知，当时，， 则． 由， 得． 所以（米． （2）以为原点，为轴建立平面直角坐标系（如图所示）． 设，，则，． 因为，所以． 设，则， 所以． 记桥墩和的总造价为， 则． ， 令，得． 20 0 极小值 所以当时，取得最小值． 答：（1）桥的长度为120米； （2）当为20米时，桥墩和的总造价最低． 【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数求解函数的最值，是中档题． 42．（2024•浦东新区校级模拟）设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断是否为上的（1）函数，说明理由； （2）若实数满足：为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值．对于： ：对任意，与恒成立， ：对任意正整数，都是上的函数， 问：是否为的充分条件？是否为的必要条件？证明你的结论． 【分析】（1）求导，推导出在时恒成立，从而是上的（1）函数． （2）实数满足：，即，令，由于，且的为离散的点，从而为严格减函数，由，得． ，，由此能求出的取值范围． （3）推导出为的充分条件．若成立，即对任意正整数，有：，记函数的最大值为．用反证法证明恒成立和恒成立，从而为的必要条件． 【解答】解：（1）设定义域为的函数在上可导，导函数为． 若区间及实数满足：对任意成立， 则称函数为上的“函数”． ． 等价于，在时恒成立， 是上的（1）函数． （2）实数满足：， 即．① 特别地，在①中取，可知， 反之，当时，①成立． 令，由于，且的为离散的点， 故为严格减函数，又，所以． ，， 从而的取值范围是：且，． （3）若成立，则对任意正整数，有：， 即为上的函数，成立．故为的充分条件． 若成立，即对任意正整数，有：②， 记函数的最大值为． 先证明恒成立． 反证法，假如存在使得，则取正整数，使得， 此时有，与②矛盾． 这意味着为上的严格减函数． 再证明恒成立． 取为的一个最大值点， 则当时，由单调性知，但，所以， 于是． 对任意，可取一个与有关的正整数，使得， 由②知：． 于是成立．故也为的必要条件． 【点评】本题考查导数性质及应用、函数的单调性、充分条件、必要条件等基础知识，考查运算求解能力，是难题． 43．（2024春•宝山区校级期中）已知函数． （1）若直线是曲线的切线，求实数的值； （2）若对任意实数恒成立，求的取值范围； （3）若，且，求实数的最大值． 【分析】（1）利用函数与直线相切结合导数的几何意义求出； （2）构造新函数，利用导数求出的最小值即可得到的取值范围； （3）化简得，令，则，构造函数，利用导数法研究函数最值即可求解． 【解答】解：（1）因为，直线是曲线的切线， 令，所以，所以，解得或（舍去）， 所以，代入直线得，即切点为， 即，所以； （2）令，则， 令，则， 所以可得为递增函数，又， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故若对任意实数恒成立， 则，解得，即的取值范围是，； （3）因为，所以 ， 因为，所以， 所以，仅当时，等号成立， 令，则， 因为， 所以当时，恒成立， 令，， 则在上单调递增， 所以，所以在上单调递减， 所以， 所以， 所以的最大值为． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，导数的几何意义，考查运算求解能力，属于难题． 44．（2024春•闵行区校级月考）设函数，，其中，、，若对任意，均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对所有的函数取最小值定义为． （1）若，，试问是否为的“控制函数”； （2）若，使得直线是曲线在处的切线，求证：函数是为函数的“控制函数”，并求的值； （3）若曲线在处的切线过点，且，，求证：当且仅当或时，（c）（c）． 【分析】（1）设，，当，时，易知，即单调减，求得最值即可判断； （2）根据题意得到，即为函数的“控制函数“，代入即可求解； （3），，在处的切线为，求导整理得到函数必是函数的“控制函数“，又此时“控制函数“必与相切于点，与在处相切，且过点，在之间的点不可能使得在切线下方，所以或，即可得证． 【解答】解：（1），设， ，当，时，易知，即单调减， ，即， 是的“控制函数“； （2）， ， ，即为函数的“控制函数“， 又，且，； 证明：（3），， 在处的切线为， ，，（1）（1）， ， ， ， ， 恒成立， 函数必是函数的“控制函数“， 是函数的“控制函数“， 此时“控制函数“必与相切于点，与在处相切，且过点， 在之间的点不可能使得在切线下方，所以或， 所以曲线在处的切线过点，且，， 当且仅当或时，． 【点评】本题考查了导数的综合运用，属于难题． 九．利用导数研究曲线上某点切线方程（共6小题） 45．（2024春•浦东新区校级期中）函数的图象在点，（2）处的切线方程为 　　． 【分析】根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解． 【解答】解：，， （2），（2）， 所求切线方程为：，即． 故答案为：． 【点评】本题考查利用导数求函数的切线问题，属基础题． 46．（2024春•浦东新区校级月考）已知、为实数，函数在处的切线方程为，则的值 　21　． 【分析】求导，点斜式得到直线方程，对应项相等得． 【解答】解：由，得， 则（1），又（1），则切线方程为， 即， ，，得，， ． 故答案为：21． 【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，是中档题． 47．（2024春•宝山区校级期中）设点在曲线上，点在直线上，平面上一点满足，则到坐标原点的距离的最小值为 　　． 【分析】设，则，进而， 表示 到，的距离平方，结合导数的几何意义求出 即可． 【解答】解：由题意知，设， 由，得， 得，即， 所以， 即， 表示点到点，的距离平方， 其中在曲线上，，在直线上， 的最小值为曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离． 设切点，则， 解得，即切点为，所以， 则，得， 即点到原点的距离最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查利用导数求切线方程，属于中档题． 48．（2024春•黄浦区校级期中）设函数，函数在点，（3）处的切线方程为． （1）求的解析式； （2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． 【分析】（1）根据导数的几何意义以及切线方程，列方程组求解即可； （2）首先求曲线上任一点处的切线方程，并结合图象，求三角形的面积，即可求解． 【解答】（1）解：直线的斜率为， 将代入直线方程得，所以（3）， 由题意，则， 所以，解得：，， 所以． （2）证明：设曲线上任一点为，， 曲线在点处的切线方程为， 整理为，当时，， 联立，得， 如图，，，， 所以， 所以曲线上任意一点处的切线与直线和所围成的三角形面积为定值，定值为6． 【点评】本题考查导数的几何意义，考查直线方程的求法，属于中档题． 49．（2024春•松江区校级期中）已知函数． （1）求曲线在点，（1）处的切线方程； （2）求证：函数的图像位于直线的下方； （3）若函数在区间上无零点，求的取值范围． 【分析】（1）直接利用导数的几何意义求出切线的方程； （2）利用函数的求导和函数的单调性的关系以及恒成立问题的应用求出结果； （3）利用分类讨论思想的应用和函数的零点以及函数的单调性求出实数的取值范围． 【解答】解；（1）函数．，所以，则（1），又（1）， 所以曲线在点，（1）处的切线方程为． 证明：（2）因为，所以， 要证明，只需要证明，即证． 令，则， 当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减， 故在取极大值也是最大值，故（4）， 所以恒成立，即原不等式成立． 解：（3）， 当时，， 故当时，在区间上恒成立，符合题意；．当时，， 令，则在区间上恒成立， 所以在单调递减，且（1）（1）， （1）当（1）时，此时，在区间上恒成立， 所以在区间单调递减，所以（1）在上恒成立，符合题意，． （2）当（1）时，此时，由于且， 所以， 所以，由于（1），存在使得， 故当时，，所以函数单调递增；当，时，，所以函数单调递减， 故时，函数取极大值也是最大值，故（1）， 由，可得， 令，得，所以在上存在零点，不符合题意，舍去， 综上可知，的取值范围为，，． 【点评】本题考查的知识点：函数的导数的几何意义，函数的导数和函数的单调性的关系，恒成立问题，实数范围的确定，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 50．（2024•闵行区校级模拟）若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中，，则称为曲线的“切线”． （1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求（1）的值； （2）求曲线所有切线的方程； （3）设，是否存在，使得曲线在点，处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用斜率坐标公式求出斜率，再利用导数的几何意义，即可求解； （2）求出函数在处的切线方程，再利用切线的定义求解即得； （3）求出函数的导数，由曲线在点，处的切线方程，构造函数，利用导数探讨极值，由有3个零点建立关系，即可求解． 【解答】解：（1）曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为， 则该切线的斜率为， 因此（1）． （2）由求导得， 则曲线在处的切线方程为：， 令， 整理得， 此切线为切线，等价于方程有且仅有一个根，即，即， 所以曲线的切线仅有一条，为． （3）由， 得曲线在点，处的切线方程为：，即， 令， 求导得，由，得， 对，当时， ，为严格增函数； 当时， ，为严格减函数， 函数所有的极大值为，当时，极大值等于0，即， 当为正整数时，极大值全部小于0，即在无零点， 当为负整数时，极大值全部大于0， 函数所有的极小值为， 当时，极小值，且随着的增大，极小值越来越小， 因此在点，处的切线为切线，等价于有三个零点，等价于，即有解， 令， 则， 因此为上的严格增函数， 因为，， 于是存在唯一实数，满足， 所以存在唯一实数，使得曲线在点，处的切线为切线． 【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，考查转化能力，属于难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$