专题04数列全章复习攻略（考点清单，知识导图+10个考点清单&题型解读）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020选修一）

专题04数列全章复习攻略（考点清单，知识导图+10个考点清单&题型解读） 一　数列的概念 1．定义：按照确定的 排列的一列数称为数列． 2．项：数列中的 叫做这个数列的项．第一个位置上的数叫做这个数列的第1项(或称为 )，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，…，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项． 3．数列的表示：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为 ，其中n∈N *. 二　数列的分类与通项公式 1．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的 有穷数列 项数 的数列 个数 无穷数列 项数 的数列 按项的变 化趋势 递增数列 从第 项起，每一项都 它的前一项的数列 递减数列 从第 项起，每一项都 它的前一项的数列 常数列 的数列 2．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的 之间的对应关系可以用 来表示，那么这个 叫做这个数列的通项公式． 三　数列的递推公式 如果一个数列的 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 四　数列的前n项和Sn与an的关系 1．数列的前n项和 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的 ，记作 ，即 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 2．数列的前n项和Sn与通项an的关系 对于任何一个数列，它的前n项和Sn与通项an都有这样的关系：an＝ ) 五 等差数列的概念 1．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于 常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母表示． 2．等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b. 六　等差数列的通项公式 　已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 递推公式 通项公式 an＋1－an＝d an＝ 七 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用 公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 八　等比数列的概念 1．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，第一项与它的前一项的比等于 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母q表示(q≠0)． 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成 ，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab. 九　等比数列的通项公式 　已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝ 十　等比数列的前n项和公式 　等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1、项数n与公比q 首项a1、末项an与公比q 公式 Sn＝ Sn＝ 十一　等比数列前n项和的性质 　(1)等比数列{an}中，若项数为2n，则＝；若项数为2n＋1，则＝. (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)． (3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔数列{an}为 一．数列的概念及简单表示法（共3小题） 1．（2022春•沙依巴克区校级期中）数列2，5，11，20，，47，中的值为　　 A．28 B．32 C．33 D．27 2．（2023春•闵行区月考）已知，，为整数，集合，中的数从小到大排列，组成数列，如，，　　 A．515 B．896 C．1027 D．1792 3．（2024春•普陀区校级期中）已知数列的通项公式是，则是该数列中的第 　　项． 二．数列的函数特性（共2小题） 4．（2023春•上海期中）已知数列，下列说法正确的是　　 A．有最大项，但没有最小项 B．没有最大项，但有最小项 C．既有最大项，又有最小项 D．既没有最大项，也没有最小项 5．（2023春•宝山区校级期中）给定下列四个命题： ①图像不经过点的幂函数一定不是偶函数； ②若一条直线垂直于平面内的无穷多条直线，则这条直线垂直于这个平面； ③有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱； ④设数列的前项和为，若是递增数列，则数列也是递增数列； 以上命题是真命题的序号是　　 A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 三．等差数列的性质（共9小题） 6．（2024春•宝山区校级月考）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是　　 ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2023春•黄浦区期末）若是等差数列，则由下列关系确定的数列也一定是等差数列的是　　 A． B． C． D． 8．（2024•黄浦区校级三模）数列满足为正整数），且与的等差中项是5，则首项　　． 9．（2024春•宝山区校级月考）与的等差中项为　 　． 10．（2023秋•海沧区校级期中）在等差数列中，如果前5项的和为，那么等于　　． 11．（2023春•浦东新区期末）与的等差中项是 　　． 12．（2023春•嘉定区期末）已知数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等差数列． 13．（2023春•黄浦区期末）已知数列的前项和为． （Ⅰ）求证：数列是等差数列； （Ⅱ）求的最大值及取得最大值时的值． 14．（2023春•普陀区校级期中）已知等差数列的前三项依次为，4，，前项和为，且． （1）求及的值． （2）已知数列满足，证明数列是等差数列，并求其前项和． 四．等差数列的通项公式（共7小题） 15．（2024•浦东新区二模）已知等差数列满足，，则　　． 16．（2024春•宝山区校级期中）已知等差数列，，则　　． 17．（2024春•杨浦区校级期中）若与的等差中项为18，则实数的值为 　　． 18．（2024春•宝山区校级月考）在等差数列中，若，，则的通项公式为 　　． 19．（2023春•青浦区期中）等差数列首项为2，公差为2，则等差数列的通项公式为　　． 20．（2023春•南岗区校级期中）已知是等差数列，，，则　　． 21．（2024春•宝山区校级月考）在等差数列中，，． （1）求的值； （2）2022是否为数列中的项？若是，则为第几项？ 五．等差数列的前n项和（共6小题） 22．（2024春•宝山区校级期中）已知等差数列的前项和为，，，则满足的的值为 　　． 23．（2023秋•宝山区期末）已知等差数列的前项和为，若，则　　． 24．（2024春•宝山区校级月考）等差数列满足，，则　　． 25．（2024春•浦东新区校级期中）已知数列是首项为23，公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）设的前项和为，求的最大值． 26．（2023春•奉贤区校级期中）已知为等差数列，为其前项和，若，． （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值． 27．（2023•杨浦区校级三模）记为等差数列的前项和．已知． （1）若，求的通项公式； （2）若，求使得的的取值范围． 六．等比数列的性质（共5小题） 28．（2023春•徐汇区校级月考）下列命题正确的有　　个． （1）若数列为等比数列，为其前项和，则，，，也成等比数列； （2）数列的通项公式为，则对任意的，，存在，使得； （3）设为不超过实数的最大整数，例如：，，．设为正整数，数列满足，，记，则为有限集． A．0 B．1 C．2 D．3 29．（2023春•浦东新区期末）“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分又非必要条件 30．（2024春•杨浦区校级月考）等比数列的前项积为，并且满足，，，现给出下列结论：①；②；③是中的最大值；④使成立的最大正整数是2019，其中正确的结论序号是 　　． 31．（2023•闵行区校级开学）等比数列中，，，则　　． 32．（2023春•闵行区校级期中）设等比数列的前项和，为正整数，若，，则　　． 七．等比数列的通项公式（共4小题） 33．（2024春•杨浦区校级期中）已知等比数列的公比为，且，则　　． 34．（2024•浦东新区校级模拟）已知为无穷等比数列，，，则的公比为 　　． 35．（2023春•奉贤区校级期中）各项为正数的等比数列中，，，则公比是 　　． 36．（2023春•宝山区期末）某产品经过4次革新后，成本由原来的200元下降到125元．如果这种产品每次革新后成本下降的百分比相同，那么每次革新后成本下降的百分比是 　　（结果精确到． 八．等比数列的前n项和（共6小题） 37．（2023春•宝山区校级月考）等比数列的前项和是，且，若，则　　 A． B． C． D． 38．（2024春•嘉定区校级月考）无穷等比数列满足，则首项的取值范围是 　　． 39．（2024春•宝山区校级月考）将循环小数化为分数：　　． 40．（2023秋•闵行区校级期末）设等比数列的前项和为，若，，则　　． 41．（2023春•杨浦区期末）设等比数列的前项和为，已知，． （1）求公比的值； （2）求的值． 42．（2023春•黄浦区校级月考）已如等比数列满足：，，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，求满足的的值． 九．数列的极限（共3小题） 43．（2023春•闵行区校级期中）无穷等比数列的首项为，公比为，前项和为，且，则首项的取值范围是　　 A． B．，， C． D．，， 44．（2023春•杨浦区校级期末）已知数列是公比为的无穷等比数列，且，则　　． 45．（2023•嘉定区二模）已知数列的通项公式为前项和为，则　　． 一十．数学归纳法（共3小题） 46．（2023春•上海期中）用数学归纳法证明：为正整数）从到时，等式左边需增加的代数式是　　 A． B． C． D． 47．（2024春•青浦区校级月考）已知数列满足，设该数列的前项和为，且，，成等差数列． （1）用数学归纳法证明：是正整数）； （2）求数列的通项公式． 48．（2023春•松江区校级期中）设为数列的前项和，满足． （1）求，，，的值，并由此猜想数列的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04数列全章复习攻略（考点清单，知识导图+10个考点清单&题型解读） 一　数列的概念 1．定义：按照确定的顺序排列的一列数称为数列． 2．项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．第一个位置上的数叫做这个数列的第1项(或称为首项)，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，…，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项． 3．数列的表示：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}，其中n∈N *. 二　数列的分类与通项公式 1．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的 有穷数列 项数有限的数列 个数 无穷数列 项数无限的数列 按项的变 化趋势 递增数列 从第项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 2．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 三　数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 四　数列的前n项和Sn与an的关系 1．数列的前n项和 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 2．数列的前n项和Sn与通项an的关系 对于任何一个数列，它的前n项和Sn与通项an都有这样的关系：an＝) 五 等差数列的概念 1．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示． 2．等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b. 六　等差数列的通项公式 　已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 递推公式 通项公式 an＋1－an＝d an＝a1＋(n－1)d 七 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用 公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 八　等比数列的概念 1．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，第一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab. 九　等比数列的通项公式 　已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1. 十　等比数列的前n项和公式 　等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1、项数n与公比q 首项a1、末项an与公比q 公式 Sn＝ Sn＝ 十一　等比数列前n项和的性质 　(1)等比数列{an}中，若项数为2n，则＝；若项数为2n＋1，则＝. (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)． (3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔数列{an}为等比数列． 一．数列的概念及简单表示法（共3小题） 1．（2022春•沙依巴克区校级期中）数列2，5，11，20，，47，中的值为　　 A．28 B．32 C．33 D．27 【分析】根据所给数列中相邻两项的差的规律性，即从第二项起，每一项与前一项的差依次是3的倍数，再进行求解． 【解答】解：由题意知，数列2，5，11，20，，47， ，，， 则，解得， 故选：． 【点评】本题考查了数列的概念的应用，即需要找出数列各项之间的特定关系，考查了分析问题和解决问题的能力． 2．（2023春•闵行区月考）已知，，为整数，集合，中的数从小到大排列，组成数列，如，，　　 A．515 B．896 C．1027 D．1792 【分析】根据条件，通过限定的取值，先判断符合条件的项有多少，将数列问题转化为排列组合问题；再推断项所在的位置，进而求得的值． 【解答】解：当时，只能取0，只能取1，故符合条件的项有项； 当时，和从0，1，2中取两个，故符合条件的项有项； 同理，当时，符合条件的项有项； 以此类推可知，因为； 是当时，，，所组成的最小的项，即，； ； 故选：． 【点评】本题考查了数列的概念，排列组合，跨知识点，有一定的综合性，属中档题． 3．（2024春•普陀区校级期中）已知数列的通项公式是，则是该数列中的第 　9　项． 【分析】令求出的值即可． 【解答】解：数列的通项公式是， 令， 解得， 所以是该数列中的第9项． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了数列的概念，属于基础题． 二．数列的函数特性（共2小题） 4．（2023春•上海期中）已知数列，下列说法正确的是　　 A．有最大项，但没有最小项 B．没有最大项，但有最小项 C．既有最大项，又有最小项 D．既没有最大项，也没有最小项 【分析】分奇偶分别作差，判断奇数项的单调性以及偶数项的单调性，从而得出结果． 【解答】解：数列， 当，，， 当时，，递增； 当时，，递减，故最大， 当，时，，， 当时，，递减； 当时，，递增，故最小， 综上，既有最大项，又有最小项． 故选：． 【点评】本题主要考查数列的函数特性，属于基础题． 5．（2023春•宝山区校级期中）给定下列四个命题： ①图像不经过点的幂函数一定不是偶函数； ②若一条直线垂直于平面内的无穷多条直线，则这条直线垂直于这个平面； ③有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱； ④设数列的前项和为，若是递增数列，则数列也是递增数列； 以上命题是真命题的序号是　　 A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 【分析】对①：利用幂函数和偶函数特点即可判断，对②和④：举反例即可，对③：利用线面垂直的判定结合直棱柱的定义即可判断． 【解答】解：对①，幂函数的图象都过，偶函数的图象关于轴对称， 图象不经过点的幂函数一定不是偶函数，故①正确； 对②，若平面内的无数条直线互相平行， 则这条直线可以不垂直这个平面，故②错误； 对③，若有两个相邻的侧面是矩形， 则两侧面的交线即一条侧棱垂直于底面两相交的直线， 则这条侧棱垂直于底面，根据棱柱侧棱互相平行， 则所有侧棱均垂直于底面，则棱柱为直棱柱，故③正确； 对④，当时，满足数列是递增数列，，， 则，不满足数列是递增数列，故④不正确； 故选：． 【点评】本题主要考查了数列的函数特性，幂函数性质的应用，直线与平面位置关系的应用及数列单调性的判断，属于中档题． 三．等差数列的性质（共9小题） 6．（2024春•宝山区校级月考）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是　　 ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据等差数列的定义判断． 【解答】解：设的公差为， 对于①，， 是等差数列，故①正确； 对于②，， 是等差数列，故②正确； 对于③，，是等差数列，故③正确； 对于④，若，则不是等差数列，故④错误． 故选：． 【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7．（2023春•黄浦区期末）若是等差数列，则由下列关系确定的数列也一定是等差数列的是　　 A． B． C． D． 【分析】取，可判定选项、、的真假，然后利用等差数列的定义判定选项即可． 【解答】解：是等差数列， ， 当时，，数列不是等差数列， ，数列不是等差数列， ，故数列也一定是等差数列， ，数列不是等差数列． 故选：． 【点评】本题主要考查了等差数列的判定，以及利用列举法判定真假，属于基础题． 8．（2024•黄浦区校级三模）数列满足为正整数），且与的等差中项是5，则首项　1　． 【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解． 【解答】解：数列满足为正整数）， 则数列为等比数列， 不妨设其公比为， 则， 与的等差中项是5， 则，即，解得． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题． 9．（2024春•宝山区校级月考）与的等差中项为　1　． 【分析】根据题意，设与的等差中项为，由等差中项的定义可得，由对数的运算性质可得的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，设与的等差中项为， 则， 故，即与的等差中项为1； 故答案为1． 【点评】本题考查等差数列的性质，涉及对数的运算性质，解题的关键是掌握等差中项的定义． 10．（2023秋•海沧区校级期中）在等差数列中，如果前5项的和为，那么等于　4　． 【分析】利用等差数列的前项和公式表示出已知等差数列的前5项和，根据已知的前5项和化简后求出的值，利用等差数列的性质化简即可求出的值． 【解答】解：等差数列前5项的和为， ， 又， 则． 故答案为：4 【点评】此题考查了等差数列的求和公式，以及等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键． 11．（2023春•浦东新区期末）与的等差中项是 　8　． 【分析】根据等差中项的定义计算即可． 【解答】解：与的等差中项是． 故答案为：8． 【点评】本题考查了等差中项的定义与计算问题，是基础题． 12．（2023春•嘉定区期末）已知数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等差数列． 【分析】（1）根据题意得，当时，当时，求出； （2）利用等差数列的定义进行证明． 【解答】解：（1）当时，， 则， 当时，，满足上式． 所以数列的通项公式为； （2）证明：由（1）知，， 当时，， 则当时，是一个与无关的常数， 所以数列是以为首项，以2为公差的等差数列． 【点评】本题考查了数列与的关系式，以及等差数列的定义，是常考的题型． 13．（2023春•黄浦区期末）已知数列的前项和为． （Ⅰ）求证：数列是等差数列； （Ⅱ）求的最大值及取得最大值时的值． 【分析】（Ⅰ）当时，，验证当时也满足，于是可求得的通项公式为，利用等差数列的定义证明即可； （Ⅱ）令可求得，从而可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）证明：当时，， 又当时，满足， 故的通项公式为， 所以， 故数列是以32为首项，为公差的等差数列； （Ⅱ），即，解得， 故数列的前16项或前17项和最大， 此时． 【点评】本题考查等差数列的关系的确定及通项公式的应用，考查化归思想与运算求解能力，属于中档题． 14．（2023春•普陀区校级期中）已知等差数列的前三项依次为，4，，前项和为，且． （1）求及的值． （2）已知数列满足，证明数列是等差数列，并求其前项和． 【分析】（1）设该等差数列为，由等差中项可得的方程，解得，可得首项、公差，再由求和公式可得； （2）运用等差数列的定义和通项公式、求和公式，即可得到所求结论． 【解答】解：（1）设该等差数列为，则，，， 由已知有，得，公差， 所以， 由，得， 解得或（舍去）， 故，； （2）证明：由（1）得， 则，故， 即数列是首项为2，公差为1的等差数列， 所以． 【点评】本题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 四．等差数列的通项公式（共7小题） 15．（2024•浦东新区二模）已知等差数列满足，，则　5　． 【分析】直接利用等差数列的性质求出结果． 【解答】解：根据等差数列的性质，，解得． 故答案为：5． 【点评】本题考查的知识点：等差数列的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 16．（2024春•宝山区校级期中）已知等差数列，，则　4　． 【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解． 【解答】解：等差数列，， 则． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题． 17．（2024春•杨浦区校级期中）若与的等差中项为18，则实数的值为 　　． 【分析】利用等差中项的性质直接求解． 【解答】解：与的等差中项为18， ， 解得实数． 故答案为：． 【点评】本题考查等差中项等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 18．（2024春•宝山区校级月考）在等差数列中，若，，则的通项公式为 　　． 【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解． 【解答】解：设等差数列的公差为， ，， 则，解得， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题． 19．（2023春•青浦区期中）等差数列首项为2，公差为2，则等差数列的通项公式为　　． 【分析】由题意，根据等差数列的通项公式，得出结论． 【解答】解：等差数列首项为2，公差为2，则等差数列的通项公式为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题． 20．（2023春•南岗区校级期中）已知是等差数列，，，则　5　． 【分析】根据等差数列的性质即可求解． 【解答】解：由，得， 所以． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题． 21．（2024春•宝山区校级月考）在等差数列中，，． （1）求的值； （2）2022是否为数列中的项？若是，则为第几项？ 【分析】（1）由已知结合等差数列的通项公式先求出首项及公差，进而可求； （2）结合等差数列的通项公式即可求解． 【解答】解：（1）因为等差数列中，，， 解得，， 所以； （2）由（1）得， 令，则， 故2022是为数列中的第506项． 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，属于基础题． 五．等差数列的前n项和（共6小题） 22．（2024春•宝山区校级期中）已知等差数列的前项和为，，，则满足的的值为 　12　． 【分析】由已知结合等差数列的通项公式先求出，，然后结合等差数列的求和公式即可求解． 【解答】解：等差数列中，设公差为， 因为，， 所以， 解得，，， 则， 则，， 则满足的． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题． 23．（2023秋•宝山区期末）已知等差数列的前项和为，若，则　8　． 【分析】由等差数列的性质结合等差数列的求和公式可得答案． 【解答】解：由等差数列的性质可得：， 所以． 故答案为：8． 【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 24．（2024春•宝山区校级月考）等差数列满足，，则　28　． 【分析】借助于等差数列的性质以及前项和公式求解即可． 【解答】解：因为等差数列满足，， 所以，，解得，， 所以． 故答案为：28． 【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 25．（2024春•浦东新区校级期中）已知数列是首项为23，公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）设的前项和为，求的最大值． 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求解即可； （2）根据等差数列的前项和公式，结合二次函数的图象与性质，求解即可． 【解答】解：（1）等差数列中，，，所以通项公式为； （2）的前项和为， 当，即时，取得最大值为． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前项和应用问题，是基础题． 26．（2023春•奉贤区校级期中）已知为等差数列，为其前项和，若，． （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值． 【分析】（1）先利用等差数列的通项公式求出公差，进而求出等差数列的通项公式； （2）利用等差数列的前项和公式求出，再利用二次函数的性质求解． 【解答】解：（1）设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 因此， 所以求数列的通项公式为． （2）由题意可知， 所以当或者时，的值最大， 此时最大值为． 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式，是基础题． 27．（2023•杨浦区校级三模）记为等差数列的前项和．已知． （1）若，求的通项公式； （2）若，求使得的的取值范围． 【分析】（1）根据题意，等差数列中，设其公差为，由，即可得，变形可得，结合，计算可得的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案； （2）若，则，分与两种情况讨论，求出的取值范围，综合即可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，等差数列中，设其公差为， 若，则，变形可得，即， 若，则， 则， （2）若，则， 当时，不等式成立， 当时，有，变形可得， 又由，即，则有，即，则有， 又由，则有， 则有， 综合可得：的取值范围是，． 【点评】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前项和公式，涉及数列与不等式的综合应用，属于中档题． 六．等比数列的性质（共5小题） 28．（2023春•徐汇区校级月考）下列命题正确的有　　个． （1）若数列为等比数列，为其前项和，则，，，也成等比数列； （2）数列的通项公式为，则对任意的，，存在，使得； （3）设为不超过实数的最大整数，例如：，，．设为正整数，数列满足，，记，则为有限集． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】（1）取特列，分析判断；（2）根据实数的性质分析判断；（3）利用数学归纳法证明，即可得结果． 【解答】解：对（1）：设等比数列的公比为， 若，则，可得， 则，，故，，，不是等比数列，（1）错误； 对（2）：根据实数性质可得：对，均存在，，使得， 则，， 故对，，均存在，使得，则，（2）正确； 对（3）：若，则，故，且． 下证对，， 当时，，即； 假设当时，； 当时，则 ，当且仅当，即时，等号成立， 则； 故对，． ，，则，可得， 可得， ， 下证， 当时，则成立； 假设当时，则成立； 当时，则，即； 故． 可得，且，即的取值可能是有限的， 故为有限集，（3）正确． 故选：． 【点评】本题主要考查命题真假的判断，等比数列的性质，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题． 29．（2023春•浦东新区期末）“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分又非必要条件 【分析】分别判断充分性与必要性是否成立即可． 【解答】解：如果一个数列是常数列，那么这个数列不一定是等比数列，如常数列：0，0，0，，不是等比数列，充分性不成立； 如果一个数列是公比为1的等比数列，那么这个数列是常数列，必要性成立； 是必要不充分条件． 故选：． 【点评】本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题． 30．（2024春•杨浦区校级月考）等比数列的前项积为，并且满足，，，现给出下列结论：①；②；③是中的最大值；④使成立的最大正整数是2019，其中正确的结论序号是 　②　． 【分析】由，，可得公比的范围，结合数列的单调性，对四个结论进行逐一判断即可． 【解答】解：因为，故可得，因为，故可得， 因为，若，则和均大于1，与已知矛盾，故， 因此，，数列是个递减数列， 对①，因为数列是递减数列，且，故，故①错误； 对②，，因为，故，故②正确； 对③，，因为，数列是递减数列， 且，，故中最大值为，故③错误； 对④，，， 故成立的最大自然数是2018，故④错误． 综上所述，只有②正确． 故答案为：②． 【点评】本题考查等比数列的性质，属中档题． 31．（2023•闵行区校级开学）等比数列中，，，则　　． 【分析】根据等比数列通项公式得，，进而根据对数运算求解即可． 【解答】解：因为等比数列中，，， 所以，，解得， 所以，， 所以，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题． 32．（2023春•闵行区校级期中）设等比数列的前项和，为正整数，若，，则　48　． 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解． 【解答】解：因为等比数列中，，， 则， 所以． 故答案为：48． 【点评】本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题． 七．等比数列的通项公式（共4小题） 33．（2024春•杨浦区校级期中）已知等比数列的公比为，且，则　　． 【分析】根据等比数列的性质即可求解． 【解答】解：等比数列的公比为，且， 可得， ， 可得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查等比数列的性质，考查计算能力，属于基础题． 34．（2024•浦东新区校级模拟）已知为无穷等比数列，，，则的公比为 　　． 【分析】由题意知，，再利用无穷等比数列和的公式求解即可． 【解答】解：因为无穷等比数列，， 则，， 又， 所以， 解得或（舍． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式，属于基础题． 35．（2023春•奉贤区校级期中）各项为正数的等比数列中，，，则公比是 　2　． 【分析】直接利用等比数列的通项公式计算得到结果． 【解答】解：由已知等比数列中，，， 得， 又等比数列的各项为正数，， 故． 故答案为：2． 【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题． 36．（2023春•宝山区期末）某产品经过4次革新后，成本由原来的200元下降到125元．如果这种产品每次革新后成本下降的百分比相同，那么每次革新后成本下降的百分比是 　　（结果精确到． 【分析】设每次降价的百分率为，为四次降价的百分率，200降至125就是方程的平衡条件，列出方程求解即可． 【解答】解：设每次降价的百分率为． 则， 解得． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，属于基础题． 八．等比数列的前n项和（共6小题） 37．（2023春•宝山区校级月考）等比数列的前项和是，且，若，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据等比数列的性质，，成等比数列，列方程求解 【解答】解：设，则，所以 由等比数列性质知，，成等比数列， 所以，得， 所以， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于中档题． 38．（2024春•嘉定区校级月考）无穷等比数列满足，则首项的取值范围是 　，，　． 【分析】利用无穷等比数列极限公式计算即可． 【解答】解：依题意：，且，，， ，，， 则，，． 故答案为：，，． 【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 39．（2024春•宝山区校级月考）将循环小数化为分数：　　． 【分析】借助于无穷等比数列的前项和公式，即可求解． 【解答】解：．．．， 所以可以看成以0.36为首项，0.01为公比的无穷等比数列的前项的和， 即． 故答案为：． 【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 40．（2023秋•闵行区校级期末）设等比数列的前项和为，若，，则　　． 【分析】求出，得到公比，再利用公式法求和，最后求出其极限． 【解答】解：设等比数列的公比为，，设等比数列的公比为， 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题． 41．（2023春•杨浦区期末）设等比数列的前项和为，已知，． （1）求公比的值； （2）求的值． 【分析】（1）根据题意，设等比数列的公比为，由，计算可得答案； （2）根据题意，先求出的值，进而由等比数列前项和公式计算可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，设等比数列的公比为， 由于，，则，所以． （2）根据题意，由（1）的结论，， 则，则． 【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的通项公式，属于基础题． 42．（2023春•黄浦区校级月考）已如等比数列满足：，，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，求满足的的值． 【分析】（1）设等比数列的公比为，由，，且．可得，，．解出即可得出． （2）．由，可得：，即可得出． 【解答】解：（1）设等比数列的公比为，，，且． ，，． ，． ． （2）． ，即． 即， 解得，9，10，11． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力、计算能力，属于中档题． 九．数列的极限（共3小题） 43．（2023春•闵行区校级期中）无穷等比数列的首项为，公比为，前项和为，且，则首项的取值范围是　　 A． B．，， C． D．，， 【分析】由已知可得，且，，再由二次函数求解首项的取值范围． 【解答】解：由题意，，且，， 则，，， 其对称轴方程为，当且时，，． 故选：． 【点评】本题考查数列的极限，考查无穷递缩等比数列的概念，是基础题． 44．（2023春•杨浦区校级期末）已知数列是公比为的无穷等比数列，且，则　1　． 【分析】由无穷递缩等比数列极限的求法直接构造等式，整理即可得到结果． 【解答】解：， ，即． 故答案为：1． 【点评】本题考查无穷递缩等比数列的极限，是基础题． 45．（2023•嘉定区二模）已知数列的通项公式为前项和为，则　　． 【分析】求解数列的前项和，然后求解数列的极限即可． 【解答】解：数列的通项公式为前项和为， ． 故答案为：． 【点评】本题考查数列的求和以及数列的极限的运算法则的应用，是中档题． 一十．数学归纳法（共3小题） 46．（2023春•上海期中）用数学归纳法证明：为正整数）从到时，等式左边需增加的代数式是　　 A． B． C． D． 【分析】取和代入左式相减得到答案． 【解答】解：等式左边需增加的代数式是：． 故选：． 【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题． 47．（2024春•青浦区校级月考）已知数列满足，设该数列的前项和为，且，，成等差数列． （1）用数学归纳法证明：是正整数）； （2）求数列的通项公式． 【分析】（1）根据已知条件，结合数学归纳法的步骤，即可求解； （2）结合（1）的结论，并分类讨论，即可求解． 【解答】证明：（1），，成等差数列，， 则， ①当时，，等式成立， ②当时，成立， 当时， ，等式成立， 由①②可知，是正整数）； （2）解：当时，， 当时，， 当时，也满足上式， 综上所述，数列的通项公式为． 【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于中档题． 48．（2023春•松江区校级期中）设为数列的前项和，满足． （1）求，，，的值，并由此猜想数列的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想． 【分析】（1）根据依次求得，，，的值，并由此猜想． （2）利用数学归纳法的方法证得． 【解答】解：（1）当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 猜想； （2）①当时，成立． ②假设时，结论成立，即． 那么，当时， 即． 当时，结论成立． 综上，猜想成立． 【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$